Hiện tượng khuếch tán doc

Số hạt đi qua hình phẳng ấy trong một đơn vị thời gian chính bằng số hạt nằm trong hình hộp có đáy là hình phẳng và chiều cao bằng vận tốc dòng hạt.. Số hạt đó sẽ bằng mật độ hạt nhân vớ

HIỆN TƯỢNG KHUẾCH TÁN

Biên soạn: Lê Quang Nguyên

Khi mở một lọ nước hoa, mùi thơm sẽ lan tỏa khắp phòng Sự

lan truyền của các phân tử hương liệu từ nơi mật độ hạt cao

đến nơi có mật độ hạt thấp hơn được gọi là hiện tượng khuếch

tán Hiện tượng khuếch tán xảy ra do chuyển động nhiệt của

các phân tử trong chất khí, chất lỏng hay chất rắn

1 ĐỊNH LUẬT FICK

Xét một dòng hạt có mật độ hạt n chuyển động với vận tốc v

Vectơ mật độ dòng hạt j

được định nghĩa như sau:

v

n



Giả sử có một hình phẳng, diện tích bằng đơn vị, vuông góc

với dòng hạt (hình 1.1.1) Số hạt đi qua hình phẳng ấy trong

một đơn vị thời gian chính bằng số hạt nằm trong hình hộp có

đáy là hình phẳng và chiều cao bằng vận tốc dòng hạt Số hạt

đó sẽ bằng mật độ hạt nhân với thể tích của hình hộp:

nv

v

Vậy j

có độ lớn bằng số hạt đi qua một đơn vị diện tích vuông

góc với dòng hạt trong một đơn vị thời gian, và thông lượng

hạt đi qua một diện tích phẳng S vuông góc với dòng hạt

là jS Nếu S không vuông góc với dòng hạt (hình 1.1.2)

thì ta lập luận như sau:

Thông lượng qua S = thông lượng qua S ’ = jS ’ = jScos

Vậy:

S

n

j 







Lưu ý rằng thông lượng là một số đại số, thông lượng là dương

nếu các hạt đi theo chiều dương của bề mặt (chiều của vectơ

đơn vị pháp tuyến n

), và âm trong trường hợp ngược lại

Nếu dòng hạt có mật độ dòng bất kỳ và bề mặt S cũng có hình

dạng bất kỳ (hình 1.1.3) thì ta chia bề mặt ra làm nhiều phần

nhỏ dS, mỗi phần nhỏ như vậy có thể coi như phẳng và mật độ

dòng hạt tại đó cũng có thể coi là không đổi Như vậy thông

lượng hạt qua dS là:

dS

n

j





Thông lượng hạt qua S là tổng các thông lượng qua các phần

nhỏ dS trên mặt S:



  





S

S d j ndS

(1.1.5)

Trong trường hợp S là một mặt khép kín, người ta quy ước

chọn n

hướng ra ngoài, như thế thông lượng ra khỏi mặt là

dương, còn thông lượng vào mặt là âm

Mật độ dòng khuếch tán tỷ lệ với gradient của mật độ hạt:

n

D

j 



(1.2.1)

Hình 1.1.1

v

dS

S

j

Hình 1.1.3

Dấu trừ trong hệ thức trên cho thấy hạt luôn khuếch tán về phía

mật độ hạt thấp hơn

Hệ số D là một hằng số dương chỉ phụ thuộc vào loại hạt

khuếch tán, áp suất và nhiệt độ D được gọi là hệ số khuếch

tán, có đơn vị là m2.s-1

Bảng 1.2.1 giới thiệu cỡ độ lớn của hệ số khuếch tán trong chất

khí, chất lỏng và chất rắn ở điều kiện áp suất và nhiệt độ bình

thường

2 PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN

Xét một mặt kín S trong một môi trường có khuếch tán (hình

2.1.1) Vì các hạt được bảo toàn, nên nếu trong thời gian dt bên

trong mặt S số lượng hạt giảm đi dN, thì cũng phải có một

lượng hạt tương ứng đi ra khỏi mặt S trong cùng thời gian ấy

Hay nếu tính trong một đơn vị thời gian, thì tốc độ giảm hạt

bên trong S phải bằng thông lượng hạt ra khỏi S Như thế:

 





S

dS

n

j

dt

(2.1.1)

Có dấu trừ trong hệ thức trên vì dN < 0, còn thông lượng ra

khỏi mặt S lại là một số dương Hệ thức trên cũng đúng trong

trường hợp số hạt trong S tăng lên, tức là dN > 0, khi đó thông

lượng sẽ hạt qua S sẽ âm, tương ứng với dòng hạt đi vào trong

mặt S

Gọi V là thể tích giới hạn bởi mặt S, ta có:



  



V V

dV t

n ndV

dt

d

dt

dN

(2.1.2)

Mặt khác, theo định lý Ostrogradsky-Gauss, thông lượng hạt

qua mặt kín S có thể biến đổi thành tích phân theo thể tích V

của divj

:

  

dV j

dS

n



(2.1.3)

Thay (2.1.2) và (2.1.3) vào (2.1.1) rồi chuyển vế, ta thu được:





















V

dV

j

t

n

0





(2.1.4)

Hệ thức trên đúng với một thể tích V bất kỳ, nên hàm dưới dấu

tích phân phải bằng không tại mọi điểm:

0













j

t

n  

(2.1.5)

Tương tự như phương trình (2.1.1), phương trìnhø (2.1.5) cũng

mô tả sự bảo toàn của các hạt khuếch tán Chỉ có điểm khác

biệt là nó diễn tả sự bảo toàn hạt trong một thể ích nhỏ dV bao

quanh một vị trí xác định, bởi vì  j



 chính là thông lượng

hạt qua bề mặt bao quanh dV chia cho dV (thông lượng hạt

trên một đơn vị thể tích)

Bảng 1.2.1 Cỡ độ lớn của hệ số khuếch tán

D (m 2

.s -1

) Chất khí 10 -6

– 10 -4

Chất lỏng 10 -12

– 10 -8

Chất rắn 10-30 – 10-16

Thay biểu thức của mật độ dòng khuếch tán từ định luật Fick

(1.2.1) vào phương trình bảo toàn các hạt (2.1.5) ta thu được

phương trình khuếch tán:

0

)

.( 









n

D

t

n  

(2.2.1)

Biết rằng:

2 2

2 2

2

2

z y























 

(2.2.2)

Nên phương trình khuếch tán còn được viết dưới dạng:

0











n

D

t

n

Phương trình khuếch tán là một phương trình đạo hàm riêng,

nếu biết điều kiện ban đầu và điều kiện biên của một bài toán

khuếch tán cụ thể ta có thể giải phương trình ấy để tìm mật độ

hạt khuếch tán theo vị trí và thời gian1 Tuy nhiên, đó là một

vấn đề vượt quá phạm vi của giáo trình này Ở đây chúng ta

chỉ xét các trường hợp khuếch tán theo một chiều Ngoài ra,

chúng ta sẽ xét trường hợp khuếch tán dừng, tức là khi mật độ

hạt không thay đổi theo thời gian

2.3.1 KHUẾCH TÁN DỪNG

Xét sự khuếch tán dừng của các phân tử khí theo chiều dài của

một ống có tiết diện S, chiều dài L Để duy trì trạng thái dừng,

người ta tiếp thêm hạt vào một đầu ống và lấy bớt hạt ra ở đầu

còn lại, sao cho mật độ hạt ở hai đầu ống được giữ cố định, n =

n 1 tại x = 0 và n = n 2 tại x = L (n 1 > n 2 ) Tìm mật độ hạt n theo

vị trí x và thông lượng hạt qua ống Cho hệ số khuếch tán của

các phân tử khí là D

Vì các hạt chỉ khuếch tán theo trục x nên phương trình khuếch

tán có dạng:

0

2

2













x

n

D

t

n

Ngoài ra ở trạng thái dừng thì n t0 nên:

0

2

2







x

n

Tích phân hai lần phương trình trên và dùng các điều kiện về

mật độ ở hai đầu ống, ta được:

1

1

L

n

n

Theo định luật Fick, mật độ dòng hạt là:

n1 n2

L

D

x

n

D









Thông lượng hạt qua ống sẽ là:

n1 n2

L

DS





2.3.2 KHUẾCH TÁN TRONG CHẤT BÁN DẪN

Cho một thanh silicium hình trụ tiết diện S, chiều dài rất lớn

Xét sự khuếch tán dừng của các hạt điện tích q dọc theo chiều

dài thanh với hệ số khuếch tán D Ngoài sự khuếch tán, trong

thanh silicium còn có những quá trình tạo thêm và hấp thụ các

hạt Tốc độ tạo thêm và hấp thụ trong một đơn vị thể tích tuân

theo các hệ thức sau:



0

n

r c 



n

r a

Trong đó n 0 và  là các hằng số dương, còn n là mật độ hạt

Tìm mật độ hạt n và cường độ dòng I qua thanh theo vị trí x,

nếu cho trước mật độ tại x = 0 là n(0)

Do có các quá trình tạo thêm hạt và hấp thụ hạt, nên dạng của

các phương trình mô tả sự bảo toàn hạt cũng khác đi Xét một

thể tích nhỏ dV, và để cho đơn giản giả sử chỉ có các hạt đi ra

khỏi dV, sự bảo toàn hạt trong dV trong một khoảng thời gian

dt cho ta:

Độ biến thiên số hạt = Số hạt được tạo thêm – Số hạt bị hấp

thụ – Số hạt ra khỏi dV

Nếu xét trong một đơn vị thời gian và một đơn vị thể tích ta có

thể viết hệ thức bảo toàn trên như sau:





n j

n

t

n













0

Dùng mật độ dòng từ định luật Fick ta thu được phương trình

khuếch tán trong trường hợp này:





n n

n

D

t

n











Vì khuếch tán là dừng (n t0) và chỉ diễn ra theo một

chiều (phương x), nên phương trình trên trở thành:



n

D

n

x

2

2











Nghiệm của phương trình vi phân trên có dạng:



































với 2D

Để tìm các hằng số a và b ta dùng các điều kiện biên ở hai đầu

của thanh, n = n(0) tại x = 0 và n hữu hạn khi x  Suy ra:

 0 n0

n

0



b

Vậy mật độ hạt khuếch tán có dạng:

 



















Theo định luật Fick mật độ dòng khuếch tán là:

 



























x

n

D

Suy ra cường độ dòng điện qua thanh silicium do khuếch tán:

 





















3 CHUYỂN ĐỘNG NHIỆT VÀ SỰ KHUẾCH TÁN

Hiện tượng khuếch tán, cũng như sự truyền nhiệt và hiện tượng

nội ma sát, đều bắt nguồn từ chuyển động nhiệt của các phân

tử vật chất Do đó, hệ số khuếch tán cũng phụ thuộc vào các

đại lượng đặc trưng cho chuyển động nhiệt như tiết diện hiệu

dụng và quãng đường tự do trung bình

Xét một phân tử B chuyển động về phía một phân tử A (hình

3.1.1) Để có thể xảy ra va chạm thì khoảng cách giữa chúng

phải nhỏ hơn một đoạn  nào đó Nói cách khác, hạt B phải đi

qua đường tròn có tâm đặt tại A, bán kính , vuông góc với

phương chuyển động của nó Diện tích của đường tròn đó,

2



  , được gọi là tiết diện hiệu dụng của quá trình va

chạm đang xét

Ví dụ, nếu các phân tử có thể coi như những quả cầu rắn bán

kính r, thì 2r và  4 r 2

Tiết diện hiệu dụng còn được đo bằng barn:

1 barn = 10 -28 m 2

Tiết diện hiệu dụng càng lớn thì khả năng va chạm giữa các

phân tử càng gia tăng Do đó số lần va chạm trung bình của

một phân tử trong một đơn vị thời gian cũng tỷ lệ với tiết diện

hiệu dụng

Trước hết, để cho đơn giản ta giả sử chỉ có một phân tử loại B

chuyển động thẳng với vận tốc trung bình là v , còn tất cả các

phân tử loại A đều đứng yên, phân bố đều với mật độ n (phân

tử bia) Trong một đơn vị thời gian, phân tử B sẽ va chạm với

tất cả các phân tử A nằm trong một hình trụ đáy là , và chiều

cao là v (hình 3.1.2) Như vậy, số lần va chạm trung bình Nc

trong một đơn vị thời gian chính bằng số phân tử nằm trong

hình trụ ấy:



v

n

Tất nhiên, do va chạm nên phân tử không chuyển động thẳng

mà đi theo một đường zig-zag, nhưng cả trong trường hợp này

lập luận trên vẫn còn giá trị

Nếu các phân tử là đồng nhất thì tất cả đều chuyển động, vì thế

trong (3.1.1) ta phải dùng vận tốc tương đối trung bình của một

phân tử so với những phân tử mà nó đến va chạm Theo phân

bố Maxwell, vận tốc tương đối trung bình là:

2

v

Do đó, số lần va chạm trung bình trong một đơn vị thời gian

được xác định bởi:

v

n

Quãng đường trung bình mà hạt đi được giữa hai lần va chạm

liên tiếp được gọi là quãng đường tự do trung bình Ta có:

v

Trong đó  là thời trung bình giữa hai va chạm kế tiếp nhau 

chính là nghịch đảo của số lần va chạm trung bình trong một

đơn vị thời gian Do đó:

c

N

v

Trong phần này, để cho đơn giản chúng ta chỉ xét khuếch tán

dừng trong một môi trường gồm các hạt đồng nhất Chúng ta

sẽ tính mật độ dòng khuếch tán theo trục x (giả sử các hạt

khuếch tán theo chiều dương của trục x) Gọi S là một hình

phẳng vuông góc với trục x (hình 3.3.1), N 1 , N 2 là số hạt đi qua

một đơn vị diện tích của S trong một đơn vị thời gian theo

chiều dương và theo chiều âm, ta có mật độ dòng qua S là:

2

1 N

N

Trên thực tế, các hạt có vận tốc tuân theo một phân bố xác định

(như phân bố Maxwell chẳng hạn), nhưng ở đây ta coi như

chúng có cùng một vận tốc bằng vận tốc trung bình Ngoài ra,

vì chuyển động nhiệt là hỗn loạn, nên có 1/3 số hạt đi theo mỗi

phương x, y và z Trong số các hạt đi theo phương x, lại có một

nửa đi theo chiều dương và một nửa đi theo chiều âm Vì vậy:

v

n

N1 1

6

1

v

n

6

1

Với n 1 , n 2 là mật độ hạt ở hai bên mặt S Vì các hạt luôn va

chạm làm cho mật độ thay đổi dọc theo trục x, nên n 1 , n 2 phải

là mật độ ở các vị trí cách S một khoảng bằng quãng đường tự

do trung bình l Tại đó, các hạt va chạm lần chót trước đi qua

mặt S

Ta có:

n n v

j x 1 2

6

1



Nếu quãng đường tự do trung bình đủ nhỏ ta có gần đúng:

x

n

l

n

n









Vậy:

x

n

v

l

j x









3

1

(3.3.6)

So sánh hệ thức trên với định luật Fick ta có biểu thức của hệ

số khuếch tán:

v

l

D

3

1

Một bình khí Argon được giữ ở áp suất P = 10 5 Pa và nhiệt độ

T = 300 K Coi Argon như một khí lý tưởng và các nguyên tử

Argon như những quả cầu cứng có bán kính r = 0,15 nm

3.4.1 Hãy xác định tiết diện hiệu dụng của các nguyên tử

Argon khi va chạm lẫn nhau

3.4.2 Tính thời gian trung bình giữa hai lần va chạm và quãng

đường tự do trung bình Cho biết khối lượng mol của

Argon M = 39,9 g.m -3 ; hằng số khí lý tưởng R = 8,31

J.K -1 mol -1 ; số Avogadro NA = 6,02.10 23 mol -1

3.4.3 Tìm sự phụ thuộc của hệ số khuếch tán vào áp suất và

nhiệt độ của khí Dùng các số liệu trong câu trên để tính

hệ số khuếch tán của Argon

Tiết diện hiệu dụng:

10 83

,

2





Vì các hạt là đồng nhất nên quãng đường tự do trung bình có

dạng:

n v

n

v

N

v

l

1 2







Trong đó mật độ hạt n có thể suy ra từ phương trình trạng thái

khí lý tưởng:

RT

PN

Suy ra:

m PN

RT

l

A

7 10 03

,

1

2









Thời gian trung bình giữa hai lần va chạm:

v

n



2

1

1





Vận tốc trung bình được xác định từ phân bố Maxwell và có

dạng1:

1 88 ,

398



M

RT

v



Vậy:

s PN

MRT

A

10 10 59

,

2

4













Hệ số khuếch tán có thể tính theo công thức (3.3.7):

10 38 , 1 3

2

3





PN M

RT

v

l

D

A





TÀI LIỆU THAM KHẢO

Jean-Marie Brebec et al, Hachette Supérieur

translated from Russian by G Leib, Mir Publishers

(Moscow)