Giáo trình Đại số tuyến tính (Giáo trình đào tạo từ xa): Phần 1

1 LỜI NĨI ðẦU Giáo trình viết cho sinh viên hệ ñào tạo ñại học từ xa ngành kinh tế, kỹ thuật ñược biên soạn theo ñề cương chi tiết học phần Toán cao cấp, phương thức đào tạo theo hệ thống tín Trường ðại học Vinh Vì đặc thù ngành học thời lượng hạn chế hai tín chỉ, nên chúng tơi khơng sâu vào vấn đề nặng lý thuyết mà tập trung vào kết ứng dụng Bên cạnh đó, chúng tơi tài liệu cần thiết ñể người học tìm đọc Nội dung giáo trình vấn ñề mở ñầu ñại số tuyến tính, giải tích cổ điển trình bày bốn chương Chương trình bày kiến thức tập hợp quan hệ ánh xạ Chương trình bày định thức, ma trận hệ phương trình tuyến tính Chương trình bày phép tính vi phân hàm biến Chương trình bày phép tính tích phân hàm biến Một số vấn đề, học viên làm quen chương trình phổ thơng Trong giáo trình này, chúng tơi trình bày đầy đủ vấn đề mức ñộ sâu tổng quát ðể tạo ñiều kiện thuận lợi cho người ñọc, sau ñịnh nghĩa, định lý chúng tơi đưa nhiều ví dụ minh hoạ, sau chương có đưa hướng dẫn tự học vấn ñề trọng tâm hệ thống tập Mặc dù chúng tơi có nhiêu cố gắng cịn có thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý, phê bình bạn đọc CÁC TÁC GIẢ CHƯƠNG TẬP HỢP- QUAN HỆ - ÁNH XẠ 1.1 Tập hợp- tập con- tập 1.1.1 Khái niệm chung Chúng ta trình bày lý thuyết tập hợp theo quan ñiểm "ngây thơ" Cụ thể, tập hợp (set) khái niệm tốn học xem khái niệm gốc xuất phát (ngun thuỷ), khơng định nghĩa mà mơ tả Chẳng hạn, tập hợp điểm, tập hợp ñường thẳng, tập hợp số Trong thực tế thường dùng từ ñồng nghĩa: lớp, họ, bộ, tồn thể Tập hợp thường gọi ngắn gọn tập: tập A, tập đóng, tập số ðể biểu thị tập hợp ta dùng chữ viết in hoa A, B, C, , X, Y, Z Các ñối tượng hợp thành tập hợp gọi phần tử Nếu x phần tử A ta viết x ∈ A nói x thuộc A Nếu phần tử y không phần tử A ta viết y ∉ A nói y khơng thuộc A Các phần tử tập hợp đối tượng cụ thể trừu tượng người, vật thể hàm số, số tự nhiên Một tập hợp ñược coi hồn tồn xác định ta phân biệt đối tượng thuộc đối tượng khơng thuộc Thơng thường đưa tập hợp hai cách: a) Liệt kê phần tử tập, ví dụ A = {a1 , a2 , a3 , a4 } b) Chỉ số tính chất chung cho phần tử thuộc tập, ví dụ { } A = x ∈ ℝ x2 ≤ Tập X gồm phần tử x có tính chất P(x) ký hiệu là: X = { x P ( x )} Một tập hợp gồm số hữu hạn phần tử gồm vô hạn phần tử, tương ứng gọi tập hữu hạn (finite set) tập vô hạn (infinite set) Tập hợp rỗng (empty set), ký hiệu ∅ , tập hợp không chứa phần tử Tập có phần tử gọi tập ñơn tử Ví dụ: {∅} 1.1.2 Tập Sự tập Ta nói tập A gọi tập (subset) tập B phần tử A ñều phần tử B nghĩa x ∈ A x ∈ B , ký hiệu A ⊆ B B ⊇ A Ta quy ước tập rỗng tập tập: ∅ ⊆ A Nếu ñồng thời A ⊆ B B ⊆ A , ta nói A B ký hiệu: A = B Như vậy, ta có: A = B ⇔ ( x ∈ A ⇔ x ∈ B ) Ta nói tập A tập thực (proper subset) tập B A tập B A ≠ B , ký hiệu A ⊂ B Ví dụ: { x, y} ⊂ { x, y , z} Mỗi tập hợp mà phần tử tập tập A ñược gọi họ tập hợp (family of subsets) A, ký hiệu P ( A ) Nhận xét: Nếu tập A gồm n phần tử tập P ( A ) gồm n phần tử (chứng minh nhận xét dành cho bạn ñọc tập) 1.1.3 Sơ ñồ Ven (Venn schema) ðể thể tập hợp cách trực quan người ta vẽ ñường cong đơn kín (chẳng hạn đường trịn hay elip) coi tập A miền phẳng giới hạn ñường cong ñó Tập B A ñược biểu thị miền A B A 1.1.4 Các tập hợp số Tập hợp ℕ số tự nhiên (The set of natural numbers): ℕ = {0,1, 2, } Tập ℤ số nguyên (The set of integer numbers): ℤ = {0, ±1, ± 2, } Tập hợp ℚ số hữu tỉ (The set of rational numbers): a  ℚ =  a , b ∈ ℤ, b ≠  b  Tập hợp I số vô tỉ (The set of irrational numbers); Tập ℝ số thực (The set of real numbers); Tập ℂ số phức (The set of complex numbers): ℂ = {a + bi a, b ∈ ℝ} , i = −1 Tập P số nguyên tố (The set of prime numbers) 1.1.5 Các phép toán liên kết tập hợp Từ tập hợp cho trước tạo nên tập hợp nhờ phép tốn sau đây: 1.1.5.1 Phép hợp Hợp hai tập A, B ký hiệu A ∪ B tập hợp gồm phần tử thuộc A thuộc B, tức là: A ∪ B = {x x ∈ A x ∈ B} Từ ñịnh nghĩa ta suy tính chất sau: a) A ∪ A = A b) A ∪ B = B ∪ A c) ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) d ) A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B Phép chứng minh xem tập Do tính chất c) Ta bỏ dấu ngoặc viết hợp ba hay nhiều tập Tổng quát cho họ tập { Ai , i ∈ M } Hợp ∪A i tập hợp gồm i∈M phần tử thuộc tập Ai : ∪ A = { x ∃i ∈ M : x ∈ A } i i i∈M 1.1.5.2 Phép giao { } Giao hai tập A, B, ký hiệu A ∩ B = x x ∈ A; x ∈ B Từ định nghĩa dễ dàng chứng minh tính chất: a) A ∩ A = A b) A ∩ B = B ∩ A c) ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) Do c) ta không cần viết dấu ngoặc biểu thị hợp ba hay nhiều tập d ) Nếu A ⊃ B A ∩ B = B Các phép toán hợp giao liên hệ tính phân bố: e) ( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) f ) ( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) Ta chứng minh tính chất, chẳng hạn tính chất e): • Nếu x ∈ ( A ∪ B ) ∩ C ⇒ x ∈ ( A ∪ B ) ; x ∈ C ⇒ x ∈ ( A ∩ C ) x ∈ ( B ∩ C ) ⇒ x ∈ ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) • Nếu x ∈ ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) ⇒ x ∈ ( A ∩ C ) x ∈ ( B ∩ C ) ⇒ x ∈ ( A ∪ B ) x ∈ C ⇒ x ∈ ( A ∪ B ) ∩ C g Có thể mở rộng định nghĩa phép giao từ hai sang họ tập tuỳ ý họ tập { Ai , i ∈ M } Giao tập hợp gồm phần tử chung họ Ai , tức là: ∩ A = { x x ∈ A , ∀i ∈ M } i i i∈M Nếu A ∩ B = ∅ ta nói tập A, B rời khơng giao Họ tập { Ai , i ∈ M } gọi rời đơi hai tập chúng rời 1.1.5.3 Phép trừ Ta gọi hiệu tập A tập B (theo thứ tự đó), ký hiệu A \ B tập gồm phần tử thuộc A không thuộc B: A \ B = { x x ∈ A, x ∉ B} Nhận thấy rằng, phép trừ khơng có tính chất giao hốn, nghĩa nói chung B \ A ≠ A \ B Nếu B ⊂ A hiệu A \ B gọi phần bù (complement) B A, ký hiệu C A ( B ) ðặc biệt, tập ñược xét ñều tập tập cố định X ta viết C ( B ) thay cho C X ( B ) gọi vắn tắt phần bù B X Bên cạnh ký hiệu C ( B ) ta cịn dùng ký hiệu B để phần B X 1.1.5.4 Hiệu ñối xứng Hiệu ñối xứng tập A tập B, ký hiệu A ÷ B định nghĩa bởi: A ÷ B = ( A \ B ) ∪ ( B \ A) Ta có B ÷ A = A ÷ B lý phép tốn có tên "hiệu đối xứng" Ngồi hiệu đối xứng có tính chất kết hợp (xem phần tập cuối tiết này) 1.1.6 Công thức Demorgan Giữa phép tốn hợp, giao bổ sung có mối liên hệ sau gọi công thức Demorgan Các tập ñược nêu ñều tập tập hợp cố ñịnh cho trước a) ∪A =∩A i i∈M b) i i∈M ∩A =∪A i i∈M i i∈M Nói riêng A1 ∪ A2 = A1 ∩ A2 A1 ∩ A2 = A1 ∪ A2 Phép chứng minh tính chất coi tập dành cho người ñọc 1.1.7 Tích Descartes tập hợp Tích Descartes tập A B ký hiệu A × B tập hợp cặp có thứ tự ( a, b ) mà a ∈ A; b ∈ B : A × B = {( a, b ) a ∈ A, b ∈ B} Nói riêng A2 = A × A bình phương Descartes A Ví dụ Cho A = {a, b, c} B = { x, y} , ta có: A × B = {( a, x ) , ( a, y ) , ( b, x ) , ( b, y ) , ( c, x ) , ( c, y )} Nhận xét Nếu A, B tập hữu hạn có số phần tử tương ứng m n tích A × B gồm mn phần tử Gọi ℝ tập số thực, ℝ = ℝ × ℝ tập hợp cặp có thứ tự ( x, y ) với x,y số thực Như vậy, ℝ biểu thị tập điểm mặt phẳng toạ độ, cịn ℝ = ℝ × ℝ × ℝ tập ba có thứ tự số thực, tức ñiểm không gian ba chiều thông thường Nếu A = [ a, b ] , B = [ c, d ] đoạn thẳng, tích Descartes A × B biểu thị tập điểm hình chữ nhật Cho A tập điểm hình trịn tâm O thuộc mặt phẳng Oxy, B tập ñiểm ñoạn thẳng [O, h ] trục Oz hệ toạ độ vng góc Oxyz A × B biểu thị tập hợp điểm hình trụ có chiều cao h, đáy hình trịn A 1.2 Quan hệ hai 1.2.1 Quan hệ hai tập hợp Cho tập X khác rỗng Ta gọi quan hệ hai tập X tập ℜ tập tích X x X Nếu cặp phần tử (a, b) thuộc ℜ ta nói a có quan hệ ℜ với b viết aℜb Ví dụ Trong tập ℝ số thực, quan hệ " a = b " quan hệ " a ≤ b " quan hệ hai Trên tập đường thẳng mặt phẳng, quan hệ vng góc quan hệ song song hai ñường thẳng quan hệ hai Trên tập hợp ℕ∗ số nguyên dương, quan hệ “ a ước b” quan hệ hai Trên tập P(X) tập tập X, quan hệ bao hàm A ⊆ B quan hệ hai ngơi Chú ý: Tính chất đặc trưng cho quan hệ ℜ khơng thiết thoả mãn cặp phần tử X, xem ví dụ 2, 1.2.2 ðồ thị quan hệ hai Cho ℜ quan hệ hai tập X Nếu a b hai phần tử X cho aℜb có cặp thứ tự ( a, b ) phần tử tích Descartes X × X Gọi G ⊂ X × X tập hợp cặp ( a, b ) thoả mãn quan hệ ℜ Ta nói G đồ thị quan hệ hai ngơi ℜ Ví dụ ðồ thị quan hệ " a = b " tập ℝ số thực ñường phân giác góc vng I III mặt phẳng toạ ñộ ðồ thị quan hệ " a ≤ b " tập ℝ nửa mặt phẳng kể biên nằm ñường phân giác nói ví dụ ðồ thị quan hệ " a + b = 1" đường trịn bán kính, tâm gốc mặt phẳng toạ độ 1.2.3 Các tính chất có quan hệ hai tập hợp ( ) Quan hệ ℜ tập X ℜ ⊆ X có tính chất sau: - Tính phản xạ : aℜa, ∀a ∈ X (tức ( a, a ) ∈ℜ, ∀a ∈ X ) - Tính đối xứng : aℜb ⇒ bℜa (tức ( a, b ) ∈ℜ ( b, a ) ∈ℜ ) - Tính phản đối xứng: (aℜb bℜa ) ⇒ a = b - Tính bắc cầu : ( aℜb ) ( bℜc ) ⇒ aℜc Ví dụ - Trong tập hợp P(X) tập tập hợp X quan hệ bao hàm A ⊆ B có tính phản xạ, phản đối xứng bắc cầu mà khơng có tính đối xứng - Trong tập hợp ña thức biến số thực, quan hệ có tính chất nêu Các quan hệ ñịnh nghĩa mục ñây có vai trị đặc biệt quan trọng nhiều lĩnh vực tốn học 1.2.4 Quan hệ tương đương Quan hệ ℜ tập X gọi quan hệ tương ñương (equivalence relation) có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu Trong trường hợp này, ta viết a ∼ b thay aℜb Ví dụ Quan hệ song song ñường thẳng tập ñường thẳng khơng gian (coi đường thẳng trùng song song); quan hệ ñồng dạng tam giác; quan hệ tỉnh (ñồng hương tỉnh) tập hợp dân thành phố Vinh ví dụ trực quan quan hệ tương đương Ví dụ Cho p số nguyên lớn cố ñịnh Ta xác ñịnh quan hệ ∼ tập ℤ số nguyên bởi: a ∼ b a − b chia hết cho p, tức a b có phần dư với phép chia cho p Dễ nghiệm lại quan hệ có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu nên quan hệ tương đương, ta gọi quan hệ ñồng dư theo modulo p viết: a ≡ b ( mod p ) ðể nghiên cứu sâu quan hệ tương ñương ta cần khái niệm phân hoạch tập hợp ñược ñịnh nghĩa sau: 1.2.5 Phân hoạch tập Cho tập X khác rỗng Ta gọi phân hoạch X họ tập khác rỗng X, đơi không giao cho hợp tập họ X Số phần tử (tập X) thuộc họ hữu hạn hay vô hạn miễn không giao cặp tồn hệ phải “lát kín “ tập X 10 Như thấy mục dưới, quan hệ tương ñương tập X ñịnh phân hoạch X 1.2.6 Các lớp tương ñương Giả sử ∼ quan hệ tương ñương tập X Với phần tử a ∈ X , ký hiệu C ( a ) tập hợp phần tử thuộc X tương ñương với a, gọi C ( a ) lớp tương ñương chứa a: C ( a ) = { x ∈ X x ∼ a} Do tính phản xạ : a ∼ a nên tập C ( a ) không rỗng Hơn nữa, C ( a ) ∩ C ( b ) ≠ ∅ C ( a ) = C ( b ) Thật vậy, giả sử c ∈ C ( a ) ∩ C ( b ) , có: c ∈ C ( a ) c ∈ C ( b ) Tức c ∼ a, c ∼ b hay b ∼ c ∼ a Từ đó, tính chất bắc cầu suy b ∼ a, b ∈ C ( a ) Lập luận tương tự có a ∈ C ( b ) , tức C ( a ) = C ( b ) Ta thu ñược ñịnh lý: Một quan hệ tương ñương X xác ñịnh phân hoạch X, phần tử phân hoạch lớp tương ñương Họ lớp tương ñương ñược gọi tập thương, ký hiệu X / ∼ ðể hình dung rõ nét cấu trúc ta xét ví dụ tiêu biểu tập thương lớp ñồng dư tập ℤ số nguyên Ví dụ Ta xét quan hệ ñồng dư ñã gặp phần tập ℤ số nguyên, quan hệ a ≡ b ( mod p ) Xác ñịnh lớp tương ñương sau ñây: C ( ) , C (1) , C ( ) , , C ( p − 1) C ( r ) ,0 ≤ r ≤ p − 1, lớp tương ñương gồm số nguyên chia cho p dư r Các lớp tương ñương ñược gọi lớp ñồng dư theo modp Trong trường hợp này, tập thương ℤ p = ℤ / ∼ tập hữu hạn ðối với quan hệ song song, lớp tương ñương tập hợp ñường thẳng phương, ñường thẳng thuộc lớp đại diện cho phương lớp, tức khái niệm phương thực chất lớp tương đương đường thẳng song song Trong ví dụ tập thương X / ∼ tập vô hạn 1.2.7 Quan hệ thứ tự 10 23  a11 ⋯  0 a ⋯  22  Α=  ⋮ ⋮ ⋯ ⋮    ⋯ ann  0 Ma trân A ñược gọi ma trận tam giác aij = 0, i < j , nghĩa  a11 a12  a22 Α=  ⋮ ⋮  0 ⋯ a1n   ⋯ a2 n  ⋯ ⋮   ⋯ ann  Ma trân A ñược gọi ma trận tam giác aij = 0, i > j , nghĩa  a11 0 a 22 Α=  ⋮ ⋮   an1 an ⋯ ⋯ ⋯ ⋯   ⋮   ann  2.1.2 Các phép toán ma trận 2.1.2.1 Phép cộng hai ma trận cấp Cho ma trận cấp A =  aij  A B ma trận cấp C = cij  m×n m×n B = bij  m×n Tổng ma trận đó: cij = aij + bij , ∀i, j = 1, 2, , n Tính chất Cho A, B, C ma trận cấp Khi đó: a) (A + B) + C = A + (B + C) b) A + B = B + A c) A + O = B + O = O, O ma trận cấp với A, B d) A + (- A) = (- A) + A = O; - A ma trận ñối 2.1.2.2 Phép nhân số với ma trận Cho ma trận A =  aij  B = bij  m×n m×n số thực λ Tích số thực λ với A ma trận bij = λ aij , ∀i = 1,2, , m; j = 1,2, , n Từ ñịnh nghĩa phép cộng ma trận vả phép nhân số với ma trận dễ dàng kiểm chứng tính chất sau 23 24 Tính chất Cho A, B ma trận cỡ m × n số thực λ , γ Khi a) 1.A = A , b) ( λγ ) A = λ ( γ A ) , c) ( λ + γ ) A = λ A + γ A , d) λ ( A + B ) = λ A + λ B 2.1.2.3 Phép nhân hai ma trận Cho ma trận A =  aij  m×n B = bij  n× p Tích hai ma trận A B ma trận C = [ cik ]m× p n cik = ai1b1k + 2b2 k + + ainbnk = ∑ aij b jk ; i = 1,2, , m, k = 1, 2, , p j =1 Khi đó, ta ký hiệu C = AB Chú ý rằng, ai1 , , , ain phần tử hàng thứ i A phần tử b1k , b2 k , , bnk cột thứ k B Như vậy, với A,B ma trận vng cấp n thì, nói chung AB ≠ BA Tính chất 1) Cho A,B ma trận cỡ m × n, n × p, p × q số thực λ Khi đó: a) A(BC ) = (AB )C, b) λ ( AB ) = ( λ A ) B = A ( λ B ) , c) AI n = I m A = A 2) Nếu A, B ma trận cỡ m × n, C ma trận cỡ n × p ( A + B ) C = AC + BC 3) Nếu A ma trận cỡ m × n B, C ma trận cỡ n × p A ( B + C ) = AB + AC 4) Cho A ma trận cỡ m × n Khi ΑΟ n , p =Ο m , p , Ο k , m Α =Ο k , n 2.1.3 Phép chuyển vị Cho ma trận A cỡ m × n  a11  a Α =  21 ⋮   am1 a12 ⋯ a1n   a22 ⋯ a2 n  ⋮ ⋯ ⋮   am ⋯ amn  Ma trận 24 25  a11 a22  a a22 c Α =  12 ⋮ ⋮   a1n a2 n ⋯ am1   ⋯ am  ⋯ ⋮   ⋯ amn  ñược gọi ma trận chuyển vị A Ma trận chuyển vị A ký hiệu A' Như vậy, Α =  j  , Αc =  a*j i  j = a* j i , với i, j   Tính chất ma trận chuyển vị 1) Nếu A =  aij  m×n B = bij  ( AB ) = B c Ac c n× p 2) Nếu A, B ma trận cỡ ( A + B ) = Ac + B c c 3) Nếu A ma trận tuỳ ý, ( λ A ) = λ Ac với số thực λ c Chứng minh Ta chứng minh tính chất 1) Giả sử A =  aij  B = b jk  , Ac =  aij∗  , B c = bkj∗  Khi aij = aij∗ , b jk = bkj∗ , AB = [ cik ] , ( AB ) = cki∗  , B c Ac = cki'  c Ta có: cki∗ = cik = n n n j =1 j =1 j =1 ∑ aijb jk = ∑ a∗jibkj∗ = ∑ bkj∗ a∗ji = cki' Vậy, ( AB ) = B c Ac c Ma trận vng A cấp n đuợc gọi ma trận ñối xứng (tương ứng, phản ñối xứng) Ac = A (tương ứng, Ac = − A ) 2.1.4 Các phép biến ñổi sơ cấp Cho ma trận A K Các phép biến ñổi sơ cấp hàng ma trận A phép biến ñổi sau: 1) ðổi vị trí hai hàng ma trận A 2) Nhân hàng ma trận A với số Tức tất phần tử hàng nhân với số thực khác khơng λ 3) Cộng vào hàng thứ i A với bội λ hàng thứ j Tương tự ta có phép biến đổi sơ cấp cột ma trận A Nếu ma trận B nhận ñược từ ma trận A nhờ phép biến ñổi sơ cấp hàng A ta nói A tương ñương với B, kí hiệu A ∼ B 25 26 2.1.5 ðịnh nghĩa Cho ma trận Α =  j  cỡ m × n Hàng thứ i A gọi không tất phần tử hàng khơng tức j = 0, j =1, 2, , n Phần tử j ñược gọi phần tử ñầu tiên khác không hàng thứ i k = với k = 1,2, , j − k ≠ Các khái niệm cột khơng phần tử khác khơng cột ñược ñịnh nghĩa tương tự Ma trận A gọi ma trận có dạng bậc thang có tính chất sau 1) Nếu hàng thứ i A khơng hàng thứ i + A khơng 2) Nếu phần tử khác không hai hàng thứ i i + A nằm cột thứ j thứ k j < k Ví dụ Ma trận 1 Α = 0  0 2 1  , Β = 0   0  0 0    ma trận dạng bậc thang Từ ñịnh nghĩa suy ma trận Ο m×n ; Ι n ma trận dạng bậc thang 2.1.6 ðịnh lí Mọi ma trận đưa dạng bậc thang phép biến ñổi sơ cấp hàng Nói cách khác, ma trận tương ñương với ma trận dạng bậc thang Chứng minh Giả sử A ma trận cỡ m × n Ta chứng minh quy nạp theo m Nếu m = A ma trận bậc thang Giả sử m > định lí với ma trận có ( m − 1) hàng Nếu A ma trận khơng ma trận dạng bậc thang Giả thiết A khác ma trận không Giả sử ji cột ñầu tiên A khác khơng Nhờ phép đổi chỗ hàng ta giả thiết a1 ji ≠ Cộng vào hàng thứ i A, với bội − hàng thứ nhất, ma trận A ñược ñưa dạng 26 aiji a1 ji , i = 2, , n, 27 0  Α =  ⋮  0 ⋯ , j1 ⋯ 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ 0 a1, j1 +1 ⋯ a1n   b2, j1 +1 ⋯ b2 n  ⋮ ⋯ ⋮   bm, j1 +1 ⋯ bmn  Ma trận b2, j1 +1 ⋯  ⋯  ⋮ bm, j +1 ⋯  b2 n   ⋮  bmn  Có m - hàng Theo giả thiết quy nạp, ma trận đưa dạng bậc thang nhờ phép biến đổi sơ cấp hàng Do ma trận A ñược ñưa dạng bậc thang nhờ phép biến đổi sơ cấp hàng ðịnh lí ñược chứng minh 2.2 ðỊNH THỨC 2.2.1 ðịnh nghĩa Giả sử cho