PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN GIA VIỄN ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP THCS NĂM HỌC 2022-2023 Môn: Tốn Ngày thi: 30/3/2023 Thời gian làm bài:150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Họ tên thí sinh : Số báo danh Họ tên, chữ ký: Giám thị thứ nhất: Giám thị thứ hai: Câu (4,5 điểm) æ2 x + x - æ x2 - ữ ữ ỗ ỗ ữ ÷ A = + : x + + x ỗ ỗ Cho biu thc ữ ữ ữ ữvi ỗ ỗ x - x +2ứ ố 2- x ø è x - a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A nhận giá trị âm c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Câu (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x y z y yz z b) Cho số nguyên dương a1; a2 ; a3 có tổng 20222023 Chứng minh rằng: a13 a23 a33 chia hết cho Câu (4,5 điểm) a) Giải phương trình sau: 1 3 x x 12 x x 20 x 11x 30 2 b) Tính giá trị biểu thức: B y 5y x Biết x y 6 x x c) Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thoả mãn: x y xy 2023 Câu (5,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A (góc A nhọn), đường cao AH cắt tia phân giác BD điểm I Gọi M hình chiếu điểm H cạnh AC, K trung điểm HM a) Chứng minh AH HM HC CM b) Chứng minh AK vng góc với BM c) Biết AI = 5cm, HI = 4cm Tính độ dài cạnh BC Câu (2,0 điểm) a) Xét hình chữ nhật kích thước 3cm x cm Chứng minh với điểm nằm hình chữ nhật, ln chọn hai điểm có khoảng cách nhỏ b) Cho hai số thực x , y thỏa mãn x 1; y > x y = Tìm giá trị nhỏ 2 ỉ ỉ ữ ỗ ữ ỗ P = x + + + y + ÷ biểu thức ÷ ç ç ÷ ÷ ç ÷ ç è x +1ø è y - 1ø Hết. -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN GIA VIỄN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP THCS NĂM HỌC 2022-2023 Mơn: Tốn Ngày thi 30/3/2023 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Đáp án Câu Điểm a) (2,0 điểm) æ2 x + x - ỉ x2 - vi ữ ữ ỗ ữ ữ A =ỗ + : x + + x ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữố ữ x - x +2ø 2- x ø è x - æ2 x + x - æx - x - ö ( x - 2) x +2 ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ A =ỗ + : ỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ç x x + x x + x x + x x )( ) ( )( ) ( )( )ø è ø è( A= 2x2 : ( x - 2) ( x + 2) x - 0,5 0,75 2x2 x- x2 A= = x +2 ( x - 2) ( x + ) 0,75 b) (1,5 điểm) Câu 4,5 điểm) Ta có: A = x2 x2 x 0; y - ; x y = x y 1 Đặt x a; y 1 b a, b a b 1 2 2 ỉ ỉ ổ 1ữ ổ 1ữ 1 ữ ỗ ữ ỗ P =ỗ x +1 + ữ= a + ữ +ỗ b+ ữ ữ +ỗy - + ỗ ç ç ÷ ç ç a÷ ç b÷ ÷ è ố ứ ỗ ứ ố ứ x +1ữ y - 1ø è Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, có: 0,25 éỉ ư2 ỉ ư2 ù ỉ 1ử 2 ờỗa + ữ ỳ ữ ữ ỗ ç + b + + ³ a + b + + ữ ữ ) ốỗỗ ữ ờỗ ữ ỗ ữỳ( ữ ỗ ỗ a bứ ờố a ø è b ø û ú ë 1 25 = nên Þ 2.P ³ ( + 4) Þ P ³ Mà a, b 0, a b 1 , + ³ a b a +b - Dấu “=” xảy a = b = Þ x = ; y = 2 25 - Vậy Pmin = x = ; y = 2 0,25 0,25 0,25 0,25 Lưu ý: - Lời giải trình bày tóm tắt, học sinh trình bày hoàn chỉnh, lý luận chặt chẽ cho điểm tối đa - Học sinh trình bày nhiều cách giải khác cho điểm tương ứng./