Thông tin tài liệu
2 Mục Lục Trang Lời nói đầu Chủ đề Quan hệ chia hết tập hợp số Chủ đề Các tốn số phương Chủ đề Các toán số nguyên tố, hợp số Chủ đề Các tốn phương trình nghiệm nguyên Chủ đề Các toán tổ hợp, suy luận Chủ đề Các toán phân nguyên, phần lẻ Hướng dẫn giải – đáp số Chủ đề Quan hệ chia hết tập hợp số Chủ đề Các tốn số phương Chủ đề Các toán số nguyên tố, hợp số Chủ đề Các tốn phương trình nghiệm nguyên Chủ đề Các toán tổ hợp, suy luận Chủ đề Các toán phân nguyên, phần lẻ Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIU TON HC chuyên đề bồi dưỡng Chương I QUAN HỆ CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ A KiÕn thøc cÇn nhí Định nghĩa phép chia Cho hai số nguyên a b b ≠ ta ln tìm hai số ngun q r cho = a bq + r , với ≤ r ≤ b Trong a số bị chia, b số chia, q thương, r số dư { Khi a chia cho b số dư r ∈ 0;1; 2; 3; ; b } • Nếu r = a = bq , ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a Ký hiệu: a b hay b a Vậy a chia hết cho b tồn số nguyên q cho a = bq • Nếu r ≠ , ta nói a chia b có số dư r Một số tính chất cần nhớ • Tính chất Mọi số ngun khác ln chia hết cho • Tính chất Số nguyên a chia hết cho số nguyên b số nguyên b chia hết cho số nguyên c số nguyên a chia hết cho số nguyên c • Tính chất Số nguyên a chia hết cho số nguyên b ngược lại a = ± b • Tính chất Nếu a.b m ( b, m ) = a m • Tính chất Nếu hai số ngun a b chia hết cho m ( a ± b ) m • Tính chất Nếu a chia hết cho m n, ( m, n ) = a mn • Tính chất Nếu số nguyên a chia hết cho số nguyên b số nguyên c chia hết cho số ngun d tích ac chia hết cho tích bd • Tính chất Trong n số ngun liên tiếp tồn số nguyên chia hết cho n • Tính chất Nếu a − b ≠ với a, b số tự nhiên a n − b n ( n ∈ N ) chia hết cho a − b • Tính chất 10 Nếu a + b ≠ với a, b số tự nhiên n số tự nhiên lẻ a n + b n chia hết cho a + b Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Một số dấu hiệu chia hết Đặt A = a n a n −1 a 2a1a , với a n ; a n −1 ; ; a ; a1 ; a chữ số Khi ta có dấu hiệu chia hết sau • Dấu hiệu chia hết cho 2: Số tự nhiên A chia hết cho a ∈ {0; 2; 4; 6; 8} • Dấu hiệu chia hết cho 5: Số tự nhiên A chia hết cho a ∈ {0; 5} Từ suy A chia hết cho 10 a = • Dấu hiệu chia hết cho 25: Số tự nhiên A chia hết cho 4(hoặc 25) a1a chia hết cho (hoặc 25) • Dấu hiệu chia hết cho 125: Số tự nhiên A chia hết cho 8(hoặc 125) a 2a1a chia hết cho (hoặc 125) • Dấu hiệu chia hết cho 9: Số tự nhiên A chia hết cho 3(hoặc 9) tổng chữ số số A chia hết cho 3(hoặc 9) • Dấu hiệu chia hết cho 11: Số tự nhiên A chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn số chia hết cho 11 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Sử dụng tính chất n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n (n ≥ 1) * Cơ sở phương pháp: Sử dụng tính chất như: tích hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2, tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho chia hết cho Chúng ta vận dụng linh hoạt tính chất nhiều toán chia hết Bài toán Chứng minh rằng: a) Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho b) Tích số chẵn liên tiếp chia hết cho c) Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 Hướng dẫn giải a) Trong số nguyên liên tiếp có số chia hết cho số chia hết tích số nguyên liên tiếp chia hết cho (do (2, 3) = 1) b) Hai số chẵn liên tiếp có dạng 2n (2n + 2) với n ∈ Z Do tích hai số ngun liên tiếp có dạng 4n(n + 1) Do n n + hai số nguyên liên tiếp nên n ( n + 1) Vì 4n ( n + 1) Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC c) Ta có 120 = 3.5.8 Do số nguyên liên tiếp có số liên tiếp nên theo ý a) ta có tích số ngun liên tiếp chia hết cho số nguyên liên tiếp có số chẵn liên tiếp nên theo ý b) ta có tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Mặt khác số ngun liên tiếp ln có số chia hết tích chúng chia hết cho Vậy tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 Chú ý: Tổng quát ta có tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n! Bài tốn Chứng minh tích số chẵn liên tiếp chia hết cho 48 Hướng dẫn giải Ba số chẵn liên tiếp có dạng 2n, (2n + 2) (2n + 4) với n ∈ Z Do tích hai số ngun liên tiếp có dạng 8n(n + 1)(n + 2) Do n, (n + 1) (n + 2) số nguyên liên tiếp nên n ( n + 1)( n + ) Vì n ( n + 1)( n += ) 6m ( m ∈ Z ) Do tích số chẵn liên tiếp 8n ( n + 1)( n + ) = 48m 48 Vậy toán chứng minh Bài tốn Chứng minh với số ngun n n3 − n chia hết cho Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( n − 1) n ( n + 1) n3 − n = n n2 − = Biểu thức tích số nguyên liên tiếp nên số chia hết cho 2, ( ) số chia hết cho mà (2, 3) = nên n3 − n Bài toán Chứng minh với số nguyên lẻ n n − n − n + chia hết cho 128 Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) (n n6 − n − n + = n n − − n − = Vì n số lẻ nên đặt n = 2k + Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 )( ) (n − n4 − = −1 ) (n 2 +1 ) ( k ∈ N ) Ta có: TÀI LIỆU TỐN HỌC (n 2 ) ( 4k 2 − = ( k + 1) − 1 = ) + k = k ( k + 1) 2 Ta có k(k + 1) chia hết nên k ( k + 1) 64 Mặt khác: n2 + 1= Do ( k + 1) n6 − n − n + = ( ) + 1= k + k + 2= 2 k + k + (n −1 ) (n 2 ) + 128 (đpcm) Chú ý: Bình phương số lẻ số lẻ Dạng 2: Phân tích thành nhân tử * Cở sở phương pháp: Để chứng minh A(x) chia hết cho p ta phân thích A(x) = D(x).p, cịn khơng thể đưa phân tích ta viết p = k.q Nếu (k, q) = ta chứng minh A(x) chia hết cho k q Nếu ( k , q ) ≠ ta viết A(x) = B(x).C(x) chứng minh B(x) chia hết cho k C(x) chia hết cho q * Ví dụ minh họa: Bài tốn Cho a, b, c số nguyên khác thỏa mãn điều kiện: 1 1 1 + + = 2+ 2+ b c a b c a Chứng minh rằng: a + b + c chia hết cho (Đề thi HSG lớp TP Thanh Hóa 2016-2017) Hướng dẫn giải 1 1 1 1 1 Từ giả thiết + + = + + ⇔ + + = a b c a b c ab bc ca Vì a, b, c ≠ nên a + b + c = ⇒ a + b =−c ⇒ ( a + b ) =− ( c) 3 ⇒ a + b + 3ab(a + b) = −c ⇒ a + b3 + c = 3abc Vậy a + b + c với a, b, c ∈ Z Bài toán Cho A 1.2.3 29, = = B 30.31.32 58 Chứng minh A + B chia hết cho 59 Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Hướng dẫn giải Ta có: B= ( 59 − 29 )( 59 − 28)( 59 − 27 ) ( 59 − 1)= 59k − 1.2.3 29= 59k − A ( k ∈ Z ) ⇒ A + B= 59k 59 Vậy A + B chia hết cho 59 Bài toán Cho số nguyên dương x, y, z Chứng minh rằng: ( x − y) + ( y − z) + ( z − x) 5 chia hết cho ( x − y )( y − z )( z − x ) Hướng dẫn giải Đặt a =x − y , b =y − z ⇒ z − x =− ( a + b ) Do ta cần chứng minh: a + b5 − ( a + b ) chia hết cho −5ab ( a + b ) ( Ta có: a + b5 − ( a + b ) = − 5a b + 10 a b2 + 10 a b3 + 5ab4 ( = −5ab a + b3 + a b + ab2 ) ) ( ) = −5ab ( a + b ) a − ab + b2 + ab ( a + b ) 2 = −5ab ( a + b ) a + ab + b ( ) Do tốn chứng minh Bài toán Chứng minh với ba số tự nhiên a,b,c có số lẻ hai số chẵn ta ln có (a + b + c ) − (a + b − c ) − (b + c − a ) − (a − b + c ) Chia hết cho 96 3 3 (Trích đề thi HSG lớp tỉnh Phú Thọ 2015) Hướng dẫn giải Đặt a + b - c = z; b + c - a = x; a + c - b = y x + y + z = a + b + c Ta có ( x + y + z ) − x − y − z = 3(x + y)(y + z)(x + z)= 3.2 c a b= 24abc Do số a, b, c có số chẵn nên abc chia hết cho 24abc chia hết cho 24.4 = 96 Vậy toán chứng minh Dạng 3: Sử dụng phương pháp tách tổng * Cở sở phương pháp: Để chứng minh A(x) chia hết cho p ta biết đổi A(x) thành tổng hạng tử chứng minh hạng tử chia hết cho p * Ví dụ minh họa: Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Bài tốn Chứng minh m, n số nguyên ta có: ( ) ( a) n n2 + 11 ( ) c) n ( n + 1)( 2n + 1) b) mn m2 − n2 Hướng dẫn giải ) ( n − 1) n ( n + 1) + 12n a) Ta có: n n2 + 11 = n3 + 11n = n3 − n + 12n = Dễ chứng minh: ( n − 1) n ( n + 1) 6, 12n ( n ∈ Z ) ( ) Do đó: n n2 + 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( n2 mn m2 − − n2 −= mn m2 − − mn n2 − b) Ta có: mn m2 −= ( ( ) ) ) Do: mn m2 − = n ( m − 1) m ( m + 1) 6, mn n2 − = m ( n − 1) n ( n + 1) ( ) Do đó: mn m2 − n2 c) Ta có: n ( n + 1)( 2n + 1) =n ( n + 1)( n + + n − 1) =n ( n + 1)( n + ) + ( n − 1) n ( n + 1) Do: n ( n + 1)( n + ) 6, ( n − 1) n ( n + 1) Do đó: n ( n + 1)( 2n + 1) Chú ý: Tách tổng phương pháp chứng minh chia hết mà lời giải dễ hiểu, ngắn gọn đẹp mắt nên thường trình bày tốn giải nhiều phương pháp, nhiên để áp dụng em cần linh hoạt việc tách Ví dụ: câu a) ta thấy 12n chia hết ta tách riêng phần lại phân đưa dạng tích, dựa vào tính chất chia hết tích số tự nhiên dễ dàng chứng chia Câu b) nghĩ việc thêm bớt để tạo tổng hai tích số tự nhiên liên tiếp Tương tự câu c) dễ dàng tách 2n + = (n – 1) + (n + 2) để đưa tổng hai tích số tự nhiên tiếp Bài tốn Chứng minh rằng: n n5 có chữ số tận giống với n số tự nhiên Hướng dẫn giải ( ) Để chứng minh n n có chữ số tận giống ta chứng minh n5 − n 10 Thật vậy: n5 −= n n ( n − 1= ) n ( n2 − 1)( n2 + 1=) n ( n2 − 1) ( n2 − ) + 5 n ( n − 1)( n − ) + 5n ( n − 1) =− ( n )( n − 1) n ( n + 1)( n + ) + ( n − 1) n ( n + 1) Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Nhận xét: ( n − )( n − 1) n ( n + 1)( n + ) tích năm số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho chia hết cho 10 Mặt khác ( n − 1) n ( n + 1) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết ( n − 1) n ( n + 1) chia hết cho 10 ( ) Do n5 − n 10 tốn chứng minh Bài toán a) Chứng minh b) Chứng minh n5 n3 n + + số nguyên với n ∈ Z 15 n n2 n3 + + số nguyên với n số nguyên chẵn 12 24 Hướng dẫn giải a) Ta có: n n 7n 8n =n− =n− − 15 15 n5 n3 n n5 n3 n n n5 − n n3 − n + + = + + n − − = + +n Do đó: 15 5 ( ) ( ) Từ thí dụ ta dễ dàng chứng minh được: n5 − n 5, n3 − n tốn chứng minh b) Do n số nguyên chẵn nên n = 2m (với m ∈ Z ) n n2 n3 m m2 m3 m3 + 3m2 + m m ( m + 1)( m + 1) Do đó: + + = + + = = 12 24 6 Theo ý c) thí dụ ta có n ( n + 1)( 2n + 1) tốn chứng minh Bài toán Chứng minh ax + bx + c ∈ Z , ∀x ∈ Z a , a + b ,c ∈ Z Hướng dẫn giải Ta có: ax + bx + c= ax − ax + ( a + b ) x + c= a Dễ thấy: x ( x − 1) x ( x − 1) + ( a + b ) x + c ∈ Z x (x – 1) hai số nguyên liên tiếp Do đó: ax + bx + c ∈ Z , ∀x ∈ Z a , a + b ,c ∈ Z Bài toán Cho số nguyên a1 ; a ; ; a n Đặt A = a1 + a + + a n B = a13 + a 32 + + a n3 Chứng minh A chia hết cho B chia hết cho Hướng dẫn giải Trước hết ta chứng minh bổ đề: Với số ngun a ta ln có a − a Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 Thật vậy, ta có a − a = ( a − 1) a ( a + 1) Ta thấy ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho có số chia hết cho 3, lại có nguyên tố nên ta suy a − a = ( a − 1) a ( a + 1) Xét hiệu sau (a B − A= ) (a + a 23 + + a n3 − ( a1 + a + + a n ) = ( ) ( ) ( ) ( − a1 + a 23 − a + + a n3 − a n ) ( ) ) Áp dụng bổ để ta a13 − a1 6; a 32 − a 6; ; a 3n − a n Do ta B − A Suy A chia hết cho B chia hết cho Dạng 4: Sử dụng đẳng thức Cở sở phương pháp: Nếu a, b số nguyên thì: an − bn chia hết cho a – b với n số tự nhiên a ≠ b an − bn chia hết cho a + b với n số tự nhiên chẵn a ≠ −b an + bn chia hết cho a + b với n số tự nhiên lẻ a ≠ −b ( a + b) n ( a + 1) n =ka + bn với k số nguyên, n số tự nhiên ( a − 1) = ac + n = ac + ( −1) , n số tự nhiên n * Ví dụ minh họa: Bài tốn Với n số tự nhiên chẵn Chứng minh rằng: a) b) 20 n + 16 n − 3n − 1 323 2222 + 5555 Hướng dẫn giải a) Ta có: P = 22 22 + 55 55 = ( 21 + 1) 22 + ( 56 − 1) 55 = ( BS + 1) 22 + ( BS − 1) 55 = BS + + BS – = BS nên 2222 + 5555 chia dư b) Ta có: 323 = 17.19 Ta biến đổi 20 n + 16 n − 3n −= ( ( ) ( 20 n ) ( − + 16 n − 3n ) ) Ta có: 20 