Thông tin tài liệu
CHUYÊN ĐỀ: ĐA THỨC LỚP Dạng 1: XÁC ĐỊNH ĐA THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ f x a.x bx c f 2; f 1 7; f 14 , Xác định hệ số a,b,c biết: f x a.x bx c f 0, f 0 Bài 2: Cho đa thức: , Xác dịnh a, b, c biết: a số lớn c ba đơn vị P x a.x bx c Bài 3: Cho đa thức bậc hai: , biết P(x) thỏa mãn hai điều kiện sau: P 2, P x P x 1 6 x , CMR: a+b+c=0 xác định đa thức P(x) 1 f 1 2, f 1, f 3, f 1 7 f x ax bx cx d 2 Bài 4: Cho hàm số thỏa mãn: , Bài 1: Cho đa thức: Xác định giá trị a, b, c d P x a.x bx cx d P 2017, P 1 2, P 1 6, P 6033 Bài 5: Xác định đa thức: , biết: y f x ax bx c Bài 6: Cho hàm số: cho biết f(0)=2010, f(1)=2011, f(-1)=2012, Tính f(-2) HD: Theo gt ta có: f (0) 2010 c 2010 , f (1) 2011 a b c 2011 a b 1 1 f ( 1) 2012 a b c 2012 a b 2 =>a= , b hàm số có dạng y f x x x 2010 2 => f(2)=2017 Bài 7: Cho đa thức a, Hãy tính G x a.x bx c G 1 b, Tìm a, b, c biết: (a, b, c hệ số) biết a+c=b - G 4, G 1 9, G 14 f x x ax g x x3 x2 x a 2015 Bài 8: Cho đa thức: a, Tìm a biết -1 nghiệm f(x) b, Với a tìm câu a, Tìm nghiệm cịn lại f(x) tính g(2) y f x ax bx c f 2014, f 1 2015, f 1 2017 Bài 9: Cho hàm số biết , f 2 Tính HD: f 2014 c 2014 Ta có: f 1 2015 a b c 2015 a b 1 f 1 2017 a b c 2017 a b 3 2 a 2, b , đó: f x 2 x x 2014 f 2 2014 2024 Bài 10: Xác định a,b,c để hai đa thức sau hai đa thức sau đồng nhất: A a.x x x x 3x B 2 x 3bx c f x x +a.x+b Bài 11: Xác định hệ số a, b đa thức : trường hợp sau : a, f(0) = f(x) nhận x = nghiệm b, Các nghiệm đa thức g(x) = (x+1)(x-2) nghiệm f(x) f x a x x x g x x x bx 1 c Bài 12: Cho , a,b,c số Xác định a,b,c để f(x)=g(x) Bài 13: Cho hai đa thức: P 1 Q 1 P x x 2mx m2 Q x x 2m 1 x m , Tìm m để p( x) x 2mx m2 & q( x) x 2m 1 x m Bài 14: Cho hai đa thức: , Tìm m biết : p(2) = q(-2) P x x 2ax a Q x y 3a 1 y a P 1 Q 3 Bài 15: Cho hai biểu thức : , Tìm số a cho A a 1; a a y f x ax Câu 16: Cho hàm số có đồ qua điểm a, Tìm a f 3x 1 f 3x b, Với a vừa tìm được, tính giá trị x thỏa mãn: HD: A a 1; a a a a a a 1 a, Đồ thị hàm số y=ax+4 qua điểm nên ta có: 2 => a a a a a Vậy a=-2 đồ thị hàm số qua điểm A y f x x f x 1 x b, Với a=-2 ta có hàm số Để f 3x 1 f 3x x 6 x x Bài 17: Cho f x a.x x x và f x 6 x g x x x bx 1 c , Trong a, b, c số, f x g x Xác định a, b, c để HD : f x a.x x x a.x x x a x x Ta có : g x x x bx 1 c x 4bx x c Và a 1 4b 0 a 3; b 0; c 11 c 8 f x g x Do nên ta có : f x f x 1 x Bài 18: Tìm đa thức bậc hai cho : Áp dụng tính tổng : S 1 n HD : f x ax bx c a 0 Vì đa thức bậc hai nên có dạng Ta có : f x 1 a x 1 b x 1 c a 2a f x f x 1 2ax a b x b a 0 b Và 1 f x x2 x c 2 Vậy đa thức cần tìm : , c số x 1 f 1 f 1 Áp dụng : Với x 2 f f 1 2 Với … Với => x n f n f n 1 n S 1 n f n f n n 1 n2 n c c 2 1 f x f x x Bài 19: Cho đa thức P ( x) xác định với x thuộc R, Biết với x ta có: Tính f(2) HD: 1 1 1 f f 4 f f 2 f 2 f => 2 (2) Ta có: (1) 13 13 , f 2 đó: 24 Trừ vế (2) cho (1) ta có: 17 16 15 14 f x x 2015 x 2015 x 2015x 2015x f 2014 Bài 20: Cho , Tính Bài 21: Cho đa thức: f x 4 x 3x x x x x f x x 1 , Tính giá trị Bài 22: Tính giá trị đa thức sau biết x+y=0 A 2 x 2 y 3xy x y x y x y a, B 3xy x y x y x y b, 2 2 Bài 23: Cho x y 1 , Tính giá trị biểu thức : P 2 x 3x y y y f 2 3 4 2014 2015 2016 Bài 24: Tính giá trị biểu thức: N xy z x y z x y z x y z , x=-1, y=-1, z=-1 HD : 2 2 3 2014 2014 2014 Ta có N xyz yz x y z yz x y z yz x y z yz 2 3 2014 2014 2014 Thay y=-1, z=-1 vào ta được: N xyz x y z x y z x y z 2014 xyz xyz xyz xyz Thay xyz=-1 vào ta : N 1 0 Bài 25: Cho đa thức: A 2 x x 3 x x x 403 Tính giá trị A x=4, Tìm x để A=2015 A 11x y z 20 x yz xy z 10 x yz 3x y z 2008xyz 8x y z Bài 26: Cho đa thức: a, Tìm bậc A b, Tính A 15x-2y=1004z HD: 2 Thu gọn A 30 x yz xy z 2008 xyz 2 xyz (15 x y 1004 z ) x 2 Bài 27: Tính giá trị biểu thức: x x Bài 28: Tính giá trị biểu thức: x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2010 x=2008 20 30 x 1 y 0 x y Bài 29: Tính giá trị biểu thức: , biết 100 A x x x x x Bài 30: Cho đa thức: , x a, CMR: x=-1 nghiệm A(x) b, Tính giá trị A(x) HD: a, A(-1)= -1+1-1+1- -1+1=0 nên -1 nghiệm A, A x x x 1 x x 1 x 99 x 1 1 1 x A 100 2 2 b, Với 3 4 2014 2015 2016 Bài 31: Tính giá trị đa thức: N xy z x y z x y z x y z , Tại x 1; y 1; z HD: 2 2 3 2014 2014 2014 Ta có: xyz.yz x y z yz x y z yz x y z yz 2 3 2014 2014 2014 Thay y 1; z vào ta được: N xyz x y z x y z x y z Thay xyz N 1 0 Bài 32: Cho biểu thức: M a.x b (a,b Z ) Lương nói: Giá trị biểu thức M x=23 2009 Minh nói: Giá trị biểu thức M x=18 là: 1458 CMR hai bạn có bạn nói sai ! HD: Giả sử hai bạn đúng, ta có: 23a+b=2009 18a+b=1458 đó: 23a b 18a b 2009 1458 5a 551 a Z ( Vơ lý) có bạn nói sai Bài 33: Tính giá trị biểu thức : B 9 x 12 x x 3x 2010 , x thỏa mãn : 3x x x 0 B x a.x bx c Bài 34: Cho đa thức: A A 0 a, Cho biết: 5a+b+2c=0, CMR: b, Cho A(x) =0 với x, CMR: a=b=c f f 0 c, Nếu 13a-b+2c=0 B x a x bx c Bài 35: Cho đa thức: A A 1 0 a, Cho biết 5a+b+2c=0, CMR: A x 0, x b, Cho , Chứng minh a=b=c=0 f x a x bx c Bài 36: Cho đa thức: f 1 f 0 a, CMR nếu: 5a b 2c 0 f f 3 0 b, CMR: Nếu 13a b 2c 0 P x a.x bx c P P 1 0 Bài 37: Cho , CMR nếu: 5a b 2c 0 HD: P P 1 5a b 2c 0 P P 1 P P 1 0 Ta có : Bài 38: Cho đa thức : P ( x) a.x bx c , CMR 5x-b+2c=0 P(1).P(-2) 0 10 HD : Ta có : P (1) P( 2) a b c 4a 2b c 5a b 2c 0 nên P(1)= -P(-2) f x a x bx c, f , f 1 , f Bài 39: Cho đa thức có giá trị nguyên, CMR: a, a+b+c, 2a, 2b số nguyên f n b, số nguyên với giá trị nguyên n f x a x bx c f x 3 Bài 40: Cho đa thức , a, b, c số nguyên, biết giá trị với giá trị nguyên x, CMR a,b,c cho 2 3 Bài 41: Cho P xyz xy xz , Q x y , CMR: x-y=z P+Q=0 Bài 42: Cho đa thức bậc : f(x)=a.x+b, Hãy tìm điều kiện số b để thỏa mãn hệ thức : f x1 x2 f x1 f x2 Bài 43: Cho đa thức f x a.x bx c biết f(0),f(1),f(2) có giá trị nguyên, CMR: a, a+b+c, c, 2a, 2b số nguyên b, f(n) số nguyên với giá trị n f x a.x bx c Bài 44: Cho , Trong a, b, c số nguyên, biết giá trị f(x) chia hết cho với giá trị x, CMR a, b, c chia hết cho Q x ax bx cx d , a, b, c, d Z Bài 45: Cho đa thức: , Biết Q(x) chia hết cho với số nguyên x, CMR: hệ số a,b,c,d chia hết cho f x ax bx c a, b, c Z Bài 46: Cho hàm số : Biết f(1) chia hết cho 3, f(0) chia hết cho 3, f(-1) chia hết cho 3, CMR a,b,c chia hết cho HD: Ta có f(0)=c, f(1)= a+b+c, f(-1)=a-b+c, Vì f(0) 3 nên c 3, Vì f(-1) nên a+b+c 3=>a+b 3 (1) f(-1) 3 nên a-b+c 3 => a-b 3 (2), Từ (1) (2) nên (a+b)+(a-b) 3 =>2a 3=>a 3=>b 3 f x 2010 x Bài 47: Cho , CMR : f(a+b)=f(a)+f(b) Bài 48: Cho đa thức : a.x bx c 0 với giá trị x, CMR : a=b=c=0 HD: Vì đa thức a.x bx c 0 với x, Ta cho x nhận giá trị x=0, x=1 x=-1 Ta có : c=0, a+b+c=0 a-b+c=0=> a=b=c=0 f x ax bx c Bài 49: Cho đa thức: , CMR f(x) nhân -1 nghiệm a c hai số trái dấu HD: Ta có nghiệm f(x) nên f(1)=0 hay a+b+c=0, -1 nghiệm nên a-b+c=0 Cộng theo vế ta được: 2a+2c=0=> a =-c, a c hai số đối f x a.x bx c Bài 50: Cho nhận giá trị nguyên với giá trị nguyên x, CMR : 2a, a+b c số nguyên HD: f a.02 b.0 c c Z f 1 a b c Z a b Ta có : f 4a 2b c Z 2a 2(a b) c Z 2a Z Bài 51: Cho đa thức P ( x ) a.x bx cx d với P(0) P(1) số lẻ, CMR : P(x) khơng thể có nghiệm số nguyên HD : P(0)=d lẻ P(1)=a+b+c+d lẻ, - P(1) số lẻ am3 bm2 cm d a b c d Giả sử P(x) có nghiệm nguyên m ta có P(m)=0 => lẻ => a (m 1) b(m 1) c(m 1) lẻ => m chẵn=> P(m) lẻ, Điều mâu thuẫn f x a.x bx c Bài 52: Cho HD: f 1 a b c Q có tính chất f(1),f(4),f(9) số hữu tỉ, CMR a,b,c số hữu tỉ f 16a 4b c Q f 81a 9b c Q , 16a 4b c a b c 15a 3b 3 5a b Q 5a b Q Từ (1) (2) => 81a 9b c 16a 4b c 65a 5b 5 13a b Q 13a b Q Từ (2) (3) => 13a 5b 5a b Q 8a Q a Q Nên Khi a Q b Q c Q Bài 53: Cho đa thức bậc hai thỏa mãn : P (1) P ( 1) , CMR : P( x ) P ( x) với x HD : Giải sử : P ( x ) a.x b.x c , ta có : P (1) P ( 1) a b c a b c 2b 0 b 0 Vậy P( x) a.x c 2 Do P( x) a ( x) c a.x c P ( x) 100 x f x 100 x 10 , CMR : a,b hai số thỏa mãn : a+b=1 f a f b 1 Bài 54: Cho hàm số HD : 100a 100b 10 100b 100a 10 100a 100b f a f b 100a 10 100b 10 100a 10 100b 10 Ta có : 2.100a b 10 100a 100b 200 10 100a 100b 1 100a b 10 100a 100b 100 200 10 100a 100b = Bài 55: Cho đa thức bậc biến x P(1)=P(-1), P(2)=P(-2), CMR : P(x)=P(-x) với x HD : P(x) đa thức bậc nên có dạng : P( x) a.x bx cx dx e Ta có : P(1)=P(-1) P(2)=P(-2) => d+b= - d - b 2d+8b=-2d-8b=> b=d=0 4 Vậy P( x) a.x cx d P( x) a.x cx d =P(x) 1890 2010 19t x y t Bài 56: Cho đơn thức : , Tìm t thỏa mãn : a, Đơn thức dương với x,y khác b, Âm với x,y khác HD : 1890 2010 19t 1890 2010 19 t x y x y 1890 2010 0 t t a, mà 19t x y A 4mx y 15 x y mx y Bài 57: Cho , x y khác Với giá trị m : a, A dương với x,y b, A âm với x,y khác 2 2 Bài 58: Cho thức: P 9 x xy 11 y Q x xy y ,CMR P Q khơng thể có giá trị âm HD : Xét tổng dương 2 2 Bài 59: Cho hai đa thức : A 13x 10 xy y B 7 x xy y , CMR: A B khơng thể có giá trị âm P x ax bx c Bài 60: Cho đa thức: 6a 2b 3c , CMR: Trong ba số P(1), P(2),P(-1) có số khơng âm, số khơng dương P x x8 x5 x x Bài 61: Cho đa thức: , CMR: P(x) dương với giá trị x thuộc P 2 2 Bài 62: Cho hai đa thức: M 6 x xy y & N 3 y x 3xy , CMR không tồn giá trị x y để hai đa thức có giá trị âm 2 2 2 Bài 63: Cho đa thức : A 5 x xy y , B x xy 11 y C 6 x xy y CMR A ,B ,C âm 2 2 Bài 64: Cho thức: M x xy 13 y N x xy y , CMR: M, N có giá trị dương 2 2 Bài 65: Cho hai đa thức: M 6 x xy y , N 3 y x xy CMR không tồn giá trị x y để hai đa thức có giá trị âm A x 4 x x 5x B x 3 x x x Bài 66: Cho hai thức : , , CMR hai thức có đa thức có giá trị dương HD: Xét tổng dương P x 5 x x x Q x x3 x x Bài 67: Cho hai đa thức : , CMR: không tồn giá trị x để đa thức P(x) Q(x) có giá trị khơng dương HD: Xét tổng dương M x19 y , N 11xy12 , P x y Bài 68: Cho đơn thức: , CMR ba đơn thức khơng thể có giá trị dương 2 2 Bài 69: Cho hai đa thức: M 6 x 3xy y N 3 y x 3xy chứng minh không tồn giá trị x y để hai đa thức có giá trị âm 2 2 Bài 70: Cho đa thức A x xy y B 9 x xy 11 y , CMR A B khơng thể có giá trị âm 2 2 Bài 71: Cho P x xy y , Q x xy 13 y , CMR: P Q khơng thể có giá trị dương Bài 72: Cho đa thức : P ( x) a.x bx c Cho biết 9a-b=-3c, CMR : Trong ba số P(-1) ; P(-2) ; P(2) có số âm, số khơng dương HD : Ta có : P(-1)+P(-2)+P(2)=9a-b+3c=0 ba số có số khơng âm, số không