HIỆN TƯỢNG KHUẾCH TÁN NHIỆT Biên soạn: Lê Quang Nguyên Khi các phần khác nhau trong một chất ở nhiệt độ khác nhau thì sẽ có hiện tượng truyền nhiệt từ nơi ở nhiệt cao tới nơi có nhiệt đ
Trang 1HIỆN TƯỢNG KHUẾCH TÁN NHIỆT
Biên soạn: Lê Quang Nguyên
Khi các phần khác nhau trong một chất ở nhiệt độ khác nhau
thì sẽ có hiện tượng truyền nhiệt từ nơi ở nhiệt cao tới nơi có
nhiệt độ thấp hơn Nhiệt được truyền theo ba cách khác nhau:
khuếch tán nhiệt, đối lưu và bức xạ nhiệt Khuếch tán nhiệt là
sự truyền nhiệt do chuyển động nhiệt của các phân tử vật chất
Khi chuyển động các phân tử va chạm lẫn nhau, năng lượng từ
các phân tử chuyển động nhanh ở vùng nóng hơn được chuyển
bớt cho các phân tử chuyển động chậm ở vùng lạnh hơn, tạo
nên sự truyền nhiệt Đó là cơ chế truyền nhiệt chính trong chất
rắn Trong chất khí và chất lỏng thì nhiệt chủ yếu được truyền
do các luồng khí hay dòng chảy, còn gọi là đối lưu Cuối cùng,
các vật cũng có thể được sưởi ấm do sóng điện từ phát ra từ
một nguồn nóng, gọi là bức xạ nhiệt Khác với hai cơ chế trên,
bức xạ nhiệt có thể truyền qua chân không chứ không đòi hỏi
một môi trường truyền nhiệt nào cả Trong bài này này chúng
ta chỉ xét riêng hiện tượng khuếch tán nhiệt, mặc dù trên thực
tế ít khi quan sát được khuếch tán nhiệt riêng lẻ, vì nó thường
đi kèm với hiện tượng đối lưu
1 ĐỊNH LUẬT FOURIER
NHIỆT
Vectơ mật độ dòng nhiệt j
có chiều hướng theo chiều truyền nhiệt và có độ lớn bằng lượng nhiệt truyền qua một đơn vị diện
tích vuông góc với dòng nhiệt trong một đơn vị thời gian
Do đó, lượng nhiệt truyền qua một hình phẳng diện tích S
vuông góc với dòng nhiệt trong một đơn vị thời gian, hay
thông lượng nhiệt qua S, sẽ là:
jS
Nếu S không vuông góc với dòng hạt (hình 1.1.1) thì ta lập
luận như sau:
Thông lượng qua S = thông lượng qua S ’ = jS ’ = jScos
Vậy:
S
n
j
Lưu ý rằng thông lượng là một số đại số, thông lượng là dương
nếu dòng nhiệt đi theo chiều dương của bề mặt (chiều của
vectơ đơn vị pháp tuyến n
), và âm trong trường hợp ngược lại
Nếu dòng nhiệt có mật độ dòng bất kỳ và bề mặt S cũng có
hình dạng bất kỳ (hình 1.1.2) thì ta chia bề mặt ra làm nhiều
phần nhỏ dS, mỗi phần nhỏ như vậy có thể coi như phẳng và
mật độ dòng nhiệt tại đó cũng có thể coi là không đổi Như vậy
thông lượng nhiệt qua dS là:
dS
n
j
Thông lượng nhiệt qua S là tổng các thông lượng qua các phần
nhỏ dS trên mặt S:
S
S d j ndS
(1.1.4)
n j
Hình 1.1.1
Trang 2Trong trường hợp S là một mặt khép kín, người ta quy ước
chọn n
hướng ra ngoài, như thế thông lượng ra khỏi mặt là
dương, còn thông lượng vào mặt là âm
Mật độ dòng nhiệt tỷ lệ với gradient của nhiệt độ:
T
K
j
(1.2.1)
Dấu trừ trong hệ thức trên cho thấy dòng nhiệt luôn hướng về
phía nhiệt độ thấp hơn
Hệ số K là một hằng số dương, gọi là độ dẫn nhiệt, có đơn vị là
W.m-1.K-1
Bảng 1.2.1 giới thiệu cỡ độ lớn của độ dẫn nhiệt trong một số
chất
FICK VÀ OHM
Nếu để ý một chút thì người đọc sẽ thấy các phần vừa rồi của
bài giảng này rất giống với các phần đầu của bài giảng về hiện
tượng khuếch tán Sự thật là tôi chỉ thay đổi rất ít, chẳng hạn
như thay mật độ dòng hạt bằng mật độ dòng nhiệt, hệ số
khuếch tán bằng độ dẫn nhiệt, định luật Fick bằng định luật
Fourier … Khi soạn thảo trên máy tính thì điều ấy thật đơn
giản, tôi chỉ lấy nguyên bài cũ rồi thay đổi một số câu chữ
Làm như thế không phải vì tôi lười , mà vì về mặt bản chất
vật lý thì các định luật chi phối hai hiện tượng khuếch tán và
khuếch tán nhiệt rất giống nhau
Thật vậy, khi có một gradient mật độ thì sẽ có dòng khuếch tán
có mật độ dòng tỷ lệ với gradient mật độ; tương tự như thế, khi
có một gradient nhiệt độ thì sẽ có dòng nhiệt có mật độ dòng tỷ
lệ với gradient nhiệt độ Chúng ta còn có thể mở rộng sự tương
tự ra tới định luật Ohm nữa: khi có một gradient điện thế thì sẽ
có dòng điện có mật độ dòng tỷ lệ với gradient điện thế (xem
hình 1.3.1)
2 PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT
Xét một mặt kín S trong một môi trường có khuếch tán nhiệt
(hình 2.1.1) Vì năng lượng được bảo toàn, nên nếu trong thời
gian dt bên trong mặt S nội năng giảm đi dU, thì cũng phải có
một lượng nhiệt tương ứng đi ra khỏi mặt S trong cùng thời
gian ấy Hay nếu tính trong một đơn vị thời gian, thì tốc độ
giảm nội năng bên trong S phải bằng thông lượng nhiệt ra khỏi
S Như thế:
S
dS
n
j
dt
(2.1.1)
Có dấu trừ trong hệ thức trên vì dU < 0, còn thông lượng ra
khỏi mặt S lại là một số dương Hệ thức trên cũng đúng trong
trường hợp nội năng trong S tăng lên, tức là dU > 0, khi đó
thông lượng nhiệt qua S sẽ âm, tương ứng với dòng nhiệt đi
vào trong mặt S
Gọi V là thể tích giới hạn bởi mặt S, ta có:
Bảng 1.2.1 Cỡ độ lớn của độ dẫn nhiệt
K (W.m -1
.K -1
) Không khí 0,006 – 0,18 Nước 0,1 – 1 Thuỷ tinh 1,2
dU < 0
Hình 2.1.1 Nhiệt lượng đi ra bằng độ giảm
nội năng bên trong mặt S
Nhiệt ra
Trang 3
V V
V
dV t
T c dV t
u udV
dt
d
dt
dU
Trong đó và c là khối lượng riêng và nhiệt dung riêng của
môi trường đang xét
Mặt khác, theo định lý Ostrogradsky-Gauss, thông lượng nhiệt
qua mặt kín S có thể biến đổi thành tích phân theo thể tích V
của divj
:
dV j
dS
n
(2.1.3)
Thay (2.1.2) và (2.1.3) vào (2.1.1) rồi chuyển vế, ta thu được:
V
dV j
t
T
Hệ thức trên đúng với một thể tích V bất kỳ, nên hàm dưới dấu
tích phân phải bằng không tại mọi điểm:
0
j
t
T
Tương tự như phương trình (2.1.1), phương trìnhø (2.1.5) cũng
mô tả sự bảo toàn năng lượng khi có khuếch tán nhiệt Chỉ có
điểm khác biệt là nó diễn tả sự bảo toàn năng lượng trong một
thể ích nhỏ dV bao quanh một vị trí xác định, bởi vì j
chính là thông lượng nhiệt qua bề mặt bao quanh dV chia cho
dV (thông lượng nhiệt trên một đơn vị thể tích)
Thay biểu thức của mật độ dòng nhiệt từ định luật Fourier
(1.2.1) vào phương trình bảo toàn năng lượng (2.1.5) ta thu
được phương trình truyền nhiệt:
0 ) (
T
K
t
T
Biết rằng:
2 2 2 2 2
2
z y
(2.2.2)
Nên phương trình truyền nhiệt còn được viết dưới dạng:
0
T
K
t
T
c
Phương trình truyền nhiệt là một phương trình đạo hàm riêng,
nếu biết điều kiện ban đầu và điều kiện biên của một bài toán
truyền nhiệt cụ thể ta có thể giải phương trình ấy để tìm nhiệt
độ theo vị trí và thời gian1 Tuy nhiên, đó là một vấn đề vượt
quá phạm vi của giáo trình này Ở đây chúng ta chỉ xét các
trường hợp truyền nhiệt theo một chiều Ngoài ra, chúng ta sẽ
xét trường hợp truyền nhiệt dừng, tức là khi nhiệt độ không
thay đổi theo thời gian
2.3.1 NHIỆT TRỞ
Trang 4Xét một thanh hình trụ đồng nhất có chiều dài l, tiết diện S, độ
dẫn nhiệt là K Hai đầu thanh được giữ ở các nhiệt độ không
đổi T1 và T2 (T1 > T2) Giả sử không có sự trao đổi nhiệt giữa
thanh và môi trường chung quanh, và sự truyền nhiệt dọc theo
chiều dài thanh là dừng Hãy xác định sự thay đổi nhiệt độ dọc
theo chiều dài thanh và thông lượng nhiệt qua thanh
Vì nhiệt chỉ truyền theo trục x nên phương trình truyền nhiệt có
dạng:
0
2
2
x
T
K
t
T
c
Ngoài ra ở trạng thái dừng thì T t0 nên:
0
2
2
x
T
Tích phân hai lần phương trình trên và dùng các điều kiện về
nhiệt độ ở hai đầu ống, ta được:
1
1
l
T
T
Theo định luật Fourier, mật độ dòng nhiệt là:
l
K
x
T
K
Thông lượng nhiệt qua thanh sẽ là:
l
KS
NHIỆT TRỞ
Trên đây chúng ta đã đề cập đến sự tương tự giữa định luật
Ohm và định luật Fourier Ở trong trường hợp riêng này cũng
thế, nếu xét một đoạn dây điện thẳng có chiều dài l, tiết diện S,
điện dẫn suất là , hiệu điện thế ở hai đầu là (V1 – V2), thì
cường độ dòng điện dừng qua dây có biểu thức xác định từ
định luật Ohm:
l
S
Người ta định nghĩa điện trở của đoạn dây điện là:
S
l
R
Tương tự như vậy người ta cũng định nghĩa nhiệt trở của một
vật dẫn nhiệt có chiều dài l, tiết diện S, độ dẫn nhiệt K là:
KS
l
R
2.3.2 SÓNG NHIỆT
Coi lòng đất như một môi trường đồng nhất, bán vô hạn, có độ
dẫn nhiệt K, khối lượng riêng và nhiệt dung riêng c, nằm
trong nửa không gian ứng với x > 0
Giả sử nhiệt độ ở mặt đất (mặt phẳng x = 0) thay đổi theo quy
luật hình sin như sau:
T cos
Trang 51) Hãy xác định nhiệt độ trong lòng đất theo độ sâu x và thời
gian t
2) Biểu diễn lời giải trong câu 1) dưới dạng một “sóng nhiệt”
Tìm vận tốc truyền của sóng nhiệt ấy
3) (a) Xét sự thay đổi nhiệt độ ngày đêm, với nhiệt độ trên mặt
đất thay đổi từ 0 C ban đêm cho tới 16 C vào ban ngày Bắt
đầu từ độ sâu nào thì độ biến thiên nhiệt độ nhỏ hơn 1 C ?