ma trận vng cấp n với phần tử số thực:  a11 a12 a1n  a21 a22 a2 n Α=    an1 an an n       ðịnh thức cấp n ma trận A, ký hiệu det ( Α ) Α tổng: det ( Α ) = Α = ∑ S ( f )a S ( f ) dấu phép a f (1) f ( ) f ∈Sn .anf ( n ) , f , Sn tập hợp phép bậc n Nhận xét: (1) det(A) có n ! số hạng, nửa mang dấu cộng, nửa mang dấu trừ (2) Mỗi số hạng det(A) tích n phần tử nằm hàng khác cột khác ma trận A 27 28 a11 Ví dụ: 1) a22 = a11a22 an an 2) Nếu hàng cột định thức gồm tồn số định thức 2.2.2 Các tính chất định thức 1) ðịnh thức ma trận vng khơng thay đổi qua phép chuyển vị: Α = Α' Chứng minh Giả sử Α =  j  ma trận vuông cấp n Β = Α' = bi j ma trận chuyển vị A Ta có j = b j i ∀i, j =1, , n Theo ñịnh nghĩa định thức, ta có: Α = ∑ S ( f )a Β a f (1) f ( ) f ∈Sn = ∑ S ( g )b b .anf ( n ) g (1) g ( ) g∈Sn .bng ( n ) Xét số hạng tổng quát tổng Α : S ( f ) a1 f (1) a2 f ( 2) anf ( n ) ( ) Khi Β tương ứng có số hạng S f −1 b1 f −1(1)b2 f −1( 2) bnf −1( n ) ( ) Bởi S ( f ) = S f −1 j = b j i , ta có: S ( f −1 ) b1 f −1(1)b2 f −1( ) bnf −1( n ) = S ( f ) a f −1(1)1a f −1( )2 a f −1( n )n = S ( f ) a1 f (1) a2 f ( ) anf ( n ) Vậy Α Β có số hạng giống hệt nhau, hay Α = Β 2) Nếu nhân hàng (cột) ñịnh thức với số λ định thức nhân lên với số λ Chứng minh Cho Α =  j  ma trận vuông cấp n Nhân dãy i A với số λ ta có ma trận  a11 a12 a1 n  a21 a22 a2 n Β=    an1 an an n 28       29 Khi đó, có Β =   a λ a a = γ S f a a a =λ Α ( )  ∑ f (1) f ( ) if ( i ) nf ( n ) f (1) f ( ) nf ( n )   f ∈Sn  ( ∑ S ( f )a f ∈S n ) 3) Tính chất cộng hàng (cột) a11 a12 a1 n a11 a12 a1n a11 a12 a1 n a21 a22 a2 n a21 a22 a2 n a21 a22 a2 n = + bi1 bi bin ci1 ci cin an1 an an n an1 an an n bi1 + ci1 bi + ci bin + cin an an n an1 Chứng minh Vì j = bi j + ci j ∀j =1, 2, , n Α = ∑ S ( f )a = a f (1) f ( ) f ∈S n ∑ S ( f )a a f (1) f ( ) f ∈Sn ( ) aif (i ) anf ( n ) = ∑ S ( f ) a1 f (1) a2 f ( 2) bif (i ) + cif ( i ) anf ( n) .bif (i ) anf ( n ) + ∑ S ( f ) a1 f (1) a2 f ( 2) cif (i ) anf ( n) = D1 + D f ∈S n 4) Nếu ñổi chỗ hai hàng cho định thức đổi dấu Chứng minh: Giả sử B ma trận thu ñược từ ma trận A cách ñổi hàng thứ i cho hàng thứ k, với i < k Ta có Α = ∑ S ( f )a aif (i ) akf ( k ) anf ( n ) ∑ S ( f )a akf (i ) aif ( k ) anf ( n) f (1) f ∈S n Β = f ∈S n f (1) , Xét số hạng Β : S ( f ) a1 f (1) a2 f ( ) akf (i ) aif ( k ) anf ( n ) Xét phép sau với i < k 1 k i n  g =  1 k i n  Các nghịch g ( k − i ) + ( k − i ) −1= ( k − i ) −1 Do g phép lẻ hay S ( g ) = − ðặt h = f g có S ( h ) = S ( f g ) = S ( j ) S ( g ) = − S ( f Vậy: ) S ( f ) a1 f (1) a2 f ( 2) akf (i ) aif ( k ) anf ( n ) = S ( f ) a1h(1) a2 h( 2) akh(i ) aih( i ) anh( n ) 29 30 = − S ( h ) a1h(1) a2 h( 2) akh( k ) aih(i ) anh( n ) Khi f chạy khắp S n h = f g chạy khắp S n , nên : Β = ∑ S ( f )a a f (1) f ( ) f ∈S n akf (i ) aif ( k ) anf ( n ) = − ∑ S ( f )a1h(1) a2 h( 2) anf ( n ) = − Α h∈S n 5) Nếu định thức D có hai hàng (cột) giống định thức khơng Chứng minh Khi đổi chỗ hai hàng (cột) định thức D khơng thay đổi Mặt khác theo tính chất (4) phải đổi dấu Vì có D = -D hay D = 6) ðịnh thức có hai hàng (cột) tỉ lệ định thức Chứng minh ðưa hệ số tỉ lệ ngồi định thức Ta có định thức có hàng (cột) giống