S6 chuyên đề 6 chủ đề 2 dùng các tính chất chia hết và số dư để chứng minh

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 6-SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 2: DÙNG CÁC TÍNH CHẤT CHIA HẾT VÀ SỐ DƯ ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 n 1 n 2  Tổng quát: Số phương chia hết cho p chia hết cho p ( p số nguyên tố, n ) * Phương pháp chứng minh số không số nguyên tố quan hệ chia hết:  p  A khơng phải số phương Ta có: Ap p số nguyên tố mà A  * Để chứng minh N số phương ta có thể:  Chứng minh N có tận 2;3; 7;8 N tận 2k 1 chữ số  Chứng minh N chứa số nguyên tố với số mũ lẻ  Xét số dư N chia cho hoặc , Chẳng hạn N chia dư chia dư ; chia dư N khơng số phương  Chứng minh N nằm hai số phương liên tiếp PHẦN II CÁC BÀI TẬP Các dạng chứng minh số khơng phải số phương DẠNG 1: A chia hết cho số nguyên tố p A không chia hết p Bài 1: Chứng minh số có tổng chữ số 2004 số khơng số phương? Lời giải Số có tổng chữ số 2004 số chia hết cho khơng chia hết cho , số có tỏng chữ số 2004 khơng thể số phương Bài 2: Tổng chữ số số phương 1983 khơng? Lời giải Tổng chữ số số 1983 số chia hết cho khơng chia hết cho , nên khơng tồn số phương có tổng chữ số 1983 Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 3: Cho số tự nhiên: 1, 2,3, 4,5, Lập tất số tự nhiên có chữ số bao gồm tất chữ số Trong số lập có số số phương khơng? Lời giải Tổng chữ số số 21 chia hết cho không chia hết cho Bài 4: Cho số tự nhiên gồm 21 chữ số Có cách viết thêm chữ số vào vị trí tùy ý để số tạo thành số phương hay không? Lời giải S ( N ) 21.4 843 không chia hết cho Bài 5: Chứng minh số 1234567890 khơng phải số phương Lời giải Cách 1: Ta thấy số 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tân ) khơng chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận 90 ) Do đó: số 1234567890 khơng số phương Cách 2: Ta thấy số 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tân ) khơng chia hết cho (vì hai chữ số tận 90 ) Do đó: số 1234567890 khơng số phương Cách 3: Số 1234567890 tận có lẻ chữ số Bài 6: Các tổng sau có phải số phương khơng? 10 a) 10  100 b) 10  1050  Lời giải 10 a, Ta có: 10  chia hết cho không chia hết cho 25 nên khơng số phương 100 50 b, Ta có: 10  10  có tổng chữ số nên chia hết cho mà không chia hết khơng số phương 2020 Bài 7: Cho S 3     Chứng minh S số phương Lời giải 2020 Ta có: S 3     n Với số tự nhiên n 2 9 2020 Suy ra:    9 2020 Do đó:     chia dư Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 9 Hay S  Mặt khác S 3 Vậy S không số phương Bài 8: Chứng minh tổng bốn số tự nhiên liên tiếp khơng số phương Lời giải Gọi bốn số tự nhiên lên tiếp a ; a 1; a  2; a   a  Khi ta xét: S a  a 1  a   a  4a  4a 2    S 2 Ta có: 62  (1) 4a 4  4  S  4  6 (2) Từ (1) (2)  S khơng số phương Vậy tổng bốn số tự nhiên liên tiếp không số phương Bài 9: Viết liên tiếp số tự nhiên từ đến 101 thành số A Chứng minh A khơng số phương Lời giải Ta có: A 1234 100101 Ta có tổng chữ số A là:     100 101  101 101:2 5151 Ta thấy: 51513  A3  9 A 9 5151 Do A khơng số phương Bài 10: Số A 11 11 11 có phải số phương khơng? Lời giải: Ta có: A 11 11 11 Suy ra: A 11  11.11   112 11   113 11 112 113 114 A 11  A  112 113 114    11 112 113  Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG A  112  112    113  113    114  11 0  114  11 114  11 A11   A  11  A 11   11  11 Ta thấy: không số phương 2 Bài 11: Viết liên tiếp từ đến 12 số H 12341112 Số H có 81 ước khơng? Lời giải Giả sử số H có 81 ước  1 Vì số lượng ước H 81 (là số lẻ) nên H số phương mặt khác, tổng chữ số H là:     (1  0)  (1  1)  (1  2) 51 Vì 513; 51 9 ; nên H chia hết cho không chia hết cho , H khơng số phương mâu thuẫn với  1 Vậy H khơng thể có 81 ước Bài 12: Một số tự nhiên gồm chữ số sáu chữ số số phương khơng? Lời giải Gọi A số gồm chữ số sáu chữ số - Nếu A có chữ số tận A có hai chữ số tận 60  A chia hết cho A không chia hết cho 25 (vì 60 25 )  A khơng số phương - Nếu A có chữ số tận  A có hai chữ số tận 06 66  A chia hết cho không chia hết cho  A không số phương Vậy A khơng phải số phương DẠNG 2: Chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ 2001 Bài 1: Chứng minh 2001 khơng số phương Lời giải Ta có: 20012001  3.23.29  2001 32001.232001.292001 chứa thừa số nguyên tố có số mũ lẻ 2001 Do đó: 2001 khơng số phương 29 58 84 Bài 2: Chứng minh số A 29  58  87 không số phương Lời giải Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 58 A 2929 (1  258.2929  387.29    29    29  29 29 30 Ta có A29 A khơng chia hết cho 29 mà 29 số nguyên tố từ suy A khơng số phương DẠNG 3: A  p.N N p ( p : ngun tố) A khơng số phương Bài 1: Chứng minh A ababa khơng số phương Lời giải Ta có: n abab ab.101 abab 101.ab    ab 101 abab 101  abab 1012  (Vơ lý) Do A ababa khơng số phương Bài 2: Chứng minh abcabc khơng số phương Lời giải Ta có: n abcabc abc.1001 abc.11.91 Vì abc !11 đồng thời abc !91 mà 11,91 số ngun tố Do abcabc khơng số phương Bài 3: Chứng minh ababab khơng số phương Lời giải Ta có: n ababab ab.10101 ab.3.7.13.37 Vì 3, 7,13,37 số nguyên tố nên  ab 10101 (Vơ lý) Do ababab khơng số phương DẠNG 4: Chứng minh A chia dư , chia dư ; ; chia dư , ; chia dư ; ; ; Bài 1: a Chứng minh với n  N 2n  2n  khơng số phương n b Chứng minh với n  N  1002 khơng số phương Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Lời giải a 2n  2n  2n(n  1)      4 chia dư nên khơng số phương n b - n 0  1002 1003  khơng số phương n - n 1   1002 10053, !9  khơng số phương n - n 2   10023, !9  khơng số phương Bài 2: Chứng minh số có tổng chữ số 2006 khơng phải số phương Lời giải Số phương chia cho dư Số có tổng chữ số 2006 nên chia dư , số phương Bài 3: Một số tự nhiên có tổng chữ số 2018 số phương khơng? Tại sao? Lời giải Gọi số tự nhiên có tổng chữ số 2018 n Ta có: 2018 3m  , m   nên số tự nhiên n chia dư , số n có dạng 3k  với k số tự nhiên Mặt khác số phương khơng có dạng 3k  suy số tự nhiên n khơng số phương 4n 4n 4n 4n Bài 4: Chứng minh A 2012  2013  2014  2015 số phương với số nguyên dương n Lời giải 4n 4n * Ta có: 2012 0 (mod 2) ; 2013 1(mod 2) ; n 20144 n 0 (mod 2) ; 20154 n 1(mod 2) Do đó: A 2 0 (mod 2) 4n Ta lại có: 2012 0 (mod 4)  2012 0 (mod 4) 2014 2 (mod 4)  20142 22 0(mod 4)  (20142 ) n (20142 ) n 0(mod 4) 4n Do 2013 1(mod 4)  2013 1(mod 4) 4n 4n Do 2015  1(mod 4)  2015 ( 1) 1(mod 4) Do A 2 (mod 4) nghĩa A chia cho dư Ta có A2; A ! ; số nguyên tố Vậy A khơng số phương Trang CHUN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 5: Cho N 1.3.5.7 2015 Chứng minh N  ; N  khơng số phương Lời giải +) Ta có: N 3 Suy ra: N  chia cho dư Do đó: N  khơng số phương +) Ta có: N 3 N 9 9 Suy ra: N  33 N   Do đó: N  khơng số phương  n 1 Chứng minh số N  ; Bài 6: Gọi N 2.3.5 pn tích n số nguyên tố N ; N 1 khơng số phương Lời giải 4 +) Ta thấy: N 2 N   N khơng số phương N a   a  1  a 1 +) Giả sử N 1 a hay N   a  1  a 1 4 Ta có: N 1 lẻ suy a lẻ nên (mâu thuẫn) Do điều giả sử sai Vậy N 1 khơng số phương +) Ta có: N 3  N  2  mod 3 Vậy N  khơng số phương Bài 7: Giả sử N 1.3.5.7 2007.2011 Chứng minh ba số tự nhiên liên tiếp N  ; 2N ; N 1 khơng có số số phương Lời giải +) Ta có: N  2.1.3.5.7 2011  Ta thấy: N 3  N  3k   k   Do đó: N  khơng số phương Trang CHUN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG +) Ta có: N 2.1.3.5.7 2011  2N chẵn  N 2 N  4 Do đó: N lẻ  N  Ta thấy 2N chẵn nên 2N không chia cho dư dư Vậy 2N khơng số phương +) Ta có: N 1 2.1.3.5.7 2011 1 4 Ta thấy N 1 lẻ nên N 1  nên N 1 không chia cho dư 2N  Do đó: N 1 khơng số phương 12 2003 Bài 8: Chứng minh số A 23  23  23 không số phương Lời giải Ta có: 23 chia dư nên 23 chia dư 2312 chia dư 232003 chia dư 12 2003 Suy ra: A 23  23  23 chia dư Vậy A không số phương 44 444 4444 Bài 9: Chứng minh C 4  44  444  4444 15 không số phương Lời giải Ta có: chia hết chia hết cho 44 chia hết 4444 chia hết cho 444 chia hết 444444 chia hết cho 4444 chia hết 44444444 chia hết cho 4 44 444 4444 Suy ra:  44  444  4444 chia hết cho Mà: 15 chia dư 44 444 4444 Do đó: C 4  44  444  4444 15 chia dư Vậy C không số phương Bài 10: Chứng minh D 2004  2004  2004  23 không số phương Lời giải Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Ta thấy: 20043  2004 3 Tương tự 2004 3 , 2004 3  k Mà 23 chia dư nên D 3k 2 Mà ta biết số phương khơng có dạng 3k  Do D khơng số phương Bài 11: Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ khơng phải số phương Lời giải Gọi a b số lẻ Giả sử: a 2m  , b 2n  với m, n  2 a  b  2m  1   2n  1 4  m  m  n  n   4k  Ta có: với k  2 Khơng có số phương có dạng 4k  a  b khơng phải số phương Bài 12: Chứng minh tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 khơng phải số phương Lời giải Ta có: S 1      2005  2005 1 2005:2 1003.2005 1.3 3  mod   S có dạng 4k   k  Do S khơng số phương Bài 13: Cho A tổng bình phương 111 số tự nhiên liên tiếp Chứng minh A khơng phải số phương Lời giải Xét tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp:  a  1 2  a   a 1 3a  2  mod 3 a  Chia A thành 37 nhóm, nhóm tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp  A 37.2 1.2 2  mod  Do A khơng số phương Trang CHUN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 14: Cho A tổng bình phương 108 số tự nhiên liên tiếp Chứng minh A khơng số phương Lời giải Xét tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp: 2 a   a 1   a     a  3 4a 12a 14 2  mod  ; a  Chia A thành 27 nhóm, nhóm gồm số tự nhiên liên tiếp A 27.2 54 2  mod  Suy ra: Do A khơng số phương n Bài 15: Chứng minh  63 số phương với n  ; n 0; Lời giải: n 2k 1;  k  Xét n lẻ Đặt Ta có: 32 k 1   1 k 1  mod   1 mod  63 3  mod   32 k 1  63 2  mod   32 k 1  63 khơng số phương n 2k ;  k 0  Xét n chẵn Đặt y 3t  t  Vì y3 nên ta đặt 2k Khi đó, ta có:  63 9t 32 k   t 2  t   3k   7   t  3k    t  3k 1  7  t  3k  1  k 1  t  7  2.3k  6  3k  3  k 2  n 4 (trái với giả thiết đề bài) n Vậy:  63 số phương với n 0; Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 16: Chứng minh n  34n  khơng số phương Lời giải: Bổ đề: x i  mod  ; i  0;1; 2; 4 Theo định lí Fermat, ta có: n n  mod   n7  34n  35n   mod   n  34n  6  mod  Giả sử n  34n  x , x  Suy ra: x 5  mod  (vô lý) Do đó: n  34n  khơng số phương 2k 2k 2k Bài 17: Chứng minh với số k  số A 1   77 1977 khơng số phương Lời giải: Bất kì số phương có dạng 3t 3t 1 , với t 2k 2k 2k Ta có: A 1   77 1977 có dạng 3l  2; l  Do A khơng số phương DẠNG 5: Chứng minh A có chữ số tận 2;3;7 Bài 1: Chứng minh tổng sau có phải số phương khơng? 10 b) B 10  a) A 11  11  11 Lời giải: b) Tổng A có chữ số tận nên khơng số phương 10 c) Ta có: 10 có chữ số tận 10 Nên 10  có chữ số tận Vậy B khơng số phương 2012 2011 2010 2009 Bài 2: Cho A 10  10  10  10  Chứng minh A khơng phải số phương Lời giải: Ta có số 10 2012 ; 10 2011 ; 10 2010 ; 10 2009 có chữ số tận 2012 2011 2010 2009 Nên A 10  10  10  10  có chữ số tận Trang 11 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Vậy A khơng số phương số phương số có tận 0;1; 4;5; 6;9 Bài 3: Chứng minh tổng bình phương năm số tự nhiên liên tiếp khơng thể số phương Lời giải Gọi số tự nhiên liên tiếp là: n  2, n  1, n, n  1, n  n   n 2 Xét tổng bình phương: 2 A  n     n  1  n   n  1   n   5  n   2 Vì n khơng thể có tận , nên n  có tận ,  n  chia hết cho  5( n  2) chia hết cho 25 Vậy A khơng số phương DẠNG 6: Chứng minh A kẹp hai số phương liên tiếp n  A   n  1 Bài tập: Chứng minh số 4014025 không số phương Nhận xét: Số có hai chữ số tận 25 nên chia cho dư chia cho dư , nên áp dụng cách Lời giải: Cách 1: 2 Ta thấy: 2003  401209 ; 2004  4016016 Nên 4014025 khơng phải số phương 20032  4014025  20042 Chứng tỏ số Cách 2: Ta có: 4014025 25.160561 Muốn 4014025 số phương 160561 phải số phương Ta lại có: 400 160000 4012 160801 Mà: 160000 160561160801  160561 khơng số phương Do số 4014025 khơng số phương Trang 12 CHUN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN III CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 2m 2m 2m Bài 1: Chứng minh với số m số A 1   80 1980 khơng số phương Lời giải Bất kì số phương có dạng 4n 4n 1 , n 2m 2m 2m Ta có: A 1   80 1980 có dạng 4q  , q Suy ra: A không số phương Bài 2: Chứng minh bình phương hai số lẻ khơng phải số phương Lời giải Gọi hai số lẻ a b Vì a b lẻ nên a 2k 1 ; b 2m 1 ; k ; m a  b  2k 1   2m 1 Suy ra: 4k  4k 1  4m  4m 1 4  k  k  m  m   4t  2;  t  2 Do đó: a  b khơng số phương Bài 3: Chứng minh A n5 1999n  2017;  n khơng số phương Lời giải 5 Ta có: A n 1999n  2017 n  n  2000n  2015  Ta thấy: A chia cho dư Do đó: A khơng số phương Bài 4: Chứng minh n3  n  2;  n Lời giải Ta có: Vì: n3  n  n  n  1  n 1  n  n  1  n 1 0  mod 3  n  n  1  n 1  2  mod 3 Trang 13 khơng số phương CHUN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Mà số phương chia dư Do đó: n  n  khơng số phương Bài 5: Chứng minh A 19n  5n5 1890n  19n  5n 1993;  n không số phương Lời giải Ta có: A 19n  5n 1890n  19n  5n 1993 20n  5n5 1890n3  20n  5n 1990  n  n  5  4n  n5  378n3  4n  n  398   n  n  Ta có số phương chia dư 0;1 n nên có trường hợp xảy * TH1: Nếu n5 n 5 ; n 5 mà chia dư   n  n  chia dư  A chia dư  A khơng số phương * TH2: Nếu n chia dư n chia dư , n chia dư mà chia dư   n  n  chia dư   1  3 3  A chia dư  A khơng số phương 6 6 * TH3: Nếu n chia dư n chia dư ; 64 chia dư  n chia dư , n chia dư 4   n  n  chia dư     3 3  A chia dư  A không số phương 6 6 * TH4: Nếu n chia dư n chia dư ; 729 chia dư  n chia dư , 2 n chia dư 32 ; 9 chia dư  n chia dư   n  n  chia dư      3  A chia dư Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG  A khơng số phương 6 6 * TH5: Nếu n chia dư n chia dư ; 4096 chia dư  n chia dư , 2 n chia dư 42 ; 16 chia dư  n chia dư   n  n  chia dư   1  3 3  A chia dư  A không số phương Vậy A khơng số phương với n Bài 6: Cho p tích 2016 số nguyên tố Chứng minh p  p 1 không số nguyên tố (Đề HSG Hương Sơn năm học 2015 - 2016) Lời giải: Vì p tích n số ngun tố nên p chia hết cho không chia hết cho Ta chứng minh p 1 số phương Giả sử p 1 số phương Đặt p 1 m Vì p chẵn nên p 1 lẻ  m lẻ  m lẻ 2 Đặt m 2k 1 Ta có: m 4k  4k 1  p 1 4k  4k 1  p 4k  4k 4k  k  1 chia hết cho Ta chứng minh p  số phương Ta có: p 2.3.5 chia hết cho  p  3k  Vì khơng có số phương có dạng 3k  nên p  khơng phải số phương Vậy p tích 2016 số ngun tố p  p 1 khơng phải số phương Bài 7: Cho B abc  bca  cab Chứng minh B khơng số phương (Đề HSG Vĩnh Tường năm học 2019 - 2020) Lời giải: Trang 15 CHUN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Ta có: B abc  bca  cab 100a 10b  c 100b 10c  a 100c 10a  b  100a 10a  a    100b 10b  b    100c 10c  c  aaa  bbb  ccc 111  a  b  c  3.37  a  b  c  Ta thấy: 1a 9   1b 9   a  b  c 27 1c 9   37 Suy ra: a  b  c  Mà:  3;37  1 3. a  b  c   37 Do đó:  37 3.37  a  b  c    37 Hay: B  Vậy B khơng số phương 80 Bài 8: Cho biểu thức M 5     Chứng minh M khơng phải số phương (Đề HSG Quỳnh Lưu năm học 2018 - 2019) Lời giải 80 Ta thấy: M 5     5 80 2 Mặt khác:    5 (vì tất số chia hết cho ) 80  52 (do   52 )  M 5      Do M chia hết cho khơng chia hết cho Vậy M khơng số phương Trang 16