Thông tin tài liệu
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐÁP ÁN MƠNTỐN HỌC LỚP 11 ĐỀ SỐ Câu 1(4 điể m): 2x Giả i hệ phương trình: 2y 3y x 2x 8x y 2xy 2y 1 (Quả ng Trị ) 2x 2y 3y 2x (1) 8x 2x y xy 2y 1 (1) y (2) ĐK: (2x + 1)(y + 1) 2x y 2x Mà x > y (1) 2x Thay vào (2): y 6x 1 2x 8x 4x 1 y 0 6x 2x 1 y 6x 2x 2x y 2x (3) 1đ Hàm số f(t) = t3 + t đồ ng biế n R (3) 6x 2x 4x 3x NX: x >1 không nghiệ m củ a phương trình Xét x 1: Đặ t x = cos với 1đ Ta có: k cos 2 k (k Z ) Do 1đ Vậ y hệ có nghiệ m cos ; cos 9 1đ Câu (4 điể m): Cho dãy ( a n ) n : a 1; a n an 5an 10 an a) Chứng minh dãy ( a n ) hộ i tụ tính li m a n n b) Chứng minh a1 a2 an 5 n n (Hả i Phòng) a) Bằ ng phương pháp chứng minh qui nạ p ta có: Đặ t A= 5 x xét hàm f ( x ) 5x 10 10 Suy f '( x ) x a3 a5 n 10 x [1 ; x an 5) x(x x 1,0 ] , vậ y f ( x ) nghị ch biế n đoạ n [ ;1] a1 Dẫ n đế n a2 a4 a6 a2k a2k A A li m a k li m a k b c A A 1,0 Kế t hợp công thức xác đị nh dãy ta c b 5c b c c 5b Vậ y li m a n = 5 10 b c 1,0 10 b b) Nhậ n xét: t [1; 5 ) t f (t ) Dẫ n đế n a k a1 a2 a2k a2k 5 a2k k 2k a1 a2 2k a2k 1 , ý a k a2k a2k (1) Như vậ y bấ t đẳ ng thức với n Trường hợp n 1,0 2k 1 Vậ y bấ t đẳ ng thức chứng minh , kế t hợp với (1) thu được: (2 k 1) 5 Câu (4 điể m):Gọ i AD , BE ,CF Đoạ n thẳ ng EF cắ t AD tạ i ba đường phân giác củ a tam giác Đường thẳ ng qua K song song với K cắ t BC ABC vuông AB, AC A lầ n lượt Chứng minh rằ ng: M ,N MN AB AC (Chu Văn An-Hà Nội) 1,0 Đặ t BC a,CA b, AB ta có c a b c b c suy b Dùng tính chấ t đường phân giác tính c a bc AF a bc , AE b a 0,5 c Dùng phương pháp diệ n tích, hoặ c cơng thức đường phân giác tính 1,0 2bc AD b c AE AK Từ b AD Suy ra: A E A F , AK 2a MN AF c b (b 2bc 2a MN c b c 2a c) (b c c b a b 1,0 b c c) 2 AB AC 0,5 2 a Câu 4(4điể m): Tìm tấ t hàm số f x y f : xf x thoả mãn yf y , x, y (1) (Thái Bình) Đáp án: Cho x , từ suy f y Cho y , từ suy f x 2 yf y , xf x , y x Do (1) trở thành: f x thay y y f x y từ f y , x, y ta : f x y f x f y , x, y * f x y yf x yf f f x f Với mọ i x f y x y y f x 0, y f f f y y Kế t hợp y y y x y x yf y , y , f x x x f x x f f f x , x , x x , chứng tỏ f f x f x f y y x x y y f y , x y 0, y ** ta có y * , * * , (* * * ) f x ta f y f x f y f x x f x x x x theo hai cách Ta có f f x f f f f tính hàm số lẻ Do với mọ i f ta có y f f yf y 0, y f xf y yf x x y y , 2x f x f x, y x f y *** x f xf 2x x f f x f f x xf , x f x ax, ,a x f Câu (4 điể m): Cho 100 số tự nhiên khơng lớn 100 có tổ ng bằ ng 200 Chứng minh rằ ng từ số chọ n mộ t số số có tổ ng bằ ng 100 (Yên Bái) Đáp án: Nế u tấ t số bằ ng tấ t số Khi ta lấ y 50 số có 1,0 tổ ng 100 Giả sử a a2 a1, a , a1 ta xét 100 số có ng a 2,a1 a2 a , , a a a 99 200 Nế u có mộ t số chia hế t cho 100 số bằ ng 100 số bé 200 Nế u khơng có số chia hế t cho 100 100 số phả i có hai số đồ ng dư phép chia cho 100 (vì số dư nhậ n giá trị từ đế n 99) suy hiệ u củ a chúng chia hế t cho 100 hiệ u hai số tổ ng cầ n tìm HẾT 1,0 1,0 1,0 ... xét 100 số có ng a 2,a1 a2 a , , a a a 99 200 Nế u có mộ t số chia hế t cho 100 số bằ ng 100 số bé 200 Nế u khơng có số chia hế t cho 100 100 số phả i có hai số đồ ng dư phép chia cho 100 (vì... Cho 100 số tự nhiên khơng lớn 100 có tổ ng bằ ng 200 Chứng minh rằ ng từ số chọ n mộ t số số có tổ ng bằ ng 100 (Yên Bái) Đáp án: Nế u tấ t số bằ ng tấ t số Khi ta lấ y 50 số có 1,0 tổ ng 100 ... Phòng) a) Bằ ng phương pháp chứng minh qui nạ p ta có: Đặ t A= 5 x xét hàm f ( x ) 5x 10 10 Suy f ''( x ) x a3 a5 n 10 x [1 ; x an 5) x(x x 1,0 ] , vậ y f ( x ) nghị ch biế n đoạ n [ ;1] a1 Dẫ n
Ngày đăng: 01/12/2022, 10:16
Xem thêm:
