TIm chu so tan cung

Bài 1: TÌM CÁC CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ A Đặt vấn đề: Tìm một, hai, ba chữ số tận số tìm dư phép chia số cho 10, 100 1000 Nhưng khảo sát chữ số tận số, có phương pháp đặc biệt lí thú Tìm chữ số tận an - Nếu a tận 0; 1; 5; an tận 0; 1; 5; - Nếu a tận 2; 3; sao? Dùng kí hiệu a  b (modm) để a  b chia hết cho m, ta có: 24k  16K  (mod 10) 34k  81k  (mod 10) 74k  492k  (mod 10) Do để tìm chữ số tận an (với a tận 2; 3; 7) ta lấy số mũ n chia cho Giả sử n  4k  r (r  0; 1; 2; 3) + Nếu a  (mod 10) an  2n  24k  r  2r (mod 10) + Nếu a  3; (mod 10) an  a4k  r  ar (mod 10) B Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm chữ số tận 19921993 Giải: Ta có 19921993  21993 (mod 10) Mà 1993  498  21993  (24 )498  (mod 10) Vậy chữ số tận 19921993 Tìm hai chữ số tận an Giả sử a có chữ số tận là: x:  x  Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi báo toán học tuổi trẻ Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page Theo nhị thức Niutơn, ta có: a20  (10k  x)20  (10k)20  20 (10k)19 x   20(10k)x19  x 20  x 20 (mod100) Vậy hai chữ số tận a20 hai chữ số tận x20 Nhận xét: 220  76 (mod 100); 65  76(mod100) 320  (mod 100); 74  (mod100) Dùng quy nạp ta có: 76m  76 (mod100) 5m  25 (mod 100) (m  2) Từ suy với m  1: a20m  (mod100) a  (mod 10) a20m  (mod100) a  1; 3; 7; (mod 10) a20m  25 (mod100) a  (mod 10) a20m  76 (mod100) a  2; 4; 6; (mod 10) Vậy để tìm hai chữ số tận an ta tìm dư phép chia số mũ n cho 20: 2 Ví dụ 2: Tìm hai chữ số tận 2 Giải: Đặt a  2 (có n số 2) Ta có: (có 1992 số 2) a1992  1992 a Ta tìm dư phép chia a1992 cho 20 a  1990  2 19901  24k   2(10l  8)  20l  16 (l  Z) Ta có: a1991  Do đó: a1992  220l  16  216 76  36 (mod100) a Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi báo toán học tuổi trẻ Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 2 Tìm ba chữ số tận an Giả sử n  100k  r,  r  100 Giả sử chữ số tận a x: an  (a100 ) k ar x:  x  Theo nhị thức Niutơn ta có: a100  (10k  x)100  (10k)100  100(10k)99 x   100(10k).x 99  x100  x100 (mod1000) Vậy ba chữ số tận a100 ba chữ số tận x100 Dùng quy nạp ta có: 625n  625 (mod1000) 376n  376(mod1000) - Nếu x  x100  (mod1000) - Nếu x  x  54  625 , x100  (54 )25  625 (mod1000) - Nếu x  1; 3; 7; ta có tương ứng x  1; 81; 2401; 6561  (mod 40)  x100  (40k  1)25  (40k)25  25(40k)24   25 (40k)   (mod1000) - Nếu x  2; 4; 6; lúc x100  (x,125)  mà  (125)  100(* ) (theo định lí Ơle)  x100  (mod125) abc   x100  1000k  abc   abc  1(mod125) Nhưng số 1; 126; 251; 376; 501; 626; 751; 876; (đó tất số có ba chữ số chia cho 125 có dư 1) có số chia hết cho 376 Vậy x100  376(mod1000) Từ suy với m  : a100m  (mod1000) a  (mod10) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi báo toán học tuổi trẻ Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page a100m  (mod1000) a  1; 3; 7; (mod10) a100m  625 (mod1000) a100m  376 (mod1000) a  2; 4; 6; (mod10) a  (mod10) Vậy để tìm ba chữ số tận an ta phải tìm hai chữ số tận số mũ n Ví dụ 3: Tìm ba chữ số tận 1993 29 Giải: Trước hết ta tìm hai chữ số tận 91993 91993  93 91990  93 (320 )199  29(mod100) Ta có: Vì 320  (mod100) Vậy 1993 29  2100k  29  229 376  230 188  (210 )3 188  243 188  824 x 188  912 (mod1000) Tương tự bạn đưa phương pháp tìm bốn chữ số tận an dựa vào ba chữ số tận n C Bài tập ứng dụng: Chứng minh rằng: a 0,3 (19831983  19171917 ) số nguyên b 99 c 23 99  99 4n  chia hết cho 10  chia hết cho 11 với số tự nhiên n d Tìm hai chữ số tận 14 1414 121 175 1992 e Tìm ba chữ số tận 32 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi báo toán học tuổi trẻ Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page ... 2(10l  8)  20l  16 (l  Z) Ta có: a1991  Do đó: a1992  220l  16  216 76  36 (mod100) a Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi báo toán học tuổi trẻ Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400... 1) có số chia hết cho 376 Vậy x100  376(mod1000) Từ suy với m  : a100m  (mod1000) a  (mod10) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi báo toán học tuổi trẻ Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400... chia hết cho 11 với số tự nhiên n d Tìm hai chữ số tận 14 1414 121 175 1992 e Tìm ba chữ số tận 32 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi báo toán học tuổi trẻ Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400