Giáo trình Đại số tuyến tính (Giáo trình đào tạo từ xa): Phần 2

38 2.4 KHƠNG GIAN VECTƠ Khơng gian vectơ cấu trúc đại số khái qt hóa khơng gian vectơ hình học mà người học quen thuộc chuơng trình bậc trung học phổ thơng, ñịnh nghĩa sau: 2.4.1 ðịnh nghĩa tính chất không gian vectơ Giả sử V tập hợp khác rỗng V ñã xác ñịnh hai phép toán: i) Phép cộng: ∀α , β ∈ V ⇒ α + β ∈ V ii) Phép nhân vô hướng (phép nhân ngoài): ∀ λ ∈ℝ, ∀α ∈V ⇒ λα ∈V Tập hợp V với phép tốn gọi khơng gian vectơ thực (hay không gian vectơ trường số thực ℝ ) ñiều kiện sau thỏa mãn: 1) α + β = β + α , ∀α , β ∈V 2) α + ( β + γ ) = ( α + β ) + γ ; ∀α , β , γ ∈V 3) ∃ θ ∈ V cho: α + θ = α , với ∀α ∈ V 4) Với α ∈ V , tồn phần tử −α ∈ V cho α + ( −α ) = 5) λ (α + β ) = λα + λβ ; ∀λ ∈ ℝ; ∀α , β ∈V 6) (λ + µ )α = λα + µα ; ∀λ , µ ∈ ℝ; ∀α ∈V 7) (λµ )α = λ ( µα ); ∀λ , µ ∈ ℝ; ∀α ∈V 8) 1α = α , ∀α ∈V Mỗi phần tử V gọi vectơ (chúng ta khơng để ý ñến chất vật lý phần tử V); vectơ θ nói điều kiện (3) gọi vectơ khơng V; vectơ −α nói ñiều kiện (4) ñược gọi vectơ ñối α V Các số thực λ ñược gọi đại lượng vơ hướng Khơng gian vectơ cịn gọi khơng gian tuyến tính Ví dụ 1: Tập hợp E2 gồm vectơ hình học xuất phát từ gốc điểm O mặt phẳng cố ñịnh (P) với phép cộng theo quy tắc hình bình hành, phép nhân số thực với vectơ thông thường, không gian vectơ Ví dụ 2: Tập hợp số phức ℂ = { a + bi ; a, b∈ℝ} với hai phép tốn sau lập thành khơng gian vectơ: i) Phép cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; ii) Phép nhân: k(a + bi ) = ka + (kb)i, với số thực a,b,c,d, k 38 39 Ví dụ 3: Tập hợp ℝ [ x ] ña thức biến x với hệ số thực lập thành không gian vectơ với phép cộng ña thức phép nhân số thực với đa thức theo nghĩa thơng thường Ví dụ 4: Tập hợp ℝ n [ x ] ña thức biến x với hệ số thực có bậc khơng vượt q n lập thành khơng gian vectơ với phép cộng ña thức phép nhân số thực với đa thức theo nghĩa thơng thường Ví dụ 5: Cho n số tự nhiên khác Ký hiệu ℝ n = {( x1 , , x2 ); x1 , , x2 ∈ ℝ} ðịnh nghĩa phép cộng phép nhân vô hướng tập ℝ n sau: ( x1 , , xn ) + ( y1 , , yn ) = ( x1 + y1 , , xn + yn ) ; λ ( x1 , , xn ) = (λ x1 , , λ xn ), λ ∈ ℝ Khi đó, ℝ n với hai phép tốn khơng gian vectơ Ví dụ 6: Tập hợp C[a,b] hàm số thực liên tục đoạn [a,b] lập thành khơng gian vectơ với phép cộng hàm số phép nhân số thực với hàm số thực theo nghĩa thơng thường gọi khơng gianvectơ hàm liên tục đoạn [a,b] Ví dụ 7: Tập hợp M(m,n) ma trận cấp mxn trường số thực lập thành không gian vectơ, với phép cộng ma trận phép nhân số thực với ma trận Ta gọi không gian không gian vectơ ma trận cấp mxn trường số thực 2.4.2 ðịnh nghĩa Cho V là không gian vectơ, α1 , ,α n ∈V ; a1 , , an ∈ℝ Ta gọi vectơ α = a1 α1 +⋯ + an α n = n ∑aα i i , tổ hợp tuyến tính hệ vectơ i =1 α1 , ,α n qua hệ số a1 , a2 , , an Khi đó, ta nói α biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ α1 , ,α n 2.4.3 Sự tương ñương hệ vectơ Trong V cho hệ vectơ: α1 , ,α n (1) β1 , , β m ( 2) 39 40 Nếu vectơ hệ (1) biểu thị tuyến tính qua vectơ hệ (2) ta nói hệ (1) biểu thị tuyến tính qua hệ (2) Nếu (1) biểu thị tuyến tính qua (2) (2) biểu thị tuyến tính qua (1) ta nói (1) tương đương với (2) ký hiệu (1) ∼ ( ) Nhận xét (a) (1) ∼ (1) (b) Nếu (1) ∼ ( ) α ∈V biểu thị tuyến tính qua (1) α biểu thị tuyến tính qua (2) (c) Nếu (1) ∼ ( ) ( ) ∼ ( 3) (1) ∼ ( 3) 2.4.4 Một số tính chất đơn giản không gian vectơ a) Trong không gian vectơ V tồn vectơ không Chứng minh Giả sử V tồn vectơ không θ θ ' Theo tính chất vectơ khơng ta có: θ + θ ' =θ , θ + θ ' =θ ' Do θ =θ ' b) Vơí vectơ α ∈ V , tồn vectơ α ∈ V cho α + ( − α ) =θ Chứng minh Thật vậy, giả sử tồn vectơ α ' ∈ V cho α + α ' =θ Ta có : ( −α ) + α  + α ' = ( −α ) +  α + α '  = − α + θ = − α Mặt khác ( −α ) + α  + α ' =θ + α ' = α ' Vậy α = α ' c) ∀α , β ∈V ; ∀a, b ∈ ℝ có ( i ) a (α − β ) = aα − aβ ( ii ) ( a − b )α = aα − bα Chứng minh Từ a (α − β ) + a β = a [ (α − β ) + β ] = a [α + ((− β ) + β ) ] = aα ⇒ a ( α − β ) = aα − aβ ( a − b )α + bα = ( a − b + b )α = aα Tương tự, từ ⇒ ( a − b )α = aα − bα d) Với ∀a ∈ ℝ; ∀α ∈V , ta có: aα =θ ⇔ a = α = Chứng minh i) θα = ( a − a )α = aα − aα =θ 40 41 aθ = a (α − α ) = aα − aα =θ ii) aθ = ( a ≠ ) ⇒ a −1 ( aα ) = a −1θ ⇒ 1α =θ ⇒ α =θ e) Với ∀α ∈V ta có ( −1)α = − α Chứng minh Vì α + ( −1)α =1α + ( −1)α = 1+ ( −1)  α = 0α =θ , nên ( −1)α = − α 2.4.5 Cơ sở số chiều không gian vectơ Trong không gian vectơ V cho hệ vectơ α1 ,α , ,α m (1) Hệ vectơ (1) gọi phụ thuộc tuyến tính tồn số thực k1 , , kn khơng đồng thời khơng cho m ∑k α =k α i i 1 + + kmα m = (2) i =0 Nếu hệ thức (2) xảy k1 = = km = hệ vectơ (1) gọi hệ ñộc lập tuyến tính Vậy hệ (1) ñộc lập tuyến tính hệ (1) khơng phụ thuộc tuyến tính Ví dụ 1) Trong ℝ hệ vectơ ε1 = (1,0,0 ) , ε = ( 0,1,0 ) , ε = ( 0,0,1) ñộc lập tuyến tính Thật vậy, ta có: λ1 ε1 + λ2ε + λ3 ε = ⇔ λ1 (1,0,0 ) + λ2 ( 0,1,0 ) + λ3 ( 0,0,1) = ( λ1 ,0,0 ) + ( 0, λ2 ,0 ) + ( 0,0, λ3 ) = 2) Trong ⇔ ( λ1 , λ2 , λ3 ) = ⇔ λ1 = λ2 = λ3 = ℝ hệ vectơ sau hệ phụ thuộc tuyến tính α1 = ( 5, 2,1) , α = ( −1,3,3) , α = ( 9,7,5 ) , α = ( 3,8,7 ) Thật vậy, ta có : α = 2α1 + α ⇒ α = 2α1 + α + 0α 3) Trong không gian vectơ số phức ℂ hệ {1, i} độc lập tuyến tính Thật vậy: a 1+ b i = ⇔ a + bi = ⇔ a = b = 2.4.6 Các tính chất hệ phụ thuộc tuyến tính 1) Mọi hệ vectơ chứa vectơ khơng hệ phụ thuộc tuyến tính Thật vậy, giả sử hệ (1) θ , α1 , α , , α m … , khơng địng thời cho: 41 có hệ số thực 1, 0, 42 1.θ + 0α + ⋯ + 0α m = Do đó, hệ (1) hệ phụ thuộc tuyến tính 2) Hệ gồm vectơ hệ phụ thuộc tuyến tính vectơ vectơ θ 3) Nếu hệ vectơ chưa hệ phụ thuộc tuyến tính hệ hệ phụ thuộc tuyến tính Thật vậy, giả sử hệ (1) chứa hệ α1 , ,α q phụ thuộc tuyến tính, tồn số thực k1 , , kq khơng đồng thời cho: k1α1 + + kqα q = ( q ≤ n) Do đó, ta có hệ thức khơng tầm thường là: k1α1 + + kqα q + 0α q+1 + + 0α m = Hay hệ (1) phụ thuộc tuyến tính 4) Mọi hệ hệ độc lập tuyến tính hệ độc lập tuyến tính 5) Hệ vectơ (1) hệ phụ thuộc tuyến tính có vectơ hệ tổ hợp tuyến tính vectơ lại Chứng minh i) Giả sử hệ (1) phụ thuộc tuyến tính, có thời khơng cho: k1 , , km khơng đồng k1α1 + + kmα m = Do k1 , , km khơng đồng thời khơng nên có hệ số ki ≠ 0,1 ≤ k ≤ m Chẳng hạn k1 ≠ ,  k2   km   α + +  −  α m  k1   k1  α1 =  − hay α1 biểu thị tuyến tính qua vectơ α , ,α m hệ (1) 2.4.7 Hệ sinh sở khơng gian vectơ Một hệ vectơ V gọi hệ sinh V vectơ V biểu thị tuyến tính qua hệ Một hệ sinh độc lập tuyến tính V gọi sở V Một hệ vectơ V gọi độc lập tuyến tính cực đại độc lập tuyến tính thêm vectơ V hệ thu ñược hệ phụ thuộc tuyến tính 42 43 2.4.8 ðịnh lý Cho hệ hữu hạn véctơ α ,α , ,α n V Khi đó, khẳng ñịnh sau ñây tương ñương với nhau: (i) α ,α , ,α n sở V (ii) Mỗi vectơ V ñều biểu thị tuyến tính qua hệ α ,α , ,α n (iii) α ,α , ,α n hệ vectơ ñộc lập tuyến tính cực đại V Chứng minh (i) ⇒ (ii): Giả sử α ,α , ,α n sở V, α ,α , ,α n hệ sinh V Do đó, vectơ V biểu thị tuyến tính ñược qua hệ Ta chứng minh biểu diễn Thật vậy, giả sử với vectơ α V, ta có biểu diễn n n i =1 i =1 α = ∑ xiα i = ∑ yiα i , ( xi , yi ∈ ℝ) Theo tính chất khơng gian vectơ có n ∑(x i =1 i − yi )α i = θ Từ tính độc lập tuyến tính hệ vectơ, suy xi − yi = hay xi = yi , ∀i = 1,2, , n (ii) ⇒ (iii): Mọi vectơ α V ñều biểu thị ñược qua hệ vectơ α ,α , ,α n hệ vectơ bổ sung α ,α , ,α n ,α phụ thuộc tuyến tính: Do đó, hệ α ,α , ,α n hệ ñộc lập tuyến tính cực đại V (iii) ⇒ (i): Do hệ vectơ α ,α , ,α n hệ ñộc lập tuyến tính cực ñại nên với vectơ α V, ta có hệ vectơ α ,α , ,α n ,α hệ phụ thuộc tuyến tính Do đó, vectơ α biểu thị qua hệ α ,α , ,α n hay hệ sinh V sở V g 2.4.9 ðịnh lý phụ thuộc tuyến tính Trong khơng gian vectơ V cho hệ vectơ: α1 ,α , ,α n (1) β1 , β , , β m (2) Nếu hệ (1) độc lập tuyến tính biểu thị tuyến tính qua hệ (2) n ≤ m Chứng minh Giả sử ngược lại n > m , ta chứng minh hệ (1) phụ thuộc tuyến tính điều mâu thuẫn với tính độc lập tuyến tính hệ (1) Thật vậy, theo giả thiết định lý có biểu thị tuyến tính: 43 44 α1 = x1 β1 + x2 β + ⋯ + xm β m ( xi ∈ ℝ) Vì hệ (1) độc lập tuyến tính nên vectơ α1 ≠ θ Do đó, có số thực xi ≠ Khơng tính tổng qt, ta giả sử x1 ≠ Khi β1 = m 1 α1 + ∑ ( − xi ) β i x1 i =2 x1 Như vậy, hệ (2) biểu thị tuyến tính qua hệ α1 , β , , β m (3) đó, hệ (1) biểu thị tuyến tính qua hệ (3) Tiếp tục, ñối với vectơ α hệ (1) ta có α = y1α1 + y2 β + ⋯ + ym β m ( yi ∈ ℝ ) Vì hệ (1) độc lập tuyến tính nên có số thực yi ≠ 0, (2 ≤ i ≤ m) Khơng tính tổng qt, ta giả sử y2 ≠ Khi β2 = m 1 α + ∑ ( − yi ) β i y2 i =3 y2 Như vậy, hệ (3) biểu thị tuyến tính qua hệ α1 ,α , β , , β m (4) hệ (1) biểu thị tuyến tính qua hệ (4) Tiếp tục lý luận vectơ cịn lại hệ (1) Sau m lần thay hết m vectơ hệ (2) m vectơ hệ (1), ta có hệ (1) biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ α ,α , ,α m Do đó, hệ (1) hệ phụ thuộc tuyến tính g 2.4.10 ðịnh nghĩa Khơng gian vectơ V gọi không gian vectơ hữu hạn sinh V tồn hệ sinh gồm hữu hạn vectơ Ví dụ 1) Không gian vectơ số phức C hữu hạn sinh C có hệ sinh gồm vectơ {1, i} 2) Không gian vectơ R[x] ña thức với hệ số thực không gian vô hạn sinh Thật vậy, giả sử R[x] có hệ sinh hữu hạn: f1 ( x ), f2 ( x ), , fn ( x ) Khi đó, ña thức thuộc R[x] có bậc lớn tất bậc ña thức f1 ( x ), f2 ( x ), , fn ( x ) không biểu thị tuyến tính qua hệ sinh f1 ( x ), f2 ( x ), , fn ( x ) Ta gặp điều vơ lý 44 45 2.4.11 ðịnh lý Giả sử V ≠ {θ} không gian vectơ hữu hạn sinh Khi đó, V tồn sở gồm hữu hạn vectơ Hơn nữa, sở V có số vectơ Chứng minh Giả sử γ , γ , , γ r hệ sinh hữu hạn V Vì V ≠ {θ} nên có vectơ α ≠ θ V Hệ gồm vectơ α1 ≠ θ hệ độc lập tuyến tính Nếu hệ hệ độc lập tuyến tính cực đại sở V Nếu hệ khơng độc lập tuyến tính cực đại V có hệ α ,α độc lập tuyến tính Theo định lý vè phụ thuộc tuyến tính, số véctơ hệ độc lập tuyến tính V khơng vượt q r Do đó, tiếp tục lý luận trên, sau khơng q r bước ta thu ñược hệ ñộc lập tuyến tính cực đại α ,α , ,α n ( n ≤ s) V Lại theo ðịnh lý 2.7.2.4, hệ sở hữu hạn V Giả sử β1 , β , , β n (m ≤ s) sở V Khi đó, hệ α ,α , ,α n ( n ≤ s) độc lập tuyến tính biểu thị tuyến tính qua hệ β1 , β , , β n (m ≤ s) , nên theo ðịnh lý phụ thuộc tuyến tính, ta có n ≤ m Do tính bình ñẳng hai sở, nên có bất ñẳng ngược lại ta có n = m g Từ ðịnh lý 2.4.11, ta có tính hợp lý ñịnh nghĩa sau 2.4.12 ðịnh nghĩa Số vectơ sở không gian vectơ hữu hạn sinh V ≠ {θ} ñược gọi số chiều (dimention) V R ñược ký hiệu dimV Nếu V = {θ} ta quy ước dimV = Nếu V khơng có sở gồm hữu hạn phần tử gọi không gian vectơ vô hạn chiều Do số vectơ sở không gian vectơ số vectơ độc lập tuyến tính cực đại ta có nhận xét: Nếu dimV= n hệ vectơ n + k (k ≥ 1) V ñều hệ phụ thuộc tuyến tính Trong giáo trình này, khơng nói thêm nghiên cứu khơng gian vectơ hữu hạn chiều trường số thực R Ví dụ 1) dim C = R 2) dim Rn = n R 3) Không gian vectơ R[x] không gian vô hạn chiều R 2.4.13 ðịnh lý Giả sử V ≠ {θ} không gian vectơ hữu hạn sinh Khi 45 46 (i) Mọi hệ sinh V ñều chứa sở V (ii) Mọi hệ độc lập tuyến tính V bổ sung thành sở V (iii) Nếu dimV= n hệ n vectơ độc lập tuyến tính V sở V Chứng minh (i) Giả sử S hệ sinh V Gọi S’ hệ độc lập tuyến tính cực đại S Khi đó, S biểu thị tuyến tính qua S’ V biểu thị tuyến tính qua S’ hay S’ sở V (ii) Giả sử α ,α , ,α i hệ độc lập tuyến tính V Nếu hệ độc lập tuyến tính cực đại sở Trong trường hợp ngược lại, ta bổ sung vào hệ vectơ α i ,α i +1 , ñể thu ñược hệ ñộc lập tuyến tính cực đại V Do V khơng