n − : ( 20 − 1) ⇒ 20 n − 19 ( ) ( ) ) −1 ) ( 1) Mặt khác n số chẵn nên 16 n − 3n ( 16 + ) ⇒ 16 n − 3n 19 ( ) ( ) ( Do 20 n − + 16 n − 3n 19 ⇒ 20 n + 16 n − 3n − 19 Ta biến đổi 20 n + 16 n − 3n −= ( ) ( 20 ( n ) ( − 3n + 16 n n ) − ) ( 16 + 1) ⇒ ( 16 Ta có: 20 n − 3n : ( 20 − ) ⇒ 20 n − 17 ( Mặt khác n số chẵn nên 16 n Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 n n ) − 3n 17 ( ) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Do (17, 19) =1 nên từ (1) (2) suy ra: 20 n + 16 n − 3n − 1 323 Bài toán Chứng minh với số tự nhiên n ta có: a) 11n + + 12 2n +1 133 b) 5n + + 26.5n + 2n +1 59 c) 7.52n + 12.6 n 19 Hướng dẫn giải a) Ta có: 11n + + 12 2n +1 = 112.11n + 12.12 2n = 121.11n + 12.144 n ( = 133.11n + 12 144 n − 11n (133 − 12 ) 11n + 12.144n = ( ) ( ) ) Do 133.11n 133 12 144 n − 11n ( 144 − 11) hay 12 144 n − 11n 133 ( ) Nên 133.11n + 12 144 n − 11n ⇒ 11n + + 12 2n +1 133 (đpcm) b) Ta có: 5n + + 26.5n + 2n +1 = 25.5n + 26.5n + 8.8 2n = 51.5n + 8.64 n ( = ( 59 − ) 5n + 8.64n =59.5n + 64n − 5n ( ) ( ) ) Vì 64 n − 5n ( 64 − ) ⇒ 64 n − 5n 59 ( ) Nên 59.5n + 64 n − 5n 59 ⇒ 5n + + 26.5n + 2n +1 59 (đpcm) ( c) Ta có: 7.52n + 12.6 n= 7.25n + ( 19 − ) n= 19.6 n + 25n − n ( ) ( ) ) Vì 25n − n ( 25 − ) ⇒ 25n − n 19 ( ) Nên 19.6 n + 25n − n 19 ⇒ 57.52n + 12.6 n 19 (đpcm) Bài toán Chứng minh = A 19931997 + 1997 1993 30 Hướng dẫn giải Sử dụng tính chất ( a + b) n =ka + bn với k số nguyên, n số tự nhiên Ta có: A = 19931997 + 1997 1993 = ( 1980 + 13 ) 1997 + ( 2010 − 13 ) 1993 = 1980c + 131997 + 2010d − 131993 ( ) 30 ( 66c + 67d + 952.13 ) 30 = 1980c + 2010d + 131993 134 = 1993 ( ) ( ) Bài toán Chứng minh = C 5n 5n + − n 3n + n 91 ( n ∈ N ) (Chuyên sư phạm Hà Nội 1997 – 1998) Hướng dẫn giải Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 342 Câu 21 Giả sử hình vng ABCD có tâm O cạnh a, chứa năm hình trịn khơng cắt có bán kính Vì năm hình trịn đểu nằm trọn hình vng, nên tâm chúng nằm hình vng A’B’C’D’ có tâm O cạnh a-2, A’B’//AB Các đường thẳng nối trung điểm cùa cạnh đối diện hình vng A’B’C’D’ chưa A’B’C’D’ thành hình vng nhỏ Theo ngun lí Dirichlet tồn hình vng nhỏ mà hình vng chứa hai số tâm hình trịn nói ( khơng tính tổng quát ta giả sử O’ O”) Để ý khơng có hai hình trịn ( số năm hình trịn) cắt nhau, nên O’O” ≥ (1) Mặt khác O’, O” nằm hình vng nhỏ (cạnh hình vng nhỏ a−2 a−2 ) nên ta lại có O’O” ≤ 2 (2) Từ (1) (2) suy ra: a−2 ≥ ⇒ a ≥ 2 + 2 (3) B A O" O' B' A' O' O D' O" D C' C (a-2)/2 Hình Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 343 Vậy hình vng cạnh a thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta có (3) Bây xét hình vng ABCD có a= 2 + Xét năm hình trịn có tâm O, A’, B’, C’, D’ (xem hình 9) , u cầu đề thỏa mãn Tóm lại, hình vuong có kích thước bé cần tìm hình vuông với cạnh 2 + Câu 22 Chia hình trịn thành hình quạt (tâm hình quạt tâm O cho) Ta biết khoảng cách hai điểm hình quạt nhỏ 1, từ giả thiết suy hình quạt có không điểm rơi vào Giả thiết phản chứng chọn năm điểm thỏa mãn yêu cầu đề Vì lí nên số điểm khơng thể 7(vì số điểm chọn mà lớn theo ngun lí Dirichlet có hai điểm chọn nằm cung hình quạt mà điều mâu thuẫn với nhận xét trên.) A2 A1 A3 O A6 A4 A5 Hình 10 Vậy từ giả thiết phản chứng suy tồn sáu điểm A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 điểm nằm hình quạt cho khoảng cách hai điểm tùy ý chúng lớn A1OA2 + A2OA3 + A3OA4 + A4OA5 + A5OA6 + A1OA6 = 3600 Do Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 344 Khi suy ra: Min AOA i i +1 ≤ i =1,6 3600 = 600 (ở đặt A7 ≡ A1 ) Xét tam giác Ak OAk +1 (với k ∈ {1, 2,3, 4,5,6} , A7 ≡ A1 ) Min AOA i i +1 = Ak OAk +1 i =1,6 : Ak OAk +1 ≤ 600 Vì OAk ≤ 1, OAk +1 ≤ 1, Ak OAk +1 ≤ 600 nên từ suy ra: Ak OAk +1 ≤ Max{ Ak Ak +1O, OA k Ak +1} Từ thao mối liên hệ cạnh góc tam giác Ak OAk +1 , Ak Ak +1 ≤ max{OAk , OAk +1} ≤ Điều mâu thuẫn với Ak Ak +1 >1 (vì hệ sấu điếm A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 thỏa mãn yêu cầu đề bài) Từ ta thấy giả thiết phản chứng sai Điều có nghĩa chọn điểm thỏa mãn yêu cầu để Đpcm Câu 23 Giả sử AB đoạn thẳng có độ dài 1, a a’ hai đường thẳng vng góc với Gọi A’B’ A”B” hình chiếu AB lên a a’ Khi ta có: A’B’ +A”B” ≥ AB hay A’B’ +A”B” ≥ Áp dụng vào tốn ta gọi d” đường thẳng vng góc với d Chiếu vng góc tất 4n đoạn thẳng lên d d” từ (1) suy tổng độ dài hình chiếu tất 4n đoạn thẳng khơng bé 4n Vì vậy, theo ngun lí Dirichlet hai đường thẳng d d” có đường thẳng mà tổng độ dài hình chiếu đoạn thằng lên khơng bé 2n Khơng tính tổng qt ta giả sử d Mặt khác, đoạn thẳng đầu nằm trọn hình trịn bán kính n ( đường kính 2n), nên hợp hình chiếu chúng d có độ dài không vượt 2n Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 345 Vì vậy, theo nguyên lí dirichlet d tồn điểm M thuộc vào hình chiếu hai đoạn thẳng số 4n đoạn thẳng cho Gọi d’ đường thẳng vng góc với d M Đường thẳng d’ đường thẳng cần tìm Chú ý: Nếu thay d d” đường thẳng phải tìm có dạng song song với d (vì vng góc với d”) Câu 24 Xét đường kính S1S tùy ý đường trịn, S1 , S hai đầu đường kính Vì S1S =2, nên ta có; S1M1 + S2 M1≥ S1S2 = S1M + S2 M ≥ S1M1000 + S2 M1000 ≥ M2 M1 S1 S2 M1000 Hình 12 Cộng vế 1000 bất đẳng thức ta có: ( ( S1M + S1M + + S1M 1000 ) + ( S M + S M + + S M 1000 ) ≥ 2000 (1) Từ (1) theo nguyên lí Dirichlet suy hai tổng vế trái (1), có tổng lớn bẳng 1000 Giả sử S1M + S1M + + S1M 1000 ≥ 1000 lấy S= S1 Đó đpcm Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 346 Câu 25 Hình 13.1 Các đường thẳng cho cắt cạnh kề hình vng, chúng chia hình vng thành tam giác ngũ giác ( chia hình vng thành hai tứ giác) Vì lẽ đó, đường thẳng ( số chín đường thẳng) cắt hai cạnh đối hình vng dĩ nhiên khơng qua đỉnh hình vuông Giả sử đường thẳng cắt hai cạnh đối BC AD điểm M N Hình 13.2 Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 347 Ta có: S ABMN S MCDN AB.( BM + AN ) 2 EJ 2 =⇔ =⇔ = JF 3 CD.( MC + ND) ( E F trung điểm AB CD tương ứng) Gọi E, F, P, Q tương ứng trung điểm AB, CD, BC, AD Gọi J1 , J , J , J điểm cho J1 , J nằm EF, J , J nằm PQ thỏa mãn : EJ1 FJ PJ QJ = = = = J1 F J F J 3Q J P Hình 13.3 Khi từ lập luận ta suy đường thẳng có tính chất thỏa mãn u cầu đề phải qua điểm J1 , J , J , J nói Vì có chín đường thẳng, nên theo ngun lí dirichlet phải tồn điểm J1 , J , J , J cho có ba đường thẳng cho qua Vậy có đường thẳng đường thẳng cho qua điểm Câu 26 Chọn n hàng có chứa số đánh dấu nhiều hàng Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 348 Ta chứng minh đánh dấu cịn nhỏ n Giả sử Hình 14 ngược lại vậy, tức số ô đánh dấu lớn hoan n + Số hàng lại chưa chọn n Vậy theo ngun lí Dirichlet có hàng ( tỏng số n hàng cịn lại) chứa hai ô đánh dấu Chú ý theo cách chọn n hàng chọn có chứa số đánh dấu nhiều hàng Có hàng cịn lại chưa chọn có hai đánh dấu, nên suy hàng số n hàng chọn có hai chọn, tức n hàng chọn có khơng 2n ô đánh dấu Như vậy, số ô đánh dấu lớn 2n + (n +1) ≥ 3n Vơ lí có 3n ô đánh dấu Vậy nhận xét chứng Như vậy, sau chọn n hàng ( với cách chọn trên), theo nhận xét lại có khơng q n đánh dấu Vì có n cột chứa chúng Vì lẽ khơng thấy cịn đánh dấu nằm hàng hay cột chọn Câu 27 Giả sử a ∈ A Ta kí hiệu S(a) số lượng điểm A nối với a mà S(a) = 2, S(b) = 3, S(c) = 1, S(d) = 2, S(e) = Bài toán cho trở thành: Chứng minh tồn a1 , a2 ∈ A( a1 ≠ a2 ) , mà S ( a1 ) = S ( a2 ) Rõ ràng với a ∈ A, ta có: ≤ S ( a ) ≤ n − Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 (1) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 349 Mặt khác, dễ thấy không tồn