Vậy ñịnh thức 7) Nếu hàng định thức tổ hợp tuyến tính hàng khác nghĩa tồn số λ1 , λ2 , , λi −1 , λi +1 , , λn cho j = ∑ λ a ( j =1, , n ) k kj k ≠i Khi đó, theo tính chất cộng hàng (tính chất 3) có D tổng (n - 1) định thức có hai hàng tỉ lệ Vì vậy, D 8) Ta cộng vào hàng ñịnh thức bội hàng mà ñịnh thức khơng thay đổi Chứng minh Tính chất (8) trường hợp riêng (7) với λi = tất trừ số λk 9) Ta cộng vào hàng định thức tổ hợp tuyến tính hàng cịn lại mà định thức khơng thay đổi Chứng minh Thực tính chất (8) nhiều lần ta có tính chất (9) 2.2.3 Phần bù, phần bù ñại số phần tử a11 a12 a1n Cho ñịnh thức cấp n: D= a21 a22 a2 n (1) an1 an an n Kí hiệu M i j , ≤ i, j ≤ n, ñịnh thức cấp n − nhận ñược từ ñịnh thức D cách xoá hàng thứ i cột thứ j D Ta gọi M i j phần bù phần tử j Kí hiệu Αi j = ( −1) i+ j M i j phần bù ñại số phần tử j 30 31 2.2.6 Cơng thức khai triển Cho định thức D cấp n, ta có cơng thức khai triển: 1) Khai triển D theo hàng i: D = ai1Αi1 + Αi + + ain Αin , với ≤ i ≤ n 2) Khai triển D theo cột j : D = a1 j Α1 j + a2 j Α j + + anj Α nj , với ≤ j ≤ n 2.2.7 ðịnh thức Vandermonde 1 a1 a2 a3 a n D = a12 a2 a32 an a1n−1 a2 n−1 a3n−1 an n −1 Ta chứng minh rằng: D = ( a2 − a1 ) ( a3 − a1 ) ( an − a1 ) ( an − an−1 ) = ∏ 1≤i < j ≤n ( a j −ai ) quy nạp theo n Với n = , ta có D = 1 a1 a2 = a2 − a1 Giả sử n > cơng thức với n − Cộng vào hàng thứ i ñịnh thức D với bội − a1 hàng thứ i − 1, ≤ i ≤ n, ta có D= 1 a2 − a1 a2 − a1 a2 − a1 a2 − a1a2 a32 − a1a3 an − a1an a2 n −1 − a1a2 n−2 a3n −1 − a1a3n−2 ann −1 − a1ann−2 Khai triển ñịnh thức D theo cột thứ rút thừa số chung cột có: 31 32 1 a2 a3 a n D = ( a2 − a1 ) ( a3 − a1 ) ( an − a1 ) a2 a32 an a2 n−2 a3n −2 an n−2 Tiếp theo dùng giả thiết quy nạp ta có: D = ( a2 − a1 ) ( an − a1 ) ∏ (a 2≤i < j ≤ n j − ) = ∏ (a 1≤i < j ≤ n j − ) Ví dụ Giải phương trình: 1 1 − x 1 − x 1 = 1 n − x Nhân dòng thứ với (-1) cộng vào dịng cịn lại, có 1 − x 0 − x 0 = 0 n − − x Khai triển ñịnh thức tam giác vế trái có ( − x )(1 − x ) ( n − − x ) = hay x = 0, x = 1, , x = n − 2, x = n − 2.2.8 Phần bù ñại số ñịnh thức Giả sử Μ ñịnh thức cấp k ñịnh thức D = Α tạo k hàng k cột: i1 , i2 , , ik ; j1 , j2 , , jk D ðặt: s = i1 + i2 + + ik + j1 + j2 + + jk Khi đó: Số ( −1) Μ ' ñược gọi phần bù ñại số định thức M D, M' s ñịnh thức cấp n - k thu từ định thức D cách xóa k hàng k cột: i1 , i2 , , ik ; j1 , j2 , , jk 32 33 2.2.9 ðịnh lí Laplace Cho A ma trận vuông cấp n k hàng tùy ý A với ≤ k ≤ n − Khi ñó ñịnh thức Α tổng tất ñịnh thức cấp k nằm k hàng ñã cho với phần bù đại số Ví dụ Khai triển ñinh thức sau theo ðịnh lý Laplace: 12 0 3400 5764 = 12 34 ( −1) 1+ 2+1+ 55 = (4.1 − 3.2).1.(6.5 − 5.4) = ( −2).10 = −20 9855 2.2.10 ðịnh lí định thức tích ma trận vng ðịnh thức tích ma trận vng tích định thức ma trận Nghĩa là, Α, Β ma trận vng cấp n ΑΒ = Α Β 2.2.11 ðịnh nghĩa Ma trận vuông A cấp n gọi có nghịch đảo, hay gọi khả nghịch, tồn ma trận Α' vng cấp n thoả mãn đẳng thức: ΑΑ' = Α' Α = I n Ma trận Α' ñược gọi ma trận nghịch ñảo ma trận A 2.2.12 ðịnh lý Ma trận nghịch ñảo ma trận vng A có Chứng minh Giả sử B C ma trận nghịch ñảo ma trận A, ta có ΑΒ =ΒΑ =Ε, ΑC = CΑ =Ε Từ đó: Β =ΒΕ =Β ( ΑC ) = ( ΒΑ ) C =ΕC = C Ma trận nghịch đảo A (nếu có) kí hiệu Α −1 2.2.13 ðịnh nghĩa Ma trận vng A gọi ma trận khơng suy biến Α ≠ 2.2.14 ðịnh lý Ma trận vng A có ma trận nghịch đảo A ma trận không suy biến Chứng minh: (i) Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo ⇒ Tồn ma trận Α−1 ⇒ ΑΑ −1 = I n ⇒ Α Α −1 =1 ⇒ Α ≠ ⇒ Α ma trận không suy biến (ii) Giả sử ngược lại, ma trận A không suy biến ⇒ Α ≠ Gọi Α =  j  Αi j phần bù ñại số j , i, j =1,2, , n 33 34 Ta chứng minh rằng, ma trận  Α11 Α 21 Α n1     Α12 Α 22 Α n  Β= Α  .    Α1n Α1n Α nn  ma trận nghịch ñảo A Thật vậy, ta xét tích:  Α11 Α 21 Α n1     Α12 Α 22 Α n   . Α    Α1n Α n Α nn   a11 a12 a1n    a21 a22 a2 n   ΑΒ =  .    an1 an ann  n Trước hết ta có nhận xét sau ñây: i= j Α Α =  ik jk i≠ j 0 ∑a k =1 Sử dụng nhận xét này, ta có  Α 0  1 0      0 Α  0  ΑΒ = = = Ιn Α         0 0 Α  0 0 1 Tương tự: ΒΑ =Ι Vậy, Β = Α −1 2.2.15 Mệnh ñề Nếu A, B ma trận khơng suy biến tích AB ma trận khơng suy biến ( ΑΒ ) =Β−1Α −1 −1 Chứng minh ( ΑΒ ) ( Β−1Α−1 ) =Ι Ta có ( Β−1Α −1 ) ( ΑΒ ) =Ι Do đó: ( ΑΒ ) =Β−1Α −1 −1 2.2.16 ðịnh nghĩa Hạng ma trận A cấp cao định thức khác khơng A Ta kí hiệu hạng ma trận A r ( Α ) Nhận xét: + Nếu A ma trận cấp ( m, n ) r ( Α ) ≤ ( m, n ) ( ) + r ( Α ) = r Α' + r ( Α ) = ⇔ Α ma trận không 34 35 2.2.17 Mệnh ñề Giả sử r hạng ma trận A, đó: i) Có định thức cấp r A khác không ii) Mọi ñịnh thức cấp lớn r A ñều khơng 2.2.18 Mệnh đề Các phép biến đổi sau khơng làm thay đổi hạng ma trận: i) Bỏ ñi hàng (cột) toàn số ii) Bỏ ñi hai hàng (cột) giống iii) Nhân hàng (cột) với số khác iv) ðổi chỗ hai hàng (cột) cho v) Cộng vào hàng (cột) với tổ hợp tuyến tính hàng (cột) với khác Ví dụ Tìm hạng ma trận sau phép biến ñổi sơ cấp:  −3 2 Α= 1     −1 − −  1 −  1 −  L2 0 −    L − 2L1 Α → −1  → 0    L3 0 − 5  0 − 1  1 − → 0 −  0 0 L + 2L3 2 0   Vậy: r ( Α ) = 35 36 2.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CRAMER 2.3.1 ðịnh nghĩa Cho hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trình, n ẩn: a11 x1 + a12 x2 +⋯ + a1n xn = b1  a21 x1 + a2 x2 + ⋯ + a2 n xn = b2  ⋮   a x + a x +⋯ + a x = b nn n n  n1 n 2 (1) aij , bi , ≤ i, j ≤ n số thực Hệ (1) ñược gọi hệ phương trình tuyến tính Cramer định thức hệ số a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2 n D= ⋮ an1 an ⋯ ann hệ phương trình ñã cho khác 2.3.2 ðịnh lý Cramer Nếu hệ phương trình (1) hệ phương trình Cramer (1) hệ (1) có nghiệm cho cơng thức sau: xj = Dj D , j =1,2, , n , D j định thức thu ñược từ ñịnh thức D cách thay cột thứ j cột hệ số tự b1 , b2 , , bn Ví dụ Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số thực m mx + y + z =1   x + my + z =1  x + y + zm =1  Giải Tính định thức hệ số hệ phương trình cho: m1 D = m = ( m − 1) (m + 2) 1 m 1) Nếu m ≠ 1, m ≠ D ≠ , hệ ñã cho hệ Cramer có nghiệm Vì x,y,z có vai trị bình đẳng hệ phương trình cho nên: 36 37 m1 1 m1 ( m − 1) Dx 1 m x= y=z= = = = D D ( m − 1) (m + 2) m + 2) Nếu m =1 hệ trở thành: x + y + z =1 Do đó, hệ có vơ số nghiệm: ( x, y , z ) = (a, b,1 − a − b); ∀a, b ∈ ℝ 2) Nếu m =2 hệ trở thành: −2 x + y + z =1   x − y + z =1  x + y − z =1  Cộng ba phương trình hệ lại ta có: 0x + y + 0z = Do đó, trường hợp hệ phương trình vơ nghiệm 37