PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THAN UYÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2017-2018 Mơn thi: TỐN Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm) a) Thực phép tính: 193 33 11 1931 A : 193 386 17 34 1931 3862 25 2 2016 2017 5 b) Rút gọn : B Câu (4,0 điểm) 12a 15b 20c 12a 15b 20c 11 a) Tìm a, b, c biết a b c 48 b) Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội I , II , III tỉ lệ với 7;6;5 Nhưng sau số người đội thay đổi nên chia lại tỉ lệ 6;5;4 Như có đội làm nhiều so với dự định 6m Tính tổng số đất phân chia cho đội Câu (4,5 điểm) x 2017 2018 C x 2017 2019 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức 15 n2 S 16 n không số tự nhiên với b) Chứng tỏ n , n c) Tìm tất cặp số nguyên x, y cho x xy y 0 Câu (5,5 điểm) Cho tam giác cân ABC , AB AC Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối CB lấy điểm E cho BD CE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB, AC M , N Chứng minh rằng: a) DM EN b) Đường thẳng BC cắt MN điểm I trung điểm MN c) Đường thẳng vng góc với MN I luôn qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC Câu (2,0 điểm) Trong hình bên, đường thẳng OA đồ thị hàm số y f ( x) ax y0 a) Tính tỉ số x0 b) Giả sử x0 5 Tính diện tích tam giác OBC O ĐÁP ÁN Câu 193 33 193 193 33 2 33 a) 1 193 386 17 34 193 17 386 17 34 17 34 34 11 1931 1931 11 1931 11 1931 3862 25 1931 25 3862 25 25 50 5 A 1: b) B 2016 B 5 5 B B B 2018 5 2016 2017 5 52018 1 B 5 2018 2017 Do đó: Câu a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 12a 15b 20c 12a 15b 20c 12a 15b 20c 12a 15b 20c 0 11 27 12a 15b 0 12a 15b a b c 12a 15b 20c 20c 12a 0 20c 12a 12 15 20 Và a b c 48 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c a b c 48 24 1 1 1 12 15 60 12 15 20 a 20, b 16, c 12 b) Gọi tổng số đất phân chia cho đội x m3 , DK : x a, b, c m3 , DK : a, b, c I , II , III Số đất dự định chia cho đội a b c a b c x 7x 6x 5x a ; b ; c (1) 18 18 18 18 18 Ta có a ', b ', c ' m3 I , II , III Số đất sau chia cho đội ĐK: a ', b ', c ' a ' b ' c ' a ' b ' c ' x 6x 5x 4x a ' ; b ' ; c ' (2) 15 15 15 15 15 Ta có So sánh (1) (2) ta có: a a ', b b ', c c ' nên đội I nhận nhiều lúc đầu 7x 6x x 6 4 x 360 90 Vì a a ' 6 hay 18 15 Vậy tổng số đất phân chia cho đội 360m đất Câu a)C x 2017 2018 x 2017 2019 1 1 x 2017 2019 x 2017 2019 x 2017 2019 Biểu thức C đạt giá tri nhỏ x 2017 2019 có giá trị nhỏ Mà x 2017 0 nên x 2017 2019 2019 Dấu " " xảy x 2017 C 2018 2019 2018 Vậy giá trị nhỏ C 2019 x 2017 15 n 22 32 42 n2 b) S 16 n n 1 1 1 1 1 n n 2 S n (1) Nhận xét: 1 1 1 1 ; 2 ; 2 ; ; 2 1.2 2.3 3.4 n n 1 n 1 1 1 1 1 22 32 42 n 1.2 2.3 3.4 n n 1 n 1 1 n 1 n 1 n n n 2 2 S n 2(2) Từ (1) (2) suy n S n hay S không số nguyên c) Ta có: x xy y 0 x y y 0 y x y 1 x y 1 1.1 1-x 1-y X y x; y 0;0 ; 2;2 Vậy Câu 1 0 -1 -1 2 A M B C H D I O E N a) MDB NEC g.c.g DM EN (cặp cạnh tương ứng) MB NC (cặp cạnh tương ứng) b) Ta có: MID 900 (tổng hai góc nhọn tam giác vng) MDI vng D: DMI NEI vuông E: ENI NIE 900 (tổng hai góc nhọn tam giác vng) Mà MID NIE (đối đỉnh) nên DMI ENI MDI NEI ( g.c.g ) IM IN (cặp cạnh tương ứng) Vậy BC cắt MN điểm I trung điểm MN c) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC AHB AHC (cạnh huyền – cạnh góc vng) HAB HAC (cặp góc tương ứng) Gọi O giao điểm AH với đường thẳng vng góc với MN kẻ từ I OAB OAC (c.g c ) OBA OCA (cặp góc tương ứng) (1) OC OB (cặp cạnh tương ứng) OIM OIN (c.g c) OM ON (cặp cạnh tương ứng ) OBM OCN (c.c.c) OBM OCN (cặp góc tương ứng ) (2) Từ (1) (2) suy OCA OCN 90 , OC AC Vậy điểm O cố định Câu a) Điểm A thuộc đồ thị hàm số y ax nên tọa độ 2;1 A phải thỏa mãn hàm số y ax 1 a.2 a y x Vậy hàm số cho công thức Do đó, Hai điểm A B thuộc đồ thị hàm số nên hoành độ tung độ chúng tỉ lệ thuận với y y 0 x0 x0 (tính chất dãy tỉ số nhau) y0 x Vậy y0 x0 2,5 2 b) Nếu x0 5 S a.h ta có Diện tích tam giác OBC là: Áp dụng công thức SOBC 5.2,5 6,25