Để có thể ôn luyện tốt môn toán ngoài kiến thức kỹ năng của giáo viên tố chất của học sinh điều cần thiết thậm chí là thiết thực ở đây cần phải có tài liệu , công cụ hợp lý giúp cho các giáo viên có hướng đi ngắn nhất và hiệu quả nhất trong việc truyền đạt cho các em học sinh . Mình up tài liệu này hi vọng mọi người có thể tham khảo và đưa ra các ý kiến góp ý để mình có động lực hơn trong việc up những tài liệu thiết thực nhất trong việc dạy và học .
2 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN B CÁC BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH B CÁC BÀI TỐN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Kiến thức Ví dụ minh họa Chủ đề Bài tập Bài luyện CÁCtập BÀItự TOÁN Giải số ý phụ 11 GIẢIhệ HỆ phương PHƯƠNGtrình TRÌNH Giải hệ phương trình bậc cao .19 Kiến thức ax by c � (I ) � �a ' x b ' y c ' Hệ phương trình bậc hai ẩn có dạng: Trong a b a’ b’ không đồng thời Website: tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN a b � * Hệ (I) có nghiệm a ' b ' a b c � * Hệ (I) vô nghiệm a ' b ' c ' a b c * Hệ (I) có vơ số nghiệm a ' b ' c ' Giải phương trình phương pháp (giả sử hệ có ẩn x y ) - Từ phương trình hệ, biểu thị ẩn chẳng hạn ẩn x theo ẩn - Thế biểu thức x vào phương trình lại thu gọn, ta tìm giá trị y - Thế giá trị y vào biểu thức x ta tìm giá trị x Giải phương trình phương pháp cộng đại số (giả sử hệ có ẩn x y ) - Nhân vế hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn đối - Sử dụng quy tắc cộng đại số để hệ phương trình có phương trình ẩn - Giải hệ phương trình vừa thu Chú ý: Nếu hệ phương trình có ẩn mà hệ số �1 nên giải hệ theo phương pháp *Lưu ý: Khi hệ có chứa biểu thức giống nhau, ta kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ hệ đơn giản Sau sử dụng phương pháp cộng để tìm nghiệm hệ phương trình Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ a) Phương pháp giải - Đặt điều kiện để hệ có nghĩa (nếu cần) - Đặt ẩn phụ điều kiện ẩn phụ (nếu có) - Giải hệ theo ẩn phụ đặt Website: tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN - Trở lại ẩn cho để tìm nghiệm hệ số (lưu ý với điều kiện lúc đặt ẩn phụ) Ví dụ minh họa Bài 1: Giải hệ phương trình: �1 �x y � � �3 � b) �x y x y 11 � � a) �x y Hướng dẫn giải a) + Giải theo phương pháp thế: y y 11 � 3x y 11 � x y 11 � y y 11 � �� �� �� � �x y �x y �x y �x y y 11 � 11 y y 8 � � �y 1 �y 1 �y 1 �� �� �� �� �� �� �x y �x y �x y �x y �x 2.(1) �x Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (3;-1) + Giải theo phương pháp cộng đại số: 3x y 11 � x 12 � �x �x �x �� �� �� �� � 3 2y 1 � y 2 �y 1 �x y �x y � Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (3;-1) b) + Giải hệ phương pháp đặt ẩn phụ Điều kiện: x �0; y � 1 a; b y Đặt x (*) a b 1 � � Hệ phương trình cho tương đương với �3a 4b � b � � a b a b b b � � � � � �� �� �� �� � 3a 4b 3a 4b a b 1 � � � � � a 1 b a � � Ta có: Website: tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN � b � � � � a � vào (*) ta có Thay �1 � y � � �y � �� � �1 �x � � �x (thỏa mãn) Vậy nghiệm hệ phương trình �9 x; y � �; 7� � 2� Bài tập Bài 1: Giải hệ phương trình 2x y � � a) �x y �x y 26 � x y 16 d) � �2 x y 3 � b) �3x y 3x y 11 � � e) �x y �x y � c) �3 x y 2x y � � f) �4 x y �x y � g) �x y 1 3x y � � h) �5 x y 23 2x y � � i) �x y Hướng dẫn giải a) 2x y � 3x � �x �x �� �� �� � �x y �x y �x y �y Vậy hệ cho có nghiệm b) x y 3 � x y 3 17 x 17 � � �x �� �� �� � 3x y 15 x y 20 x y 3 �y 1 � � � Vậy hệ cho có nghiệm c) x; y 1; 1 x 2( x 1) � 5x �x y � �x �� �� �� � x y �y x � �y x �y Vậy hệ cho có nghiệm d) x; y 2;1 x; y 1;0 x 35 y 130 �x y 26 � �x y 26 �x 5 �� �� �� � x y 16 x y 16 38 y 114 � � � �y Vậy hệ cho có nghiệm Website: tailieumontoan.com x; y 5;3 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN e) 3x y 11 �4 x 12 � �x �� �� � �x y �x y �y 1 Vậy hệ cho có nghiệm f) 2x 3y � 2x 3y x y �x � � �� �� �� � 4x y 12 x y 27 14 x 28 � � � �y Vậy hệ cho có nghiệm g) �x y �3 y �� � �x y 1 �x y 1 � �y 3 � �x (3) 1 � Vậy hệ cho có nghiệm h) i) x; y 3; 1 x; y 2;1 �y 3 � �x x; y 2; 3 3x y x y 10 11x 33 � � � � � � x y 23 � � x y 23 � � 3x y � �x � � �y Vậy hệ cho có nghiệm x; y 3; 2x y � � �x y � �x � �x y � �x � �y Vậy hệ cho có nghiệm x; y 0;1 Nhận xét: Học sinh thành thạo phương pháp phương pháp cộng giải theo phương pháp Bài 2: Giải hệ phương trình 3( x 1) 2( x y ) � � a) �4( x 1) ( x y ) � 1 �x y � � 7 � 2x � c) � y Website: tailieumontoan.com �2 y3 � �x � �1 y b) �x �3x �x y � � �2 x � d) �x y 2 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN �4 �x y � � �1 � e) �x y 5 y 1 1 y 1 � x 3 y � � x y 2 f) � Hướng dẫn giải a) 3( x 1) 2( x y ) 3x x y 5x y 5x y � � � � �� �� �� � 4x x y 3x y � x y 10 �4( x 1) ( x y ) � � 11x 11 � �x �� �� x y 10 � �y 1 Vậy hệ cho có nghiệm b) x; y 1; 1 Điều kiện x �0 �2 �4 �5 � y3 2y 10 � � � � �x �x �x �x � �x �� �� �� �� � �1 y �1 y �1 y �2 y � �y 1 �x �x �x �x (thỏa mãn) Vậy hệ phương trình có nghiệm c) Điều kiện y �0 Đặt t �2 � x; y � � ; 1� � y , hệ phương trình cho trở thành 1 � � 1 xt t x � 1 �x 1 � � t x �x 1 � � � � �� �� � � �� � 1 7 t �y �2 x 3t 7 � � � x 5 x 3( x) � � � � 2 (thỏa mãn) Vậy hệ có nghiệm d) �3 x �x � (I ) � �2 x � �x 4 y2 5 y2 ĐK x �1; y �2 Website: tailieumontoan.com x; y 1; CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Đặt �x a � �x �1 � b � �y Khi hệ phương trình (I) trở thành: 3a 2b 3a 2b a 14 a2 � � � � �� �� �� � 2a b 2a b b 1 � �4a 2b 10 � � Khi ta có: �x 2 � �x �x �� �1 y 1 � 1 � �y � Vậy hệ phương trình có nghiệm e) �4 �x y � � �1 � �x y Đặt u x; y 2; 1 5 y 1 1 y 1 Điều kiện: x � y; y �1 1 v x y y Hệ phương trình thành : 4u v 8u 2v 10 9u u 1 � � � � �� �� �� � u 2v 1 � u 2v 1 2v u � v 1 � � Thay vào hệ cho ta có : �1 �x y �x y �x 1 � �� �� � y � �y � 1 � �y Vậy hệ phương trình có nghiệm f) Điều kiện: x �0; y �0 � � � x 3 y 4 x 3 y y 0 � � � � � � � � x y 2 x 2 y 4 x y 2 � � � � �y �y 0 �� �� �x (Thỏa mãn) x 2 � Website: tailieumontoan.com x; y 1; CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 1;0 Bài tập tự luyện Bài 1: Giải hệ phương trình x 2y 1 � � 2x y � �1 � x y 3 �2 �4 x y 13 � �2 x y � �x y 10 �x y � �2 �x � � �y 4 �2 x y � �x y 11 x y 17 � � �9 x y 12 15 16 5x y � � 19 �x y �3x y � 20 �2 x y 5x y � � 21 �2 x y � 2x y � 18 �x y �x y � 22 �3x y �x y � 23 �x y 3 �x � 24 �2 x y 2x y � � 25 �4 x y �4 x y � 26 �x y 17,5 x y 7 � � 27 �3 x y 17 � 5x y 2 � � 29 �x y 3x y � � 33 �5 x y 28 14 30 3x y � � 34 �2 x y 8 0, 75 x 3, y 10 � � 31 �x y x y 1 � � 35 �x y 28 3x y � � x 1,5 y 0,5 � �2 x y � 32 � x y 10 �x y � 36 �2 x y Phương pháp: Giải hệ phương pháp cộng đại số Website: tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Bài 2: Giải hệ phương trình � 4x 3y 5 x y � � x y 1 1 � �2 x x �y y � � �x x � �y y � x y xy � � x y 3 xy � 10 � � x 1 y x 1 y 3 � � x y x y 1 � y 3 � � x x y 1 14 13 � � x 1 15 y 1 � � x 1 y 1 � � x y x y 12 � � 3 x y x y � �x y x y 0 � �2 � �3 x y � �1 x y 3 xy 50 � �2 � �1 x y xy 32 �2 � � x 1 y x 1 y 3 � x 3 y 1 x 3 y 5 18 � � x x y 1 � � x 1 x y 11 � 14 � x 1 y 1 � � x 1 y 1 � � 3 x y x y � � x y x y 1 16 � x y 17 x y 19 x 2y 4(x 1) � � 5x 3y (x y) 20 � �2(x 2) 3(1 y) 2 � 22 �3(x 2) 2(1 y) 3 5(x 2y) 3x � � 25 �2x 3(x 5y) 12 �2(x y) 3(x y) � 23 �(x y) 2(x y) � 5x 4y 15 � � 26 �2 5x 7y 18 � x 5 y xy � � x 5 y 12 xy � � x y x y 99 � x y x y 17 12 � 15 18 � y 1 x 1 � � y 1 x 1 � �(x 3)(2y 5) (2x 7)(y 1) � �(4x 1)(3y 6) (6x 1)(2y 3) � ( 2)x y � � 21 �x ( 2)y 3(x 1) 2y x � � 5(x y) 3x y � 24 27 �x y 2(x 1) � 7x 3y x y � Phương pháp: Rút gọn phương trình hệ sau giải hệ phương pháp cộng đại số Website: tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Bài 3: Giải hệ phương trình 1) �2 �x y � � �4 � �x y 4) � �2 x y x y 1 � � � 0 � �2 x y x y 7) � �x y x y � � � 20 � �x y x y 15 �8 �x y � � �1 �x y 12 10) � �2 �x y x y � � � 1 �x y x y 13) � 16) �5 �x y � � � 1 �x y 19) � 2) �2 �x y 1 � � � 1 � �x y 5) �5 �x � � �1 � �x 1 10 y 1 18 y 1 8) �12 �x � � �8 � �x 63 y2 15 13 y2 x 1 x 11) 14) 7 y 1 4 y 1 �1 �x y � � � 1 � �x y � �2 x y x y � � � �2 x y x y 15 17) � � �2 x y � � � 13 �2 x y 20) � Website: tailieumontoan.com 3) 1 x y 5 x y 6) �3 x �x y � � �2 x � �x y 9) �5 �x � � �1 � �x 12) � �x 2y x 2y � � � 11 � �x 2y x 2y 10 y 1 18 y 1 � �3x y x y � � � 3 �3x y x y 15) � 2 x x y 2 1,7 x x y 18) � �2 x y x y 2 � � � 21 � x y x y � 21) CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN �6 x y �y x � � �4 x y �y x 22) � x �x �y y 12 � � � x x 2 �y 12 y 25) � 28) �2 x y 36 � 3x y 37 � � �x y x y � � � 1,5 � x y x y � 23) y �5 x �x y 27 � � �2 x y �x y 26) � 29) � 3x y �2 �x y 5 � �x y x y � � � �x y x y 24) � 3y �2 x �y x � � �2 y x �x y 27) � 30) Phương pháp: Nên đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình để hệ gọn tránh sai xót giải tốn Lưu ý đặt điều kiện x; y ẩn phụ (nếu có) Bài 3: Giải hệ phương trình 1) � � x y 1 � x y 1 � 4) � x 1 y � � x y 17 � 7) � x 2 y 6 � � � x y 4,5 � � � � � � 10) � x 1 5 y 1 x 1 1 y 1 2) � � 3x y � 3x y 12 � 5) � �3 x y � x y 18 � 8) � � x y 1 � � y x 1 � � x7 y 6 � � � 21 � x7 y6 11) � 3) � � x 2 y 3 � x y 4 � 6) � � x y 1 � x y 1 � 9) � x 5 2 y � � x y 23 � � 10 � 12x 4y � � � 1 � 12x 4y � 12) Phương pháp: Nên đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình để hệ gọn tránh sai xót giải tốn Lưu ý: đặt điều kiện biểu thức dấu So sánh nghiệm với điều kiện Website: tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Giải hệ phương trình số ý phụ Dạng 1: Giải hệ phương trình theo tham số m cho trước Phương pháp: Bước 1: Thay giá trị m vào hệ phương trình Bước 2: Giải hệ phương trình Bước 3: Kết luận x; y Dạng 2: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa điều kiện cho trước Phương pháp: Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm x, y theo tham số m; Bước 2: Thế nghiệm x, y vào biểu thức điều kiện cho trước, giải tìm m ; Bước 3: Kết luận Dạng 3: Tìm mối liên hệ x, y khơng phụ thuộc vào tham số m Phương pháp: Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm x, y theo tham số m; Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số phương pháp làm tham số m ; Bước 3: Kết luận Bài tập � a 1 x y a � � x a 1 y Bài 1: Cho hệ phương trình: � a) Giải hệ phương trình a Website: tailieumontoan.com 1 2 ( a tham số) CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN b) Giải biện luận hệ phương trình c) Tìm số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm ngun d) Tìm a để nghiệm hệ phương trình thỏa mãn x y đạt GTNN Hướng dẫn giải a) � x � 3x y � 4x � � �� �� � �x y �y x �y � Khi a hệ phương trình có dạng: Vậy với a hệ phương trình có nghiệm b) 3� � �4 � x; y � �; Giải biện luận: 1 ta có: y a 1 x a 1 3 vào PT ta được: 2 2 x a 1 � a 1 x a 1 � 4 � � � x a 1 x a 1 � a x a Từ PT a2 x a Thay vào 3 TH1: a �0 , phương trình có nghiệm ta có: a 1 a 1 a a 1 a3 a a a3 a a a2 y a 1 a 1 a a2 a2 a Suy hệ phương trình cho có nghiệm TH2: Nếu a , phương trình cho vơ nghiệm KL: 4 vơ nghiệm Suy hệ phương trình a �0 hệ phương trình cho có nghiệm �a a � x ; y � ; � a � �a a hệ phương trình cho vơ nghiệm Với a �0 hệ phương trình cho có nghiệm �a a � x; y � ; � a � �a Website: tailieumontoan.com �a a � ; � a � �a x; y � CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN c) �a �� �x �� � � a2 �� � �y �� �a �� � a2 Hệ phương trình có nghiệm nguyên: a �� a2 1 x ��� ��� a � a �1 a a a Điều kiện cần: Điều kiện đủ: a 1 � y ��(nhận) a � y ��(nhận) Vậy a �1 hệ phương trình cho có nghiệm ngun Với a �0 hệ phương trình cho có nghiệm �a a � ; � a � �a x; y � d) Ta có Đặt x y t a2 a 1 a2 a 2 1 2 a a a a a a ta được: 2 �2 1 � � � 1� � � 1� 7 x y 2t t � t t � � t � � � t � � � � 2� � � � 16 � � � 8 Dấu " " xảy t , a 4 Vậy a 4 hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x y đạt GTNN �2 x by a � Bài 2: Tìm a, b biết hệ phương trình: �bx ay có nghiệm x ; y Hướng dẫn giải Thay x ; y vào hệ ta có: Website: tailieumontoan.com CÁC CHUN ĐỀ TỐN � 1 b � � 10 � 2.1 b.3 a a 3b 3a 9b 10b 1 � � � � �a 17 � � � � b.1 a.3 � � 3a b � � 3a b � � 3a b � � 10 � Vậy a 1 17 y 10 ; 10 hệ phương trình có nghiệm x ; y �x y m � I Bài 3: Cho hệ phương trình �2 x y m ( m tham số) a) Giải hệ phương trình I m I x; y b) Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn x y 3 Hướng dẫn giải a) I Với m , hệ phương trình có dạng: 2x y �x y � �x �� �� � �2 x y �2 x y �y Vậy hệ phương trình có nghiệm b) x, y 2;1 � 5m x x y 2m �x y m � �x y m � � �� �� �� � 2x 3y m 2x 3y m 7y m � � � �y m � Hệ phương trình có nghiệm 5m m � ; � � � x; y � � 5m m 3 � 5m m 21 � 6m 36 � m 6 Lại có x y 3 hay Website: tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN I x, y Vậy với m 6 hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x y 3 x y 5m � � Bài 4: Cho hệ phương trình: �x y 2 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: x y 2 Hướng dẫn giải x y 5m �y 5m x � �y 5m x �x 2m �� �� �� � x 10m �x y �x 2(5m x ) � �y m Thay vào ta có m0 � x y 2 � (2m)2 2( m 1) 2 � m m � � m 2 Vậy m � –2;0 � (m 1) x y � � Bài 5: Cho hệ phương trình: �mx y m ( m tham số) a) Giải hệ phương trình m ; b) Chứng minh với giá trị m hệ phương trình ln có x; y nghiệm thỏa mãn: x y �3 Hướng dẫn giải a) Giải hệ phương trình m �x y �x y �x �� �� � �y Ta có: �2 x y �x Vậy hệ phương trình có nghiệm b) Ta có y – m 1 x 1;1 vào phương trình lại ta phương trình: mx – m 1 x m � x m –1 suy y – m 1 Vậy hệ phương trình ln có nghiệm với m x; y m 1; – m 1 x y m 1 – m 1 m 4m – m �3 Website: tailieumontoan.com với m CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN �2 x ay 4 � Bài 6: Cho hệ phương trình : �ax y a) Giải hệ phương trình với a b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm Hướng dẫn giải a) Với a , ta có hệ phương trình: x y 12 � x 7 � �x 1 �x 1 �� �� �� �� �x y �x y �1 y �y 2 x; y 1; 2 Vậy với a , hệ phương trình có nghiệm là: b) Ta xét trường hợp: + Nếu a , hệ có dạng: Vậy hệ có nghiệm a �۹ a � a 3 + Nếu , hệ có nghiệm khi: a2 đúng, với a ) (ln Do đó, với a �0 , hệ ln có nghiệm Tóm lại hệ phương trình cho có nghiệm với a �x my m � Bài 7: Cho hệ phương trình: �mx y 2m ( m tham số) a) Giải hệ phương trình m �x �2 � x; y b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn �y �1 Hướng dẫn giải Website: tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN a) Thay m ta có hệ phương trình � �x 3x �x y �x y � � �� �� �� � 2x y 4x y 2x y � � � �y � b) � �x my m � mx y 2m Xét hệ � 1 2 Từ � y 2m mx thay vào ta x m 2m mx m � 2m m x x m � m x 2m2 m � m 1 x 2m m Hệ phương trình cho có nghiệm m �۹� m * 3 � 3 có nghiệm � 2m x � � m 1 � �y m Khi hệ cho có nghiệm � m �2m � 1 �2 �0 � � �x �2 �m �m � � � m � m 1 � � � m �y �1 � � �1 �0 m � �m Ta có Kết hợp với * ta giá trị m cần tìm m 1 �x y � Bài 8: Cho hệ phương trình: �mx y 1 2 a) Giải hệ phương trình với m x, y b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x, y trái dấu x; y x y c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn Hướng dẫn giải Website: tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN a) Với m ta có hệ phương trình: �x y �x y �� � y 5 y 2x y � � �x y �x �� �� y 6 � �y 2 Vậy m hệ có nghiệm ( x; y ) (1; 2) b) Từ phương trình ta có x y Thay x y vào phương trình ta m y y � 2m 1 y 5m được: 3 Hệ có nghiệm có nghiệm Điều tương đương với: Từ ta được: x y Ta có: y 2m �۹ m 5m 2m ; x 5 2y 5m 2m 1 Do 2m x y � 5m � m (thỏa mãn điều kiện) c) Ta có: x y � 5m 2m 2m 4 1 2m � m m Với điều kiện ta có: Từ suy � m l � 5m � �� � 5m � � 5m 3 7 � � m m � � Vậy mx m 1 y � � � m 1 x my 8m Bài 9: Cho hệ phương trình: � Chứng minh hệ ln có nghiệm x; y Hướng dẫn giải Xét hai đường thẳng d1 : mx m 1 y 0; d : m 1 x my 8m d : y 1 d : d d + Nếu m x suy ln vng góc với Website: tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN + Nếu m 1 d2 + Nếu a1 m � 0;1 d1 : x đường thẳng d : y 11 d1 , d suy d1 ln vng góc với có hệ số góc là: m m 1 , a2 m 1 m suy a1.a2 1 d1 d d d Tóm lại với m hai đường thẳng ln vng góc với Nên hai đường thẳng ln vng góc với d : mx m 1 y 0; d : m 1 x my 8m Xét hai đường thẳng vng góc với nên cắt nhau, suy hệ có nghiệm Giải hệ phương trình bậc cao Bài 1: Giải hệ phương trình: � 8x y 27 18 y � 4x y 6x y � Hướng dẫn giải Dễ thấy y không nghiệm phương trình Chia vế phương trình (1) cho y , phương trình (2) cho y2 ta � 27 x 18 � y � � x x � � y � y Đặt ta có hệ Website: tailieumontoan.com CÁC CHUN ĐỀ TỐN a; b nghiệm phương trình X X �3 � �3 � ( x1 , y1 ) � ; ;( x , y ) � � 2 � � ; � � � � � � � Từ suy hệ có nghiệm: �x xy x y �2 y x xy x � Bài 2: Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải 2 x xy x y �x xy x y (1) � � �2 �2 2 �y x xy x (2) �y x xy x 2 Cộng vế hệ phương trình ta x y xy x y � x y 2 � y x Thay vào pt (1) ta x2 5x � x 5 � 21 �5 21 1 21 ��5 21 1 21 � ; , ; � �� � � �� � 2 � �� � Vậy hệ có hai nghiệm � � x + y + xy = 16 � Bài 3: Giải hệ phương trình: �x + y = 10 Hướng dẫn giải � � x + y + xy = 16 � �x + y = 10 Đặt S= x y S + 4P = 16 � �2 S - 2P = 10 � ;P= (I) ( Điều kiện: x; y �0 ) xy ( S �0; P �0 ) hệ (I) có dạng: S + 4P = 16 � �� 2S - 4P = 20 � -9 � S= S = 4(tm);S = ( loai) � � �� �� P=3 � � �P = Website: tailieumontoan.com S + 4P = 16 � �� 2S + S - 36 = � CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Khi x; y nghiệm phương trình: t – 4t Giải phương trình ta t1 3; t2 ( thỏa mãn ) � � x = �x = TH 1: � �� �y = � y =1 � �x = �x =1 TH : � �� � y = �y = (thỏa mãn) ( thỏa mãn) x =1 �x = � ;� � y = �y = Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm � Bài 4: Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải 2 � � � S P 11 � S P 11 �� � S P S x y ; P xy � �2S P - Đặt được: Cộng hai vế hệ phương trình ta phương trình: S 2S (17 2) - Giải phương trình ; ; Với ; có x, y hai nghiệm phương trình: Giải phương trình Với có x, y hai nghiệm phương trình: Phương trình vơ nghiệm Vậy hệ có hai nghiệm: ; Bài 5: Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải Điều kiện: ; Trừ vế hai phương trình hệ ta phương trình: � – y 4 �y 1 (t/mãn đk) Cộng vế hai phương trình hệ cho ta phương trình: Website: tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN x x � x 1 � x 1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x; y (1 ; ) Hết chuyên đề – Dạng tập giải hệ phương trình đề tuyển sinh vào 10 P/S: Qua tìm hiểu giải hệ phương trình đề tuyển sinh, thầy muốn em cần thành thạo giải hệ phương trình phương pháp thế, phương pháp cộng đại số đặt ẩn phụ để giải hệ yên tâm kiếm điểm Phần tập nâng cao định hướng để học sinh thi tuyển sinh chuyên Các em tự tin nhé! Tập trung giải HPT tự luyện từ trang đến trang 11 nhé! Chúc em học sinh học tập tốt! Website: tailieumontoan.com