gian vectơ n chiều, trình bổ sung dừng lại sau không n bước Hệ vectơ thu sở V (iii) Giả sử dim V = n α ,α , ,α n hệ ñộc lập tuyến tính tuyến tình, với vectơ α V hệ α1 ,α , ,α n ,α hệ phụ thuộc tuyến tính Do đó, tồn hệ thức tuyến tính khơng tầm thường x1α1 + x2α + ⋯ + x nα n + x n +1α = θ ( xi ∈ ℝ) Nếu xn+1= hệ α ,α , ,α n phụ thuộc tuyến tính, trái giả thiết Do đó, có biểu diễn α= − x1 −x −x α1 + α + ⋯ + n α n , ( xi ∈ ℝ) x n +1 x n +1 x n +1 Như vậy, α biểu thị tuyến tính qua hệ α ,α , ,α n hệ hệ sinh độc lập tuyến tính V sở V g 2.4.14 ðịnh nghĩa Giả sử α ,α , ,α n sở khơng gian vectơ V Khi đó, vectơ α V có biểu thị tuyến tính nhất: α = x1α1 + x2α + ⋯ + x nα n ( xi ∈ ℝ ) , n hay viết vắn tắt: α = ∑ xiα i , ( xi ∈ ℝ) i =1 Bộ n số thực ( x1 , x , , x n ) ñược gọi toạ ñộ vectơ α theo sở α ,α , ,α n 2.4.15 Công thức ñổi tọa ñộ Giả sử α1 ,α , ,α n β1 , β , , β n 46 47 sở không gian vectơ V Giả sử vectơ α V có toạ độ tương ứng theo sở ñã cho ( x1 , x , , x n ) ( y1 , y2 , , yn ) Biểu diễn vectơ sở thứ hai qua sở thứ nhất: n β j = ∑ aijα i , ∀j = 1,2, , n i =1 Do đó, ta có: n n n n n n i =1 j =1 i =1 i =1 j =1 i =1 α = ∑ yi β i = ∑ (∑ bj cijα i ) = ∑ (∑ cij bj )α i = ∑ xiα i Do tính toạ ñộ vectơ theo sở, ta có cơng thức đổi tạo độ sau: n xi = ∑ aij y j , i = 1,2, , n j =1 2.4.16 Không gian vectơ Giả sử V không gian vectơ Tập không rỗng W V ñược gọi tập ổn ñịnh V i )α + β ∈ W ; ∀α , β ∈ W ii ) λα ∈ W ; ∀λ ∈ W , ∀α ∈ W Giả sử W tập ổn ñịnh V, phép tốn cộng nhân vơ hướng W ñược gọi phép toán cảm sinh V Tập ổn ñinh W V ñược gọi không gian vectơ V với hai phép toán cảm sinh V, thân tập W lập thành không gian vectơ 2.4.17 Mệnh ñề Giả sử V không gian vectơ W khơng gian vectơ V, vectơ θ thuộc W Nói khác đi, vectơ khơng V vectơ không W Chứng minh Gọi ρ vectơ không không gian vectơ W, ñó: θ = θ + ρ = ρ Do ñó, ρ = θ 2.4.18 ðịnh lý (Tiêu chuẩn không gian vectơ ) Tập không rỗng W V không gian vectơ V W tập ổn ñịnh V, nghĩa i )α + β ∈ W ; ∀α , β ∈ W ii ) λα ∈ W ; ∀λ ∈ W , ∀α ∈ W 47 50 1) Nếu f , g :V → W hai ánh xạ tuyến tính, ánh xạ tổng ϕ : V → W xác ñịnh ϕ ( x ) = ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) ánh xạ tuyến tính 2) Nếu f :V → W ánh xạ tuyến tính, với số thực λ , ánh xạ ψ : V → W xác ñịnh ψ ( x ) = ( λ f )( x ) = λ ( f ( x ) ) , ánh xạ tuyến tính 3) Tích ánh xạ tuyến tính ( tồn tích ) ánh xạ tuyến tính Chứng minh Cho f : V → W, g:W →Ω Gọi h = g o f : V → Ω ∀ x, y ∈V , ∀ a, b ∈ℝ ; h ( ax + by ) = ( gf )( ax + by ) = g ( f ( ax + by ) ) = g ( af ( x ) + bf ( y ) ) = ag ( f ( x ) ) + bg ( f ( y ) ) = a ( g o f )( x ) + b ( g o f )( y ) = ah ( x ) + bh ( y ) 5) Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính Khi đó: a) f ( x − y ) = f ( x ) − f ( y ) = f (θ ) =θ b) f ( − x ) = − f ( x ) , ∀ x, y ∈V ( ( −1) x ) = ( −1) f ( x ) = − f ( x ) f ( x − y ) = f ( x + ( − y )) = f ( x ) + f ( − y ) = f ( x ) − f ( y ) f (−x) = f Chứng minh f (θ ) = f ( x − x ) = f ( x ) − f ( x ) =θ 2.4.23 ðịnh lý Mọi không gian vectơ n – chiều ℝ ñều ñẳng cấu với ñẳng cấu với không gian vectơ ℝ n Chứng minh Giả sử V khơng gian véctơ n-chiều, V tồn sở gồm n vectơ {e1 , e2 , , en } Với x ∈ V , có n số thực ( x1 , , xn ) cho x = n ∑ x e ðặt i i f : V → ℝ n xac sñịnh f ( x) = ( x1 , , xn ) i =1 Ta chứng minh f đẳng cấu khơng gian vectơ Thật vây: x = ∑ xi ei , y = ∑ yi ei i) f ánh xạ tuyến tính: Với x, y∈V , giả sử ( ) ∀ λ , µ ∈ℝ , có f ( λ x + µ y ) = f λ ( ∑ xi ei ) + µ ( ∑ xi ei ) = =f ( ∑ ( λ x + µ y ) e ) = ( λ x + µ y , , λ x i i i i i m + µ ym ) = λ ( xi , , xn ) + µ ( yi , , yn ) = λ f ( x ) + µ f ( y ) ii) f ñơn ánh: f ( x)= f ( y) ⇒ f ( ∑ x e ) = f ( ∑ y e ) ⇒ ( x , , x ) = ( y , , y ) i i i i xi = yi , ∀i = 1, , n ⇒ x = y 50 i n i n 51 iii) f toàn ánh: ∀ ( x1 , , xn ) ∈ℝ n ⇒∃x = ∑ x e ∈V cho: i i f ( x ) = ( x1 , , xn ) Vậy: V ≅ ℝ n 2.4.24 Hệ V ≅ W ⇔ dim V = dim W 2.4.25 ðịnh lý xác định ánh xạ tuyến tính khơng gian hữu hạn chiều Giả sử α1 , ,α n sở không gian vectơ n chiều Vn V ' không gian véctơ tuỳ ý ñó ñã chọn n vectơ α '1 , ,α 'n Khi đó, tồn ánh xạ tuyến tính f : Vn → V ' cho f (α i ) = α 'i Nói cách khác, ánh xạ tuyến tính f : Vn → V ' ñược xác ñịnh ảnh vectơ sở Vn Chứng minh Giả sử α ∈ Vn , biểu diễn α = n ∑ xiα i Ta ñặt i =1 n f ( x ) = ∑ xiα 'i Chứng i =1 minh f ánh xạ tuyến tính từ Vn vào V ' Hơn nữa, từ biểu diễn α i =1α i suy f (α i ) = α 'i , ∀i = 1.2, , n Nếu g : Vn → V ' ánh xạ tuyến tính cho f ( xi ) = α 'i với x = ta có g ( x ) = g ( ∑ x α ) = ∑ x g (α ) = ∑ x α i i i i i ' i ∑ xα i i = f ( x ) hay f = g g 2.7.26 ðịnh lý Cho f : V → V ' đồng cấu Ta có: a) Nếu A khơng gian V ảnh f(A) không gian của V ðặc biệt, Im(f) không gian V' b) Nếu B khơng gian V' nghịch ảnh f-1(B) không gian của V ðặc biệt, Ker(f) không gian V ' c) f toàn cấu ⇔ Ιm( f ) = V ' d) f ñơn cấu ⇔ Κer(f ) = {θ } Chứng minh i) Giả sử f đơn cấu, x∈ Κerf ⇒ f ( x ) = f ( ) = ⇒ x = ( f ñơn ánh ) ⇒ Κerf = {θ } ii) Giả sử Κerf = {θ } f ( x ) = f ( y ) ⇒ f ( x ) − f ( y ) = ⇒ f ( x − y ) = ⇒ x − y ∈ Κerf = {θ } ⇒ x − y =θ ⇒ x = y Do f đơn cấu Chúng ta phát biểu ñịnh lý sau: 51 , 52 4.27 ðịnh lý Cho f : V → V ' đồng cấu V khơng gian vectơ hữu hạn chiều Khi đó, ta có cơng thức số chiều sau: dim Im( f ) + dim Ker ( f ) = dimV 2.4.28 Ma trận ánh xạ tuyến tính Giả sử f : Vn → Wm ánh xạ tuyến tính Trong Vn chọn sở: α1 , ,α n (1) Trong Wn chọn sở: β1 , , β n (2) Ta biểu diễn ảnh f (α i ) sở (1) qua sở (2): f (α1 ) = a11β1 + a21β + + am1β m f (α ) = a12 β1 + a22 β + + am β m ……………………………… (3) f (α n ) = a1n β1 + a2 n β + + amn β m m Hay viết tổng quát: f (α j ) = ∑ α i j βi , ( j =1, , n ) i =1 Ma trận A cấp (m, n) mà phần tử hệ số hệ thức (3) (đã đổi dịng thành cột ):  a11 a12 a1n    a21 a22 a2 n   A = [ aij ] =      am1 am am n  ñược gọi ma trận ánh xạ tuyến tính f cặp sở (1) (2) Nhận xét a) Ma trận ánh xạ tuyến tính f hai sở (1) (2) ñược xác ñịnh b) Khi Vn = Wm tức f phép biến đổi tuyến tính Vn ta chọn sở (1) trùng sở (2), lúc ma trận A gọi ma trận phép biến đổi tuyến tính f sở (1) cho Ví dụ Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính f : ℝ3 → ℝ xác ñịnh f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 , x2 , x3 ,0 ) theo sở ε1 = (1,0,0 ) , ε1 = ( 0,1,0 ) , ε1 = ( 0,0,1) ℝ sở W1 = (1,0,0,0 ) , W2 = ( 0,1,0,0 ) , W3 = ( 0,0,1,0 ) , W4 = ( 0,0,0,1) ℝ Ta có: f ( ε1 ) = (1,0,0,0 ) = W1 + 0W2 + 0W3 + 0W4 f ( ε ) = ( 0,1,0,0 ) = 0W1 +1W2 + 0W3 + 0W4 52 53 f ( ε ) = ( 0,0,1,0 ) = 0W1 + 0W2 +1W3 + 0W4 Vậy ma trận f ñối với hai sở ñể cho ma trận cấp ( 4, ) sau ñây: 1 0  0   Α =  0    0 0  Ví dụ Giả sử ℝ n −1 [ x ] khơng gian đa thức có bậc ≤ n −1 Xét phép biểu thức tuyến tính f : Ρ n −1 [ x ] → Ρ n −1 [ x ] Ρ ( x ) ֏ Ρ' ( x ) Trong Ρ n −1 [ x ] chọn sở: x2 x n− x n −1 ε1 =1, ε = x, ε = , , ε n −1 = ,ε = 2! ( n − )! n ( n − 1)! Ta có f ( ε1 ) = = 0ε1 + 0ε + + 0ε n f ( ε ) = = ε1 + 0ε + + 0ε n f ( ε ) = x = 0ε1 + 0ε + + 0ε n …………………………… x n−1 f (ε n ) = = 0ε + 0ε + + ε n−1 + ε n ( n − 1)! Vậy: 0 0  0 0    Α =     0   0 0 0  '  x n−1  x n −2 x n−2 Chú ý: f (ε n ) =  = =ε  = ( n − 1) ( n − 1)! ( n − )! n−1  ( n − 1)! 2.4.29 ðịnh lý Giả sử Vn không gian n chiều Wm không gian m chiều ñó ñã chọn sở (1) (2) Giả sử A ma trận cấp ( m, n ) với phần tử số thực tuỳ ý Khi đó, tồn ánh xạ tuyến tính f : Vn → Wm cho ma trận f cặp sở (1) (2) ma trận A ñã cho 53 54  a11 a12 a1n    a21 a22 a2 n   Chứng minh Giả sử Α =  aij  = m×n      am1 am am n  Trong không gian Wm ta xét hệ vectơ m β '1 , , β 'n với β ' j = ∑ aij β j (4) i =1 Theo ñịnh lý xác định ánh xạ tuyến tính tồn ánh xạ tuyến tính f : Vn → Wm cho f (α j ) = β ' j , j =1, , n m f (α j ) = β j = ∑ j β j ; j =1, , n ' Ta có i =1 Do ñó, ma trận f ñối với cặp sở (1) (2) ma trận A cho 2.4.30 Ma trận ánh xạ tuyến tính hai cặp sở khác Cho hai không gian vectơ Vn Wm chọn hai sở khác nhau: ε1 , , ε n (1) w1 , , wm (2) Giả sử ánh xạ tuyến tính f : Vn → Wm ñối với cặp sở (1) (2) có ma trận Α =  j  m×n Giả sử Vn Wm chọn hai sở khác ε '1 , , ε ' n (1’) w'1 , , w' m (2’) Gọi ma trận chuyển từ (1) sang (1’) S Gọi ma trận chuyển từ (2) sang (2’) T Giả sử  S11 S1n  T11 T1m      S =   , T =    Sn1 Sn n  Tm1 Tm n      Hãy tìm ma trận Β = bi j  m×n ánh xạ f ñối với cặp sở (1’) (2’) m Ta có : f ( ε j ) = ∑ akj wk ( j =1, , n ) ( 3) k =1 f (ε m ' j ) = ∑b ij w' i ( j =1, , n ) ( ) k =1 54 55 m w i = ∑ tk i wk ( i =1, , n ) ( 5) n ( j =1, , n ) (6) ' Mặt khác k =1 ε j = ∑ si jε l ' l =1 Do từ (6) (3) có : n n m m  n  f ( ε ' j ) = ∑ si j t ( ε l ) = ∑ sl j ∑ ak e wk = ∑  ∑ ak el j  wk l =1 l =1 k =1 k =1  l =1  Một mặt ta lại có từ (4) (5) m f ( ε ' j ) = ∑ bij w'i = i =1  m  m  m  b t w ∑ ij  ∑ k i k  = ∑  ∑ tk i bij  wk i =1  k =1  k =1  i =1  m n  n   m  Do có : ∑  ∑ ak l slj  wk = ∑  ∑ tk ibij  wk ⇒ k =1  l =1 k =1  i =1   với ∀ j , k =1, , n ⇒ Α.S= Τ.Β m n ∑a (7) m s = ∑ tk ibij k l lj l =1 (8) i =1 (9) Vì S T ma trận chuyển sở S T ma trận khơng suy biến có ma trận nghịch ñảo S-1 T-1 Do ñó từ (9) suy B = T-1 A.S A = T.B.S-1 Sơ ñồ (1) (2) (1’) (2’) B = T-1 A.S A = T.B.S-1 2.4.31 Hệ Cho f phép biến đổi tuyến tính khơng gian véctơ V Giả Ta có : sử {ε1 , , ε n } {w1 , , w m } (2) (1) hai sở V Giả sử ma trận chuyển từ sở (1) sang sở (2) T, ma trận f ñối với (1) (2) A B Khi đó: B = T-1 A.T, A = T.B.T-1 Chứng minh Sử dụng ñịnh lý 5.6.5 với Vn = Wm = V ñó chọn (1) = (1’) (2) = (2’) Khi ñó T = S , ñó có B = T-1 A.S = T-1.A T 55 56 2.4.32 ðịnh nghĩa Hai ma trận cấp A B ñược gọi ñồng dạng với tồn ma trận vuông S không suy biến cấp cho B = S-1 A.S Nhận xét: 1) Nếu A ñồng dạng với B đồng dạng B đồng dạng với A 2) Hai ma trận đồng dạng với có ñịnh thức 3) Các ma trận phép biến đổi tuyến tính khơng gian véctơ V theo hai sở V ñồng dạng với 2.5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QT 2.5.1 ðịnh nghĩa Hệ phương trình tuyến tính tổng qt hệ phương trình sau: a11 x1 + a12 x2 +⋯ + a1n xn = b1  a21 x1 + a2 x2 +⋯ + a2 n xn = b2  ⋮ ⋮  ⋮  a x + a x +⋯ + a x = b mn n m  m1 m 2 (1) hay viết dạng vắn tắt: n ∑a ij x j = bi ; i =1, , m j =1 aij , bi , i =1, , m; j = 1, , n số phức; x j , j =1, , n ẩn Các số aij ñược gọi hệ số b1 , b2 , , bm ñược gọi hệ số tự hệ phương trình (1) 2.5.2 Dạng ma trận hệ phương trình tuyến tính tổng qt Gọi Α =  j  ma trận cấp ( m, n ) hệ số hệ phương trình (1) m×n Gọi b1   x1  b  x    b= , x =   ma trận cột ⋮  ⋮      bm   xn  Khi ñó hệ (1) ñược viết dạng ma trận:  a11 a12 a1n b1    a21 a22 a2 n b2   Ta gọi Β = Α =  ⋮ ⋮     am1 am amn bm  56 Αx = b (2) 57 ma trận bổ sung hệ phương trình tuyến tính tổng qt (1) 2.5.3 Dạng vectơ hệ phương trình tuyến tính tổng qt Trong khơng gian vectơ ℝ m ta xét hệ véctơ sau: α j = ( a1 j , a2 j , , amj )∈ ℝ m ( j =1, , n ) β = ( b1 j , b2 j , , bm )∈ ℝ m Khi đó, hệ (1) viết: x1α1 + x2α + + xnα n = β (3) Ta gọi (3) dạng vectơ hệ phương trình (1) 2.5.4 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính tổng quát Một n số thực ( c1 , c2 , , cn )∈ℝ n ñược gọi nghiệm hệ (1) n ∑a c ij j = bi , i = 1,2, , m j =1 nghĩa ta thay x j c j tương ứng vào phương trình hệ, ta nhận ñược ñồng thức ñúng số Ký hiệu rank(X) hạng ma trận X, ta có 2.5.5 ðịnh lí Kronecker – Capeli Hệ phương trình tuyến tính tổng qt (1) có nghiệm ⇔ rank ( A) = rank ( A) Chứng minh Hệ (1) có nghiệm ⇔ Phương trình dạng vectơ (3) có nghiệm ⇔ β biểu thị tuyến tính qua hệ α1 ,α , ,α n không gian vectơ ℝ m ⇔ Hai hệ véctơ α1 ,α , ,α n α1 ,α , ,α n , β tương ñương với ⇔ rank(A) = rank(B) g 2.5.6 Phương pháp Gauss – Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính Bước Lập ma trận bổ sung B Bước Thực phép biến ñổi số cấp sau ñây hàng ma trận B (thực chất hàng B phương trình hệ (1)): 1) ðổi chỗ hai hàng cho 2) Nhân vào hàng với số thực khác 3) Cộng vào hàng tổ hợp tuyến tính hàng lại Buớc Sau số hữu hạn bước biến đổi, hệ phương trình (1) đưa hệ tương ñương với ma trận mở rộng có dạng: 57 58      Β = Α=       b11 b12 b1r ⋯ b1n c1  b22 b2 r ⋯ b2 n c2   ⋮ ⋮  0 brr ⋯ brn cr  0⋯ ⋯ cr +1   ⋮ ⋮  0 ⋯ cm  bii số thực khác với r = rank(A) - Nếu có số thực cr +1 , , cm khác hệ (1) vơ nghiệm - Nếu cr +1 = = cm = hệ phương trình có nghiệm Bằng cách gán cho xr +1 , , xn giá trị thực tuỳ ý (nếu n > r) giải nghiệm x1 , , xr theo giá trị ñã gán  x + y + z =1  Giải hệ 2 x + y + z = 3x + y + z = −  Ví dụ Thực phép biến ñổi hàng 1  1  1     L1 − L2 + L3 L2 − L1 →    → 0 − − −        3 − 1 0 − − −  0  1  1    → − − −  → 0    0 10    1   → 0   0  0 1   1   5  → 0      0    1 1    → 0    0    1 − 4   1  → 0  3  1 0   3 1 ⇒ x=− , y= , z= 3 58 0  1  2 1  3 2 −   1 3 1   59 Ví dụ Giải hệ phương trình : 1 − 1 −  3 −   −2 2 −1 1  0   → 0   0 Ví dụ 1 1     → 0 3   − 4 0 1  x1 − x2 + x3 = x − 2x − x =   3x1 − x2 + x3 = −2 x1 + x2 + x3 = −4 −1 −1 − 2 1    0 5     → −  0 5    −  0 5 1 1  −1   − 2 0  1 −  0 −   → 0   0  2 1  5 2  5 2 −  5    1 − 5 2 −  5 2 −  5 0 Hệ Vô nghiệm 2 x1 − x2 + x3 − x4 =  Giải hệ 4 x1 − x2 + x3 − x4 = −4 x + x − 3x + x = −5  2 − − 1   − − 1 2  − − 3   →  − − 3   →     0  −4 − − 5 0 0 0   x1 − x2 + 3x3 − x4 = ⇒  x3 = − x4 −  ⇒ Hệ vô số nghiệm theo ẩn tự : −1 − 1 − − 1 x2 = x1 + 3x3 − x4 − = x1 − 3x4 − − x4 − = x1 − x4 − = 2t1 − 4t2 − x3 = − x4 − = −t2 − ( x1, x2 , x3 , x4 ) = ( t1, 2t1 − 4t2 − 4, − t2 − 1, t2 ) 59 60 2.6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 2.6.1 ðịnh nghĩa Một hệ phương trình tuyến tính ñó tất hệ số tự gọi hệ phương trình tuyến tính Nói khác đi, hệ phương trình tuyến tính n ∑a có dạng : kj x j = ( k =1, , m ) (1) j=0 Nhận xét 1) Hệ phương trình tuyến tính (1) ln ln có nghiệm tầm thường, nghiệm: (0, 0, , 0) 2) Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm khác tầm thường hạng ma trận hệ số A nhỏ n 2.6.2 Mệnh ñề Tập hợp N tất nghiệm hệ phương trình (1) không gian vectơ không gian vectơ ℝ n Chứng minh Giả sử α = ( c1 , , cn )∈Ν , β = ( d1 , , d n )∈Ν nghiệm hệ (1), ta có: n ∑a kj c j = 0, ∀ k =1, , m j =1 n ∑a kj d j = 0, ∀ k =1, , m j =1 ⇒ n ∑ a (c kj j =1 j + d j ) = ⇒ α + β = ( c j + d j , , cn + d n )∈ Ν nghiệm hệ (1)  n  a λ c = λ a c ( )  ∑ ∑ k j j  = 0, ∀k = 1, , m kj j j =1  j =1  n Ngoài ra: Do λα = ( λ c1 , λ c2 , , λ cn ) nghiệm hệ (1) hay λα ∈ Ν Vậy Ν không gian ℝ n Ta phát biểu ñịnh lý sau 2.6.3 ðịnh lý Không gian vectơ Ν nghiệm hệ phương trình tuyến tính (1) có số chiều n – r, r = rank(A) 2.6.4 ðịnh nghĩa Một sở khơng gian ℕ gọi hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính (1) Ví dụ Tìm hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính nhất: 60 61  x1 + x2 + x3 − 3x4 = 3x + x + x − x =   4 x1 + x2 − x3 + 3x4 = 3x1 + x2 + 24 x3 − 19 x4 = Ta dùng phương pháp Gauss ñể giải : 1 −  1 3 −  0    → 4 − 0 3    3 24 − 19  0 −3  1 0 −1 −    → 0 − − 18 15    12 − 10  0 Do đó, hệ cho tương đương với hệ − 3 −1 − 5  0 0  0 0 x1 + x2 = −4 x3 + x4 − x2 = x3 − x4  x1 = x3 − x4 = 8a − 7b ⇒   x2 = −6 x3 + x4 = −6a + 5b Dựa vào phép biến ñổi ta thấy hạng ma trận hệ số hệ phương trình cho 2, khơng gian nghiệm hệ có số chiều là: dim(N) = - = ðể tìm hệ nghiệm ta gán x3 x4 giá trị cụ thể: x1 x2 x3 x4 -6 -7 Do đó, tìm hệ nghiệm hệ phương trình : α1 = (8, −6,1,0), α = ( −7,5,0,1) Ví