dương P x x 3x 10 2008 8x x 10 2009 Bài 73: Tính tổng hệ số đa thức sau bỏ dấu ngoặc : HD: P x an x n an x n a1 x a0 Sau bỏ ngoặc ta : với n 2.2008 2.2009 P 1 Thay x=1, giấ trị tổng hệ số P(x) P 1 8.12 3.1 10 2008 8.1 10 2009 Ta có Bài 74: Tính tổng hệ số đa thức F(x) sau thu gọn: f x 1999 x 2000 x 2011 2002 x 2003x 2005 x 2005 2008 Bài 75: Tìm tổng hệ số đa thức nhận sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: 4x x 2016 4x x2 2019 Dạng NGHIỆM CỦA ĐA THỨC f x x 2016 x 2015 x x Bài 1: Chứng minh đa thức sau khơng có nghiệm với x: f x 5x x x 3x x x x Bài 2: Chứng minh đa thức: khơng có nghiệm Bài 3: CMR đa thức x x khơng có nghiệm Bài 4: CMR: đa thức f(x) có hai nghiệm nếu: x f x x f x với x x 3 f x x 1 f x với x Bài 5: CMR: đa thức f(x) có hai nghiệm nếu: x P x x 1 P x Bài 6: CMR đa thức P(x) có hai nghiệm, biết : HD : x P x x 1 P x với x nên Vì P 1 P 7 P P 0 => nghiệm P(x) Khi x=6 P x 1 P P 1 0 P 1 0 Khi x=-1 => -1 nghiệm P(x) Bài 7: Cho đa thức P(x) thỏa mãn: xP( x 2) ( x 9).P( x) , CMR đa thức có ba nghiệm HD: Xét x=0, x=3 x= -3 Bài 8: Cho đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện : ( x 5) P( x 4) ( x 3) P( x) CMR đa thức có hai nghiệm xP x x P x Bài 9: Cho đa thức P ( x ) thỏa mãn điều kiện , CMR đa thức có hai nghiệm Bài 10: Cho đa thức nghiệm Q x thỏa mãn điều kiện x 1 Q x x Q x , CMR đa thức có Bài 11: Tìm tất đa thức P(x) thỏa mãn: P ( x) a.P (1 x) (a 1).x với giá trị x, biết a 0;1; 1 Bài 12: Tìm đa thức có bậc nhỏ nhận 19; 2017 làm nghiệm HD : A( x ) ( x 19)( x 5)( x 2017) Bài 13: Tìm đa thức có bậc nhỏ nhân ; ; ; ;2019 làm nghiệm Bài 14: Cho đa thức : Q( x) x mx 12 (m số) Tìm nghiệm Q(x), biết Q(x) có nghiệm -3 Bài 15: Cho hàm số : f x ax b a, b Z , CMR khơng thể đồng thời có f(17)=71, f(12)=35 x ;x Bài 16: Xét hai đa thức P( x) x a.x b, Q( x) x cx d hai số khác CMR P(x) x ;x Q(x) nhận làm nghiệm P(x) = Q(x) HD : 2 Ta có : x1 a.x1 b x1 cx1 d 0 x22 a.x2 b x22 cx2 d 0 Nên a x1 x2 c x1 x2 a c a.x1 b cx1 d a.x2 b cx2 d => b d Vậy P(x)=Q(x) x2 1 x x q ( x) x x x x x 3 3 2 Bài 17: Cho đa thức: a, Tìm bậc q(x) Do : 10 1 q b, Tính c, CMR: đa thức q(x) nhận giá trị nguyên với x nguyên y f x 0 x R, x 0 f x1; x2 f x1 f x2 Bài 18: Cho hàm số , có tính chất Hãy CMR: a f 1 1 f x f x b, 1 f x Bài 19: Cho hàm số xác định với x thuộc R, biết với x ta có: 1 f x f x f 2 3 , Tính HD: 1 x 2 f f 4 2 Ta có: x Và 1 f f f 47 2 32 f x x thỏa mãn: Bài 20: Cho đa thức f x CMR: có nghiệm 5x f x x 3x f x 1 , với x 11
Ngày đăng: 19/09/2023, 09:33
Xem thêm: