Cđ2 các phép toán về lũy thừa 1

Chuyên đề 2: CÁC PHÉP TOÁN VỀ LŨY THỪA A Kiến thức cần nhớ Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: a n a a.a.a.a a ( n thừa số a với a   ) Qui ước: a 1 (a 0) a1 a Các phép tính luỹ thừa: - Nhân hai luỹ thưa số: a m a n a mn - Chia hai luỹ thừa số : a m : a n a m n (a 0; m n) - Luỹ thừa tích: (a.b) n a n b n - Luỹ thừa thương: (a : b) n a n : b n (b 0) - Luỹ thừa luỹ thừa: (a m )n a m.n - Luỹ thừa tầng: a m a ( m ) n n - Luỹ thừa với số mũ âm: a  n  (a 0) an 103 Ví dụ: 10  B Các phương pháp so sánh hai lũy thừa Phương pháp 1: Đưa số số mũ Cơ sở phương pháp: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa so sánh hai luỹ thừa số số mũ - Nếu luỹ thừa số (lớn 1) luỹ thừa có số mũ lớn lớn a m  a n  a  1  m  n - Nếu luỹ thừa số mũ (lớn 0) lũy thừa có số lớn lớn an  bn  n  0  a  b Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: So sánh lũy thừa sau: a) 1287 424 b) 818 2711 Lời giải Phân tích: Nhận thấy, câu a) 128 số liên quan tới lũy thừa số , câu b 81 27 liên quan tới lũy thừa số Do để so sánh, ta biến đổi lũy thừa lũy thừa có số, dựa vào so sánh số mũ để so sánh chúng với 1287 (27 )7 249   1287  24 a) Có: 24 24 48  (2 ) 2  818 332  11 b) Có 11 33   81  27 27 3  Ví dụ 2: So sánh lũy thừa sau: a) 536 1124 b) 3260 8150 c) 3500 7300 Lời giải Phân tích: Nhận thấy, câu a) lũy thừa đưa số mũ 12 , câu b) c) lũy thừa đưa số mũ 100 Do để so sánh, ta biến đổi lũy thừa lũy thừa có số mũ, dựa vào so sánh số để so sánh chúng với Hướng dẫn giải 536 12512  36 24 a) Có 1124 12112    11  3260 2300 8100  b) Có 50 200 100   3260  8150 81 3 9  3500 243100   3500  7300 c) Có 300 100  343  Ví dụ 3: So sánh lũy thừa sau: a) 32 n 23n ( n  N * ) b) 2100 3200 c) 5100 3500 Lời giải n n a) 32 n  32  9n ; 23n  23  8n Vì   32  23  (32 ) n  (23 ) n b) 2100 (23 )100 8100 3200 (32 )100 9100 Vì 8100  9100  2300  3200 c) 5300  53  100 125100 3500  33  100 243100 Vì 125100  243100  5300  3500 Lời bình: Qua ba ví dụ ta thấy rằng, trước so sánh hai lũy thừa với trước hết ta cần làm hai việc sau: + Kiểm tra số xem số có biến đổi số không + Kiểm tra số mũ lũy thừa xem có ước chung lớn khơng Việc làm giúp lựa chọn phương pháp so sánh Phương pháp 2: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu phép nhân Cơ sở phương pháp: Nếu A  B B  C A  C Nếu AC  BC  C    A  B *) Các dạng toán thường gặp Dạng 1: So sánh hai lũy thừa Bài 1: So sánh lũy thừa sau: a) 10750 7375 b) 291 535 Lời giải Phân tích: Trong câu a) số mũ hai lũy thừa có ước chung 25, nhiên số 733 1072 , số tính lớn, việc đưa so sánh hai lũy thừa số mũ khơng khả quan Cịn câu b) số mũ số khơng có ước chung nên áp dụng phương pháp ví dụ Như cịn cách lựa chọn dùng tính chất bắc cầu (so sánh qua lũy thừa trung gian) Hướng dẫn giải 50 a) Ta có: 10750  10850  27  2100 3150 7375  7275   75 2225 3150 Vì 2100  2225  2100.3150  2225.3150  10750  7375 18 b) Ta có: 291  290  25  3218 18 535  536  52  2518 Vì 3218  2518  291  535 Bài 2: So sánh lũy thừa sau: a) 10750 7375 b) 291 535 c) 544 2112 d) 98 89 Lời giải a) Ta có 10750  10850 2100.3150 7375  7275 2225.3150 nên 10750  7375 7 b) Ta có 291  213  81927 535  55  31257 nên 291  535 c) Ta có 544  2.27  24.312 2112 312.712 nên 544  2112 d) Ta có 98  108 1004 100.1003 Và 89 5123  5003 53.1003 125.1003 nên 98  89  Lời bình: Việc phân tích lũy thừa thành tích lũy thừa giúp ta nhìn thừa số chung lũy thừa, từ việc so sánh hai lũy thừa dựa vào việc so sánh thừa số riêng Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với số (so sánh hai biểu thức lũy thừa) Cách giải: - Thu gọn biểu thức lũy thừa cách vận dụng phép tính lũy thừa, cộng trừ số theo quy luật - Vận dụng phương pháp so sánh hai lũy thữa phần B - Nếu biểu thức lũy thừa dạng phân thức: Đối với trường hợp bậc luỹ thừa tử lớn hay bé bậc luỹ thừa mẫu mà ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần nguyên so sánh phần tương ứng Với a, n, m, K N* Ta có: K- a a >Km n K + a a < K+ m n - Nếu m < n K - a a < Km n K + a a > K+ m n - Nếu m > n (cịn gọi phương pháp so sánh phần bù) * Với biểu thức tổng số * (với a ∈ N ) ta có vận dụng so sánh sau: a 1 1   < < a a 1 a a a Bài 1: So sánh lũy thừa sau: Cho S 1   22  23   29 So sánh S với 5.28 Lời giải Phân tích: Trước so sánh biểu thức S với 5.28 ta cần dùng phương pháp tính tổng theo quy luật để tính S Để làm việc ta cần nhân vào hai vế biểu thức S, sau tính hiệu 2S  S triệt tiêu số hạng giống tính S Hướng dẫn giải Ta có: S 1   22  23   29 2.S 2  22  23    29  210  2.S  S S 210  Mà 210   210 28.22 4.28  S  5.28  Lời bình: Để tính tổng S ta cần dùng phương pháp tính tổng biểu thức tổng quát sau: S 1  a  a  a3   a n (a  N * ) Bài 2: So sánh biểu thức A B trường hợp: Cho S 1   22  23   29 So sánh S với 5.28 1015  1016  B  1016  1017  a) A  b) C  22008  22007  D  22007  22006  Lời giải Phân tích: - Ở câu a, biểu thức A B có chứa luỹ thừa số 10 , nên ta so sánh 10A 10B - Ở câu b, biểu thức C D có chứa luỹ thừa số nên ta so sánh Hướng dẫn giải a) Ta có: 1015  A  16 10   1015   1016  10 1016   9  10 A 10  = = 1  16  16 16 16 10  10  10  10    1016  B  17 10   1016   1017  10 1017   9  10 B 10  17  = = 1  17 17 17 10  10  10   10   Vì 1016   1017  nên  1 16 10  1 b) Ta có: C   10  17 10  10   10 A  10 B  A  B 22008  22007  1  22008   22008  22008   1 C   2007  2008 =  2008   2008 2  1  2 2 2 D  17  16 22007  22006  1  22007   22007  22007   1 D   2006  2007 =  2007   2007 2  1  2 2 2 Vì 22008 –  22007 – nên 2008 2  2007 2 1 C D 2  1  2008 2 > 1 2007 2 1 C  D hay C  D 2 Lời bình: Đơi để so sánh hai biểu thức với nhau, ta cần biến đổi hai biểu thức dạng tổng hai số hạng, có số hạng chung ta cần so sánh số hạng riêng Dạng 3: Từ việc so sánh lũy thừa, tìm số (số mũ) chưa biết Cách giải: * Với số tự nhiên m, x, p số dương a + Nếu a  thì: am  ax  a p  m  x  p + Nếu a  thì: am  ax  a p  m  x  p * Với số dương a, b số tự nhiên m , ta có: a m  bm  a  b Bài 1: Tìm số nguyên n thoã mãn: 364  n 48  572 Lời giải Ta giải bất đẳng thức 364  n 48 n 48  572 16 16 16 Ta có: n 48  364   n3    34    n3   8116  n3  81  n  (với n  ) (1) 24 24 24 Mặt khác n 48  572   n2    53    n   12524  n2  125   11 n 11 (với n  ) (2) Từ (1) (2)   n 11 Vậy n nhận giá trị nguyên là: 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 Lời bình: Từ tốn thay đổi câu hỏi để tốn sau: Bài 2: Tìm x thuộc N Biết: Tìm số ngun n thỗ mãn: 364  n 48  572 x x 1 x  18      : b) 5 100 18 chu so a) 16 x  1284 Lời giải x a) 16 x  1284   24    27   24 x  228  x  28  x   x   0,1, 2,3, 4,5, 6 x x 1 x 2 18      : b) 5 100 18 chu so  53 x 3 1018 : 218  53 x3 518  x  18  x 5  x   0,1, 2,3, 4,5 Dạng 4: Một số toán khác Bài 1: Hãy viết số lớn cách dùng ba chữ số 1; 2; với điều kiện chữ số dùng lần lần ? Lời giải Bài toán xảy trường hợp sau: Trường hợp 1: Không dùng luỹ thừa số lớn viết 321 Trường hợp 2: Dùng luỹ thừa để viết: (Bỏ qua trường hợp số số mũ luỹ thừa tầng giá trị nhỏ so với 321) * Xét luỹ thưa có số mũ chữ số cho ta số tự nhiên có chữ số là: 132 ,312 ,123 , 213 , số số lớn 213 * Xét luỹ thưa mà số mũ có hai chữ số cho ta số tự nhiên có chữ số là: 213 , 231 ,312 ,321 , nhận xét số sau: 321 3.320 3.(32 )10 3.910 , 231 2.230 2(23 )10 2.810 , số số lớn 321 So sánh 321 213 : 321  39 (33 )3 273  213 Vậy số lớn viết số 21 Bài 2: a) Số 58 có chữ số ? b) Hai số 22003 52003 viết liền số có chữ số? Lời giải Phân tích: So sánh lũy thừa với số luỹ thừa 10, từ lập luận tìm số chữ số số a) Ta có: 58 (5 ) 6252  6002 360000 108 100000000 100000000 58    400000 256 250  360000  58  400000 Do 58 có chữ số b) Giả sử 22003 có a chữ số 52003 có b chữ số viết số liền ta (a  b) chữ số Vì 10a   22003  10a 10b   52003  10b  10a  1.10b   22003.52003  10a.10b  10a b   102003  10 a b Do đó: 2003 a  b   a  b 2004 Vậy số có 2004 chữ số Bài 3: Tìm số 5các chữ số số n m trường hợp sau: a) n 83 155 b) m 416 525 Lời giải Phân tích: Nhóm luỹ thừa thích hợp nhằm làm xuất luỹ thừa 10, từ lập luận tìm số chữ số số a) Ta có: n 83 155  23   3.5  29 35 55 24 35  2.5  16.243 105 3888 105 Số 3888.105 gồm 3888 theo sau chữ số nên số có chữ số Vậy số n có chữ số b) Ta có: 16 m 416 525  22  525 232.525 27  225.525  128.1025 Số 128.1025 gồm 128 theo sau 25 chữ số nên số có tất 28 chữ số Vậy số m có 28 chữ số C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: So sánh: a) 2435 3.275 c) 6255 1257 Lời giải Định hướng tư duy: Nhận thấy, câu a) 243 27 số liên quan tới lũy thừ số , câu b) 625 125 liên quan tới lũy thừa số Do để so sánh, ta biến đổi lũy thừa lũy thừa có số, dựa vào so sánh số mũ để so sánh chúng với Lời giải: 5 a) Ta có: 2435  35  325 ; 3.275 3  33  3.315 316 Vì 316  325  3.275  2435 b) 6255 (54 )5 520 ;125 (53 )7 521 Vì 521  520  1257  6255 Bài 2: So sánh e) 9920 999910 b) 3500 7300 d) 202303 303202 e) 111979 371320 Lời giải Phân tích: Nhận thấy, câu a) lũy thừa có chung số mũ 10 , câu b) lũy thừa có chung số mũ 100 , câu c) lũy thừa có chung số mũ 101 , câu d) lũy thừa có chung số mũ 660 Do để so sánh, ta biến đổi lũy thừa lũy thừa có số mũ, dựa vào so sánh số để so sánh chúng với Lời giải: 10 10 a) Ta thấy: 9920  992   99.99  ;999910  99.101 10 10 10 Vì  99.99    99.101  9920  999910 b) Ta có : 3500  35  100 243100 , 7300  73  100 343100 Vì 243100  343100 nên 3500  7300 c) Ta có: 202303  2.101 3.101  23.1013  101  8.101.1012  101  808.101 101 303202  3.101 2.101  32.1012  101  9.1012  101 Vì 808.1012  9.1012 nên 202303  303202 d) Ta có: 111979  111980  113  371320   37  660 660 (1) 1331660 1369660 (2) Từ (1) (2) suy ra: 111979  371320 Bài 3: So sánh c) 85 3.47 f) 1010 48.505 i) 230  330  430 3.2410 g) 199010  19909 199110 Lời giải a) Ta có: 85 215 2.214 , 3.47 3.214 Vì   2.214  3.214  85  3.47 b) Ta có : 5 10 10 1010 210 510 2 29 510 , 48 50     3 Vì   29 510  29 510  1010  48 505 c) Ta có: 430 (22 )30 (2.2)30 230.230 (23 )10 (22 )15 810.415 , 2410.3 (8.3)10 810.310.3 810.311 Vì 311  415  810.311  810.415  430  3.2410  230  330  430  3.2410 d) Ta có : 199010  19909 19909  1990  1 1991 19909 199110 1991 19919 Vì 19909  19919 nên 199010  19909  199110 Bài 4: So sánh So sánh số sau: 19920 200315 Lời giải Biến đổi a n dạng: c.d k , biến đổi b m dạng: e.d k so sánh hai số c e Từ so sánh hai số a n b m 19920  20020 (8.25) 20 (23.52 )20 (23.52 ) 20 260.540 200315  200015 (16.125)15 (2 4.53 )15 (2 4.53 )15 260.545 Vì 545  540  260.545  260.540  200315  19920 Bài 5: So sánh a) 7812  7811 7811  7810 b) A 7245  7244 B 7244  7243 Lời giải Biến đổi a n dạng c.d k , biến đổi b m dạng e.d k so sánh hai số c e Từ so sánh hai số a n b m 12 11 11 11 a) Ta có: 78  78 78  78  1 78 77 7811  7810 7810  78  1 7810.77 Vì 7811  7810  7811.77  7810.77  7812  7811  7811  7810 b) Ta có A 7244 (72  1) 7244.71 B 7243 (72  1) 72 43.71 7244  7243  72 44.71  7243.71  A  B Bài 6: So sánh số sau: 339 1121 Lời giải Dùng tính chất bắc cầu: So sánh hai số với số lũy thừa 10 Ta có: 339  340 (34 )10 8110 1120 (112 )10 12110  1121 Vì 8110  12110  339  1121 Bài 7: Chứng tỏ rằng: 527  263  528 Lời giải Với , học sinh lớp không định hướng cách làm , giáo viên gợi ý học sinh so sánh: 263  527 263  528 9 Ta có : 263  27  1289 , 527  53  1259  263  527 (1) 7 Lại có: 263  29  5127 , 528  54  6257  263  528 Từ (1) (2)  527  263  52 Bài 8: Chứng minh rằng: 21995  5863 Lời giải Xét: a n biến đổi dạng: c q d k p h b m biến đổi dạng: e g Nếu c q  e p d k  g h c q d k  e p g h Ta có: 21995 21990.25 ; 5863 5860.53 Nhận xét: 25 32  53 125 nên cần so sánh 21990 5860 Có: 210 1024, 55 3025  210  55  21720 3172  5860 Có: 21990 21720.2270 , cần so sánh 21720.2270 với số 21720.3172 sau: 37 2187; 211 2048  37  211 24 3172  37  34   211  24   211  26 2 270 Do đó: 21720.2270  21720 3172  5860  21990  5860 Mà 25  53  21995  5863 Bài 9: Chứng minh rằng: 21999  7714 Lời giải Ta có: 210 1025 ; 73 343  210  3.73   210  238  3238  73  238 (1)  22380  3238 714 47 47 Xét: 3238 33 3235 33  35   33  28   25.2376 2381 (vì 35  28 )  3238  2381 (2) Từ (1) (2), ta có: 22380  2381 7714  21999  714 Bài 10: So sánh: 3200 2300 (2) Lời giải Đưa so sánh hai lũy thừa số mũ Ta có: 3200  32  100 9100 ; 2300  23  100 8100 mà 8100  9100  2300  3200 Bài 11: So sánh: 7150 3775 Lời giải Biến đổi a n dạng: c.d k , biến đổi b m dạng: e.d k so sánh hai số c e Từ so sánh hai số a n b m 50 Ta có: 7150  7250  8.9  2150.3100 3775  3675  4.9  75 (1) (2) 2150 3150 Mà 2150 3150 > 2150.3100 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: 3775  7150 Bài 12: So sánh số: a) 5020 255010 b) 99910 9999995 Lời giải 10 a) Ta có: 5020   50   250010  255010  520  255010 b) Ta có: 99910   999    9980015  9999995  99910  9999995 Bài 13: Viết theo từ nhỏ đến lớn: 2100 ;375 550 Lời giải 2100 (22 )50 450  550 (1) 375 (33 ) 27 25 375  550 (2) 550 (55 ) 25 2525 (3) Từ(1),(2) (3)  2100  550  375 Bài 14: So sánh số: 123456789 567891234 Lời giải Ta có: A 123456789  100050000  103  B 567891234  1000002000  105  2000 50000 10150000 1010000 Vì 1010000  10150000  567891234  123456789 Bài 15: Gọi m số số có chữ số mà cách ghi khơng có chữ số Hãy so sánh m với 10.98 Lời giải Số có chữ số a1a2 a8 a9 chữ số 0 (i 1; 9) giống Từ tập hợp số  1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 chữ số có cách chọn Do ta có số số có chữ số thỏa mãn tốn m 99 số Từ đó: m 99 9.98  10.98 Bài 16: Cho A 1  2012  20122  20123  20124   201271  201272 B 201273  So sánh A B Lời giải Ta có: A 1  2012  20122  20123  20124   201271  201272 2012 A 2012  20122  20123  20124   201271  201273  2012 A – A 2011A 201273 –1  A  201273 –1 : 2011  201273  Vậy A  B Bài 17: So sánh hai biểu thức: B  310.11  310.5 210.13  210.65 C  39.24 28.104 Lời giải B 310.11  310.5 310 (11  5)  3 39.24 16 C 210.13  210.65 210 (13  65) 22.78   3 28.104 28.104 104 Vậy B C Bài 18: So sánh: M   7 N   8 Lời giải 3  3  =   =    8 8 8  Ta có: 3  3  =   =    8 8 8  Vì 4  3  3          8 8  8   M N Bài 19: 1930  1931  N  1931  1932  So sánh M N biết: M  Lời giải M= 90 19.(19 30  5) 19 30  19 31  95 nên 19M = = = + 31 31 31 31 19  19  19  19  90 19.(19 31  5) 19 31  19 32  95 N = 32 nên 19N = = = + 19 32  19  19 32  19 32  Vì 1+ 90 90 > 32 19  19  31 90 90 > + 32 hay 19M  19 N  M  N 19  19  31 Bài 20: So sánh 1 1 1     2 2 101 102 103 104 105 3.52.7 Lời giải Nếu n số tự nhiên lớn ta có: 1 n  (n  1) n  n 1 1      n  n ( n  1).n (n  1).n (n  1)n n  1   n n n Áp dụng vào toán ta được: 1   101 100 101 1   102 101 102 1   105 104 103  1 1      2 101 102 105 100 105 105  100   2  2 100.105 5.3.7 3.7 Vậy 1    2 2 102 105 3.7 Bài 21: 1         1   1   1   1  2 2  3  4   100   So sánh A  Lời giải A tích 99 số âm Do đó: 1    1   A                  16   100   15 9999 2 1002 1.3 2.4 3.5 99.101  1002 Để dễ rút gọn ta viết tử dạng tích số tự nhiên liên tiếp sau: 1.2.3.4.5.6 98.99 3.4.5 100.101 101 101  A    2.3.4.5 .99.100 2.3.4 99.100 100 200 2 Vậy A   Bài 22: Tìm số tự nhiên n cho: a)  3n 234 b) 8.16 2n 4 Lời giải Đưa số lũy thừa có số a)  3n 234  31  3n 35   n 5  n nhận giá trị là: 2, 3, 4, b) 8.16 2n 4  23.24 2n 22  27 2n 22  n 2  n nhận giá trị là: 2,3, 4,5, 6, Bài 23: Tìm số tự nhiên n biết rằng: 415 915  2n 3n  1816 216 Lời giải 15 n 415 915  2n 3n  1816 216   4.9    2.3   18.2  16  3615  6n  3616 15   62   6n   62  16  630  6n  632  30  n  32  n 31 Bài 24: Cho A 3  32  33    3100 Tìm số tự nhiên n , biết A  3n Lời giải Có A 3  32  33    3100  A 32  33  34  3101  A – A 2 A 3101 –  A  3101 Mà theo đề ta có A  3n  3101 3n  n 101 Bài 25: Tìm số nguyên dương m n cho: 2m  2n 256 Lời giải Ta có: 2m  2n 256 28  2n (2m  n  1) 28 (1) Dễ thấy m n , ta xét trường hợp: Trường hợp 1: Nếu m  n 1 từ (1) ta có: 2n.(2  1) 28  2n 28  n 8 m 9 Trường hợp 2: Nếu m  n 2  2m  n  số lẻ lớn nên vế trái (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ phân tách thừa số nguyên tố, vế phải (1) chứa thừa số nguyên tố 2, hai vế (1) mâu thuẫn Vậy n 8 m 9 đáp số Bài 26: Tìm số nguyên dương n biết: a) 64  2n  256 b) 243  3n 9 Lời giải a) Ta có: 64  2n  256  26  2n  28   n  , mà n nguyên dương, nên n 7 b) Ta có: 243  3n 9  35  3n 32   n 2 , mà n nguyên dương nên n nhận giá trị là: 4; 3; Bài 27: Tìm số nguyên n lớn cho: n 200  6300 Lời giải 100 100 Ta có: n 200  n2  ; 6300  63  216100 n 200  6300   n  100  216100  n  216 (*)  Số nguyên lớn thỗ mãn (*) n 14 Bài 28: Tìm n   biết: a) 32  2n  512 b*) 318  n12 208 Lời giải a) Với n   , ta xét: 32  2n  25  2n   n 2n  512  n  29  n 