Cđ5 định lí

Chương I HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Chuyên đề ĐỊNH LÍ A Kiến thức cần nhớ Định lí  Định lí khẳng định suy từ khẳng định coi  Mỗi định lí có hai phần: - Phần cho gọi giả thiết định lí - Phần phải suy gọi kết luận định lí Khi định lí phát biểu dạng “Nếu A B” A giả thiết; B kết luận Chứng minh định lí dùng lập luận để từ giả thiết suy kết luận Hệ định lí suy trực tiếp từ định lí từ tính chất thừa nhận Định lí thuận, định lí đảo Xét định lí “Nếu A B” có mệnh đề đảo “Nếu B A” Nếu mệnh đề đảo mệnh đề đảo gọi định lí đảo định lí cho định lí cho gọi định lí thuận B Một số ví dụ Ví dụ 1: Định lí “Hai góc đối đỉnh nhau” có định lí đảo khơng? Giải Định lí “Hai góc đối đỉnh nhau” có mệnh đề đảo “Hai góc đối đỉnh” Mệnh đề đảo sai Ví dụ, xét góc AOB, tia phân giác OM (h.5.1) Rõ ràng hai góc AOM BOM khơng đối đỉnh cạnh góc khơng tia đối cạnh góc Vậy định lí “Hai góc đối đỉnh nhau” khơng có định lí đảo Nhận xét: Một ví dụ chứng tỏ mệnh đề sai gọi phản ví dụ Như ta dùng phương pháp đưa phản ví dụ để chứng tỏ mệnh đề “Hai góc đối đỉnh” sai Ví dụ 2: Chứng minh định lí: “Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song hai góc nhọn tù” Giải (h.5.2) GT KL · x· Oy nhọn (tù) xOy Ox / / Ox; Oy / / Oy · xOy x· Oy * Tìm cách giải µ O µ  ta chứng minh chúng góc thứ ba Dựa vào giả thiết có cặp Để chứng minh O đường thẳng song song, ta nghĩ đến việc vận dụng tính chất hai đường thẳng song song để tìm cặp góc * Trình bày lời giải Gọi K giao điểm đường thẳng Ox Oy µ  xKy ·  (cặp góc đồng vị); Vì Oy / /Oy nên O µ  xKy ·  (cặp góc đồng vị) Vì Ox / / Ox nên O · ) µ O µ  (cùng xKy Do O Nhận xét: Người ta chứng minh rằng: Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì: - Chúng bù góc nhọn, góc tù; - Góc vng góc vng Ví dụ 3: Chứng minh định lí: “Nếu hai góc có cạnh tương ứng vng góc chúng hai góc nhọn tù” Giải (h.5.3) GT KL · x· Oy nhọn (tù) xOy Ox  Ox; Oy  Oy · xOy x· Oy * Tìm cách giải · Để chứng minh xOy x· Oy ta chứng minh chúng góc thứ ba Để tạo góc thứ ba ta vẽ Om / / Ox On / / Oy , hai tia thuộc nửa mặt phẳng bờ Ox (h.5.4) Khi theo định lí “Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song chúng hai góc nhọn tù” ta · · n Ta phải chứng minh x· Oy mO · n xOy mO * Trình bày lời giải  Trường hợp hai góc nhọn · x 90 Vẽ Om / / Ox On / / Oy Vì Ox  Ox nên Ox  Om mO · y  90 Vì Oy  Oy nên Oy  On nO · n (cùng phụ với x· On ) Từ (1) (2), suy ra: x· Oy mO (1) (2) (3) · · n (hai góc có cạnh tương ứng song song nhọn) Mặt khác, xOy mO (4) · · n x· Oy  mO Từ (3) (4), suy ra: xOy    Trường hợp hai góc tù: Chứng minh tương tự Nhận xét: Người ta chứng minh rằng: Nếu hai góc có cạnh tương ứng vng góc thì: - Chúng bù góc nhọn, góc tù; - Góc vng góc vng C Bài tập vận dụng 5.1 Cho góc bẹt AOB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tia OC OD cho ·AOC BOD ·  90 Vẽ tia OM góc COD Chứng minh OM  AB OM tia phân giác góc COD Hướng dẫn giải (h.5.6)  Tìm cách giải Với cấu trúc ta phải chứng minh hai mệnh đề thuận đảo sau: - Mệnh đề thuận: Nếu OM  AB OM tia phân giác góc COD - Mệnh đề đảo: Nếu OM tia phân giác góc COD OM  AB  Trình bày lời giải · - Chứng minh mệnh đề thuận: OM  AB (gt) suy ·AOM BOM 90 · · · Do ·AOC  COM (vì tia OC nằm hai tia OA, OM; tia OD nằm hai tia OB BOD  DOM OM) · · · Mặt khác ·AOC BOD (gt) nên COM DOM (1) Tia OM nằm hai tia OC OD (2) Từ (1) (2) suy tia OM tia phân giác góc COD - Chứng minh mệnh đề đảo: · · OM tia phân giác góc COD (gt) Suy COM DOM · · · · Mặt khác ·AOC BOD (gt) nên ·AOC  COM BOD  DOM · Do ·AOM BOM (vì tia OC nằm hai tia OA, OM; tia OD nằm hai tia OB, OM) · Lại có ·AOM  BOM 180 (hai góc kề bù) nên ·AOM 180 : 90 Suy OM  AB 5.2 Cho định lí: “Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba chúng song song với nhau” Hãy phát biểu định lí đảo chứng minh Hướng dẫn giải (h.5.7) Phát biểu định lí đảo: Một đường thẳng vng góc với hai đường song song vng góc với đường thẳng GT KL a / /b ca c b Chứng minh µ (cặp góc đồng vị) Ta có a / /b (gt) suy µ A1 B µ 90 Suy c  b Mặt khác, c  a (gt) nên µ A1 90 Do B * Nhận xét: Ta viết gộp định lí thuận định lí đảo định lí sau: a c b  c  a / /b Kí hiệu  đọc “khi khi” Kí hiệu có nghĩa mệnh đề bên trái suy mệnh đề bên phải ngược lại 5.3 Cho định lí: “Hai tia phân giác hai góc kề vng góc với nhau” Hãy viết giả thiết, kết luận định lí đảo định lí chứng minh Hướng dẫn giải (h.5.8) ·AOB BOC · kề bù GT OM tia phân giác ·AOB ON nằm góc BOC OM  ON KL · ON tia phân giác BOC Chứng minh · Ta có OM  ON (gt) nên MON 90 ¶ O ¶ MON · Tia OB nằm hai tia OM ON nên O 90 · · Vì ·AOB BOC kề bù nên ·AOB  BOC 180 ¶ O ¶ O ¶ O ¶ 180 Do O ¶ O ¶ 90 ¶ O ¶ 90 (chứng minh trên) nên O Mặt khác, O ¶ O ¶ (gt) nên O ¶ O ¶ ¶ O ¶ O ¶ O ¶ mà O Suy O 4 (1) Tia ON nằm hai tia OB OC (2) Từ (1) (2) suy tia ON tia phân giác góc BOC 5.4 Bác bỏ mệnh đề sau cách đưa phản ví dụ: a) Tổng số đo hai góc nhọn số đo góc tù; b) Tổng số đo góc nhọn góc tù số đo góc bẹt Hướng dẫn giải µ 40 a) µA 30 ; B µ 70  90 (khơng phải số đo góc tù)  µA  B µ 30 ; D µ 100  C µ D µ 130 180 b) C 5.5 Điền vào chỗ trống: µ 90 B µ O µ 90 Suy ra…………… (vì………………………….) a) Cho µA  O µ  …………… (vì………………………….) µ B µ  Suy µA B b) Cho µA  µ A B Hướng dẫn giải µ (vì phụ với góc O) a) Suy µA B µ  (vì hai góc nhau) b) µ A B 5.6 Điền vào chỗ trống: a) Cho AB CD Suy 3AB ……… 3CD (vì……………………… ) b) Cho AB CD MN PQ Suy AB  MN ……… CD  PQ (vì………………………….) Hướng dẫn giải a) “=” (vì gấp ba lần hai đoạn thẳng hai đoạn thẳng nhau) b) “=” (vì thêm đoạn thẳng vào đoạn thẳng tổng nhau) 5.7 Chứng minh định lí: “Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song hai góc so le nhau” Hướng dẫn giải (h.5.9) a / /b GT KL µ µ cặp góc so le A1 B µ µ A1 B Chứng minh µ không Giả sử góc µ A1 B · µ Qua A vẽ đường thẳng xy tạo với đường thẳng c góc xAB B Khi theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ta xy / / b Mặt khác, a / /b (gt) nên qua A có hai đường thẳng song song với b trái với tiên đề Ơ-clít Do xy phải trùng với đường thẳng a · µ hay µ µ Suy xAB B A1 B 1 µ hai góc có cạnh tương ứng song song Tính số đo góc A B, biết: 5.8 Cho µA B µ 130 ; a) µA  B µ 100 b) µA  B Hướng dẫn giải µ 130 180 hai góc A B phải a) Nếu µA  B µ 130 : 65 Vậy µA B µ 100 µA  B µ 180 µ , µA  B b) Nếu µA  B µ 180  140 40 Suy µA  180  100  : 140 ; B 5.9 Cho hai góc có cạnh tương ứng song song nhọn tù Biết hai tia phân giác chúng không nằm đường thẳng Chứng minh hai tia phân giác song song với Hướng dẫn giải (h.5.10) ·AOB CKD · nhọn (tù) GT OA / / KC ; OB / / KD ¶ O ¶ ;K ¶ K ¶ O 2 KL Ox / / Ky Chứng minh Hai góc AOB CKD hai góc có cạnh tương ứng song song · nhọn tù nên ·AOB CKD ¶  ·AOB; K ¶  COD · Tia Ox tia phân giác góc AOB; tia Ky tia phân giác góc CKD nên O 1 2 ¶ K ¶ (một nửa hai góc nhau) Suy O 1 ¶ H ¶ K ¶ ¶ K ¶ (cặp góc so le OB / / KD ) nên O Mặt khác, H 1 1   Do Ox / / Ky (vì có cặp góc so le nhau) 5.10 Cho điểm M hai đường thẳng AB, CD cắt điểm O phạm vi tờ giấy (h.5.5) Hãy nêu cách vẽ đường thẳng qua M vng góc với tia phân giác góc AOC Hướng dẫn giải (h.5.11) Từ M vẽ tia Mx / / AB, My / / CD tia Mt tia phân giác góc xMy Qua M vẽ đường thẳng d  Mt , d  tia phân giác góc AOC Thật vậy, góc xMy AOC góc có cạnh tương ứng song song, nhọn nên tia phân giác chúng song song với (xem 5.9) Mặt khác, d  Mt d  tia phân giác góc AOC 5.11 Cho 10 đường thẳng khơng có hai đường thẳng song song Chứng minh tồn hai đường thẳng tạo với góc nhỏ 18 Hướng dẫn giải (h.5.12) Gọi 10 đường thẳng cho a1 , a2 , , a10 Từ điểm O vẽ 10 đường thẳng d1 , d , , d10 tương ứng song song với 10 đường thẳng cho Vì 10 đường thẳng cho khơng có hai đường thẳng song song nên 10 đường thẳng d1 , d , , d10 hai đường thẳng trùng 10 đường thẳng cắt O tạo thành 20 góc khơng có điểm chung nên tồn góc nhỏ 360 : 20 18 Góc góc có cạnh tương ứng song song với Vậy 10 đường thẳng cho, tồn hai đường thẳng tạo với góc nhỏ 18