Hiện tượng khuếch tán 1 HIỆN TƯỢNG KHUẾCH TÁN Biên soạn: Lê Quang Nguyên Khi mở một lọ nước hoa, mùi thơm sẽ lan tỏa khắp phòng. Sự lan truyền của các phân tử hương liệu từ nơi mật độ hạt cao đến nơi có mật độ hạt thấp hơn được gọi là hiện tượng khuếch tán. Hiện tượng khuếch tán xảy ra do chuyển động nhiệt của các phân tử trong chất khí, chất lỏng hay chất rắn. 1. ĐỊNH LUẬT FICK 1.1 MẬT ĐỘ DÒNG HẠT VÀ THÔNG LƯỢNG HẠT Xét một dòng hạt có mật độ hạt n chuyển động với vận tốc v . Vectơ mật độ dòng hạt j được định nghĩa như sau: vnj (1.1.1) Giả sử có một hình phẳng, diện tích bằng đơn vị, vuông góc với dòng hạt (hình 1.1.1). Số hạt đi qua hình phẳng ấy trong một đơn vị thời gian chính bằng số hạt nằm trong hình hộp có đáy là hình phẳng và chiều cao bằng vận tốc dòng hạt. Số hạt đó sẽ bằng mật độ hạt nhân với thể tích của hình hộp: nvvn 1 (1.1.2) Vậy j có độ lớn bằng số hạt đi qua một đơn vị diện tích vuông góc với dòng hạt trong một đơn vị thời gian, và thông lượng hạt đi qua một diện tích phẳng S vuông góc với dòng hạt là jS . Nếu S không vuông góc với dòng hạt (hình 1.1.2) thì ta lập luận như sau: Thông lượng qua S = thông lượng qua S ’ = jS ’ = jScos Vậy: Snj (1.1.3) Lưu ý rằng thông lượng là một số đại số, thông lượng là dương nếu các hạt đi theo chiều dương của bề mặt (chiều của vectơ đơn vị pháp tuyến n ), và âm trong trường hợp ngược lại. Nếu dòng hạt có mật độ dòng bất kỳ và bề mặt S cũng có hình dạng bất kỳ (hình 1.1.3) thì ta chia bề mặt ra làm nhiều phần nhỏ dS, mỗi phần nhỏ như vậy có thể coi như phẳng và mật độ dòng hạt tại đó cũng có thể coi là không đổi. Như vậy thông lượng hạt qua dS là: dSnjd (1.1.4) Thông lượng hạt qua S là tổng các thông lượng qua các phần nhỏ dS trên mặt S: SS dSnjd (1.1.5) Trong trường hợp S là một mặt khép kín, người ta quy ước chọn n hướng ra ngoài, như thế thông lượng ra khỏi mặt là dương, còn thông lượng vào mặt là âm. 1.2 ĐỊNH LUẬT FICK Mật độ dòng khuếch tán tỷ lệ với gradient của mật độ hạt: nDj (1.2.1) Hình 1.1.1 v dS S j Hình 1.1.3 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Hiện tượng khuếch tán 2 Dấu trừ trong hệ thức trên cho thấy hạt luôn khuếch tán về phía mật độ hạt thấp hơn. Hệ số D là một hằng số dương chỉ phụ thuộc vào loại hạt khuếch tán, áp suất và nhiệt độ. D được gọi là hệ số khuếch tán, có đơn vị là m 2 .s -1 . Bảng 1.2.1 giới thiệu cỡ độ lớn của hệ số khuếch tán trong chất khí, chất lỏng và chất rắn ở điều kiện áp suất và nhiệt độ bình thường. 2. PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN 2.1 SỰ BẢO TOÀN CÁC HẠT Xét một mặt kín S trong một môi trường có khuếch tán (hình 2.1.1). Vì các hạt được bảo toàn, nên nếu trong thời gian dt bên trong mặt S số lượng hạt giảm đi dN, thì cũng phải có một lượng hạt tương ứng đi ra khỏi mặt S trong cùng thời gian ấy. Hay nếu tính trong một đơn vị thời gian, thì tốc độ giảm hạt bên trong S phải bằng thông lượng hạt ra khỏi S. Như thế: S dSnj dt dN (2.1.1) Có dấu trừ trong hệ thức trên vì dN < 0, còn thông lượng ra khỏi mặt S lại là một số dương. Hệ thức trên cũng đúng trong trường hợp số hạt trong S tăng lên, tức là dN > 0, khi đó thông lượng sẽ hạt qua S sẽ âm, tương ứng với dòng hạt đi vào trong mặt S. Gọi V là thể tích giới hạn bởi mặt S, ta có: VV dV t n ndV dt d dt dN (2.1.2) Mặt khác, theo định lý Ostrogradsky-Gauss, thông lượng hạt qua mặt kín S có thể biến đổi thành tích phân theo thể tích V của jdiv : S V dVjdSnj (2.1.3) Thay (2.1.2) và (2.1.3) vào (2.1.1) rồi chuyển vế, ta thu được: V dVj t n 0 (2.1.4) Hệ thức trên đúng với một thể tích V bất kỳ, nên hàm dưới dấu tích phân phải bằng không tại mọi điểm: 0 j t n (2.1.5) Tương tự như phương trình (2.1.1), phương trìnhø (2.1.5) cũng mô tả sự bảo toàn của các hạt khuếch tán. Chỉ có điểm khác biệt là nó diễn tả sự bảo toàn hạt trong một thể ích nhỏ dV bao quanh một vị trí xác định, bởi vì j chính là thông lượng hạt qua bề mặt bao quanh dV chia cho dV (thông lượng hạt trên một đơn vị thể tích). 2.2 PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN Bảng 1.2.1. Cỡ độ lớn của hệ số khuếch tán D (m 2 .s -1 ) Chất khí 10 -6 – 10 -4 Chất lỏng 10 -12 – 10 -8 Chất rắn 10 -30 – 10 -16 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Hiện tượng khuếch tán 3 Thay biểu thức của mật độ dòng khuếch tán từ định luật Fick (1.2.1) vào phương trình bảo toàn các hạt (2.1.5) ta thu được phương trình khuếch tán: 0).( nD t n (2.2.1) Biết rằng: 2 2 2 2 2 2 . zyx (2.2.2) Nên phương trình khuếch tán còn được viết dưới dạng: 0 nD t n (2.2.3) Phương trình khuếch tán là một phương trình đạo hàm riêng, nếu biết điều kiện ban đầu và điều kiện biên của một bài toán khuếch tán cụ thể ta có thể giải phương trình ấy để tìm mật độ hạt khuếch tán theo vị trí và thời gian 1 . Tuy nhiên, đó là một vấn đề vượt quá phạm vi của giáo trình này. Ở đây chúng ta chỉ xét các trường hợp khuếch tán theo một chiều. Ngoài ra, chúng ta sẽ xét trường hợp khuếch tán dừng, tức là khi mật độ hạt không thay đổi theo thời gian. 2.3 MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG 2.3.1 KHUẾCH TÁN DỪNG Xét sự khuếch tán dừng của các phân tử khí theo chiều dài của một ống có tiết diện S, chiều dài L. Để duy trì trạng thái dừng, người ta tiếp thêm hạt vào một đầu ống và lấy bớt hạt ra ở đầu còn lại, sao cho mật độ hạt ở hai đầu ống được giữ cố định, n = n 1 tại x = 0 và n = n 2 tại x = L (n 1 > n 2 ). Tìm mật độ hạt n theo vị trí x và thông lượng hạt qua ống. Cho hệ số khuếch tán của các phân tử khí là D. Vì các hạt chỉ khuếch tán theo trục x nên phương trình khuếch tán có dạng: 0 2 2 x n D t n Ngoài ra ở trạng thái dừng thì 0 tn nên: 0 2 2 x n Tích phân hai lần phương trình trên và dùng các điều kiện về mật độ ở hai đầu ống, ta được: 1 12 nx L nn n Theo định luật Fick, mật độ dòng hạt là: 21 nn L D x n Dj Thông lượng hạt qua ống sẽ là: 21 nn L DS jS 2.3.2 KHUẾCH TÁN TRONG CHẤT BÁN DẪN Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Hiện tượng khuếch tán 4 Cho một thanh silicium hình trụ tiết diện S, chiều dài rất lớn. Xét sự khuếch tán dừng của các hạt điện tích q dọc theo chiều dài thanh với hệ số khuếch tán D. Ngoài sự khuếch tán, trong thanh silicium còn có những quá trình tạo thêm và hấp thụ các hạt. Tốc độ tạo thêm và hấp thụ trong một đơn vị thể tích tuân theo các hệ thức sau: 0 n r c n r a Trong đó n 0 và là các hằng số dương, còn n là mật độ hạt. Tìm mật độ hạt n và cường độ dòng I qua thanh theo vị trí x, nếu cho trước mật độ tại x = 0 là n(0). Do có các quá trình tạo thêm hạt và hấp thụ hạt, nên dạng của các phương trình mô tả sự bảo toàn hạt cũng khác đi. Xét một thể tích nhỏ dV, và để cho đơn giản giả sử chỉ có các hạt đi ra khỏi dV, sự bảo toàn hạt trong dV trong một khoảng thời gian dt cho ta: Độ biến thiên số hạt = Số hạt được tạo thêm – Số hạt bị hấp thụ – Số hạt ra khỏi dV Nếu xét trong một đơn vị thời gian và một đơn vị thể tích ta có thể viết hệ thức bảo toàn trên như sau: n j n t n 0 Dùng mật độ dòng từ định luật Fick ta thu được phương trình khuếch tán trong trường hợp này: n n nD t n 0 Vì khuếch tán là dừng ( 0 tn ) và chỉ diễn ra theo một chiều (phương x), nên phương trình trên trở thành: D n D n x n 0 2 2 Nghiệm của phương trình vi phân trên có dạng: x b x ann expexp 0 với D 2 Để tìm các hằng số a và b ta dùng các điều kiện biên ở hai đầu của thanh, n = n(0) tại x = 0 và n hữu hạn khi x . Suy ra: 0 0 nna 0 b Vậy mật độ hạt khuếch tán có dạng: x nnnn exp0 00 Theo định luật Fick mật độ dòng khuếch tán là: x nn D x n Dj exp0 0 Suy ra cường độ dòng điện qua thanh silicium do khuếch tán: Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Hiện tượng khuếch tán 5 x nn qDS qjSI exp0 0 3. CHUYỂN ĐỘNG NHIỆT VÀ SỰ KHUẾCH TÁN Hiện tượng khuếch tán, cũng như sự truyền nhiệt và hiện tượng nội ma sát, đều bắt nguồn từ chuyển động nhiệt của các phân tử vật chất. Do đó, hệ số khuếch tán cũng phụ thuộc vào các đại lượng đặc trưng cho chuyển động nhiệt như tiết diện hiệu dụng và quãng đường tự do trung bình. 3.1 TIẾT DIỆN HIỆU DỤNG CỦA VA CHẠM Xét một phân tử B chuyển động về phía một phân tử A (hình 3.1.1). Để có thể xảy ra va chạm thì khoảng cách giữa chúng phải nhỏ hơn một đoạn nào đó. Nói cách khác, hạt B phải đi qua đường tròn có tâm đặt tại A, bán kính , vuông góc với phương chuyển động của nó. Diện tích của đường tròn đó, 2 , được gọi là tiết diện hiệu dụng của quá trình va chạm đang xét. Ví dụ, nếu các phân tử có thể coi như những quả cầu rắn bán kính r, thì r2 và 2 4 r . Tiết diện hiệu dụng còn được đo bằng barn: 1 barn = 10 -28 m 2 Tiết diện hiệu dụng càng lớn thì khả năng va chạm giữa các phân tử càng gia tăng. Do đó số lần va chạm trung bình của một phân tử trong một đơn vị thời gian cũng tỷ lệ với tiết diện hiệu dụng. Trước hết, để cho đơn giản ta giả sử chỉ có một phân tử loại B chuyển động thẳng với vận tốc trung bình là v , còn tất cả các phân tử loại A đều đứng yên, phân bố đều với mật độ n (phân tử bia). Trong một đơn vị thời gian, phân tử B sẽ va chạm với tất cả các phân tử A nằm trong một hình trụ đáy là , và chiều cao là v (hình 3.1.2). Như vậy, số lần va chạm trung bình Nc trong một đơn vị thời gian chính bằng số phân tử nằm trong hình trụ ấy: vnN c (3.1.1) Tất nhiên, do va chạm nên phân tử không chuyển động thẳng mà đi theo một đường zig-zag, nhưng cả trong trường hợp này lập luận trên vẫn còn giá trị. Nếu các phân tử là đồng nhất thì tất cả đều chuyển động, vì thế trong (3.1.1) ta phải dùng vận tốc tương đối trung bình của một phân tử so với những phân tử mà nó đến va chạm. Theo phân bố Maxwell, vận tốc tương đối trung bình là: 2vv rel (3.1.2) Do đó, số lần va chạm trung bình trong một đơn vị thời gian được xác định bởi: vnN c 2 (3.1.3) 3.2 QUÃNG ĐƯỜNG TỰ DO TRUNG BÌNH Quãng đường trung bình mà hạt đi được giữa hai lần va chạm liên tiếp được gọi là quãng đường tự do trung bình. Ta có: Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Hiện tượng khuếch tán 6 vl (3.2.1) Trong đó là thời trung bình giữa hai va chạm kế tiếp nhau. chính là nghịch đảo của số lần va chạm trung bình trong một đơn vị thời gian. Do đó: c N v l (3.2.2) 3.3 TÍNH HỆ SỐ KHUẾCH TÁN Trong phần này, để cho đơn giản chúng ta chỉ xét khuếch tán dừng trong một môi trường gồm các hạt đồng nhất. Chúng ta sẽ tính mật độ dòng khuếch tán theo trục x (giả sử các hạt khuếch tán theo chiều dương của trục x). Gọi S là một hình phẳng vuông góc với trục x (hình 3.3.1), N 1 , N 2 là số hạt đi qua một đơn vị diện tích của S trong một đơn vị thời gian theo chiều dương và theo chiều âm, ta có mật độ dòng qua S là: 21 NNj x (3.3.1) Trên thực tế, các hạt có vận tốc tuân theo một phân bố xác định (như phân bố Maxwell chẳng hạn), nhưng ở đây ta coi như chúng có cùng một vận tốc bằng vận tốc trung bình. Ngoài ra, vì chuyển động nhiệt là hỗn loạn, nên có 1/3 số hạt đi theo mỗi phương x, y và z. Trong số các hạt đi theo phương x, lại có một nửa đi theo chiều dương và một nửa đi theo chiều âm. Vì vậy: vnN 11 6 1 (3.3.2) vnN 22 6 1 (3.3.3) Với n 1 , n 2 là mật độ hạt ở hai bên mặt S. Vì các hạt luôn va chạm làm cho mật độ thay đổi dọc theo trục x, nên n 1 , n 2 phải là mật độ ở các vị trí cách S một khoảng bằng quãng đường tự do trung bình l. Tại đó, các hạt va chạm lần chót trước đi qua mặt S. Ta có: vnnj x 21 6 1 (3.3.4) Nếu quãng đường tự do trung bình đủ nhỏ ta có gần đúng: x n lnn 2 21 (3.3.5) Vậy: x n vlj x 3 1 (3.3.6) So sánh hệ thức trên với định luật Fick ta có biểu thức của hệ số khuếch tán: vlD 3 1 (3.3.7) 3.4 VÍ DỤ ÁP DỤNG Một bình khí Argon được giữ ở áp suất P = 10 5 Pa và nhiệt độ T = 300 K. Coi Argon như một khí lý tưởng và các nguyên tử Argon như những quả cầu cứng có bán kính r = 0,15 nm. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Hiện tượng khuếch tán 7 3.4.1. Hãy xác định tiết diện hiệu dụng của các nguyên tử Argon khi va chạm lẫn nhau. 3.4.2. Tính thời gian trung bình giữa hai lần va chạm và quãng đường tự do trung bình. Cho biết khối lượng mol của Argon M = 39,9 g.m -3 ; hằng số khí lý tưởng R = 8,31 J.K -1 .mol -1 ; số Avogadro NA = 6,02.10 23 mol -1 . 3.4.3. Tìm sự phụ thuộc của hệ số khuếch tán vào áp suất và nhiệt độ của khí. Dùng các số liệu trong câu trên để tính hệ số khuếch tán của Argon. Tiết diện hiệu dụng: 219 2 10.83,22 mr Vì các hạt là đồng nhất nên quãng đường tự do trung bình có dạng: nvn v N v l c 2 1 2 Trong đó mật độ hạt n có thể suy ra từ phương trình trạng thái khí lý tưởng: RT PN n A Suy ra: m PN RT l A 7 10.03,1 2 Thời gian trung bình giữa hai lần va chạm: vn N c 2 11 Vận tốc trung bình được xác định từ phân bố Maxwell và có dạng 1 : 1 .88,398 8 sm M RT v Vậy: s PN MRT A 10 10.59,2 4 Hệ số khuếch tán có thể tính theo công thức (3.3.7): 125 2/3 .10.38,1 3 2 3 1 sm PNM RT vlD A TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Thermodynamique, 1 re année MPSI-PCSI-PTSI, Jean- Marie Brebec et al, Hachette Supérieur. [2] Molecular Physics, A. K. Kikoin and I. K. Kikoin, translated from Russian by G. Leib, Mir Publishers (Moscow). Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. . NHIỆT VÀ SỰ KHUẾCH TÁN Hiện tượng khuếch tán, cũng như sự truyền nhiệt và hiện tượng nội ma sát, đều bắt nguồn từ chuyển động nhiệt của các phân tử vật chất. Do đó, hệ số khuếch tán cũng phụ. hương liệu từ nơi mật độ hạt cao đến nơi có mật độ hạt thấp hơn được gọi là hiện tượng khuếch tán. Hiện tượng khuếch tán xảy ra do chuyển động nhiệt của các phân tử trong chất khí, chất lỏng. only. Hiện tượng khuếch tán 2 Dấu trừ trong hệ thức trên cho thấy hạt luôn khuếch tán về phía mật độ hạt thấp hơn. Hệ số D là một hằng số dương chỉ phụ thuộc vào loại hạt khuếch tán, áp