Các chuyên đề số học bồi dưỡng hsg thcs (1)

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038) Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng năm 2023 Website: tailieumontoan.com Mơc lơc Trang Chủ đề Các tốn chia hết Chủ đề Các toán đồng dư thức Chủ đề Các toán số nguyên tố Chủ đề Các toán số phương Chủ đề Các tốn phương trình nghiệm ngun Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 521 Website: tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ 1: PHÉP CHIA HẾT A KIẾN THỨC CƠ BẢN I ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA Cho số nguyên a b b ≠ ta ln tìm hai số ngun q r cho a = bq + r ( ≤ r ≤ b ) Trong a số bị chia, b số chia, q thương, r số dư Khi a chia cho b xảy b số dư, r ∈ {0;1;2; ; b } Đặc biệt r = ⇒ a = bq, ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a Ký hiệu ab, hay b \ a Vậy ab ⇔ có số nguyên q cho a = bq Các tính chất : 1) Với ∀a ≠ ⇒ a a 2) Nếu ab b c ⇒ a c B CÁC DẠNG BÀI TẬP Ví dụ CMR n + 3n + 5121 với ∀n ∈  Giả sử tồn n ∈  cho n + 3n + 5121 ⇒ 4n + 12n + 20121 (vì ( n,121) = 1) ⇒ ( 2n + 3) + 11121 (1) ⇒ ( 2n + 3) 11 Vì 11 số nguyên tố ⇒ 2n + 311 ⇒ ( 2n + 3) 121 (2) Từ (1) (2) ⇒ 11121 vô lý Vậy n + 3n + 5121 n +1 Ví dụ 2: CMR : 22 + 711 với n ∈  Ta có: 24 ≡ ( mod10 ) ⇒ 24 n+1 ≡ ( mod10 ) ⇒ 24 n+1 = 10q + ( q ∈  ) n +1 ⇒ 22 = 210 q + Theo định lý Fermat ta có: 210 ≡ 1( mod11) ⇒ 210 q ≡ 1( mod11) 22 n +1 += 210 q + + ≡ + ( mod11) ≡ ( mod11) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Vậy 22 n+1 + 711 với n ∈  ( dfcm ) C BÀI TẬP TỰ LUYỆN (cứ 10 giải lần) Bài 1.CMR với n ∈  * n số tự nhiên lẻ ta có m − 1 2n+ Bài CMR: 22225555 + 55552222  n n +1 n +1 Bài CMR: 32 + 33 + 5 22∀n ∈  Bài 4.Chứng minh rằng: n3 + 11n với n ∈  Bài 5.Cho a, b ∈ thỏa mãn (16a + 17b )(17 a + 16b )11 Chứng minh (16a + 17b )(17 a + 16b )121 Bài 6.Tìm n ∈  cho P = ( n + 5)( n + )6n Bài 7.Chứng minh rằng: a )5n+ + 26.5n + 82 n+1 59 b)92 n + 145 Bài 8.Tìm n ∈  cho n3 − 8n + 2n n + Bài Chứng minh A ( n ) = 16n − 15n − 1 225 với n ∈  * Bài 10.Chứng minh số lập thành 3n chữ số giống chia hết cho 3n với n số nguyên dương Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com BÀI GIẢI TỪ BÀI 01 ĐẾN BÀI 10 ( m + 1)( m − 1)8 (vì m + 1; m − hai số chẵn liên tiếp nên tích Bài Với n =⇒ chúng chia hết cho 8) Giả sử với n = k ta có m − 1 2k + ta phải chứng minh : m k k +1 − 1 2k +3 (pp quy nạp) Thật m − 1 2k + ⇒ m = − 2k + 2.q ( q ∈  ) ⇒ m= 2k + 2.q + k k +1 −1 Có m = k ( ) m2 = −1 k (2 k q + 1) = − 2k + 4.q + 2k +3.q k +2 = 2k +3.( 2k +1 q + q ) 2k +3 Vậy m − 1 2n+ với n ≥ n Bài Có 2222 ≡ −4(mod 7) ⇒ 22225555 + 55552222 = ( −4 ) Lại có: ( −4 ) 5555 5555 + 45555 ( mod ) ( + 42222 = −45555 + 42222 = −42222.