120 đề hsg toán 6 cấp trường 2018 2019

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Mơn: Tốn Năm học 2018-2019 a  2a  A a  2a  a  Câu (2 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức b) Chứng minh a số nguyên giá trị biểu thức tìm câu a phân số tố giản Câu (1 điểm) Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho abc n  cba  n   2 Câu a (1 điểm) Tìm n để n  2006 số phương b (1 điểm) Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n  2006 số nguyên tố hay hợp số a n a Câu a) Cho a, b, n   * Hãy so sánh b  n b 1011  1010  A  12 ; B  11 10  10  So sánh A B b) Cho Câu Cho 10 số tự nhiên bất kỳ: a1 , a2 , , a10 Chứng minh có số tổng số số liên tiếp dãy chia hết cho 10 Câu (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng đường thẳng cắt Khơng có đường thẳng đồng quy Tính số giao điểm chúng ĐÁP ÁN Câu Ta có:  a  1  a  a  1 a  a  a  2a  a) A     a  1 a  2a  2a   a  1  a  a  1 a  a  2 b) Gọi d UCLN a  a  1; a  a  Vì a  a  a  a  1  số lẻ nên d số lẻ  a  a    a  a  1  d Mặt khác, 2 Nên d 1 tức a  a  a  a  nguyên tố Vậy biểu thức A phân số tối giản Câu abc 100a  10b  c n  (1) cba 100c  10b  c n  4n  4(2) Từ (1), (2)  99  a  c  4n   44n  599 , mặt khác: 100. n  1 999  4n  99  n 26 Vậy abc 675 Câu a) Giả sử n  2006 số phương ta đặt n  2006 a  a    a  n 2006   a  n   a  n  2006(*) Thấy a, n khác tính chất chẵn lẻ vế trái (*) số lẻ nên không thỏa mãn (*) Nếu a, n tính chẵn lẻ  a  n  2,  a  n  2 nên vế trái chia hết cho vế phải không chia hết cho Vậy không tồn n để n  2006 số phương b) n số nguyên tố nên n  không chia hết cho Vậy n chia cho dư n  2006 3m   2006 3m  2007 3  m  669  3 Vậy n  2006 hợp số Câu a) Ta xét trường hợp a an a 1  a b   1 b b  n b Th1: a a n a b 1  a  b  a  m  b  n Th2: b , mà b  n có phần thừa so với b  n a a b a b a b an a ,   b có phần thừa so với b b  n b nên b  n b a 1 a  b  a  n  b  n b Th3: an a b a b b a an a ,   b  n b b b  n b  n b Khi có phần bù tới nên 1011  A  12 10  b) Cho 1011  1  11 1011  10  a an a 1    A  b bn b  1012  1  11 1012  10 rõ ràng A  nên theo câu a, 10 1011  10 10  10  1 1010  A  12   10  10 10. 1011  1 1011  Do Câu Lập dãy số Đặt B1 a1 B2 a1  a2 B3 a1  a2  a3 B10 a1  a2   a10 Nếu tồn Bi  i 1,2,3 10  chia hết cho 10 tốn chứng minh Nếu không tồn Bi chia hết cho 10 ta làm sau: Ta đem Bi chia cho 10 10 số dư (các số dư   1,2,3, ,9 ) Theo nguyên tắc Dirichle, phải có số dư Các số Bm  Bn chia hết cho 10  m  n  (đpcm) Câu Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng cịn lại tạo nên 2005 giao điểm Mà có 2006 đường thẳng nên có: 2005.2006 giao điểm Nhưng giao điểm tính lần nên số giao điểm thực tế là:  2005.2006  : 2011015 giao điểm