hai điểm a ∈ A, b ∈ A mà S (a )= n − S (b) = (2) Thật vậy: có (2), từ S ( a )= n − , ta suy a nối với tất n – điểm lại, tức a nối với b Điều có nghĩa S (b) ≥ , vã dẫn đến mâu thuẫn với S (b) = Gọi S tập hợp giả trị mà đại lượng S ( a ) nhận, a ∈ A , tức là: = S {= m / m S (a ), a ∈ A} Như từ (1) suy tập hợp S có tối đa n giả trị Tuy nhiên từ (2) suy (n-1) khơng đồng thời thuộc S, tập S tối đa nhận (n – 1) giá trị Theo nguyên lí Dirichlet suy tồn a1 ∈ A, a2 ∈ A( a1 ≠ a2 ) , mà S ( a1 ) = S ( a2 ) Hình 15 Ch¬ng VI PHẦN NGUN PHẦN LẺ VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: Từ điều kiện ta có: x 〈 - + ⇒ x 〈 - ⇒ - 〈 x 〈 - ⇒ [x ] = - Bài 2: Từ điều kiện ta có: - 5,5 〈 x 〈 - ⇒ [x ] = - Bài 3: 1 1 1 1 Ta có x = (1 - ) + ( - ) + ( - ) + + ( )=1⇒ 〈 x 〈 ⇒ [x ] = 2 3 n +1 n n +1 Bài 4: Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 350 Ta có: 〈 n n + n −1 ⇒ 2( n + - n) 〈 n = 2( n 〈 2( n - n −1 ) ; n 〉 n +1 + n n) n −1 ) Cho n nhận giá trị từ đến 10 , Ta được:1 + 2( 10 + 1999 mà: + 2( 10 + - = 2( n + - ) 〈 x 〈 + 2( 10 - 1) = ) 〉 + 2000 - 2 〉 2001 - = 1998 ⇒ 1998 〈 x 〈 1999 ⇒ [x ] = 1999 Bài 5: Ta có: 〈 x và: 2+ 〈 2+ ⇒ 2+ 〈 Quá trình thực nhiều lần ta được: 〈 x 〈 ⇒ [x ] = Bài 7: Ta cần số nguyên y cho: y ≤ x 〈 y +1 để: [x ] = y Thật ta có: (4n + 1) 〈 16n + 8n + 〈 (4n + 2) ⇒ 4n + 〈 + + + + 〈 ⇒ 16n + 8n + 〈 4n + ⇒ 4n + 4n +1 〈 4n + 16n + 8n + 〈 4n + 4n +2 〈 4n + 8n + ⇒ 2n + 〈 4n + 16n + 8n + 〈 2n + ⇒ [x ] = 2n + Bài 8: Ta có: n ≤ n + k 〈 (n + 1) , với giá trị k từ: đến 2n [ n ] + [ n + 1] + + [ n + 2n ] = n(2n + 1) = 2n + n n( 4n ⇒ S = ∑ ( [ k ] + [ k + ] + + [ k + 2k ]) = ∑ 2k + ∑ k ⇒ S = ⇒ 2 2 n −1 n −1 2 k =1 n −1 2 k =1 k =1 − 3n − 1) Bài 12: Ta có: n(n+1)(n+2)(n+3) =(n +3n)( n +3n +2) =(n +3n) +2(n +3n) ⇒ (n +3n) 〈 n(n+1)(n+2)(n+3) 〈 ( n +3n + 1) ⇒ n +3n 〈 ⇒ n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 〈 n +3n + [ n(n + 1)(n + 2)(n + 3) ] = n +3n ⇒ S = (1 + + + n )+3(1 + + + n) 3n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) + ⇒ S= Bài 14: Ta biểu thị: x = [x ] + {x} ⇒ [n + x ] = [[x ] + n + {x}] , mà: o ≤ {x} 〈 Còn: n + [x ] số nguyên nên [[x ] + n + {x}] = n + [x ] Hay: [n + x ] = n + [x ] Bài 15: 2 Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 351 Ta biểu thị: x = [x ] + {x}và: y = [ y ] + {y} ⇒ x + y = [x ] + [ y ] + {x}+ {y} mà: o ≤ {x}+ {y} 〈 ⇒ [x ] + [ y ] ≤ [x + y ] ≤ [x ] + [ y ] + Bài 16: 1 n n + 1 - Xét n số chẵn ( n = 2k ) thì: + = [k ] + k + = 2k = n 2 2 1 n n + 1 - Xét n số lẻ(n=2k+1) thì: + = + [k + 1] =2k+1 = n k + n n + 1 Vậy ta ln có: + =n Bài 17: Nếu 4n + 〈 4n + Khi tồn số tự nhiên m cho: ] [ [ 4n + ] 〈 m ≤ [ [ ] 4n + ] ⇒ [ [ ] 4n + 〈 4n + +1 ≤ m ≤ 4n + ⇒ 4n + 〈 m ≤ 4n + ⇒ m = 4n + (vơ lý số phương chia cho khơng thể dư 2) Vậy ta ln có: 4n + = 4n + Bài 18: Trước hết ta chứng minh: 4n + 〈 n + n + 〈 4n + 2 [ [ ] ] [ ] [ ] ] [ 4n + ] Mà từ kết số 17: [ 4n + 1] = [ 4n + ] Ta có đpcm Từ ⇒ 4n + ≤ n + n +1 ≤ Bài 19: Trước hết phép biến đổi tương đương ta chứng minh: 63n + 63n + 〈 252n + ⇒ 63n + 63n + ≤ 252n + [ [ ] [ ] 63n + 1] 〈 [ 252n + ] Nhưng tồn n cho: 63n + Khi tồn số tự nhiên m cho: 63n + 63n + 〈 m ≤ 252n + ⇒ ( 63n + 63n + ) 〈 m ≤ ( 252n + ) ⇒ 63n(63n + 1) 〈 m - (126n + 1) ≤ 126n + ⇒ 4.63n.