( 43333 − 1) = −42222 ( 43 ) Vì 43 = 64 ≡ 1( mod ) ⇒ ( 43 ) 1111 1111 ) −1 − ≡ 0(mod 7) ⇒ 22225555 + 55552222 ≡ 0(mod 7) Vậy 22225555 + 55552222  Bài Theo định lý Fermat ta có: 310 ≡ 1(mod11); 210 ≡ 1(mod11) Ta tìm dư phép chia 24 n+1 34 n+1 cho 10 Có: 24 n+1 = 2.16n ≡ ( mod10 ) ⇒ 24 n+1 = 10q + ( q ∈  ) Có 34 n+1 = 3.81n ≡ 3(mod10) ⇒ 34 n+1 = 10k + ( k ∈  ) n +1 n +1 +3 310 q + + 210 k= 32.310 q + 23.210 k + Ta có: 32 + 33 += ≡ + + 1(mod 2) ≡ 0(mod 2) mà ( 2,11) = n +1 n +1 Vậy 32 + 33 + 5 22 với n ∈  Bài 4.Ta có: n3 + 11n =n3 − n + 12n =n ( n − 1) + 12n =n ( n + 1)( n − 1) + 12n Vì n, n − 1, n + 1là số nguyên liên tiếp ⇒ n ( n + 1)( n − 1) 12n Vậy n3 + 11n 16a + 17b11 Bài Có 11 số nguyên tố mà (16a + 17b )(17 a + 16b )11 ⇒  (1)  17 a 16 b 11 +  Có 16a + 17b + 17 a + 16b = 33 ( a + b )11( ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 16a + 17b11 Từ (1) (2) ⇒  Vậy (16a + 17b )(17 a + 16b )121 17 a + 16b11 Bài Ta có: P = ( n + )( n + ) = n + 11n + 30 = 12n + n − n + 30 n − n n ( n − 1)3 Vì 12n 6n nên để P 6n ⇔ n − n + 30 6n ⇔  ⇔ 30 n   30 n Từ (1) ⇒ n = 3k n =3k + 1( k ∈  ) (1) (2) Từ (2) ⇒ n ∈ {1;2;3;4;5;6;10;15;30} Vậy từ (1) , (2) ⇒ n ∈ {1;3;6;10;15;30} Thay giá trị n vào P ta có n ∈ {1;3;10;30} thỏa mãn Vậy n ∈ {1;3;10;30} P = ( n + 5)( n + )6n Bài a )5n+ + 26.5n + 82 n+1 b)92 n + 14= 92 n − + 15 = 5n.( 25 + 26 ) + 82 n+1 = (81 n − 1) + 15 n = 5n ( 59 − ) + 8.64= 5n.59 + 8.59m59= 80m + 155 Bài 8.Có n3 − 8n + 2n= (n + 1) ( n − 1) + n + 8( n + 1) ⇔ n + 8 n + Nếu n + =0 ⇒ n =−8(tm) Nếu n + ≠ ⇒ n + ≥ n +  n + ≤ −n −  n + n + ≤ vs n ≤ −8 ⇒ ⇒ 2 + ≥ + n n   n − n − ≤ vs n ≥ −8 ⇒ n ∈ {−2;0;2} mà n=-2 không thỏa mãn Vậy n ∈ {−8;0;2} ⇒ A ( n ) = 225 225 ,vậy n = Bài 9.Với n = n = Giả sử n= k ≥ Nghĩa A ( k ) = 16k − 15k − 1 225 Ta phải chứng minh A ( k + 1= ) 16k +1 − 15 ( k + 1) − 1 225 Thật vậy: A ( k + 1= ) 16k +1 − 15 ( k + 1) − = 16.16k − 15k − 16 = (16k − 15k − 1) + 15.16k − 15 = 16k − 15k − + 15.15m= A ( k ) + 225m Mà A(k ) 225 (giả thiết quy nạp) 225m 225 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Vậy A ( n ) 225 n Bài 10.Ta cần chứng minh aaa  a3 (1) 3n so a Với n = ta có: aaa a = 111a3 k Giả sử (1) với n = k tức aaa  a3 3k so a Ta chứng minh (1) với n= k + 1tức phải chứng minh: k +1 k k k k k +1 aaa   a3 ta có: = 3.3 = + + 3k +1 so a .a = a a a a a a = aa a.102.3 + aa a.103 + a a Có aa  k 3k +1 so a 3k ( 3k 3k k 3k ) = aa .a 102.3 + 103 + 3k +1  k k 3k Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ĐỀ BÀI TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20 Bài 11.Biết tổng chữ số số không đổi nhân số với Chứng minh số chia hết cho Bài 12.Chứng minh rằng: 1111 111  81 81 so1 Bài 13.Tìm tất số có chữ số cho số gấp lần tích chữ số số Bài 14.Viết liên tiếp tất số có chữ số từ 19 đến 80 ta số A = 192021 7980 Hỏi số A có chia hết cho 1980 khơng ? Vì ? Bài 15.Tổng 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 khơng ? Vì ? Bài 16.Chứng tỏ số 11 11222 22      tích số tự nhiên liên tiếp 100 so1 100 so Bài 17 Chứng minh rằng: a) Tích số nguyên liên tiếp ln chia hết cho b) Tích 3số nguyên liên tiếp chia hết cho Bài 18 Chứng minh tổng lập phương số nguyên liên tiếp chia hết cho Bài 19 Chứng minh n − 4n3 − 4n + 16n384 với n chẵn , n ≥ Bài 20.Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20 Bài 11.Gọi số cho a Ta có: a 5a chia cho có số dư ⇒ 5a − a9 ⇒ 4a9 mà ( 4,9 ) = ⇒ a9 ( dfcm ) Bài 12.Ta thấy 1111111119 có 72 63 111 111 Có=   111111111(10 + 10 + + 10 + 1) 81 so1 Mà tổng 1072 + 1063 + + 109 + có tổng chữ số 99 ⇒ 1072 + 1063 + + 109 + 19 Vậy 1111 111  81(dfcm) 81 so1 Bài 13 Gọi ab số có chữ số Theo ta có: ab= 10a + b= 2ab (1) ab ⇒ b ∈ {0;2;4;6;8} a 3,= b Thay vào (1) suy ra= Bài 14.Có 1980 = 22.32.5.11 , chữ số tận a 80 chia hết cho Nên A 279 Tổng chữ số hàng lẻ + ( + + + ) 10 + = Tổng chữ số hàng chẵn + ( + + + ) + =279 Có 279 + 279 = 5589 ⇒ A9 ;279 − 279 = 011 ⇒ A11 Vậy A1980 Bài 15 Tổng số tự nhiên liên tiếp số lẻ nên khơng chia hết cho Có 46 số tự nhiên liên tiếp nên có 23 cặp số cặp có tổng số lẻ nên tổng 23 cặp không chia hết cho Vậy tổng 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 46 Bài 16.Có: 111 1122 222      = 11 111100 02     100 so1 100 so 100 so1 99 so Mà 1000 02   = 3.333 34    99 so 99 so ⇒ 11 1122 22 33 3333 34(    =      dfcm) 100 so1 100 so 100 so 99 so Bài 17 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com a) Trong hai số nguyên liên tiếp có số chẵn nên số chia hết cho Vậy tích số ngun liên tiếp ln chia hết tích số nguyên liên tiếp chia hết cho b) Trong số nguyên liên tiếp có số chia hết cho Nên tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 3, kết hợp vs ý a Ta có tích số ngun liên tiếp chia hết cho Bài 18 Gọi số nguyên liên tiếp n − 1, n, n + Ta có: A = ( n − 1) + n3 + ( n + 1) 3 = 3n3 − 3n + 18n + 9n + = ( n − 1) n ( n + 1) + ( n + 1) + 18n Ta thấy ( n − 1) n ( n + 1)3 (chứng minh 17) 9 ( n + 1)9 ⇒ ( n − 1) n ( n + 1)9 mà  ⇒ A9(dfcm)  n 18  Bài 19 = n 2k , k ≥ Ta có: Vì n chẵn, n ≥ ta đặt n − 4n3 − 4n + 16n = 16k − 32k − 16k + 32k = 16k ( k − 2k − k += ) 16k ( k − )( k − 1)( k + 1) Với k ≥ nên k − 2, k − 1, k + 1, k số tự nhiên liên tiếp nên số có số chia hết cho số chia hết cho ⇒ ( k − )( k − 1)( k + 1) k 8 ( k − )( k − 1) k 3 ( 3,8) = nên: ⇒ ( k − )( k − 1)( k + 1) k  24 ⇒ 16 ( k − )( k − 1)( k + 1) k (16.24 ) Mà Vậy n − 4n3 − 4n + 16n384 với n chẵn, n ≥ Bài 20.Gọi số nguyên liên tiếp n − 1; n; n + Ta có: A = ( n − 1) + n3 + ( n + 1) = 3n − 3n + 18n + 9n + 3 = ( n − 1) n ( n + 1) + ( n + 1) + 18n Ta có n − 1; n; n + 1là tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho ⇒ ( n − 1) n ( n + 1)9 9 ( n + 1)9 mà  ⇒ A9 ( dfcm ) 18n9 ĐỀ BÀI TỪ BÀI 21 ĐẾN BÀI 30 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038