dụ Chứng minh hệ: t1 = (1, − 2,1) ; t2 = ( −1,0,2 ) ; t3 = ( −1, − 1,1) sở ℝ Tìm tọa độ α = ( 2, −9, )∈ℝ3 theo sở {t1 , t2 , t3} Gọi: c1 = (1,0,0 )  c2 = ( 0,1,0 )  c3 = ( 0,0,1) sở ñơn vị ℝ 61 62 Khi đó, ma trận chuyển từ sở {l1 , l2 , l3} sang sở { f1 , f , f 3} là: 1 − Α =  −2  1 Gọi (x ,x ' ' −1  −1    , x '3 ) tọa ñộ α ñối với sở { fi } Theo công thức đổi toạ độ, có:  x1,   2    ,    −1   x2  = A  −9  =  −2   x,       3 Vậy α = f1 − f + f3 , hay toạ ñộ α ' ñối với f1 , f , f3 ( 3, −2,3) HƯỚNG DẪN TỰ HỌC CHƯƠNG Chú ý rèn kỹ năng: tính định thức, tìm hạng ma trận, tìm ma trận nghịch đảo; giải hệ phương trình phương pháp tính định thức phương pháp khử Gauss; kiểm tra hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính Nắm vững khái niệm: khơng gian vectơ, không gian vectơ con, sở không gian vectơ, số chiều khơng gian vectơ, ánh xạ tuyến tính, phép biến đổi tuyến tính Vận dụng lý thuyết tốn học học (ma trận, hệ phương trình tuyến tính, khơng gian vectơ) vào giải qut tốn mơ hình kinh tế kỹ thuật Các khẳng ñịnh sau ñây ñúng hay sai Nếu bạn điền giá trị cịn sai bạn điền giá trị vào vng: Phép cộng hai ma trận cấp có tính chất giao hốn kết hợp □ Phép nhân hai ma trận thực có tính chất giao hốn □ Phép nhân ma trận thực có tính chất kết hợp □ Phép cộng hai ma trận cấp thực ñược □ Phép nhân hai ma trận cấp ln ln thực □ (AB)2 = A2B2 với ma trận vuông A, B cấp □ (A + B)2 = A2 + B2 + 2AB với ma trận A, B cấp □ (A + B)2 = A2 + B2 với ma trận A, B cấp □ Khi nhân số với ma trận, ta phải nhân số với phần tử ma trận □ 62 63 BÀI TẬP CHƯƠNG Tính lũy thừa: n  cosϕ b)   sin ϕ  1 a)   ;  1 − sin ϕ  cosϕ  n Tính định thức ma trận sau: a    λ +3   b  c)  λ λ − 1   3(λ + 1) λ λ +  a 2b    a 1 1 a    a) b b) a     2b 1  b a2    Chứng minh rằng, ma trận sau ñây ma trận suy biến:  sin α cos 2α   2   sin β cos β   sin γ cos 2λ     sin α  ;  sin β  sin γ  cos2α cos2β cos2γ cos 2α   cos β  cos 2λ  Tìm tất ma trận giao hốn với ma trận  2  −1     x + y + z =1  Giải hệ phương trình: 2 x + y + z = 3x + y + z = −  Giải hệ phương trình :  x1 − x2 + 3x3 = x − 2x − x =   3x1 − x2 + x3 = −2 x1 + x2 + x3 = −4 Tìm hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính nhất:  x1 + x2 + x3 − 3x4 = 3x + x + x − x =   4 x1 + x2 − x3 + 3x4 = 3x1 + x2 + 24 x3 − 19 x4 = Chứng minh hệ vectơ: t1 = (1, − 2,1) ; t2 = ( −1,0,2 ) ; t3 = ( −1, − 1,1) sở ℝ Tìm tọa độ α = ( 2, −9, )∈ℝ3 theo sở {t1 , t2 , t3} 63 64  x  x 10 Chứng minh tập hợp X =  x  x ∈ ℝ  với phép cộng nhân số  x  với ma trận lập thành không gian vectơ Tìm sở số chiều X 11 Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính f : ℝ3 → ℝ xác ñịnh f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 , x2 , x3 ,0 ) theo sở ε1 = (1,0,0 ) , ε1 = ( 0,1,0 ) , ε1 = ( 0,0,1) ℝ sở W1 = (1,0,0,0 ) , W2 = ( 0,1,0,0 ) , W3 = ( 0,0,1,0 ) , W4 = ( 0,0,0,1) ℝ { } 12 Cho tập hợp: A = ( x1 , , xn ) ∈ ℝ n ; x1 + ⋯ + xn = a) Chứng minh A không gian vectơ không gian vectơ ℝ n b) Tìm sở số chiều A c) Tìm phép biến đổi f ℝ n cho Ker(f) = A d) Tìm phép biến ñổi g ℝ n cho Im(g) = A { } 13 Cho tập hợp: A = ( x1 , , xn ) ∈ ℝ ; ax1 + bx2 + cxn = 0, a, b, c ∈ ℝ a) Chứng minh A không gian vectơ không gian vectơ ℝ b) Tìm sở số chiều A c) Tìm phép biến đổi f ℝ cho Ker(f) = A d) Tìm phép biến đổi g ℝ cho Im(g) = A  a b   ; a , b , c ∈ ℝ    b c   14 Cho tập hợp: A =  a) Chứng minh A không gian vectơ không gian vectơ GL(2, R) ma trận thực vng cấp b) Tìm sở số chiều A c) Tìm phép biến đổi f không gian GL(2, R) cho Ker(f) = A d) Tìm phép biến đổi g khơng gian GL(2, R) cho Im(g) = A 15 Cho ánh xạ f : ℝ → ℝ xác ñịnh : f ( x, y, z ) = (2 x + y − z, x + y + z,3x − y + z − m), m ∈ ℝ a) Với giá trị m f phép biến đổi truyến tính khơng gian vectơ ℝ b) Tìm Im(f) Ker(f) m = 64