(63n + 1) 〈 [m - (126n + 1)] ≤ (126n + 1) ⇒ 126 n + 2.126n 〈 [m - (126n + 1)] ≤ 126 n +2.126n + Vì giá trị biểu thức số tự nhiên nên: [m - (126n + 1)] = (126n + 1) ⇒ m - (126n + 1) = 126n + ⇒ m = 252n + ( Vơ lý số phương chia cho dư 2) Vậy có số tự nhiên n thoả mãn: 63n + 63n + 〈 252n + ⇒ 63n + 63n + = 252n + với n [ ] [ ] [ ][ ] Bài 21: Xét: {x} 〈 ⇒ [x + 2 ] = [x] + {x} + = [x] + {x} + = [x] Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 2 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 352 Còn: [2 x ] = [2[x ] + 2{x}] = [x ] + [2{x}] = [x ] Từ ta có đpcm Xét tương tự với: ≤ {x} 〈 1 Vây ta có: [x ] + x + = [2 x ] , với x số thực 2 Bài 22: k −1 k Ta chọn số tự nhiên k cho: a + với a nguyên ( 〈 k 〈 n ) ≤x 〈 a + n n n−k 1 2 = ( n - k + 1)a ⇒ [x ] = a : [x ] + x + + x + + + x + n n n n − k + 1 n − 1 n − k + 2 Còn: x + + + + = ( k - 1)(a + 1) x + x + n n n ⇒ VT = ( n - k + 1)a + ( k - 1)(a + 1) = na + k - VP = [nx ] = na + k - (vì từ cách chọn k ta có: na + k - 〈 na 〈 na + k ) 1 n − 1 2 Vậy VT = VP hay: [x ] + x + + x + + + x + = [nx ] n n n Bài 23: Áp dụng kết tập 21 Ta có: 1 n n x + = [2 x ] - [x ] ⇒ S = [n] - k , mà với k đủ lớn thì: k = Vậy tổng: S = [n] Bài 25: Với: x = [x ] + {x} mà: m {x} ≥ Khi đó: [mx ] = [m[x ] + m{x}] = m [x ] + [m{x}] Vì: ≤ m {x} 〈 m ⇒ ≤ [m{x}] ≤ m - ⇒ m [x ] ≤ [mx ] ≤ m [x ] + m - 1, với giá trị m nguyên dương Bài 26: Đặt: S = [x ] + [2 x ] + [3 x ] + + [100 x ] , áp dụng kết 25 Cho m nhận giá trị từ đến 100 cộng lạ ta được: 5050 [x ] ≤ S ≤ 5050 [x ] + 4950 [x ] ≤ 61,99 ⇒ ⇒ 61,02 ≤ [x ] ≤ 61,99 [x ] ≥ 61,02 Điều chứng tỏ khơng có x thoả mãn Bài 29: Từ phương trình ⇒ - ≤ x + 0,7 〈 - ⇒ - 4,7 ≤ x 〈 - 3,7 Bài 30: Sử dụng kết toán14: [n + x ] = n + [x ] , ( n ∈ Z ) Với giá trị n nguyên ta có: [x + 1] + [x + 2] + [x + 3] = + [x] ⇒ [x] + = ⇒ [x ] = - vô lý hay khơng có x thoả mãn Bài 31: Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 353 Từ đặc điểm phương trình ta có: 3x ∈ Z ⇒ x = 4k ,(k∈ Z) k k 4k ⇒ = k ⇒ k + = k ⇒ = ⇒ k = { 0; 1; } 3 3 3 } ⇒ x = { 0; ; 3 Bài 32: 5t + 15 x − 30t + 117 Đặt: = t, ( t ∈ Z ) ⇒ x = =t ⇒ 15 120 30t + 117 117 -t 〈1 ⇒ ⇒0 ≤ ≤t〈 120 30 90 Do: t nguyên ⇒ t = {0; } ⇒ x = { ; } 15 Bài 33: 2x − 3y + Đặt: =y ⇒ x= Thay vào phương trình cho 1 5y −1 5y −1 ta được: [ y ] + y + = ⇒ [2 y ] = 2 2 1 3 Giải tương tự 32 ta được: y = { - ; - ; ; ; } 5 5 ⇒ Nghiệm phương trình là: S = { - ; ; ; ; } 5 5 Bài 34: Phương trình biến đổi thành: [x ] {x} = [x ] + {x} - ⇒ ( [x ] - ) ( {x} - ) = 0, do: {x} - 〈 Nên: [x ] - = ⇒ [x ] = ⇒ ≤ x 〈 Bài 35: Đặt: x = a + {x} , ( a = [x ] ) x x a − Phương trình cho trở thành: = a - ⇒ = 2 2 k + + {x} 3k + + {x} = k ⇒ k + ⇒ a =3k + 2, ( k ∈ Z ) ⇒ = k 2 k + + {x} ⇒0≤ 〈 ⇒ - ≤ k + {x} 〈 ⇒ k = - 1; - 2 ⇒ x = - + {x}; - + {x},( Hay: - ≤ x 〈 0; Hoặc: - ≤ x 〈 - 3) Bài 36: Đặt: x = a + {x} , ( a = [x ] ) ⇒ [x − 1] = [a −1 + {x}] = a - − a + {x} − a + {x} x x + 2 và: + 1 = = = a + a − + 2 2 − a + {x} ⇒0≤ 〈 ⇒ + {x} 〈 a ≤ + {x} ⇒ ≤ {x} 〈 a - ≤ + {x} 〈 Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 354 ⇒ a - = { 1; } ⇒ a = { 3; } ,Vậy: ≤ x 〈 Bài 37: Phương trình biến đổi thành [x ] = x ( x - ) ⇒ [x ] ≤ ⇒ [x ] = { 0; - } + Xét: x ≤ ⇒ - ≤ x ≤ Nếu: [x ] = ⇒ x = Nếu: [x ] = - ⇒ x = - + Xét: x 〉 ⇒ [x ] 〉 ⇒ x 〉 ⇒ x2 - ≤ 〈 1⇒x 〈 x ⇒ x.( x - ) = ⇒ [x] ≤1 x 〈 x 〈 ⇒ [x ] = ⇒ x = + Bài 38: Phương trình biến đổi thành: x - ( x - {x}) = ⇒ x - x = - {x} ⇒ 〈 x - x ≤ Nếu: x ≥ ⇒ x - x = x ( x - ) ≥ 〉 ( loại ) Nếu: x ≤ - ⇒ x - ≥ ⇒ x - x = x ( x - ) ≤ 〈 ( loại ) Nếu: -1 〈 x ≤ ⇒ x - x ≤ - x 〈 〈 ( loại ) Nếu: ≤ x ≤ ⇒ x - x 〈 x ≤ 〈 ( loại ) Vậy: 〈 x 〈 ⇒ [x ] = ⇒ x = ⇒ x = Bài 39: 1 Ta có: x + 〉 ⇒ x + 〉 2 9 Còn: - x + 3x = - ( x - ) + ⇒ - x + 3x 〈 ⇒ − x + 3x ≤ 2 4 ⇒ − x + 3x = x + = n = { ; ; } 2 3− Nếu: n = ⇒ ≤ x 〈 Nếu: n = ⇒ ≤ x 〈1 2 [ [ Nếu: n = ⇒ ] ] ≤ x 〈 10 Vậy: S = [ ; 3− )∪ [ ; 1) ∪ [ ; 2 10 ) Bài 41: x = − x + y = Đặt: ⇒ x,y hai nghiệm phương trình bậc hai: X - 4X + ⇒ y = + x y = 1=0 Đặt: S n = x n + y n ta có: x - 4x + = ⇒ x n + - 4x n +1 + x n = y - 4y + = ⇒ y n + - 4y n +1 + y n = Cộng hai vế kết ta có: S n + - 4S n +1 + S n = Do: S = ; S = ⇒ S n số nguyên chẵn mà: 〈 - 〈 ⇒ 〈 x n 〈 ⇒ y n + ( x n - 1) 〈 y n 〈 x n + y n ⇒ S n - 〈 y n 〈 S n Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 355 [ [ ] ] ⇒ y n = S n - 1, hay: (2 + ) n số lẻ, với số tự nhiên n Bài tốn thay sau: Chứng tỏ chữ số hàng đơn vị biểu diễn thập phân số (2 + ) n số lẻ Bài 42: Đặt: x = ( 29 - 21 ) = 50 - 609 y = ( 29 + 21 ) = 50 + 609 Thì x, y hai nghiệm phương trình: X - 100X + 64 = Với: S n = x n + y n , tương tự 41 ta có: [ ] S n + - 100S n +1 + 64S n = và: y 1000 = S 1000 - suy ra: S n + =100S n +1 - 64S n ≡ 36 S n ≡ S n ≡ S n − ≡ ≡ n + S (mol 100) ⇒ S 1000 ≡ 1000 (mol 100), Nhưng: 1000 =(6 ) 200 ≡ 76 200 ≡ 76 (mol 100) ⇒ S 1000 ≡ 52 (mol 100) [ ] Vậy: ( 29 + 21) 2000 có hai chữ số tận là: 51 Bài 43: Ta có: ( + ) 1992 = (5 + ) 996 = a + b (với a, b số nguyên) ⇒( - ) 1992 = a - b ⇒ ( + Mặt khác: 〈 (5 - ) 996 〈 [ ⇒ [(5 + ⇒ [(5 + ) 1992 + ( - ) 1992 = 2a (*) ] ] ≡ C - (mol 10) ] ≡ (mol 10) ⇒ [(5 + ) ] có chữ số tận là: 498 k 996 − k k k ⇒ (5 + ) 996 = 2a - = 2( ∑ C 996 )-1 k =0 6) 996 996 996 996 498 ) 996 996 Hay chữ số trước dấu phẩy của: ( + ) 1992 là: Mặt khác: Từ (*) ta có: (5 + ) 996 = - (5 − ) 996 = 0,9 ⇒ ( + )1992 〉 0,9 ⇒ - (5 - ) 996 〉 10 Vậy chữ số sau dấu phẩy : ( + ) 1992 là: Bài 44: Ta có: ( + 26 ) n = a + b 26 ; ( - 26 ) n = a - b 26 ( với a, b nguyên) ⇒ ( + 26 ) n + ( - 26 ) n =2a Do: 〈 ( 26 - 5) n 〈 n Mà: (5 + 26 ) n + (5 − 26 ) n = nên 10 { } { { { } { { { } } } } { 26 ) } = - ( } } 10 n 〉 0,999 .99 ( n chữ số sau dấu phẩy) Với n chẵn thì: (5 + 26 ) n = 1- (5 − ⇒ (5 + 26 ) n { { n } { 26 - 5) n 〉 - } Với n lẻ thì: (5 + 26 ) n = - (5 − 26 ) n = ( 26 − 6) n = ( 26 - 5) n ⇒ (5 + 26 ) n 〈 n = 0,000 .001 (n chữ số sau dấu phẩy) 10 Vậy ta có: (5 + 26 ) n Có n chữ số giống sau dấu phẩy { { } } Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 356 Bài thay băng bài: Tìm n chữ số sau dấu phẩy biểu diễn thập phân số: ( + 26 ) n Bài 45: Ta có: (2 + ) p + (2 - ) p = 2a = (2 + ) p - ( - 2) p Trong a số nguyên và: 〈 ( - 2) p 〈 [ nên: (2 + ) p p −1 ] =2a = 2( ∑ C k =0 2k p p −2k )=2 k p +1 p −1 + 2( ∑ C p2 k p − k k ) k =1 p −1 chia hết cho p Mà:C 2pk chia hết cho p với giá trị k từ đến [ [ ] ] ⇒ (2 + ) p ≡ p +1 (mol p), hay: (2 + ) p - p +1 Bài 46: Ta có: (1 + ) n = a + b và: (1 - ) n = a - b Với: a,b nguyên và: a - 3b = (- 2) n + Với n chẵn thì: (1 + ) n + (1 - ) n = 2a, do: ( - 1) n 〈 [ [ ] ] ⇒ (1 + ) n = 2a - hay Số mũ dạng PTTC (1 + ) n + Với n lẻ (n = 2k + 1) ⇒ (1 + ) = (1 + n k )(2 + ) k Do: (2 + ) k + (2 - ) k = x + y , với x,y nguyên, x - 3y = nên x,y khác tính chẵn lẻ Do x + 3y số lẻ, ta tính được: a = (x + 3y) k ⇒ (1 + ) n = 2a = k +1 (x + 3y) n +1 Nên Số mũ dạng PTTC (1 + ) n là: k + = Bài 47: n n +1 n + 1 n Ta cố: - 〈 -( - 1) = + 〈 ⇒ ≤ xn ≤ 2 2 Vì: x ; x ; x ; x ; x 199 Chỉ nhận giá trị: [ ] [ ] nên số số khác là: 199 200 199 xk = - + - + + ∑ - = 100 2 2 2 2 2 2 k =0 [ [ ] ] Mà 141 〈 100 〈 142 ⇒ 100 = 141 Vậy có tất 141 số khác Bài 50: Áp dụng định lý: Lơgiăngđrơ: Trong khai triến số: n! n (n số tự nhiên lớn 1) thừa số ngun tó thừa sồ ngun tố: p có số mũ là: p n n + + + p p Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... Thi học sinh giỏi toán lớp 9, TP.HCM năm 1994) Bài 68 Có tồn hay khơng số tự nhiên n cho số k= n + + n − số hữu tỉ Bài 69 Cho dãy số , a2 = 144 , a3 = 1444 , an = 1444 44 n chu so Tìm... tự nhiên chẵn Chứng tỏ biểu thức M = x3 x2 x + + có giá trị 24 12 số nguyên (Đề thi Chọn HSG lớp THCS Hiệp An 2018-2019) Câu 16 Chứng minh với số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho... file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 (3x + 1) y đồng thời (3y + 1) x (Đề thi học sinh giỏi lớp huyện Hoằng Hóa năm 2014-2015) Câu 21 Tìm số nguyên dương n bé để F = n3 + 4n2 – 20n
Ngày đăng: 20/02/2023, 08:07
Xem thêm:
