Cđ19 đa thức

CHUYÊN ĐỀ: ĐA THỨC, NGHIỆM CỦA ĐA THỨC, TÌM HỆ SỐ VÀ XÁC ĐỊNH ĐA THỨC I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Định lý Bơ - zu ứng dụng 1) Định lý Bơ-zu: Phần dư phép chia đa thức f ( x) cho nhị thức bậc x  a giá trị đa thức điểm a tức f (a) f ( x)  x  a  q  x   f  a  Chứng minh: Gọi phần dư phép chia đa thức f ( x) cho nhị thức bậc x  a r ( x) Do bậc đa thức dư nhỏ bậc đa thức chia nên r ( x) số r ta có: f ( x) ( x  a).q( x )  r Thay x a ta được: f (a) (a  a ).q(a )  r  f (a) r (đpcm) 2) Hệ quả: Nếu a nghiệm f ( x) f ( x)( x  a ) II CÁC DẠNG BÀI Dạng Ứng dụng địn lí Bơ-zu I Phương pháp giải Phần dư phép chia đa thức f ( x) cho nhị thức bậc x  a giá trị đa thức điểm a tức f (a) : f ( x ) ( x  a ) q ( x)  f ( a ) II Bài toán Bài 1: Tìm a , b để đa thức 2x  ax  b chia cho x  dư  chia cho x  dư 21 Lời giải: Đặt f ( x) 2 x  ax  b Theo định lý Bơ-zu ta có: f ( x) : ( x 1) dư   f ( 1)   2.( 1)3  a.( 1)  b    a  b  f ( x ) : ( x  2) dư 21  f (2) 21  2.23  a.2  b 21  2a  b 5 Để tìm a , b ta có:  a  b   a  b   a  b  a 3     2a  b 5  3a   a 3 b  Vậy đa thức cần tìm f ( x) 2 x  3x  Bài 2: Đa thức f ( x) chia cho x  dư , chia cho x  dư x  Tìm số dư chia f ( x) cho ( x  1).( x 1) Lời giải: Theo định lý Bơ - zu, ta có: f ( x) : ( x  1) dư  f (  1) 4 Do bậc đa thức chia nên bậc đa thức dư bậc Vì thế, đa thức dư có dạng ax  bx  c Theo định nghĩa phép chia cịn dư ta có: f ( x) ( x  1).( x  1).q( x)  ax  bx  c  f ( x) ( x  1).( x  1).q ( x)  ax  a  a  bx  c  f ( x) ( x  1).( x  1).q( x)  a ( x  1)  bx  c  a  f ( x )  ( x  1).q ( x)  a  ( x  1)  bx  c  a Mà f ( x) : ( x  1) dư x  Vậy ta phải có:  b 2 b 2 b 2      c  a 3  c  a 3  c  a  b  c 4 a  c 6     a  x  2x  2 Vậy đa thức dư cần tìm là: Bài 3: Cho đa thức A x  ax  b Hãy xác định hệ số a , b đa thức A biết A chia hết cho đa thức B x  3x  Lời giải: a) Ta có: B x  3x  ( x  1).( x  2) Theo định lý Bơ-zu, ta có:  A(1) 0 AB     A(2) 0  1  a.1  b 0   2  a.2  b 0  a  b    4a  b  16 a   b 4 Vậy đa thức A x  x  Nhận xét: Qua tốn ta rút nhận xét: sử dụng định lý Bơ-zu giúp ta giải nhanh việc tìm hệ số đa thức cần tìm Thơng thường, nhờ định lý Bơ-zu đưa việc tìm hệ số đa thức việc giải hệ phương trình 2, ẩn Đối với hệ phương trình ẩn trở lên cần trang bị thêm cho học sinh cách giải hệ phương pháp Gau-xơ Dạng Phương pháp hệ số bất định I Phương pháp giải Theo định nghĩa hai đa thức f  x g x   chúng nhận giá trị f x g x giá trị biến x Rõ ràng     có bậc với i hệ số xi tương ứng f  x  g  x  Người ta chứng minh điều ngược lại Cụ thể: f  x  an x n  an -1 x n-1   a1x1  a0 g  x  bn x n  bn-1 x n-1   b1 x1  b0 f  x  g  x   bi với i 0, n Sau số tốn xác định đa thức có sử dụng định nghĩa hai đa thức gọi phương pháp dùng hệ số bất định II Bài toán Bài 1: Xác định a , b để đa thức ax  12 x  bx  luỹ thừa bậc đa thức khác Lời giải: Vì đa thức ax  12 x  bx 1 luỹ thừa bậc đa thức khác, nên bậc đa thức cần tìm phải bậc Hay đa thức cần tìm có dạng: mx  n 3 3 2 Theo ta có: ax  12 x  bx  1 mx  n  m x  3m x n  3mxn  n Theo phương pháp hệ số