Cđ 11 đa thức lớp 7

CHUYÊN ĐỀ: ĐA THỨC LỚP Dạng 1: XÁC ĐỊNH ĐA THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ f  x  a.x  bx  c f   2; f  1 7; f     14 , Xác định hệ số a,b,c biết: f  x  a.x  bx  c f    0, f   0 Bài 2: Cho đa thức: , Xác dịnh a, b, c biết: a số lớn c ba đơn vị P  x  a.x  bx  c Bài 3: Cho đa thức bậc hai: , biết P(x) thỏa mãn hai điều kiện sau: P    2, P  x   P  x  1 6 x  , CMR: a+b+c=0 xác định đa thức P(x)  1 f   1 2, f   1, f   3, f  1 7 f  x  ax  bx  cx  d  2 Bài 4: Cho hàm số thỏa mãn: , Bài 1: Cho đa thức: Xác định giá trị a, b, c d P  x  a.x  bx  cx  d P   2017, P  1 2, P   1 6, P    6033 Bài 5: Xác định đa thức: , biết: y  f  x  ax  bx  c Bài 6: Cho hàm số: cho biết f(0)=2010, f(1)=2011, f(-1)=2012, Tính f(-2) HD: Theo gt ta có: f (0) 2010  c 2010 , f (1) 2011  a  b  c 2011  a  b 1 1  f (  1)  2012   a  b  c  2012   a  b  =>a= , b hàm số có dạng y  f  x   x  x  2010 2 => f(2)=2017 Bài 7: Cho đa thức a, Hãy tính G  x  a.x  bx  c G   1 b, Tìm a, b, c biết: (a, b, c hệ số) biết a+c=b - G   4, G  1 9, G   14 f  x   x  ax  g  x   x3  x2  x  a    2015 Bài 8: Cho đa thức: a, Tìm a biết -1 nghiệm f(x) b, Với a tìm câu a, Tìm nghiệm cịn lại f(x) tính g(2) y  f  x  ax  bx  c f   2014, f  1 2015, f   1 2017 Bài 9: Cho hàm số biết , f   2 Tính HD: f   2014  c 2014 Ta có: f  1 2015  a  b  c 2015  a  b 1 f   1 2017  a  b  c 2017  a  b 3 2  a 2, b  , đó: f  x  2 x  x  2014  f    2         2014 2024 Bài 10: Xác định a,b,c để hai đa thức sau hai đa thức sau đồng nhất: A a.x  x  x   x  3x  B 2 x  3bx  c  f  x  x +a.x+b Bài 11: Xác định hệ số a, b đa thức : trường hợp sau : a, f(0) = f(x) nhận x = nghiệm b, Các nghiệm đa thức g(x) = (x+1)(x-2) nghiệm f(x) Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com f  x  a x  x x   g  x   x  x  bx  1  c  Bài 12: Cho , a,b,c số Xác định a,b,c để f(x)=g(x)  Bài 13: Cho hai đa thức: P  1 Q   1  P  x  x  2mx  m2 Q  x   x   2m  1 x  m , Tìm m để p( x)  x  2mx  m2 & q( x)  x   2m  1 x  m Bài 14: Cho hai đa thức: , Tìm m biết : p(2) = q(-2) P  x   x  2ax  a Q  x   y   3a  1 y  a P  1 Q  3 Bài 15: Cho hai biểu thức : , Tìm số a cho A a  1; a  a y  f  x  ax  Câu 16: Cho hàm số có đồ qua điểm a, Tìm a f 3x  1  f   3x  b, Với a vừa tìm được, tính giá trị x thỏa mãn:  HD: A a  1; a  a a  a a  a  1  a, Đồ thị hàm số y=ax+4 qua điểm nên ta có: 2 => a  a a  a   a  Vậy a=-2 đồ thị hàm số qua điểm A    y  f  x   x   f  x  1  x  b, Với a=-2 ta có hàm số Để f  3x  1  f   3x    x  6 x   x  Bài 17: Cho  f  x  a.x  x x     và f   x  6 x  g  x   x  x  bx  1  c  , Trong a, b, c số, f  x  g  x  Xác định a, b, c để HD : f  x  a.x  x x   a.x  x  x   a   x  x  Ta có : g  x   x  x  bx  1  c   x  4bx  x  c  Và  a  1    4b 0   a  3; b 0; c 11  c  8 f  x  g  x  Do nên ta có :  f  x   f  x  1  x Bài 18: Tìm đa thức bậc hai cho : Áp dụng tính tổng : S 1      n HD : f  x  ax  bx  c  a 0  Vì đa thức bậc hai