Chủ đề 11 góc cạnh đường xiên hình chiếu

CHỦ ĐỀ 11: QUAN HỆ GIỮA GÓC, CẠNH, ĐƯỜNG XIÊN, HÌNH CHIẾU TRONG TAM GIÁC, BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ + Trong tam giác: Góc đối diện với cạnh lớn góc lớn Cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn Hai góc hai cạnh đối diện ngược lại hai cạnh hai góc đối diện + Trong đường xiên, đường vng góc kẻ từ điểm nằm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vng góc đường ngắn Đường xiên có hình chiếu lớn lớn hơn, đường xiên lớn hình chiếu lớn hơn, hai đường xiên hai hình chiếu ngược lại hai hình chiếu hai đường xiên + Trong tam giác, cạnh lớn hiệu nhỏ tổng hai cạnh cịn lại  ABC ln có: AB – AC < BC < AB + AC AB – BC < AC < AB + BC AC – BC < AB < AC + BC B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Trong tam giác vng cạnh cạnh lớn nhất? Vì sao? Cũng câu hỏi tam giác có góc tù? Hướng dẫn Trong tam giác vuông cạnh huyền cạnh lớn cạnh huyền đối diện với góc vng Trong tam giác tù cạnh đối diện với góc tù cạnh lớn góc tù góc lớn tam giác Bài 2: Cho tam giác ABC có AB =5cm; BC = 7cm; AC = 10cm So sánh góc tam giác? Hướng dẫn Trong tam giác ABC có AB =5cm; BC = 7cm; AC = 10cm ^ A< ^ B^ Nên AB < BC < AC => C< (ĐL1)  = 450 Bài 3: Cho tam giác ABC cân A, biết B a) So sánh cạnh tam giác ABC b) Tam giác ABC cịn gọi tam giác gì? Vì sao? Hướng dẫn ^ B^ = 450 => A= ^ 900 a) Tam giác ABC cân A nên C= Vậy ^ B^ = 450 => BC > AB = AC ^ 900 > C= A= b) Tam giác ABC vuông cân A ^ 900 A= Bài 4: Sử dụng quan hệ góc cạnh đối diện để chứng minh định lí: Trong tam giác cân, hai góc đáy Hướng dẫn ^ B^ (ĐL1) Tam giác ABC cân A nên AB = AC => C= Bài 5: Sử dụng quan hệ đường xiên hình chiếu để chứng minh tốn sau: Cho tam giác ABC cân A, kẻ AH  BC (H  BC) Chứng minh HB = HC Hướng dẫn Từ điểm A nằm ngịai đường thẳng BC Có AB = AC ( gt) Mà AB có hình chiếu HB Và AC có hình chiếu HC Nên HB = HC Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M Chứng minh BM  BC Hướng dẫn Nếu M  C => MB  BC nên MB = BC (1) Nếu M  A => MB  BA nên AB < BC (ĐL1) (2) Nếu M nằm hai điểm A C Ta có AM hình chiếu BM ; AC hình chiếu BC Vì M nằm hai điểm A C nên AM < AC => BM < BC ( ĐL2) (3) Từ (1),(2)&(3) => BM  BC ( ĐPCM) Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm N , cạnh AB lấy điểm M (N  A,C; M  A,B) Chứng minh rằng: a) BC > MC b) MN < BC Hướng dẫn a) Ta có AM hình chiếu CM AB hình chiếu BC Vì M nằm hai điểm A B nên AM < AB => CM < BC ( ĐL2) (1) b) Ta có AN hình chiếu NM AC hình chiếu MC Vì N nằm hai điểm A C nên AN < AC => NM < MC ( ĐL2) (2) Từ (1) (2) => MN < BC Bài 8: Cho điểm D nằm cạnh BC  ABC Chứng minh rằng: AB + AC - BC AB + AC + BC < AD < 2 Hướng dẫn * Trong tam giác ABD ta có AB – BD < AD (1) Trong tam giác ACD ta có AC – CD < AD (2) Từ (1) (2) => AB – BD + AC – CD < 2AD AB + AC – (BD + DC) < 2AD AB + AC – BC < 2AD AB + AC - BC < AD => (*) * Trong tam giác ABD ta có AB + BD > AD (1) Trong tam giác ACD ta có AC + CD > AD (2) Từ (1) (2) => AB + BD + AC + CD > 2AD AB + AC + (BD + DC) > 2AD AB + AC + BC > 2AD AB + AC + BC > AD => (**) AB + AC - BC AB + AC + BC < AD < 2 Từ (*) (**) => Bài 9: Cho tam giác ABC, M điểm tùy ý nằm bên tam giác ABC Chứng minh MB + MC < AB + AC Hướng dẫn Trong tam giác IMC có MC < MI + IC Cộng MB vào vế Ta MC + MB < MI + IC + MB  MC + MB < MI + MB + IC  MC + MB < IB + IC (1) Trong tam giác IBA có IB < IA + AB Cộng IC vào vế Ta IB + IC < IA + AB + IC  IB + IC < IA + IC + AB  IB + IC < AC + AB (2) Từ (1) & (2) => MB + MC < AB + AC Bài 10: Cho tam giác ABC có AC > AB Nối A với trung điểm M BC Trên tia AM lấy điểm E cho M trung điểm đoanh thẳng AE Nối C với E a) So sánh AB CE AC - AB AC + AB < AM < 2 b) Chứng minh: Hướng dẫn a) So sánh AB CE Xét tam giác ABM tam giác ECM AM = ME (gt) B A^ M=E M^ C (đđ) MB = MC (gt) Vậy tam giác ABM = tam giác ECM (cgc) => AB = CE AC - AB AC + AB < AM < 2 b) Chứng minh: xét tam giác AEC có AE > AC - EC Mà AE = 2AM (M trung điểm AE) Và EC = AB (cmt) Vậy AC  AB 2AM > AC - AB => AM > (1) xét tam gíc AEC có AE < AC + EC Mà AE = 2AM (M trung điểm AE) Và EC = AB (cmt) Vậy AC  AB 2AM < AC + AB => AM < (2) Từ (1) (2) => AC - AB AC + AB < AM < 2