bất định ta phải có: a m3  3m n 12   mn  b  n3 1  a m3  m 4   m  b  n 1   m 2 a 8; b 6  m  a  8; b   Vậy có hai đa thức thoả mãn điều điện tốn là:  x  12 x  x    x  1 Bài 2: x  12 x  x   x  1 x3 - ax  bx - c  x - a   x - b   x - c  Tìm số a, b, c để Lời giải: Theo ta có: x3 - ax  bx - c  x - a   x - b   x - c   x - bx - ax  ab  ( x - c)  x - bx - ax abx - cx  bcx  acx - abc  x3 -  a  b  c  x   ab  bc  ca  x - abc Dùng phương pháp hệ số bất định, ta phải có: a a  b  c  b ab  bc  ca  c abc  b  c 0  b a (b  c )  bc  c abc  b  c 0  b bc c abc  b  c  0 Do b bc nên  có hai trường hợp xảy ra: *) Nếu b 0 c 0 a tuỳ ý **) Nếu b 0 c 1 a  ; b  Bài 3: Cho đa thức A ax  x  bx -10 a) Hãy xác định hệ số a , b đa thức A biết A chia hết cho đa thức B x  3x  b) Xác định thương phép chia Lời giải: Do bậc đa thức A bậc đa thức B nên bậc đa thức thương phải bậc có dạng: mx  n Theo ta có: AB  ax  x  bx -10  x - 3x    mx  n  mx3 - nx - 3mx - 3nx  2mx  2n mx   -n - 3m  x   2m - 3n  x  2n Dùng phương pháp hệ số bất định,ta phải có : 11  a  a m a m  6  n  3m 6   3m  m  11        b 2m  3n b 2m  15   11   10  2n n 5 b 2     15  3  n 5 11  a   11 m    67 b   n 5 Vậy đa thức cần tìm là: A  11 67 x  x2  x  10 3 **) Đa thức thương phép chia A cho B là:  11 x 5 Dạng Phương pháp nội suy Niu-tơn I Phương pháp giải Để tìm đa thức P( x) bậc không n biết giá trị đa thức n + điểm C1 , C , C ,  , C n 1 ta biểu diễn P( x) dạng: P ( x) b0  b1 ( x  C1 )  b2 ( x  C1 )( x  C )    bn ( x  C1 )( x  C )  ( x  C n ) Bằng cách thay x cỏc giỏ trị C1 , C , C3 ,, C n 1 vào biểu thức P(x) ta tính hệ số b0 , b1 , b2 ,, bn II Bài toán Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P( x) biết: P (0) 25, P (1) 7, P (2)  Lời giải Đặt P( x) b0  b1 x  b2 x( x  1) (1) Thay x ; ; vào (1) ta được: b0 25 25  b1  b1  18  25  18.2  b2 2.1  b2 1 Vậy, đa thức cần tìm có dạng: P( x) 25  18 x  x( x  1)  P( x)  x  19 x  25 Bài 2: Tìm đa thức bậc P( x) , biết: P (0) 10, P (1) 12, P ( 2) 4, P (3) 1 Lời giải Đặt: P  x  d  cx  bx  x -1  ax  x -1  x -  P d Cho x 0 ,   , suy d 10 P  x  10  cx  bx  x -1  ax  x -1  x -  P 10  c Cho x 1 ,   , suy c 2 P  x  10  x  bx  x -1  ax  x -1  x -  P 10   2b Cho x 2 ,   , suy b  P  x  10  x - x  x -1  ax  x -1  x -  a P  10   30  a   Cho x 3 , , suy P  x  10  x - x  x -1  x  x -1  x -  Rút gọn ta đa thức cần tìm là: 25 P( x)  x3  x 12 x 10 2 Bài 3: P -1 0 P x - P x -1 x x 1  x  1 Cho đa thức P( x) bậc thoả mãn:        Xác định P( x) Suy giá trị tổng sau ( n số nguyên dương) S 1.2.3  2.3.4   n  n  1  2n  1 Lời giải: P  P 0 P  0 P 0 Cho x 0 , suy     mà   ,   P -2 0; P  1 6; P   36 Cho x giá trị x  ; x 1 ; x 2 , ta nhận được:   Đặt P  x  e  d  x    c  x    x  1  b  x    x  1 x  a  x    x  1 x  x -1 P  e Cho x 2 ,   , suy e 0 P  d Cho x  ,   , suy d 0 P 2c Cho x 0 ,   , suy c 0 Vậy P  x  b  x    x  1 x  a  x    x  1 x  x -1 P 6b Cho x 1 ,   , b 1 a P  24  24 a  36   Cho x 2 , P  x   x  x  1  x   Đa thức cần tìm là: **) Theo ra: P  x  - P  x -1 x  x 1  x 1 P - P 1.2.3 Cho x 1; 2; ; n ta có :     P   - P  1 2.3.4 P  