Chữ số tận cùng

1 Tài liệu bồi dưỡng mơn Máy Tính Casio – Năm học 2015-2016 – GV: Lương Công Hiển CHỦ ĐỀ 7: ĐỒNG DƯ THỨC I- ĐỒNG DƯ THỨC Định nghĩa điều kiện: a Định nghĩa: Cho m ∈ N *; a,b ∈ Z Nếu a b chia cho m có số dư ta nói: a b đồng dư theo mơđun m Kí hiệu: a ≡ b (mod m) Hệ thức: a ≡ b (mod m) gọi đồng dư thức Ví dụ: 19 ≡ (mod 8); -25 ≡ (mod 4) Vậy : Nếu a ≡ b (mod m) ⇔ (a - b)  m Các tính chất a) a ≡ b (mod m) => an ≡ bn (mod m) ∀n ∈ N b) a ≡ b (mod m); b ≡ c (mod m) => a ≡ c (mod m) c) Ta cộng vế với theo mơđun d) Ta nhân vế với nhiều đồng dư thức theo môđun e)Ta chia hai vế đồng dư thức cho ước chung chúng nguyên tố với môđun Cụ thể là: a.c ≡ b.c (mod m); ƯCLN (c; m) =1 => a ≡ b (mod m) f)Ta nhân hai vế mơđun đồng dư thức với số nguyên dương Cụ thể là:a ≡ b (mod m) => a.c ≡ b.c (mod m.c) ∀c ∈ N * g) Ta chia hai vế môđun đồng dư thức với ước dương chúng Cụ thể là: a ≡ b (mod m); < c ∈ ƯC (a; b; m) => a/c ≡ b/c (mod m/c) Tài liệu bồi dưỡng mơn Máy Tính Casio – Năm học 2015-2016 – GV: Lương Công Hiển II- ĐỊNH LÝ FÉCMA Cho m số tự nhiên khác a số nguyên tố với m Khi ta có: a µ(m) ≡ (mod m) d) Định lý Fécma - Định lý Fécma Cho p số tự nhiên khác a số nguyên không chia hết cho m Khi ta có: ap - ≡ (mod p) - Định lý Fécma Cho p số nguyên tố, a số nguyên bât kỳ Khi ta có: ap - ≡ a (mod p) III - MỘT SỐ ỨNG DỤNG Tìm số dư phép chia Ví dụ1: Tìm số dư phép chia: 29455 – chia cho Giải: Ta có: 2945 ≡ (mod 9) => 29455 – ≡ 25 – (mod 9) Mà 25 – ≡ (mod 9) Vậy số dư 29455 – chia cho Ví dụ 2: Tìm số dư phép chia 109345 chia cho 14 Giải: Ta có: 109 ≡ -3 (mod 14) => 109345 ≡ (-3)345 (mod 14) Nên: (-3)6 =729 ≡ (mod 14) (theo đ ịnh l ý Ơle) => (-3)345 = (-3) 57.(-3)3 ≡ (-3)3 (mod 14) Mặt khác: (-3)3 = -27 ≡ (mod 14) Vậy số dư phép chia 109345 chia cho 14 Tài liệu bồi dưỡng mơn Máy Tính Casio – Năm học 2015-2016 – GV: Lương Cơng Hiển Ví dụ 3:Tìm số dư phép chia: (19971998 + 19981999 +19992000 )10 chia cho 111 Giải: Ta có: 1998 ≡ (mod 111) => 1997 ≡ -1 (mod 111) 1999 ≡ (mod 111) Nên ta có: 19971998 + 19981999 +19992000 ≡ (mod 111) (19971998 + 19981999 +19992000 )10 ≡ 210 (mod 111) Mặt khác ta có: 210 = 1024 ≡ 25 (mod 111) Vậy (19971998 + 19981999 +19992000 )10 chia cho 111 có số dư 25 Chứng minh chia hết Ví dụ 1: Chứng minh: 3100 – chia hết cho 13 Giải Ta có: 33 = 27 ≡ (mod 13) => 3100 = 3.399 ≡ 3.1 (mod 13) => 3100- ≡ (mod 13) Vậy 3100-3 chia hết cho 13 Ví dụ 2: Chứng minh 62n + + 5n + chia hết cho 31 với n số tự nhiên Giải: Ta có: 62 ≡ (mod 31) => 62n ≡ 5n (mod 31) Mặt khác: ≡ - 52 (mod 31) Nên: 62n + ≡ -5n + (mod 31) Vậy 62n + + 5n + chia hết cho 31 Ví dụ 3: Chứng minh n +1 + 311 với n số tự nhiên Giải: Ta có 210 =1024 ≡ (mod 11) Ta có 34n+1 = 81n.3 = 10.k +3 n+1 => 23 10.k +3 +3 ≡ 23 +3 ≡ (mod 11) +3= Tài liệu bồi dưỡng môn Máy Tính Casio – Năm học 2015-2016 – GV: Lương Cơng Hiển Vậy n +1 + 311 Tìm chữ số tận a.Số có tận 9376 hay 9025 lũy thừa số mũ n nguyên dương chữ số tận nó.Các số 376; 76; 6; 25; 625, có tính chất tương tự b.Tìm chữ số tận an ( với n nguyên dương) a20k ≡ 25 (mod 100) a có chữ số tận a20k ≡ 00 (mod 100) a có chữ số tận a20k ≡ 01 (mod 100) a có chữ số tận 1,3,7 a20k ≡ 76 (mod 100) a có chữ số tận 2,4,6 c Tìm chữ số tận an ( với n nguyên dương) a100k ≡ 625 (mod 1000) a có chữ số tận a100k ≡ 000 (mod 1000) a có chữ số tận a100k ≡ 001 (mod 1000) a có chữ số tận 1,3,7 a100k ≡ 376 (mod 1000) a có chữ số tận 2,4,6 Ví dụ 1: Tìm chữ số tận 20092017 Giải: Ta có: 20092017 ≡ 92017 (mod 100) Ta có 920 ≡ 01( mod 100) ⇒ 92010 = 920 100 917 ≡ 01 917 = 910.97 ≡ 01 69 ≡ 69(mod 100) Vậy : chữ số tận 20092017 69 Ví dụ 2: Tìm chữ số tận 21954 Giải: Ta có 2100 ≡ 376 (mod1000) ⇒ 21954 =2100.19.254 ≡ 37619.(218)3 ≡ 376.1443 ≡ 376.984 ≡ 984 Vậy chữ số tận 21954 984 Tài liệu bồi dưỡng mơn Máy Tính Casio – Năm học 2015-2016 – GV: Lương Cơng Hiển Ví dụ 3: Tìm chữ số tận 9 Giải: Ta có 920 ≡ 01(mod100) Ta có 99=387420489= 20.1937024+9 Suy : 9 =920.1937024.99 ≡ 01.99 ≡ 89 (mod100) Vậy hai chữ số tận 9 89 Bài tập: Bài 1) Tìm dư phép chia a)715 cho 2015 b) 240 cho 2016 Bài 2) Tìm chữ số tận 24 Bài 3) Tìm chữ số tận a)A = 52015 b)B = 1234567891234567892 c) C= 931993 1011011993 881993 331993 20142016 Bài 4) Tìm hai chữ số tận a)A = 22015 +22016 +22017 b) B = 62015 +62016 +62017 Bài 5) Tìm ba chữ số tận a) A = 21 +22 +23 + +22017 b) B=391 +392 +393 + +392017 c) C =12 +22 +32 + + 201620172 Bài 6)Tìm dư phép chia sau: a) A = 2002 +2012 +2022 + .+20152 chia cho 2016 b) B = 12015 +22015 +32015 .+20152015 chia cho 11 c) C= 1010 + 1010 + 1010 + + 1010 chia cho Đáp số: Bài 1) a)993 Bài 2) b) 1024 10 Tài liệu bồi dưỡng mơn Máy Tính Casio – Năm học 2015-2016 – GV: Lương Công Hiển Bài 3) a)81215 b)0521 c)6416 Bài 4) a) 76 b) 44 Bài 5) a) 070 b) 159 c) 785 Bài 6) a) 644 b) c) ... a20k ≡ 25 (mod 100) a có chữ số tận a20k ≡ 00 (mod 100) a có chữ số tận a20k ≡ 01 (mod 100) a có chữ số tận 1,3,7 a20k ≡ 76 (mod 100) a có chữ số tận 2,4,6 c Tìm chữ số tận an ( với n nguyên dương)... (mod 1000) a có chữ số tận a100k ≡ 000 (mod 1000) a có chữ số tận a100k ≡ 001 (mod 1000) a có chữ số tận 1,3,7 a100k ≡ 376 (mod 1000) a có chữ số tận 2,4,6 Ví dụ 1: Tìm chữ số tận 20092017 Giải:... Hiển Vậy n +1 + 311 Tìm chữ số tận a .Số có tận 9376 hay 9025 lũy thừa số mũ n nguyên dương chữ số tận nó.Các số 376; 76; 6; 25; 625, có tính chất tương tự b.Tìm chữ số tận an ( với n nguyên dương)