Cđ2 1 đa thức các phép toán đa thức

Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán dùng cho học sinh THCS – Lê Xuân Hồng – Email: xhong5678@gmail.com Trường THCS Nguyễn Văn Nghi Người biên soạn : Lê Xuân Hồng CHUYÊN ĐỀ: ĐA THỨC – CÁC PHÉP TOÁN VỀ ĐA THỨC I.CÁC ĐỊNH NGHĨA: 1)Đa thức ẩn P(x) bậc n đa thức có dạng: P  x  an x n  an  x n    a1 x  a0 Trong đó: an, an–1, … ,a1, a0 số cho trước ( an 0 ) gọi hệ số đa thức an gọi hệ số cao a0 gọi hệ số tự Người ta dùng deg P(x) để kí hiệu bậc đa thức P(x) 2)Số x0 gọi nghiệm đa thức P(x) P(x0) = 3)Cho hai đa thức P(x) Q(x) Ta nói P(x) chia hết cho Q(x) tồn đa thức h(x) cho P(x) = h(x).Q(x) Khi đa thức Q(x) ước đa thức P(x) 4)Hai đa thức P(x) Q(x) gọi nguyên tố P(x) Q(x) khơng có ước chung bậc dương 5)Cho k số nguyên dương Số x0 gọi nghiệm bội k đa thức P(x) đa thức P(x) chia hết cho đa thức (x – x0)k không chia hết cho đa thức (x – x0)k+1 6)Đa thức nguyên thuỷ đa thức với hệ số nguyên hệ số nguyên tố II.CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐA THỨC Mệnh đề 1: Giả sử P(x) Q(x) hai đa thức tuỳ ý Đặt h(x) = P(x) + Q(x) Khi h(x) đa thức deg h(x) = max{degP(x),degQ(x)} degP(x)  degQ(x) deg h(x)  max{degP(x),degQ(x)} degP(x) = degQ(x) Mệnh đề 2: Giả sử P(x) Q(x) hai đa thức tuỳ ý Đặt h(x) = P(x).Q(x) Khi h(x) đa thức P(x) 0 ; Q(x) 0 deg h(x) = degP(x) + degQ(x) Mệnh đề 3: Giả sử P(x) = h(x).Q(x), P(x) Q(x) đa thức với hệ số hữu tỉ Q(x) 0 h(x) đa thức với hệ số hữu tỉ Mệnh đề 4: (Định lý Bezout) Số x0 nghiệm đa thức P(x)  P  x  ( x  x0 ) Hệ quả: Mọi đa thức P(x) bậc n (n 1) khơng thể có q n nghiệm -Nếu đa thức P(x) bậc khơng q n lại có n + nghiệm tất hệ số Mệnh đề 5: Nếu đa thức f(x) đa thức nguyên a; b hai số nguyên phân biệt f(a) −f(b)⋮(a−b) Mệnh đề 6: (Định lý Viete): Đa thức bậc ba: Cho f ( x) ax  bx  cx  d 0 (2) Giả sử x1, x2, x3 ba nghiệm (2) Khi ta có: b c d S  x1  x2  x3  P  x1.x2  x1.x3  x2 x3  Q  x1.x2 x3  a a a –Nếu (2) có nghiệm x1, x2, x3 ta có: ax3  bx  cx  d a ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 ) *Nếu: a  b  c  d 0  ( ) có nghiệm: x1 = *Nếu a  b  c  d 0 (2) có nghiệm x1  –Nếu  nghiệm (2) thì: (2)  ( x   ) g ( x) 0 g ( x ) đa thức bậc S  xy  xz  yz ; Q  xyz –Nếu có: P x  y  z ; Khi đó: x; y; z nghiệm phương trình: X  PX  SX  Q 0 103 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán dùng cho học sinh THCS – Lê Xuân Hồng – Email: xhong5678@gmail.com n n n –Nếu x1; x2; x3 nghiệm phương trình ax  bx  cx  d 0 đặt S n  x1  x2  x3 ta có hệ thức: aS n  bS n   cS n  dS n  0 n n Đa thức bậc n: Giả sử đa thức P  x  an x  an  x   a1 x  a0 có nghiệm x1, x2, …, xn Khi ta có đẳng thức sau: x1  x2   xn  an  an x1 x2  x2 x3   xn  xn  an  an x1 x2 x3  x2 x3 x4   xn  xn xn  an  an … x1 x2 x3 xn   1 n a0 an Mệnh đề 7: (Định lý Viete đảo) Nếu số thực x1, x2, …, xn thoả mãn hệ: S k   1 k an  k , k 1, n an n Khi x1, x2, …, xn n nghiệm đa thức bậc n: P  x  an x  an  x Mệnh đề 8: (Định lý nghiệm hữu tỉ đa thức với hệ số nguyên) Cho đa thức: f ( x) a0 x n  a1 x n    an  x  an (ai  , a0 0) n   a1 x  a0 p ; ( p, q) 1 nghiệm f ( x) p / an q / a0 q f (1) f ( 1) – Giả sử  nghiệm f ( x) ,  1 , đó: số nguyên 1  1 f (1) f ( 1) f (1) f ( 1)     Ta dùng tính chất để loại     Lưu ý: Nếu q p q p 1  1 – Nếu phân số trừ nghiệm – Vậy 1 không nghiệm f ( x) nghiệm hữu tỉ f ( x) thuộc tập hợp: p  f (1) f ( 1) S    ( p, q) 1, p / an , q / a0 ,  ,   q p qp q  n n Hệ quả: Nếu đa thức P  x  an x  an  x   a1 x  a0 , nguyên i 0; n  Khi P(x) có nghiệm hữu tỉ nghiệm hữu tỉ P(x) số nguyên ước số hệ số a0 Mệnh đề 9: Nếu  ,  mà f ( ) f (  )  đa thức f ( x) có nghiệm khoảng ( ;  ) 104 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán dùng cho học sinh THCS – Lê Xuân Hồng – Email: xhong5678@gmail.com IV.CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐA THỨC: 1.Kiến thức bản: 1)Đơn thức nhân đa thức: A(B + C) = A.B + A.C 2)Đơn thức nhân đa thức: (A + B).(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D 3)Bảy đẳng thức đáng nhớ: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A + B)2 = A2 – 2AB + B2 A2 – B2 = (A + B)(A – B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A – B)3 = A3 + 3A2B – 3AB2 + B3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) 4)Các đẳng thức đáng nhớ mở rộng: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(a + c)(b + c) a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – ac – bc) n  N , n  n  N , n  , n lẻ n! k đó: Cn  k ! n  k !   a n  b n (a  b)(a n   a n  2b  a n  3b   a 2b n   ab n   b n  ) a n  b n (a  b)(a n   a n  2b  a n  3b   a 2b n   ab n   b n  ) n n k k n k Nhị thức Newton:  a  b   Cn a b k 0 2.Bài tập (tự luyện): Bài 1: Làm tính nhân: 1)(x + 1)(x2 – x + 1) 3)(x – y)(x2 + xy + y2) 2)(x + 3)(x2 + 3x – 5) 4)( xy – 1).(x3 – 2x – 6) 5)(x2 –2x+3)(x–4) 6)(2x3 –3x –1)(5x+2) 7)( 25x2 + 10xy + 4y2)(5x – 2y) 8)(5x3 – x2 + 2x – 3)( 4x2 – x + 2) 9)(2x –1)(3x + 2)(3 – x) 10)(x +1)(3x – 2)(3 – 2x) 11)(2x –3)(x – 2)(3 + x) 12)(x +2)(x – 2)(3 – 2x) 13)(2 + x)(2 – x)(4 + x2) 14)(x2 – 2xy + 2y2)(x – y)(x + y) Bài 2: Rút gọn biểu thức 1)(2x–3y)(2x+3y) – 4(x–y)2 – 8xy 2) (3x–1)2 – 2(3x–1)(2x+3) + (2x+ 3)2 2 3)2x(2x–1) – 3x(x–3)(x+3) – 4x(x+1) 4) (a–b+c)2 – (b–c)2 + 2ab – 2ac 5)(x–2)3– x(x+1)(x–1) + 6x(x–3) 6) (x–2)(x2–2x+4) – (x+2)(x2+2x+4) Bài 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến A= (3x – 5)(2x + 11) – (2x + 3)(3x + 7) B = (2x + 3)(4x2 – 6x + 9) – 2(4x3 – 1) C = x(x2 + x + 1) – x2( x + 1) – x +5 D=  3x    x  11   x  3  3x   Bài 4: Tìm x 1)x(x – 1) – x2 + 2x = 2)2x3(2x – 3) – x2(4x2 – 6x + 2) = 3)10( 3x – 2) – 3(5x + 2) + 5( 11 – 4x) = 25 4) (3x + 2)(x – 1) – 3(x + 1)(x – 2) = Bài 5: Chứng minh: 1)( x – y)(x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4) = x5 – y5 2) ( x  y)( x  x y  x y  xy3  y )  x  y 3) ( x  y)( x  x y  x y  xy3  y ) x  y 105 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán dùng cho học sinh THCS – Lê Xuân Hồng – Email: xhong5678@gmail.com 4) (a  b)(a3  a2b  ab2  b3 ) a  b 5)(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc Bài 6: Thực phép tính thu gọn biểu thức: 1)(3x – 5)(2x + 1) + (3x – 1)2 2)(2x – 1)3 – 3(x – 1)(x + 2)(x – 2) 3)(1 – 3x)2 – 9(2 – x)(x + 5) 4)2x(x +1)(x – 2) + x(2x + 3)(3 – x) 5)3(x – 5)(5 + x) + 2(1 + 2x) 6)(1 – x)3 – (1 + x)(x2 – x + 1) 7)2(x + 2)(x – 2x + 4) – (3 – x)(x + 3) 8)x(x – 5)(5 + x) + 2(x – 1)2 9)(1 – 2x)(2x + 1) + (x + 2)2 – (1 – x)2 10)(1 + 4x)2 – (2 – 3x)2 + x(x – 5)(1 + x) 11)(2 – x)(1 + x)(x + 2) – (1 – 2x)3 12)(x + 1)(x2 – 3x +2) + 2x(x2 – x +3) 13)(2x2 – + x)(1 + x2 –x) – x2(x+1)2 14)(x – y – 1)(x + y + 1) – (x + y)2 V.CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC 1.DẠNG TOÁN XÁC ĐỊNH BẬC CỦA ĐA THỨC Bài 1: Cho đa thức P(x) = (1 – 3x + 3x2)2002(1 + 3x – 3x2)2003 Tìm tổng hệ số đa thức có sau khai triển, bỏ dấu ngoặc ước lượng số hạng đồng dạng Hướng dẫn: S = P(1) = Bài 2: Cho đa thức P(x) = (x27 + x7 – 1)2002 Tìm tổng hệ số lũy thừa bậc lẻ đa thức sau khai triển, bỏ dấu ngoặc ước lượng số hạng đồng dạng Hướng dẫn: degP(x) = 27.2002 với hệ số luỹ thừa cao  đa thức P(x) đa thức bậc chẵn Giả sử sau khai triển rút gọn đa thức P(x) cho có dạng P(x) = x27.2002 + an-1xn-1 + …+a1x + a0 P(1) = + an–1 + an–2 + … + a1 + a0 P(–1) = – an–1 + an–2 – … – a1 + a0 P(1) – P(–1) = 2(an–1 + an–3 + …+ a1) Đặt S = an–1 + a n–3 + …+ a1 (tổng hệ số lũy thừa bậc lẻ) Mặt khác: P(1) = (1 + – 1)2002 = P(–1) = (–1 – – 1)2002 = 32002  32002 P(1) – P(–1) = 1–32002 = 2S  S= 2 Bài (hs tự làm): Cho đa thức P(x) = (x + x + 1)1001 Gọi a0, a1, a2, … , a2002 hệ số đa thức nói (trong dạng tắc P(x) = a2002x2002 + a2001x2001 + …+ a1x + a0 ) Đặt: m = a0 + a2 + a4 + … + a2002; n= a1 + a3 + a5 + … + a2001 Xác định tính chẵn, lẻ số m n 2.DẠNG TOÁN VỀ TÍNH CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC Phương pháp chính: -Dùng định lý Bezout hệ -Lược đồ Horner Dạng 1: Tìm dư phép chia mà khơng thực phép chia 1)Đa thức chia có dạng x – a (a: const) -Dùng định lý Bezout -f(x) có tổng hệ số chia hết chi x – -f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ chia hết cho x + 106 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán dùng cho học sinh THCS – Lê Xuân Hồng – Email: xhong5678@gmail.com 2)Đa thức chia có bậc trở lên -Cách 1: Tách đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia dư Cách -Cách 2: Xét giá trị riêng: gọi thương phép chia Q(x), dư ax + b thì: f(x) =g(x).Q(x) + ax + b -Cách 3: Dùng sơ đồ Horner Ví dụ: Tìm thương dư phép chia P(x) = x7 – 2x5 – 3x4 + x – cho (x + 5) Sử dụng lược đồ Hoocner, ta có: –2 –3 0 –1 –5 –5 23 –118 590 –2950 14751 –73756  x7 – 2x5 – 3x4 + x – = (x + 5)(x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2950x + 14751) – 73756 Bài 1: a)Tìm dư chia đa thức x100 – 2x51 + cho x2 – b)Tìm dư chia đa thức x100 – 2x51 + cho x2 + Hướng dẫn : a)Ta có: f(x) = x100 – 2x51 + = (x2 –1).q(x) + ax + b f(1) = = a + b f(–1) = = –a + b  a = –2; b = Vậy dư : –2x+2 b)Học sinh tự làm Ta có: f(x) = (x100+x2) – (2x51+2x) – (x2+1) + (2x+2) f(x) = x2(x98+1) – 2x(x50+1) – (x2+1) + (2x+2) Vì : x2(x98+1) (x2+1); 2x(x50+1) (x2+1); (x2+1) (x2+1)  f(x) chia cho (x2+1) dư 2x+2 Dạng 2: Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác Cách 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có thừa số đa thức chia Cách 2: Biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia Cách 3: Biến đổi f(x) g(x)  f (x) g(x) g(x) Cách 4: Chứng tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia Bài 1: Chứng minh rằng: x50+x10+1 chia hết cho x20+x10+1 Hướng dẫn: Đặt x10=t  cần chứng minh t5+t+1 t2+t+1 Có t5+t+1 = t5 – t2 + t2 + t + = t2(t – 1)(t2 + t + 1) + (t2 + t + 1) t2+t+1 Chứng tỏ x50+x10+1 chia hết cho x20+x10+1 Bài 2: Chứng minh: (x2 – x9 – x1945)  (x2 – x + 1) Hướng dẫn: x2 – x9 – x1945 = (x2 – x + 1) + (–x9 –1) + (–x1945 + x) Có: x2 – x + x2 – x + x9+1 x3+1 nên x9+1 x2 – x + x1945 – x = x(x1944 – 1) = x((x6)324 – 1) x6 – nên x1945 – x x3+1 nên x1945 –x x2 – x + Chứng tỏ: (x2 – x9 – x1945)  (x2 – x + 1) Bài 3: Chứng minh f(x)=x99 + x88 + … + x11 +1 chia hết cho g(x)=x9 + x8 + … + x + 107 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán dùng cho học sinh THCS – Lê Xuân Hồng – Email: xhong5678@gmail.com Hướng dẫn: Ta có : f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + … + x11 – x + – =x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + x(x10 – 1) chia hết cho x10 – Mà x10 – = (x – 1)(x9 + x8 + … + x + 1) chia hết cho x9 + x8 + … + x + Suy f(x) – g(x) chia hết cho g(x) = x9 + x8 + … + x + Vậy f(x) = x99 + x88 + … + x11 +1 chia hết cho g(x) = x9 + x8 + … + x + Bài tập tự luyện Bài Tìm a, b để phép chia sau phép chia hết: 1)(2x3–3x+4x2– a): (x–2) 2)(x3+ ax2–4): (x2+4x+4) 3)(x3–3x – a) : (x+1)2 4)(x4–3x3–6x + a): (x2–3x–2) 5)(x4 – x3 + 6x2 – x + a) : (x2 – x + 5) 6)(3x3 + 10x2 – + a) : (3x + 1) 7)(x – 3x + a) : (x – 1) 8)(2n2 + n – 7) : (n – 2) 9)(x3 + x2 + a – x) : (x + 1)2 10)(x4 – x3 + 6x2 – x + a) : (x2 – x + 5) 11)(2x3 – 3x2 + x + a) : (x + 2) 12)(3x3 + ax2 + bx + 9) : (x + 3)( x – 3) Bài 2: 1)Tìm a,b để đa thức A(x) = 2x3 + x2 + ax + b chia hết cho B(x) = x2 + x – 2)Cho: P(x) = x3 +5x2 +3x + m Q(x) = x2 + 4x –1 Tìm m để P(x) chia hết cho Q(x) 3)Cho: P(x) = x3 3x2 +5x + m +1 Q(x) = x –2.Tìm m để P(x) chia hết cho Q(x) 4)Tìm a,b để đa thức A(x) = 2x3 – x2 + ax + b chia hết cho B(x) = x2 – 5)Tìm x để phép chia (5x3 – 3x2 + 7) : ( x2 + 1) có dư 6)Cho: P(x) = 3x2 +mx + 27 Q(x) = x + 5.Tìm m để P(x) chia hết cho Q(x) có dư 7)Tìm m để phép chia (2x2 – x + m) : ( 2x – 5) có dư –10 10 x  x  2x  8)Tìm x  Z để biểu thức M có giá trị số nguyên: M  Bài 3: Tìm giá trị nguyên n a)Để giá trị biểu thức 3n3 + 10n2 – chia hết cho giá trị biểu thức 3n+1 b)Để giá trị biểu thức 10n2 + n – 10 chia hết cho giá trị biểu thức n – c)Để đa thức x4 – x3 + 6x2 – x + n chia hết cho đa thức x2 – x + d)Để đa thức 3x3 + 10x2 – chia hết cho đa thức 3x + Bài 4: Tìm dư phép chia: a)x7 + x5 + x3 + cho x2–1 b)x41 cho x2+1 c)x27 + x9 + x3 + x cho x2–1 d)x99 + x55 + x11 + x +7 cho x2+1 Bài 5: Chứng minh rằng: a)x8n + x4n + chia hết cho x2n + xn + b)x3m+1 + x3n+2 + chia hết cho x2 + x + với m, n c)(x2 + x – 1)10 + (x2 – x + 1)10 – chia hết cho x2 – x d)(x+1)2n – x2n – 2x – chia hết cho x(x + 1)(2x + 1) Bài 6: Tìm m; n; p cho đa thức f(x) = x5+ 2,734152x4 – 3,251437x3 + mx2 + nx + p chia hết cho đa thức g(x) = (x2– 4)(x+3) Bài 7: Cho hai đa thức P(x)=x4+5x3– 4x2+3x+m Q(x)=x4+4x3–3x2+2x+n a)Tìm giá trị m n để P(x) Q(x) chia hết cho x–2 b)Hãy chứng tỏ đa thức R(x)=P(x) – Q(x) có nghiệm với giá trị m n vừa tìm Bài 8: Tìm a b cho hai đa thức f(x) = 4x3 – 3x2 + 2x + 2a + 3b g(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x –3a + 2b chia hết cho (x – 3) Bài 9: Cho P(x) đa thức bậc với hệ số nguyên Giả sử đa thức P(x) chia hết cho với x nguyên Chứng minh tất hệ số đa thức P(x) chia hết cho 7? 108 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán dùng cho học sinh THCS – Lê Xuân Hồng – Email: xhong5678@gmail.com Hướng dẫn: Xét đa thức P(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e với a,b,c,d,e∈Z a≠0 Ta có P(x)⋮7 (∀x∈Z) nên: P(0)⋮7⇒e⋮7 P(1)=a+b+c+d+e⋮7 P(−1)=a−b+c−d+e⋮7 Suy ra: P(1)+P(−1)=2a+2c+2e⋮7⇒a+c⋮7 P(1)−P(−1)=2b+2d⋮7⇒b+d⋮7 P(2)=16a+8b+4c+2d+e⋮7⇒2a+b+4c+2d⋮7⇒2c+d⋮7 P(−2)=16a−8b+4c−2d+e⋮7 ⇒P(2)+P(−2)=32a+8c+2e⋮7⇒4a+c⋮7⇒P(2)+P(−2)=32a+8c+2e⋮7⇒4a+c⋮7 Mà a+c⋮7 3a⋮7 nên a⋮7 Bài 10: Cho p q số nguyên Tìm điều kiện p q để đa thức bậc ba P(x) = x + px + q nhận giá trị chia hết cho với x nguyên Bài 11: Chứng minh với giá trị nguyên dương n, ta có đa thức P(x) = (x + 1)2n+1 + xn+2 chia hết cho đa thức Q(x) = x2 + x + Hướng dẫn: Sử dụng: Quy nạp Với n = 0, điều phải chứng minh hiển nhiên Giả sử toán n = k, nghĩa là: (x+1)2k+1 + xk+2 chia hết cho x2 + x + Ta chứng minh tốn cịn n = k+1 n=k + : (x + 1)2n+1 + xn+2 = (x + 1)2k+3 + xk+3 Ta có: (x+1)2k+3 + xk+3 = (x + 1)2.(x+1)2k+1 + xk+3 = (x2+2x+1)(x+1)2k+1 + xk+3 = (x2+x+1)(x+1)2k+1+ x.(x+1)2k+1 + xk+3  x(x+1)2k+1 + xk+3 = x((x+1)2k+1 + xk+2)  (mod (x2+x+1) Vậy, toán n = k + Bài 12: Cho đa thức P(x) = xm + xn + Biết P(x) chia hết cho x2 + x + Chứng minh đa thức Q(x) = x2m + x 2n + chia hết cho đa thức x4 + x2 + Bài 13: Cho đa thức P(x) = (x2 –2).(x2 –3).(x2 – 6) Chứng minh với số nguyên tố p tìm số nguyên dương n để P(n) chia hết cho p 3.DẠNG TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC Dạng 1: Tìm đa thức thương phương pháp đồng hệ số, phương pháp giá trị riêng, thực phép chia đa thức Phương pháp 1: Nếu hai đa thức P(x) = Q(x) hạng tử bậc hai đa thức phải có hệ số Phương pháp 2: Cho hai đa thức P(x), Q(x) deg P(x) > deg Q(x) Gọi thương dư phép chia P(x) cho Q(x) M(x) N(x) Khi ta có P(x) = M(x).Q(x) +N(x) (Trong degN(x) < deg Q(x)) (*) Vì (*) với x nên ta cho x lấy giá trị x = k (k : const) Sau ta giải phương trình hệ phương trình để tìm hệ số hạng tử đa thức Ví dụ: Cho đa thức A(x) = a2x3 + 3ax2 – 6x – 2a (a Q) xác định a cho A(x) chia hết cho x + 1? Gọi thương phép chia A(x) cho x + Q(x), ta có: a2x3 + 3ax2 – 6x – 2a = (x + 1) Q(x) Vì đẳng thức đùng với x nên ta cho x = –1, ta được: a = –2 a = Với a = –2 A(x) = 4x3 – 6x2 – 6x + Q(x) = 4x 2– 10x + Với a = A(x) = 9x3 + 9x2 – 6x – Q(x) = 9x2 – 109 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán dùng cho học sinh THCS – Lê Xuân Hồng – Email: xhong5678@gmail.com Phương pháp 3: Thực phép chia đa thức Dạng 2: Phương pháp nội suy Newton: Nếu có số: (x1, x2, x3, … xn+1) (y1, y2, y3, … yn+1) tồn đa thức f(x) có bậc n thỏa mãn: f(x1) = y1; f(x2) = y2; f(x3) = y3; … f(xn+1) = yn+1; Đa thức f(x) có dạng: f(x) = a1 + a2(x – x1) + a3(x – x1)(x – x2) + … + an+1(x – x1)(x – x2)…(x – xn) Để tìm số a1, a2, a3, … ,an+1 ta tính f(x1), f(x2), f(x3), … f(xn+1) Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x) biết P(0) = 25; P(1) = 7; P(2) = –9 Theo công thức nội suy newton, có đa thức bậc thỏa mãn yêu cầu Đặt P(x) = b1 + b2x+ b3.x(x–1) (*) Thay x 0, 1, vào (*) ta được: b1 = 25; b2= –18; b3=1 Vậy đa thức cần tìm có dạng P(x) = x2 – 19x + 25 Bài 2: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51 Tìm đa thức P(x) Áp dụng cơng thức nội suy Newton: Có đa thức Q(x) bậc thỏa: Q(1) = 3, Q(2) = 9, Q(3) = 19, Q(4) = 33, Q(5) = 51 Đó đa thức có dạng: Q(x) = a1+a2(x – 1)+a3(x – 1)(x – 2) + a4(x – 1)(x – 2) (x – 3) + a5(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) x =  Q(1) = a1 =  a2 = x =  Q(2) = a1+a2(x – 1) = + a2(2 – 1) =   a3 = x = Q(3) = a1+a2(x–1)+a3(x–1)(x–2) = + 6(3–1)+a3(3–1)(3–2) = 19 x =  Q(4) = a1+a2(x – 1)+a3(x – 1)(x – 2) + a4(x – 1)(x – 2) (x – 3)  a4 = = +6(4–1)+2(4–1)(4–2)+a4(4–1)(4–2)(4–3) = 33 x =  Q(5) = +6(5–1)+2(5–1)(5–2)+0(5–1)(5–2)(5–3)+a5(5–1)(5–2)(5–3)(5–4) = 51  a5 = Vậy: Q(x) = + 6(x – 1) + 2(x – 1)(x – 2) Vì P(x) Q(x) có giá trị x = 1; 2; 3; 4; nên: H(x) = P(x) – Q(x) nhận giá trị 1, 2, 3, 4, làm nghiệm Vì P(x) đa thức bậc có hệ số cao 1; Q(x) đa thức bậc nên H(x) đa thức bậc có hệ số cao  H(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) Mà H(x) = P(x) – Q(x)  P(x) = H(x) + Q(x)  P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + + 6(x – 1) + 2(x – 1)(x – 2) Bài 3: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ? Hướng dẫn: Cách 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) cho: + Bậc H(x) nhỏ bậc P(x) Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = H ( x)  a1 x  b1 x3  c1 x  d1 x  e Vậy: Q  x   P  x   a1 x  b1x  c1x  d1 x  e Vì Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = nên ta có: 110 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán dùng cho học sinh THCS – Lê Xuân Hồng – Email: xhong5678@gmail.com  a1  b1  c1  d1  e1  0 16a  8b  4c  2d  e  0 1 1   a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = –1 81a1  27b1  9c1  3d1  e1  0  256a  64b  16c  4d  e  16 0 1 1  625a1  125b1  25c1  5d1  e1  25 0 Vậy ta có: Q(x) = P(x) – x2 Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = nghiệm Q(x), mà bậc Q(x) có hệ số x nên: Q(x) = P(x) – x2 = (x –1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5)  P(x) = (x –1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 Từ tính được: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = Cách 2: Áp dụng công thức nội suy Neuton (đây cách tốt cho toán dạng này) Bài tập tự luyện: Bài 1: Xác định giá trị k để đa thức f(x) = x4 – 9x3 + 21x2 + x + k chia hết cho đa thức g(x) = x2 – x – ? Bài 2: Tím số a, b, c cho x3 + ax + b chia cho x + dư 7, chia cho x – dư –5? Bài 3: Tìm số a, b, c cho ax3 + bx2 + c chia hết cho x + 2, chia cho x2 – dư x + 5? Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x) thoả mãn P(–1) = P(x) – P(x –1) = x(x+1)(2x+1) a)Xác định P(x) b)Suy giá trị tổng S = 1.2.3 + 2.3.5 + … +n(n+1)(2n+1) với n N* Bài 5: Cho P(x) đa thức với hệ số nguyên không âm không lớn Giả sử P(9) = 32087 Hãy tìm đa thức P(x)? Hướng dẫn: n n Giả sử đa thức cần tìm có dạng: P  x  an x  an  x   a1 x  a0 n n Theo giả thiết thì: P   an  an    a1  a0 32078 Vì ai, i 1, n số nguyên không âm nhỏ nên: P   an 9n  an 9n    a1  a0 an an  a0 9 32078 Trong đó: an an  a0 9 biểu diễn 32078 hệ đếm số 32078=48002(9) Nên an an  a0 9 48002  n 4, a4 4, a3 8, a2 0, a1 0, a0 2 Suy đa thức cần tìm là: P(x)=4x4 +8x3 +2 Thử lại thấy Cách đổi từ hệ thập phân sang hệ số 9: Số bị chia Số chia Thương 32078 chia cho 3564 3564 396 396 44 44 4 Vậy: 32078=48002(9) Bài 6: Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c (a, b, c 0 ) Cho biết 2a + 3b + 6c =  1   a)Tính a, b, c theo P(0); P   ; P(1)? 111 Dư 0 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán dùng cho học sinh THCS – Lê Xuân Hồng – Email: xhong5678@gmail.com  1   b)Chứng minh P(0); P   ; P(1) âm dương? Bài 7: Tìm đa thức bậc hai biết: P(0) = 19 ; P(1) = 85 ; P(2) = 1985? Bài 8: Cho P(x) đa thức với hệ số nguyên không âm không lớn Giả sử P(9) = 32087 Hãy tìm đa thức P(x)? 4.DẠNG TỐN VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC – GIÁ TRỊ CỦA ĐA THỨC: Bài 1: Cho f(x) đa thức với hệ số nguyên Biết f(0), f(1) số lẻ chứng minh f(x) khơng có nghiệm ngun? Hướng dẫn Giả sử x = a nghiệm nguyên f(x) f(x) = (x–a).Q(x) Trong Q(x) đa thức có hệ số nguyên, đó: f(0) = a.Q(0) f(1) = (1–a).Q(1) Do f(0) số lẻ nên a số lẻ, f(1) số lẻ nên – a số lẻ Mà 1– a hiệu hai số lẻ số lẻ (mâu thuẩn) Vậy f(x) khơng có nghiệm nguyên Bài 2: Cho đa thức P(x) = 6x5 + ax4 + bx3 + x2 + cx + 450, biết đa thức P(x) chia hết cho đa thức x – 2; x – 3; x – Hãy tìm a, b, c nghiệm P(x) Hướng dẫn: P(2)=192+16a+8b+4+2c+450=0 c+4b+8a = –323 P(3)=1458+81a+27b+9+3c+450=0 c+9b+27a = –639 P(5)=18750+625a+125b+25+5c+450=0 c+25b+125a=–3845 Kết : a = –59 ; b = 161 ; c = –495 Ta có: P(x)=(x–2)(x–3)(x–5)(mx2+nx+q) m = 6; n= ; q = –15 P(x)=(x–2)(x–3)(x–5)(6x2+x–15)= )=(x–2)(x–3)(x–5)(3x+5)(2x–3) 3 Vậy nghiệm P(x) là: x= 2; 3; 5;  ; Bài 3: Cho đa thức P(x) đa thức bậc có hệ số cao cho P(2016)=2017 P(2017) = 2018 Tính giá trị −3P(2018) + P(2019) Hướng dẫn: Xét đa thức Q(x) = P(x) − (x+1) Dễ thấy Q(x) đa thức bậc Từ giả thiết suy Q(2016) = Q(2017) = 0, nên 2016 2017 nghiệm Q(x) Do Q(x) = (x−a)(x−2016)(x−2017) Suy P(x) = Q(x) + x+1= (x−a)(x−2016)(x−2017) + x+1 Vậy −3P(2018)+P(2019) = −4031 Bài 4: Cho đa thức f(x) bậc với hệ số x3 k, k  Z thoả mãn: f(1999) = 2000; f(2000) = 2001 Chứng minh rằng: f(2001) – f(1998) hợp số Hướng dẫn : Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b) Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 1999a  b  2000 0    2000a  b  2001 0 a    g(x) = f(x) – x – b  Tính giá trị f(x): Do bậc f(x) nên bậc g(x) g(x) chia hết cho: (x – 1999), (x – 2000) nên: g(x) = k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0)  f(x) = k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0) + x + 112 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán dùng cho học sinh THCS – Lê Xuân Hồng – Email: xhong5678@gmail.com Từ tính được: f(2001) – f(1998) = 3(2k + 1) hợp số Bài 5: Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số bậc cao thoả mãn: f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27 Tính giá trị A  f     f   Hướng dẫn : -Tồn đa thức bậc g(x) nhận giá trị 1; 3; nghiệm nên: Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Tìm a, b, c cho g(1) = g(3) = g(5) = Từ suy ra: a, b, c nghiệm hệ phương trình: a  b  c  0  9a  3b  c  11 0 25a  5b  c  27 0   a    b 0 c    g(x) = f(x) – x2 – -Vì f(x) bậc nên g(x) có bậc g(x) chia hết cho (x – 1), (x – 3), (x – 5),  g  x   x  1  x  3  x  5  x  x0   f  x   x  1  x  3  x    x  x0   x  Ta tính được: A = f(–2) + 7f(6) = Bài 6: Cho đa thức P( x)  13 82 32 x  x  x  x  x 630 21 30 63 35 a) Tính giá trị đa thức x = –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; b) Chứng minh P(x) nhận giá trị nguyên với x nguyên Hướng dẫn : a)Khi x = –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; (tính máy) P(x) = b) Do 630 = 2.5.7.9 x = –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; nghiệm đa thức P(x) nê : P( x)  ( x  4)( x  3)( x  2)( x  1) x( x  1)( x  2)( x  3)( x  4) 2.5.7.9 Vì số ngun liên tiếp ln tìm số chia hết cho 2, 5, 7, nên với x ngun tích: ( x  4)( x  3)( x  2)( x  1) x( x  1)( x  2)( x  3( x  4) chia hết cho 2.5.7.9 (tích số nguyên tố nhau) Chứng tỏ P(x) số nguyên với x nguyên Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11 Tính P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.Dẫn: Ta có: P(x) = (x –1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) + x( x  1) Bài 2: Cho đa thức f(x) bậc Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức) Hướng dẫn : f ( x)  x  25 x  12 x  10 Bài 3: Cho đa thức f(x) bậc biết chia f(x) cho (x – 1), (x – 2), (x – 3) dư f(–1) = –18 Tính f(2005) = ? Hướng Dẫn: -Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = có f(–1) = –18 -Ta : f(x) = x3 - 6x2 + 11x 113 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán dùng cho học sinh THCS – Lê Xuân Hồng – Email: xhong5678@gmail.com 5.CỰC TRỊ CỦA ĐA THỨC Định nghĩa giá trị lớn (GTLN): Cho đa thức P(x) xác định R Ta nói M giá trị lớn P(x) R Kí hiệu M = maxP(x), hai điều kiện sau thỏa mãn +  x  R P(x) M, M số +  xo  R cho P(x0)= M Định nghĩa giá trị nhỏ (GTNN): Cho biểu thức P(x) xác định R Ta nói m giá trị nhỏ P(x) R, kí hiệu m = P(x), hai điều kiện sau thỏa mãn: +  x  R P(x) m, m số +  xo  R cho P(x0)= m Ví dụ : Xét biểu thức A = (x – 1)2 + (x – 3)2 Mặc dù ta có A 0 chưa thể kết luận Min A = khơng tồn giá trị x để A= Cách giải sau : A = x2 – 2x + + x2 – 6x + = 2(x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 A =  x – =  x = Vậy Min A = x = Định lý dấu nhị thức bậc Nhị thức ax + b (a 0) dấu với a với giá trị x lớn nghiệm nhị thức, trái dấu với a với giá trị x nhỏ nghiệm nhị thức x -b/a ax + b Trái dấu với a Cùng dấu với a Các mệnh đề tương đương: A nhỏ  – A lớn B lớn  B2 lớn (B > 0) C nhỏ  lớn (C > 0) C CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN 1.Biểu thức đa thức bậc 2: Phương pháp: Sử dụng hai đẳng thức (a  b) a  2ab  b (a  b)2 a  2ab  b để phân tích đưa tốn hai dạng : Dạng 1: A B  C (Nếu hệ số lũy thừa bậc dương) Khi : A B  C C  MinA C Dạng 2: A  B  C (Nếu hệ số lũy thừa bậc âm) Khi : A  B  C C  MaxA C Bài tập tự luyện Bài : Tìm Min : A x  x 1 B x  x 1 C x  x  F x  3x  G 2 x  x  H 3 x  x  P 9 x  x  Q 4 x  x  Y  5x2  2x X x  x  D x2  x  I  x2  2x  U 3 x   Y  x  3x  1 E  x2  x  O 3x  x Z 2 x  x  S x  3x  y  y  V 3 x  x  Q 2 x  x  W  3x  x  E  x  x  R  2x2  x  Bài : Tìm Max: A 1  x  x 114 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán dùng cho học sinh THCS – Lê Xuân Hồng – Email: xhong5678@gmail.com T  x  x S  x  x   x2  x 1 Q  m  m  U  x2  x 1 U  2m  3m  O P (  2) x  V  3m  m  Bài 3: Tìm giá trị nhỏ a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) = (x2 – 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + A = (y – 6)(y + 6) = y2 – 36  – 36 Min A = – 36  y =  x2 – 7x + =  (x – 1)(x – 6) =  x = x = b) B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + = (x2 – 2xy + y2) + (x2 – 2x + 1) + x  y   x=y=1 x   = (x – y)2 + (x – 1)2 +    c) C = x2 + xy + y2 – 3x – 3y = x2 – 2x + y2 – 2y + xy – x – y Ta có C + = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y + 1) + (xy – x – y + 1) = (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – 1)(y – 1) Đặt x – = a; y – = b b b b2 3b 3b 0 + )+ = (a + )2 + 2 4 Min (C + 3) = hay C = –  a = b =  x = y = C + = a2 + b2 + ab = (a2 + 2.a Bài 4: Tìm giá trị nhỏ a) C = (x + 8)4 + (x + 6)4 Đặt x + = y  C = (y + 1)4 + (y – 1)4 = y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + + y4 – 4y3 + 6y2 – 4y + = 2y4 + 12y2 +   A =  y =  x = – b) D = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + = (x4 – 6x3 + 9x2 ) + (x2 – 6x + 9) = (x2 – 3x)2 + (x – 3)2   D =  x = Bài Tìm GTLN A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) Hướng dẫn: Vì (x2 – 3x + 1) + (21 + 3x – x2) = 22 khơng đổi nên tích (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) lớn x2 – 3x + = 21 + 3x – x2  x2 – 3x – 10 =  x = x = – Khi A = 11.11 = 121  Max A = 121  x = x = – 2.Dạng phân thức: Bài 1: Tìm GTNN A = 2  = x  x  (3 x  1)  6x   9x2 Hướng dẫn: Vì (3x – 1)2   (3x – 1)2 +  1 2 2     A – 2 (3x - 1)  4 (3x - 1)  4 1 A = –  3x – =  x =  Bài 2: Tìm GTNN A = 3x  x  x2  x  Hướng dẫn: Cách 1: Tách tử thành nhóm có nhân tử chung với mẫu 115 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán dùng cho học sinh THCS – Lê Xuân Hồng – Email: xhong5678@gmail.com 3x  8x  3( x  x  1)  2( x  1)   3   2 x  2x  ( x  1) x  ( x  1) Đặt y = Thì x-1 A = – 2y + y2 = (y – 1)2 +   A =  y =  =1  x=2 x A= Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng số với phân thức không âm 3x  x  2( x  x  1)  ( x  x  4) ( x  2)  2  2 A= x  x 1 ( x  1) ( x  1)  A =  x – =  x = Bài 3: Tìm GTLN B = x x  20x + 100 Hướng dẫn: x x 1   x =  10 Đặt y = x  20x + 100 (x + 10) y x + 10 1 1 B = (  10 ).y2 = –10y2 + y = –10(y2 – 2.y y + )+ y 20 400 40 Ta có B = 2 1 1   = –10  y   + 40 40 10   1  y  x = 10 Max B = =0  y= 40 10 10 Bài 4: Tìm GTNN C = x + y2 x + 2xy + y Hướng dẫn:  ( x  y )  ( x  y )  x y 1 ( x  y )2 Ta có: C =     x  xy  y ( x  y)2 2 ( x  y)2  A =  x=y 2 Bài 5: Tìm GTNN, GTLN (Cực trị) A =  4x x2 1 Hướng dẫn:  x (4 x  x  4)  ( x  1) ( x  2)     x2 1 x2 1 x 1  A = –1  x =  x (4 x  4)  (4 x  x  1) (2 x  1)    4 Ta lại có: A = x 1 x2 1 x2 1  max A =  x =  Ta có: A = 116 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán dùng cho học sinh THCS – Lê Xuân Hồng – Email: xhong5678@gmail.com Bài 6: Tìm GTNN B = (x + 4)(x + 9) x Hướng dẫn: (x + 4)(x + 9) x  13x + 36 36  x +  13 x x x 36 36 Vì số x có tích x = 36 khơng đổi x x 36 36  x=6 nên x + nhỏ  x = x x 36  A= x+  13 nhỏ A = 25  x = x x2  x 1 Bài 7: Tìm GTLN, GTNN của: A = x  x 1 Ta có: B = Hướng dẫn: Biểu thức A nhận giá trị a phương trình sau có nghiệm a= x2  x 1 (1) x2  x 1 Do x2 + x +  nên (1)  ax2 + ax + a = x2 – x –  (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = (2) Trường hợp 1: Nếu a = (2) có nghiệm x = Trường hợp 2: Nếu a  điều kiện cần đủ để (2) có nghiệm  0, tức là: (a +1)2 – 4(a – 1)2   (a + + 2a – 2) (a + – 2a +2)   (3a – 1) (a – 3)   a 3 (a  1)  (a  1) a 1  a = nghiệm (2) : x  2(a  1) 2(1  a ) Với a = x = Với a = Với a = x = –1 Gộp hai trường hợp (1) (2), ta có: MinA = x = MaxA = x = –1 Nhận xét: -Phương pháp giải gọi phương pháp miền giá trị hàm số 1  x2  x 1 Đoạn  ;3 tập giá trị hàm số A = 3  x  x 1 -Cách khác tìm GTLN A: A= 3x  x   x  x  2( x  1)   3 x2  x 1 x  x 1 MaxA = x = –1 -Cách khác tìm GTNN A: 117 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán dùng cho học sinh THCS – Lê Xuân Hồng – Email: xhong5678@gmail.com 3x  x  x2  x 1 2( x  x  1) 2( x  1)      3x  x  3( x  x  1) 3( x  x  1) x  x  MinA = x = x2  4x  Bài 8: Tìm GTLN GTNN của: A = x2 1 A= Hướng dẫn: Biểu thức A nhận giá trị a phươg trình sau có nghiệm a= x2  4x  x2 1 (1) Do x2 + > nên (1)  x2(a – 2) – 4x + a – = Trường hợp 1: Nếu a = (2) có nghiệm x = – (2) Trường hợp 2: Nếu a  phương trình (2) có nghiệm   ' = – (a – 2)(a – 5)   a  a  0  a 6  a 2  Với a = x = –2 Với a = x = Kết hợp hai trường hợp (1) (2), ta có: MinA = x = –2 MaxA = x = Bài tập tự luyện: Bài 1: Tìm GTLN, GTNN biểu thức Q = Bài 2: Cho biểu thức A = x2  8x  x 1 x  mx  n Tìm giá trị m, n để biểu thức A có GTNN x2  2x  , GTLN 3 Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của: M  x  1  x    x  3  x   x x 1 x2  x  B x2 1 2x2  2x  C 2x  2x  2x2  x  D x2 1 3x Bài 4: Tìm GTLN, GTNN của: A  Bài 5: Tìm GTLN, GTNN của: Bài 6: Tìm GTLN, GTNN của: Bài 7: Tìm GTLN, GTNN của: Bài 8: Tìm GTNN của: E  5  x2 Bài 9: Tìm GTNN của: F  x  x  ; với x > x 118