Cđ4 lũy thừa của một số hữu tỉ

Chuyên đề LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ A Kiến thức cần nhớ Lũy thừa với số mũ tự nhiên x n x.x  x  x Q ; n N; n  1 n thõa sè Quy ước : x x , x 1 x 0  Các phép tính lũy thừa x m x n x m n x m : x n x m  n  x 0; m , n N  x  m n  x y  x m n n x n y n n x  xn   y 0    yn y  Lũy thừa với số mũ nguyên âm xn  với  x 0, n N  xn B Một số ví dụ 212.35  46.81 30.47.329  5.145.212 ;B  Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức : A  54.614.97  12.85.75  84.35   Giải  Tìm cách giải Để thực phép tính chứa nhiều lũy thừa, ta dùng công thức biến đổi lũy thừa số nguyên tố Sau dùng tính chất phân phối phép nhân đối phép cộng  Trình bày lời giải 12 212.35  212.34   1  a) Ta có : A  12  212.35 212.35   1 A 212.34.2  212.35.4 b) Ta có :     15 30 17 2.3.5.214.329  5.2 5.75.212 215.330.5  217.5.75  B  14 14 14  15 31 17   15 5 2.3 3  3.2  3.7 215.330  217.75 Ví dụ 2: Tìm x a)  x   64; b)  x  5  125 c) x  x 2 320; Giải  Tìm cách giải Khi tìm x có chứa lũy thừa phần số ta đưa hai vế số mũ lưu ý: a n b n (với n lẻ) a b a n b n (với n chẵn) a b a  b Để tìm x phần số mũ ta đưa hai vế số sử dụng : a m a n (với a 0, 1 ) m n  Trình bày lời giải 2 a)  x   64   x   82  x  8 x   Suy x   6;  10 3 b)  x  5  125   x  5   5  x    x  10   x x 2 x c)  320   320 x 64  x 26  x 6 Ví dụ 3: a) Chứng minh 16  215 chia hết cho 66 b) Chứng minh với số nguyên dương n 3n 2  n 4  3n  n chia hết cho 30 Giải  Tìm cách giải Để chứng minh A k ta vận dụng tính chất : A b k A k A B  C mà B k C k A k  Trình bày lời giải   5 20 15 15 15 14 a) Ta có : 16  2  2  2 33 2 66 66     n 2 n n 4 n n n b) Ta có :    3    3n 10  n 15 3n  1.30  n  1.3030 Ví dụ 4: Thu gọn biểu thức sau: a) A 32020  32019  32018  32017   32   1; b) B 52020  52019  52018  52017   52   c) C 72021  72019  72017  72015   75  73  Giải  Tìm cách giải Những tốn tính tổng đại số lũy thừa có số theo quy luật , cần nhân hai vế với lượng thích hợp để biểu thức mới, mà hạng tử đối cộng biểu thức ban đầu với biểu thức mới, trừ biểu thức với biểu thức ban đầu  Trình bày lời giải a) Xét 3.A 32021  32020  32019  32018   33  32   3.A  A 32021   A  32021  b) Xét 5.B 52021  52020  52019  52018   53  52   5.B  B 52021   B  52021  c) Xét 49.A 72023  72021  72019  72017   77  75  73  49.C  C 72023   C  72023  50 Ví dụ 5: Chứng minh tổng: S  1 1 1     n   n   2018  2020  0,2 2 2 2 2 Giải  Tìm cách giải Bản chất toán thu gọn tổng S Tương tự ví dụ trên, dễ dàng phát nhân hai vế tổng S với Sau cộng với biểu thức S Cuối đánh giá 22  Trình bày lời giải Xét  1 1 1 S      2016  2018 2 2 2 1 1 S  S   2020  S   S  hay S  0,2 4 2 Ví dụ 6: Đặt A 3101  3102  3103   3200 Chứng minh A chia hết cho 120 Giải Biểu thức A có 100 số hạng Kể từ số hạng đầu, nhóm số hạng liên tiếp với 25 nhóm      A  3101  3102  3103  3104  3105  3106  3107  3108   3197  3198  3199  3200      A 3100  32  33  34  3104  32  33  34   3196  32  33  34 A 3100.120  3104.120   3196.120   A 120 3100  3104   3196 120 Điều phải chứng minh C Bài tập vận dụng 4.1 Tính:  32.2  6.32 a) A  ;  3.32  34 4.2 Thực phép tính: A  b) 212 35  46.92  3  84.35 510.73  255.492  125.7   59.143 4.3 Cho T 2 2020  22019  22018    Tính 2021T 4.4 Tìm x, biết :   a) 3x 2  3x 810 b) x 2.3x 1.5x 10800 4.5 Tìm số tự nhiên x, biết : 7x 2  7x 1  7x 52 x  52 x 1  52 x 3  57 131 4.6 Tìm x , biết : a) 30 31 4 x ; 10 12 62 64 b)      65  65   8 x 35  35  35 25  25 4.7 Chứng minh : 1 1 1    n   n   98  