n  - P  n -1 n  n  1  2n  1 Cộng vế với vế ta được: P  n  - P   1.2.3  2.3.4   n  n  1  2n  1 S P (n)  n(n  1) (2n  1) Do đó: Bài 4: f x - f x -1 x Xác định đa thức bậc , f ( x) thoả mãn     2 Từ suy cơng thức tính tổng S 1    n Lời giải: *) Đặt f  x  d  cx  bx  x  1  ax  x  1  x   Cho x 0 , suy f (0) d f  f   1 d  c  - d 1  c  Cho x 1 , suy f (1) d  c   nên  Khi f  x  d  x  bx  x  1  ax  x  1  x   Cho x 2 , suy f   d   2b f    f  1 4 f  x  d  x  x  x  1  ax  x  1  x   Khi f d    6a d  12  6a f  f   9 Cho x 3 , suy     nên  d 12  6a    d   9  a 3 f ( x ) d  x  x ( x  1)  x ( x  1)( x  2) Khi đó: 1 f ( x)  x  x  x  d (d  ) Vậy **) Theo ta có: f  x   f  x  1 n d   2b    d  1 4  b  nên  f - f 12 Cho x 1; 2; ; n ta     f    f  1 22 f  x   f  x  1 n Cộng vế với vế ta được: f  n   f   12  22   n 2 n  3n  n 1  S  n  n  n  d   d  6 3  Suy Vậy S n  n  1  2n  1 Dạng 4: Tính giá trị biểu thức I Phương pháp giải BTĐS biểu thức chứa số chữ phép tốn số ,các chữ Những chữ BTĐS số ( thường dùng chữ a, b, c, ) biến số ( thường dùng chữ x, y, z ) Biểu thức không chứa biến mẫu gọi biểu thức nguyên Nếu biểu thức có chứa biến mẫu gọi biểu thức phân Muốn tìm giá trị BTĐS biết giá trị biến biểu thức cho ta thực bước sau : - Thu gọn biểu thức cho ( ) - Thay giá trị biến số cho ; Rồi thực phép tính - Trả lời Nâng cao: 3 2 - Các đẳng thức đáng nhớ : ( a±b ) ; a −b ; ( a+b ) ; a ±b Qui ước đọc viết BTĐS có nhiều phép tính: Phép tính làm sau đọc trước tiên ; Phép tính lam trước đọc sau - Xác định giá trị biến để biểu thức có nghĩa ( ĐKXĐ ): PTĐS A B có nghĩa Mẫu thức B ¿ - Ta có : A.B 0  A 0 B = II Bài tốn Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau: A A 6x2  x  2x 1 b B = x −2xy−2 y d , biết x  y 0 x  y 4 5x2  y C 10 x  y , với c D |x|= x y = 2005 x  2006 y 2005 x  2006 y , biết x y = 4 5 6 7 8 9 10 10 e E  x y  x y  x y  x y  x y  x y  x y , x  1; y 1 5 6 10 10 10 f F  x y z  x y z   x y z , x  1; y  1; z  17 16 15 14 g G ( x)  x  12 x  12 x  12 x   12 x  , x 11 h H 6 x  y  10  3ax  3ay  15a , x  y 5 i k l I  x  xy  x   x  xy  y  25 y K L x y x6 , x  y 5 ( x  y; x  ), x  y 6 2x  y   x  y y  x , x  y 6 z  y   M         x  z   m y  z  ( x, y, z 0) , x  y  z 0 Lời giải: 1 x   x  2 A * Với * Với b x 1 Mẫu 2x-1=2 -1=0=>A khơng có nghĩa x  Thì A = { x− y=0 ¿ ¿ ¿ ¿ 10  f ( x ) x  ax  b  x  5x   ( x  6x  9)  ( x  3) ( x  3)  ( x  3) ( x  3)( x  2) Giải tìm a = ;b =  x  3; x  Vậy x  3; x  Dạng 5.2 Chứng minh đa thức nghiệm I Phương pháp giải Để chứng minh đa thức P khơng có nghiệm, ta chứng minh P < P > với giá trị biến II Bài toán Bài 1: Chứng tỏ đa thức sau khơng có nghiệm : Q  y  2 y  Lời giải Nhận xét : Vậy Q y Q  y  2 y  0    Q  y   khơng có nghiệm Bài 2: Chứng tỏ đa thức x  2x  khơng có nghiệm Lời giải Ta có 2 x  2x   ( x  2x  1)  ( x  1)  0   Vậy đa thức x  2x  khơng có nghiệm Bài 3: Chứng tỏ đa thức khơng có nghiệm f ( x)  x  x  x  x  tập số thực Lời giải +) Nếu x 0  f  x   x  x  x  x   6 + Nếu  x   f  x   x  x  x  x   x  x   x    x  + Nếu x 1  f  x   x  x3  x  x   x3 x    x  x  1     20