Chuyên đề chữ số tận cùng (45 trang)

1 CHUYÊN ĐỀ CHỮ SỐ TẬN CÙNG A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Tìm chữ số tận Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận 0, 1, 5, nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận khơng thay đổi b) Các số có chữ số tận 4, nâng lên lũy thừa bậc lẻ chữ số tận khơng thay đổi c) Các số có chữ số tận 3, 7, nâng lên lũy thừa bậc 4n n chữ số tận d) Các số có chữ số tận 2, 4, nâng lên lũy thừa bậc 4n n chữ số tận Ch số t nhi n x : Muốn tìm chữ số tận c c a m , trước hết t xác định chữ số tận a: - Nếu chữ số tận a 0, 1, 5, x có chữ số tận 0, 1, 5, - Nếu chữ số tận a 3, 7, : hân t ch: a m Từ t nh chất 1c a 4n r a 4n a r với r 0, 1, 2, chữ số tận x ch nh chữ số tận a r - Nếu chữ số tận a 2, 4, : trường hợp Từ t nh chất 1d chữ số tận x ch nh chữ số tận 6a r Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, nâng lên lũy thừa bậc 4n n chữ số tận không thay đổi Chữ số tận tổng lũy thừa xác định cách t nh tổng chữ số tận lũy thừa tổng Tính chất 3: a) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n có chữ số tận 7; số có chữ có chữ số tận b) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n có chữ số tận 8; số có chữ có chữ số tận c) Các số có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, nâng lên lũy thừa bậc 4n khơng thay đổi chữ số tận Tính chất 4: Nếu a a , a 100 chia hết cho 125 Chứng minh: Do a 20 a 20 chia hết cho 25 nên a 20, a 40, a 60, a 80 chia cho 25 có số dư a 40 Vậy a 100 a 60 a 20 a 80 1 chia hết cho a 80 a 60 a 40 a 20 chia hết cho 125 * Phương pháp dùng cấu tạo số để tìm chữ số tận c - Giả sử A 10q r Khi đó, A k 10q r k 10t p n k với n, k số A r k với r ;0 r N Suy ra, chữ số cuối A ch nh chữ số cuối số r k - Nếu A 100a bc - Nếu A 1000a bcd - Nếu A 10m.am am abc bc hai chữ số cuối A abcd bcd ba chữ số cuối A a am a1a0 am a m chữ số cuối A Tìm h i chữ số tận Việc tìm h i chữ số tận c số t nhi n x việc tìm số dư c cho 100 hương pháp tìm hai chữ số tận số tự nhiên x Trước hết, ta có nhận xét sau: 220 76 mod 100 320 01  mod 100 an : phép chi x 65 76  mod 100 74 01  mod 100 Mà: 76n 5n 76  mod 100 với n 25 mod 100 với n Suy kết sau với k 1, * : a 20k 00 mod 100 a mod 10 , a 20k 01 mod 100 a 1; 3; 7; mod 10 , a 20k 25 mod 100 a mod 10 , a 20k 76 mod 100 a 2; 4; 6; mod 100 Vậy để tìm hai chữ số tận a n ta lấy số mũ n chia cho 20 Dạng Một số trường hợp cụ thể chữ số tận - Các số có tận 01; 25; 76 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 01; 25; 76 - Các số 320 (hoặc 815 ); ; 512 ; 992 có tận 01 - Các số 220 ; 65 ; 184 ; 242 ; 684 ; 742 có tận 76 - Số 26n n có tận 76 - Các số có chữ số tận 01;25;76 nâng lên lũy thừa bậc khác hai chữ số tận không thay đổi (1) - Các số 320 ;7 ;910 ;512 ; 815;992 có chữ số tận 01 (2) - Các số 410 ;65 ;184 ;242 ;684 ;742 có chữ số tận 76 (3) n - Số 26 (n 1) có chữ số tận 76 (4) Như vậy, muốn tìm chữ số tận số tự nhiên x a Dạng CHÚ Ý: - 410 có chữ số tận 76 - 52 có chữ số tận 25 a m , trước hết ta xác định chữ số tận - 820 có chữ số tận 76 - 910 có chữ số tận 01 Tìm b chữ số tận trở l n Việc tìm b chữ số tận c số t nhi n x việc tìm số dư c phép chi x cho 1000 Giả sử n 100k Giả sử: a x mod 10 , x Ta có: a 100 r với 10k x 100 , đó: a n r a 100k r k a 100 a r 0, 1, 2, , 100 x 100 mod 1000 Vậy chữ số tận a 100 ch nh chữ số tận x 100 Dùng quy nạp với n , ta có: 625n 625 mod 1000 , 376n 376 mod 1000 - Nếu x x 100 - Nếu x x - Nếu x 1; 3; 7; ta có tương ứng: x4 000 mod 1000 54 1; 81; 2401; 6561 - Nếu x x 100 625 mod 40 54 x 100 25 625 mod 103 40k 25 mod 103 2;4; 6;8 x 100 2100 Ta có: x , 125 nên x 100 mod 125 (Định l Euler) Giả sử chữ số tận x 100 abc ta có: x 100 1000k abc abc abc mod 125 Trong số 1; 126; 376; 501; 626; 751; 876 (các số có chữ số chia cho 125 dư 1) có số chia hết cho 376 Vậy x 100 376 mod 1000 Do ta có kết sau: a 100k 000 mod 103 a mod 10 a 100k 001 mod 103 a 1; 3; 7; mod 10 a 100k 625 mod 103 a mod 10 a 100k 376 mod 103 a 2; 4; 6; mod 10 Vậy để tìm ba chữ số tận a n ta tìm chữ số tận số mũ n Dạng Một số trường hợp cụ thể chữ số tận Các số có tận 001; 376; 625 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 001; 376; 625 Các số có tận 0625 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 0625 II CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Tìm chữ số tận Ví dụ 1.1: Tìm chữ số tận số sau: a )3240 b) 20182019 c)2750 d ) 20192020 Phân tích: - Ta biết số tận 2;4;6;8 nâng lên lũy thừa 4n cho tận Còn số tận 1;3;7;9 nâng lên lũy thừa 4n cho tận - Để đưa lũy thừa 4n em cần viết số mũ dạng cơng thức phép chia có dư với số chia - Để tìm chữ số tận lũy thừa ta cần tìm chữ số tận hàng đơn vị Lời giải a) Để tìm chữ số tận 3240 ta tìm chữ số tận 240 Ta xét 240 , ta có 240 24.10 .6 Vậy 3240 có chữ số tận b) Để tìm chữ số tận 20182019 ta tìm chữ số tận 82019 Ta xét, ta có 82019 84.502 .6 .8 Vậy 20182019 có tận c) Chữ số tận 2750 chữ số tận 50 Ta có 750 4.12 72 .1 49 .9 Vậy chữ số tận 2750 d) Chữ số tận 20192020 chữ số tận 92020 Ta có 92020 94.505 .1 Vậy chữ số tận 20192020 Bình luận: Với phần d) ta giải sau: Vì chữ số tận mà nâng lên lũy thừa chẵn tận 1, 20192020 có tận 2021 Với cách giải ta hồn tồn mở rộng số cho phần d), chẳng hạn số 20192020 2050 2020 2019 , ,… Ví dụ 1.2: Tìm chữ số tận 32020 Phân tích: Để tìm chữ số tận số ta phải đưa số có tận Lời giải Ta thấy 34 81 , số tận nâng lên bậc lũy thừa có chữ số tận nên ta phân tích 32020 34.505 81505 Vậy số 32020 có chữ số tận Ví dụ 1.3: Tìm chữ số tận số sau 24 5152 2015 a )2625 b)20132014 c)7850 Phân tích: Trong ta viết số mũ dạng 4n , dễ biểu diễn ta dùng đồng dư thức để tìm dư phép chia số mũ cho Lời giải a) Trước hết ta tìm số dư phép chia 2524 chia cho Ta có 25 mod 2524 mod 2524 4k 1k N* 24 264k Suy ra, 2625 264k 26 .6 26 .6 24 Vậy 2625 có tận Nhận xét: Trong phần rõ ràng dựa vào nhận xét „Số có tận nâng lên lũy thừa ln có tận ‟ lời giải đơn giản b) Tương tự, ta tìm số dư chia số mũ 2013 cho 2014 20142015 mod Ta có 22015 2.1002 20142015 2015 Do 20132014 2015 Vậy 20132014 1002 4k k 22015 mod 20142015 mod N* 20134k 20134k .1 có tận 52 c) Trước hết ta tìm số dư phép chia 5051 chia cho mod ; 502 Ta có 50 52 Suy 5051 mod n 52 Mà 5152 số lẻ nên 5051 5152 Từ ta có 7850 5152 Vậy 7850 784m mod ; 50k mod k N mod 784m 52 5051 4m (m N) .6 có tận Bình luận: Với tốn dạng lũy thừa tầng ta ln ý tìm cách viết số mũ dạng cơng thức phép chia có dư với số chia Tuy nhiên, tận số đặc biệt như: 0;1;5;6 ta nhận xét mà không cần quan tâm đến giá trị số mũ Còn tận ta xem xét t nh chẵn lẻ số mũ để suy kết Ví dụ 1.4: Tìm chữ số tận a )7 89 481 b)22014.91955 Lời giải a) Ta có: 789 74.21.7 481 7.240121 nên số có số tận 42.40.4 Vậy số 789 b) Ta có: 22014 24.506.22 91955 1640.4 nên số có số tận 481 có chữ số tận 16506.4 nên số có số tận 92.977.9 81977.9 nên số có số tận Vậy số 22014.91955 có chữ số tận Ví dụ 1.5: Tìm chữ số tận t ch sau: a )2627.2728 b) 1.3.5 2019 c) 8.18.28.38 198 200202 2020 d ) 1.3.9.11.13.17 2019 100 Phân tích: Để tìm chữ số tận t ch ta tìm chữ số tận thừa số nhóm thừa số Lời giải a) Ta thấy 26 có tận , mà số tận nâng lên lũy thừa tận Do đó, 2627 có tận Có 2728 Suy 2627 274.7 .1 2728 .6 .6 Vậy t ch có tận Khai thác: - Vì t ch có tận nên ta yêu cầu khác sau: Chứng minh số 2627 2728 10 số tự nhiên - Nếu để ý đến cơng thức lũy thừa t ch ta làm sau: 2627 2728 2627 2727 27 26 27 27 27 27 .2 .6 27 .6 27 b) Ta biết t ch với số lẻ có tận , t ch 2019 có tận Mặt khác, số có tận nâng lên lũy thừa tận Vậy 2019 2020 có tận Khai thác: Ta biết t ch hai số tự nhiên liên tiếp có tận số sau: 0;2;6 đó, ta tốn sau: Tìm tất số tự nhiên n cho: a)n n c) Đặt A 2019 2020 ; b) 2n 2n 2019 38 198 Số thừa số t ch là: 198 18 28 : 10 2020 20 (số hạng) (1) Ta thấy t ch thừa số có tận có tận Vì có 20 thừa số ta kết hợp nhóm nhóm có thừa số, t ch nhóm có chữ số tận Do kết t ch A có chữ số tận Mà số có tận nâng lên lũy thừa có tận , suy 202 A200 có tận Vậy lũy thừa t ch có tận Khai thác: - Ta để ý, chữ số tận A chữ số tận 8 ( 20 thừa 200202 số), ta quy việc tìm chữ số tận 820 - Ta có mở rộng toán cách cho tăng số lượng thừa số t ch - Hoàn toàn tương tự, ta thay đổi chữ số tận thừa số t ch chữ số khác Chẳng hạn, tìm chữ số tận số sau: A 12 22 2022 B 17 27 2017 2020 100200 d) Ta để ý nhóm 9;11 13 17 19; ;2011 2013 2017 2019 có tận giống nhau, nên ta tìm chữ số tận nhóm Ta có Có số nhóm là: (2011 .9 1) : 10 202 (nhóm) 10 Suy 11 13 17 2019 Vậy .9 11 13 17 2019 202 .9 100 50 100 .1 .9 50 .9 .1 .1 .1 nên có tận Khai thác: Ta thấy tất thừa số t ch không chia hết cho , nên ta thay đổi cách phát biểu toán sau: Cho số A 11 13 15 2019 , sau gạch bỏ tất số chia hết cho A, ta số B Tìm chữ số tận B 100 - Bài tốn thay đổi thừa số lẻ thừa số chẵn, chẳng hạn: Tìm chữ số tận số B 12 14 16 2018 2019 Ví dụ 1.6: Tìm chữ số tận tổng sau: S  21   35    49      20048009   Phân tích: Trong dạng ta phải tìm quy luật tổng, quy luật ch nh số mũ số hạng S, số mũ chia dư Mà ta biết số nâng lên lũy thừa dạng 4n có tận không đổi Lời giải: Nhận xét: Mọi lũy thừa S có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n n  – 2    1 , n thuộc 2; 3; ;2004 ) Theo t nh chất, suy lũy thừa S số tương ứng có chữ số tận giống nhau, chữ số tận tổng: 199 200 Vậy chữ số tận tổng S Tổng qt hó : Tìm chữ số tận tổng sau: S 21  Ví dụ 1.7: Tìm chữ số tận tổng T  35    49     23 37 Lời giải:    n 411 4n 20048011 9009