100  50 7 7 7 1 1 1 4.8 Chứng minh : B      2020  2021  3 3 4.9 Chứng minh : 1 1 1       6 100 4.10 Chứng minh : 19  2  2   2  2 3 10 2 2019 2020 4.11 Xét tổng T      2018  2019 Hãy so sánh T với 2 2 4.12 Cho S 1  S  P 1 1 1 1 1           P  Tính 2011 2012 2013 1007 1008 2012 2013 2013 (Đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn, lớp 7, tỉnh Bắc Giang, năm học 2012 - 2013) a 4.13 Tìm tất số tự nhiên a, b cho :  37  b  45  b  45 4.14 Chứng tỏ rằng: a) 6363  3737 chia hết cho 10 b) 2100  2101  2102 chia hết cho c) 7100  799  798 chia hết cho 41 4.15 Thu gọn biểu thức sau : 1 1 a) A       2020 2 2 1 1 1 b) B       2019  2020 5 5 5 2020 c) C       2020 3 3 4.16 Đố Bạn điền lũy thừa vào vng cịn lại bảng bên cho tích lũy thừa hàng, cột đường chéo không ? HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 4.1 a) A  b) B    6 1      32 2  12 212.35  212.34   1 34.2    212.36  212.35 212.35   1 35.4 510.73        10 510.73  510.74    59.73  59.23.73 59.73  4.2 A    4.3 Xét R 2 2019  22018     R 22020  22019   22   2R  R 2 2020   R 2 2020  : T 2 2020  R 1  2021T 2021 4.4   x x x a) 3  810  10 810  81  x 4 x b) Ta có x 2.3x 1.5x 10800  2x 2.3x 3.5x 10800   2.3.5  900  30x 302  x 2    x 2 x 1 x 2x x 1 7x 72   52 x   53  52 x 3 4.5       57 131 57 131 x x 2x 5    25    1  x 0  25  x x 4.6 a) Ta có 30 31 4 x 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 64 4 x  x 230.26 1  2 x 36 2 64 30  2x  36 0  x  18 b) 4.45 6.65 4.6  4.6  8x  8x   3.2  3.2  3.3 2.2  4.45 23x  212 23x  3x 12  x 4 4.7 Đặt vế trái bất đẳng thức A Xét : 49 A 1  1 1   n   n    96  98 7 7 Suy : 49A  A 1  Điều phải chứng minh 100 hay: 50.A 1  1 1  A  50 100  1 1 4.8 Xét 3.B 1     2019  2020  3B  B 1  2021 3 3  2.B 1  4.9 Đặt A  Ta có A  2021 1  B  1 1     1002 1 1     4.5 5.6 6.7 99.100  A 1 1 1 1         5 6 99 100  A 1    1 100 Ta có : A  1 1     5.6 6.7 99.100 100.101  A 1 1 1 1         6 7 100 101  A 1 1 19 57 50         2 101 100 100 300 300 Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 4.10 Ta có : 19  2  2   2  2 3 10 1 1 1 1 99         1   1 100 100 2 3 10 Điều phải chứng minh 4.11 Xét : 2T 2  2020    2018 2 2 2019 2020 mà T      2018  2019 2 2 1 1 2020 Suy : T  T 2      2018  2019 2 2  T 2  1 1 2020     2018  2019 2 2  2T 4    T 2  1 2020    2017  2018 2 2 1 1 2020 2021 2020     2018  2019  2T  T 3  2018  2019  2 2 2  T 3 4.12 Ta có : P 1 1     1007 1008 2012 2013 1 1 1              1006 1007 1008 2012 2013     1      1006    1 1 1    1 1                  1006 1007 1008 2012 2013  2012   2 1  1 1      S 2012 2013 Do  S  P  2013 0 4.13 Xét b 45  b  45  b  45 b  45  b  45 2b  90 số chẵn Xét b  45  b  45  b  45 45  b  b  45 0 số chẵn  2a  37 số chẵn  2a số lẻ  a 0   37  b  45  b  45 Theo nhận xét b 45 38 2b  90  b 64 Vậy a 0;  b 64 4.14  a) 6363 6360.633  634  15 633 Ta có 634 tận nên  634   Suy 634  15 15 tận , mà 633 tận 633 tận  6363 tận Ta có: 3737 3736.37  37  37  Ta có 374 tận nên 374  tận Suy  374  37 tận Do 633  3737 tận Vậy 633  3737 chia hết cho 10   100 100 b)   2 chia hết cho   98 98 c) 7   7 41 chia hết cho 41 4.15 a) Xét 2.A 1  1 1     2019 2 2 suy 2A  A 1  b) Xét 5B 1  2020  A 1  2020 1 1     2018  2019 5 5 suy 5B  B 1  52020  B  52020  6.52020 2020 c) Xét 3C 1      2019 3 3 1 1 2020 suy 3C  C 1      2019  2020 3 3 1 1 2020 2C 1      2019  2020 3 3 1 1 2020 Xét 6C 3      2018  2019 3 3 Suy : 6C  2C 3  2019 2020 2019 2020    2020  C   2019  2020  : 2019 3 3   4.16 Bạn điền sau :