nên có dạng   Ta có : f  x  1 a  x  1  b  x  1  c   a  2a   f  x   f  x  1 2ax  a  b  x      b  a 0 b   Và 1 f  x   x2  x  c 2 Vậy đa thức cần tìm : , c số Áp dụng : Với x 1  f  1  f   1 Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com Với … Với => x 2  f    f  1 2 x n  f  n   f  n  1 n S 1     n  f  n   f    n  n  1 n2 n  c c  2 1 f  x   f   x  x Bài 19: Cho đa thức P ( x) xác định với x thuộc R, Biết với x ta có: Tính f(2) HD: 1 1 1 f    f   4 f    f  2  f  2  f    =>  2   (2) Ta có: (1)    13  13 , f  2  đó: 24 Trừ vế (2) cho (1) ta có: 17 16 15 14 f  x   x  2015 x  2015 x  2015x   2015x  f  2014  Bài 20: Cho , Tính Bài 21: Cho đa thức: f  x  4  x  3x  x  x  x  x f  x x  1 , Tính giá trị Bài 22: Tính giá trị đa thức sau biết x+y=0 A 2 x 2 y  3xy  x  y   x y  x y  a, B 3xy  x  y   x y  x y  b, 2 2 Bài 23: Cho x  y 1 , Tính giá trị biểu thức : P 2 x  3x y  y  y f  2    3 4 2014 2015 2016 Bài 24: Tính giá trị biểu thức: N  xy z  x y z  x y z   x y z , x=-1, y=-1, z=-1 HD : 2 2 3 2014 2014 2014 Ta có N  xyz yz  x y z yz  x y z yz   x y z yz 2 3 2014 2014 2014 Thay y=-1, z=-1 vào ta được: N  xyz  x y z  x y z   x y z 2014   xyz    xyz    xyz     xyz  Thay xyz=-1 vào ta : N 1       0 Bài 25: Cho đa thức: A 2 x  x  3  x  x     x  403 Tính giá trị A x=4, Tìm x để A=2015  A 11x y z  20 x yz   xy z  10 x yz  3x y z   2008xyz  8x y z Bài 26: Cho đa thức: a, Tìm bậc A b, Tính A 15x-2y=1004z HD: 2 Thu gọn A 30 x yz  xy z  2008 xyz 2 xyz (15 x  y  1004 z )  x  2 Bài 27: Tính giá trị biểu thức: x  x  Bài 28: Tính giá trị biểu thức: x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2010 x=2008 20 30 x  1   y   0  x  y  Bài 29: Tính giá trị biểu thức: , biết 100 A  x  x  x  x   x Bài 30: Cho đa thức: , Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com a, CMR: x=-1 nghiệm A(x) b, Tính giá trị A(x) HD: a, A(-1)= -1+1-1+1- -1+1=0 nên -1 nghiệm A, A  x  x  x  1  x  x  1   x 99  x  1 x 1 1 x   A     100 2 2 b, Với Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 3 4 2014 2015 2016 Bài 31: Tính giá trị đa thức: N  xy z  x y z  x y z   x y z , Tại x  1; y  1; z  HD: 2 2 3 2014 2014 2014 Ta có:  xyz.yz  x y z yz  x y z yz   x y z yz 2 3 2014 2014 2014 Thay y  1; z  vào ta được: N  xyz  x y z  x y z   x y z Thay xyz   N 1       0 Bài 32: Cho biểu thức: M a.x  b (a,b  Z ) Lương nói: Giá trị biểu thức M x=23 2009 Minh nói: Giá trị biểu thức M x=18 là: 1458 CMR hai bạn có bạn nói sai ! HD: Giả sử hai bạn đúng, ta có: 23a+b=2009 18a+b=1458 đó:  23a  b    18a  b  2009  1458  5a 551  a  Z ( Vô lý) có bạn nói sai Bài 33: Tính giá trị biểu thức : B 9 x  12 x  x  3x  2010 , x thỏa mãn : 3x  x  x  0 B x a.x  bx  c Bài 34: Cho đa thức:   A A 0 a, Cho biết: 5a+b+2c=0, CMR:     b, Cho A(x) =0 với x, CMR: a=b=c f f  0 c, Nếu 13a-b+2c=0     B  x  a x  bx  c Bài 35: Cho đa thức: A   A  1 0 a, Cho biết 5a+b+2c=0, CMR: A  x  0, x b, Cho , Chứng minh a=b=c=0 f  x  a x  bx  c Bài 36: Cho đa thức: f   1 f   0 a, CMR nếu: 5a  b  2c 0 f   f   3 0 b, CMR: Nếu 13a  b  2c 0 P  x  a.x  bx  c P   P   1 0 Bài 37: Cho , CMR nếu: 5a  b  2c 0 HD: P    P   1 5a  b  2c 0  P    P   1 P   P   1 0 Ta có : Bài 38: Cho đa thức : P ( x) a.x  bx  c , CMR 5x-b+2c=0 P(1).P(-2) 0 10 HD : Ta có : P (1)  P(  2) a  b  c  4a  2b  c 5a  b  2c 0 nên P(1)= -P(-2) f  x  a x  bx  c, f   , f  1 , f   Bài 39: Cho đa thức có giá trị nguyên, CMR: a, a+b+c, 2a, 2b số nguyên f  n b, số nguyên với giá trị nguyên n f  x  a x  bx  c f  x  3 Bài 40: Cho đa thức , a, b, c số nguyên, biết giá trị với giá trị nguyên x, CMR a,b,c  cho 2 3 Bài 41: Cho P  xyz  xy  xz , Q  x  y , CMR: x-y=z P+Q=0 Bài 42: Cho đa thức bậc : f(x)=a.x+b, Hãy tìm điều kiện số b để thỏa mãn hệ thức : f  x1  x2   f  x1   f  x2  f  x  a.x  bx  c Bài 43: Cho đa thức biết f(0),f(1),f(2) có giá trị nguyên, CMR: Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com a, a+b+c, c, 2a, 2b số nguyên b, f(n) số nguyên với giá trị n f  x  a.x  bx  c Bài 44: Cho , Trong a, b, c số nguyên, biết giá trị f(x) chia hết cho với giá trị x, CMR a, b, c chia hết cho Q  x  ax  bx  cx  d ,  a, b, c, d  Z  Bài 45: Cho đa thức: , Biết Q(x) chia hết cho với số nguyên x, CMR: hệ số a,b,c,d chia hết cho f  x  ax  bx  c  a, b, c  Z  Bài 46: Cho hàm số : Biết f(1) chia hết cho 3, f(0) chia hết cho 3, f(-1) chia hết cho 3, CMR a,b,c chia hết cho HD: Ta có f(0)=c, f(1)= a+b+c, f(-1)=a-b+c, Vì f(0) 3 nên c 3, Vì f(-1)  nên a+b+c 3=>a+b 3 (1) f(-1) 3 nên a-b+c 3 => a-b 3 (2), Từ (1) (2) nên (a+b)+(a-b) 3 =>2a 3=>a 3=>b 3 f  x   2010 x Bài 47: Cho , CMR : f(a+b)=f(a)+f(b) a x  bx  c 0 với giá trị x, CMR : a=b=c=0 Bài 48: Cho đa thức : HD: Vì đa thức a.x  bx  c 0 với x, Ta cho x nhận giá trị x=0, x=1 x=-1 Ta có : c=0, a+b+c=0 a-b+c=0=> a=b=c=0 f  x  ax  bx  c Bài 49: Cho đa thức: , CMR f(x) nhân -1 nghiệm a c hai số trái dấu HD: Ta có nghiệm f(x) nên f(1)=0 hay a+b+c=0, -1 nghiệm nên a-b+c=0 Cộng theo vế ta được: 2a+2c=0=> a =-c, a c hai số đối f  x  a.x  bx  c Bài 50: Cho nhận giá trị nguyên với giá trị nguyên x, CMR : 2a, a+b c số nguyên HD: f   a.02  b.0  c c  Z f  1 a  b  c  Z  a  b  Ta có : f   4a  2b  c  Z  2a  2(a  b)  c  Z  2a  Z Bài 51: Cho đa thức P ( x ) a.x  bx  cx  d với P(0) P(1) số lẻ, CMR : P(x) khơng thể có nghiệm số ngun HD : P(0)=d lẻ P(1)=a+b+c+d lẻ, - P(1) số lẻ  am3  bm2  cm  d    a  b  c  d  lẻ Giả sử P(x) có nghiệm nguyên m ta có P(m)=0 => => a (m  1)  b(m  1)  c(m  1) lẻ => m chẵn=> P(m) lẻ, Điều mâu thuẫn f  x  a.x  bx  c Bài 52: Cho có tính chất f(1),f(4),f(9) số hữu tỉ, CMR a,b,c số hữu tỉ HD: f  1 a  b  c  Q f   16a  4b  c  Q f   81a  9b  c  Q ,  16a  4b  c    a  b  c  15a  3b 3  5a  b   Q 5a  b  Q Từ (1) (2) =>  81a  9b  c    16a  4b  c  65a  5b 5  13a  b   Q  13a  b  Q Từ (2) (3) =>  13a  5b    5a  b   Q  8a  Q  a  Q Nên Khi a  Q b  Q c  Q Bài 53: Cho đa thức bậc hai thỏa mãn : P (1) P ( 1) , CMR : P( x ) P ( x) với x HD : Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com Giải sử : P ( x ) a.x  b.x  c , ta có : P (1) P ( 1)  a  b  c a  b  c  2b 0  b 0 Vậy P( x) a.x  c 2 Do P(  x) a (  x)  c a.x  c P ( x) Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 100 x f  x  100 x  10 , CMR : a,b hai số thỏa mãn : a+b=1 f  a   f  b  1 Bài 54: Cho hàm số HD : 100a  100b  10   100b  100a  10  100a 100b f  a   f  b    100a  10 100b  10  100a  10   100b  10  Ta có : 2.100a b  10  100a  100b  200  10  100a  100b   1 100a b  10  100a  100b   100 200  10  100a  100b  = Bài 55: Cho đa thức bậc biến x P(1)=P(-1), P(2)=P(-2), CMR : P(x)=P(-x) với x HD : P(x) đa thức bậc nên có dạng : P( x) a.x  bx  cx  dx  e Ta có : P(1)=P(-1) P(2)=P(-2) => d+b= - d - b 2d+8b=-2d-8b=> b=d=0 4 Vậy P( x) a.x  cx  d P(  x) a.x  cx  d =P(x)  1890 2010   19t   x y t Bài 56: Cho đơn thức :  , Tìm t thỏa mãn : a, Đơn thức dương với x,y khác b, Âm với x,y khác HD :  1890 2010 19t  1890 2010  19 t   x y  x y 1890 2010 0 t t   a, mà 19t   x y A 4mx y    15 x y   mx y Bài 57: Cho , x y khác Với giá trị m : a, A dương với x,y b, A âm với x,y khác 2 2 Bài 58: Cho thức: P 9 x  xy  11 y Q  x  xy  y ,CMR P Q khơng thể có giá trị âm HD : Xét tổng dương 2 2 Bài 59: Cho hai đa thức : A  13x  10 xy  y B 7 x  xy  y , CMR: A B khơng thể có giá trị âm P  x  ax  bx  c Bài 60: Cho đa thức: 6a  2b  3c , CMR: Trong ba số P(1), P(2),P(-1) có số khơng âm, số không dương P  x   x8  x5  x  x  Bài 61: Cho đa thức: , CMR: P(x) dương với giá trị x thuộc P 2 2 Bài 62: Cho hai đa thức: M 6 x  xy  y & N 3 y  x  3xy , CMR không tồn giá trị x y để hai đa thức có giá trị âm 2 2 2 Bài 63: Cho đa thức : A 5 x  xy  y , B  x  xy  11 y C 6 x  xy  y CMR A ,B ,C âm 2 2 Bài 64: Cho thức: M  x  xy  13 y N  x  xy  y , CMR: M, N khơng thể có giá trị dương 2 2 Bài 65: Cho hai đa thức: M 6 x  xy  y , N 3 y  x  xy CMR không tồn giá trị x y để hai đa thức có giá trị âm A  x  4 x  x  5x  B  x  3 x  x  x  Bài 66: Cho hai thức : , , CMR hai thức có đa thức có giá trị dương HD: Xét tổng dương Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com P  x  5 x  x  x  Q  x   x3  x  x  Bài 67: Cho hai đa thức : , CMR: không tồn giá trị x để đa thức P(x) Q(x) có giá trị khơng dương HD: Xét tổng dương M  x19 y , N 11xy12 , P  x y Bài 68: Cho đơn thức: , CMR ba đơn thức khơng thể có giá trị dương 2 2 Bài 69: Cho hai đa thức: M 6 x  3xy  y N 3 y  x  3xy chứng minh không tồn giá trị x y để hai đa thức có giá trị âm 2 2 Bài 70: Cho đa thức A  x  xy  y B 9 x  xy  11 y , CMR A B khơng thể có giá trị âm 2 2 Bài 71: Cho P  x  xy  y , Q  x  xy  13 y , CMR: P Q khơng thể có giá trị dương Bài 72: Cho đa thức : P ( x) a.x  bx  c Cho biết 9a-b=-3c, CMR : Trong ba số P(-1) ; P(-2) ; P(2) có số âm, số khơng dương HD : Ta có : P(-1)+P(-2)+P(2)=9a-b+3c=0 ba số có số khơng âm, số không dương P  x   x  3x  10  2008  8x  x  10  2009 Bài 73: Tính tổng hệ số đa thức sau bỏ dấu ngoặc : HD: P  x  an x n  an  x n    a1 x  a0 Sau bỏ ngoặc ta : với n 2.2008  2.2009 P  1 Thay x=1, giấ trị tổng hệ số P(x) P  1  8.12  3.1  10  2008  8.1   10  2009  Ta có Bài 74: Tính tổng hệ số đa thức F(x) sau thu gọn: f  x   1999 x  2000 x   2011  2002 x  2003x  2005 x  2005  2008 Bài 75: Tìm tổng hệ số đa thức nhận sau bỏ dấu ngoặc biểu thức:   4x  x  2016  4x  x2   2019 Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com Dạng NGHIỆM CỦA ĐA THỨC f  x  x 2016  x 2015  x  x  Bài 1: Chứng minh đa thức sau khơng có nghiệm với x: f  x  5x  x  x  3x  x  x   x Bài 2: Chứng minh đa thức: khơng có nghiệm Bài 3: CMR đa thức x  x  khơng có nghiệm Bài 4: CMR: đa thức f(x) có hai nghiệm nếu: x f  x    x   f  x  với x  x  3 f  x   x  1 f  x   với x Bài 5: CMR: đa thức f(x) có hai nghiệm nếu:  x   P  x   x 1 P  x   Bài 6: CMR đa thức P(x) có hai nghiệm, biết : HD :  x   P  x   x  1 P  x   với x nên Vì    P    1 P     7 P    P   0 => nghiệm P(x) Khi x=6     P  x     1 P       P   1 0  P   1 0 Khi x=-1 => -1 nghiệm P(x) Bài 7: Cho đa thức P(x) thỏa mãn: xP( x  2) ( x  9).P( x) , CMR đa thức có ba nghiệm HD: Xét x=0, x=3 x= -3 Bài 8: Cho đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện : ( x  5) P( x  4) ( x  3) P( x) CMR đa thức có hai nghiệm xP  x    x   P  x  Bài 9: Cho đa thức P ( x ) thỏa mãn điều kiện , CMR đa thức có hai nghiệm Bài 10: Cho đa thức nghiệm Q  x thỏa mãn điều kiện  x  1 Q  x    x   Q  x  , CMR đa thức có Bài 11: Tìm tất đa thức P(x) thỏa mãn: P ( x) a.P (1  x) (a  1).x với giá trị x, biết a  0;1;  1 Bài 12: Tìm đa thức có bậc nhỏ nhận 19; 2017 làm nghiệm HD : A( x ) ( x  19)( x  5)( x  2017) Bài 13: Tìm đa thức có bậc nhỏ nhân ; ; ; ;2019 làm nghiệm Bài 14: Cho đa thức : Q( x)  x  mx  12 (m số) Tìm nghiệm Q(x), biết Q(x) có nghiệm -3 Bài 15: Cho hàm số : f  x  ax  b  a, b  Z  , CMR khơng thể đồng thời có f(17)=71, f(12)=35 x ;x Bài 16: Xét hai đa thức P( x)  x  a.x  b, Q( x)  x  cx  d hai số khác CMR P(x) x ;x Q(x) nhận làm nghiệm P(x) = Q(x) HD : 2 Ta có : x1  a.x1  b  x1  cx1  d 0 x22  a.x2  b x22  cx2  d 0 Nên a  x1  x2  c  x1  x2   a c a.x1  b cx1  d a.x2  b cx2  d => b d Vậy P(x)=Q(x)  x2 1  x x q ( x)  x   x  x     x  x    3 3  2 Bài 17: Cho đa thức: Do : Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 10 a, Tìm bậc q(x)   1 q  b, Tính   c, CMR: đa thức q(x) nhận giá trị nguyên với x nguyên y  f  x  0  x  R, x 0  f  x1; x2   f  x1  f  x2  Bài 18: Cho hàm số , có tính chất Hãy CMR: a f  1 1 f x   f  x   b,   1 f  x Bài 19: Cho hàm số xác định với x thuộc R, biết với x ta có:  1 f  x   f   x f  2  3 , Tính HD:  1 x 2  f    f   4  2 Ta có: x   Và  1 f    f     f    47  2 32 f  x x thỏa mãn: Bài 20: Cho đa thức f  x CMR: có nghiệm  5x f  x    x  3x  f  x  1    , với x Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 11