Tìm vận tốc truyền của sóng nhiệt, biết rằng
1 2
10
(b) Câu hỏi tương tự như câu (a), xét sự thay đổi nhiệt độ hằng
năm, với nhiệt độ trên mặt đất thay đổi từ –10 C cho đến 26
C
1) Sau một thời gian thì nhiệt độ trong lòng đất bắt đầu biến
đổi theo nhịp điệu hình sin của nhiệt độ trên mặt đất Do đó
chúng ta sẽ tìm nghiệm dưới dạng:
T , 0Re ,
Với:
Thay vào trong phương trình truyền nhiệt ta thu được
phương trình xác định f:
f a i f
K
c
i
x
2
2
Đặt
a
x0 2 (x0 có thứ nguyên của chiều dài), ta có thể viết
lại phương trình trên như sau:
f
x
i
x
0
2
2
1
Nghiệm của phương trình vi phân này có dạng:
0 0
0 0
exp exp
exp exp
x
x i x
x b x
x i x
x
a
f
Các hằng số a và b có thể tìm được từ các điều kiện giới hạn
Trước hết, nhiệt độ phải hữu hạn ở những độ sâu rất lớn, do đó
b = 0 Ngoài ra, nhiệt độ trên mặt đất là:
T 0, 0 cos s 00cos
Suy ra a = 0 Vậy:
0 0
x
x t i x
x
Và nhiệt độ trong lòng đất có dạng:
0 0
0
,
x
x t x
x T
t
x
Trang 62) Nghiệm trên còn có thể viết dưới dạng:
v
x t x
x T
t
x
0 0
0
Với vx0 2a Như vậy nhiệt độ trong lòng đất sẽ biến
đổi như một “sóng nhiệt” lan truyền với vận tốc v Sóng nhiệt
này có biên độ tắt dần rất nhanh theo hàm mũ Ở các độ sâu
vào khoảng vài lần x0 thì sóng nhiệt trở nên không đáng kể
(xem đồ thị bên cạnh)
3) (a) Sự thay đổi nhiệt độ ngày đêm từ 0 C tới 16 C có thể
coi như một biến đổi hình sin quanh giá trị trung bình 8 C với
biên độ cũng là 8 C, do đó ta có:
K
T02738281
K
8
Tần số góc của sự thay đổi nhiệt độ ngày đêm là:
1 5
10 27 , 7 3600
24
2
T
Suy ra:
cm a
10 27
,
7
10 6 2
2
5
7
dem ngay
cm
s cm x
v
/
71
,
80
10 34 , 9 10 27 , 7 85
,
0
Biên độ của sóng nhiệt bằng 1 K ở một độ sâu x là:
x
x 0ln8 12,85ln8 26,72
(b) Tương tự như trong câu (a) ta có các tham số của sóng
nhiệt tương ứng với sự thay đổi nhiệt độ hàng năm:
dem ngay cm s
cm
v
m
x
s
K
K
T
/ 22 , 4
10
88
,
4
45
,
2
10
99
,
1
18
291
1 5
0
1
7
0
0
Biên độ sóng nhiệt bằng 1 K ở độ sâu x = 7,1 m
Như vậy, ở độ sâu bằng 4,2 m thì sự biến thiên nhiệt độ đến trễ
hơn so với mặt đất 100 ngày đêm, đó là chưa kể biên độ biến
thiên cũng giảm đi khoảng 5 lần Đó là lý do vì sao các tầng
ngầm thường rất mát mẻ vào mùa hè và ấm áp vào mùa đông
3 TÍNH ĐỘ DẪN NHIỆT
Trong phần này, để cho đơn giản chúng ta chỉ xét sự truyền
nhiệt dừng trong một chất khí lý tưởng Chúng ta sẽ tính mật
độ dòng nhiệt theo trục x (giả sử nhiệt truyền theo chiều dương
của trục x) Gọi S là một hình phẳng vuông góc với trục x (hình
3.1), Q1, Q2 là lượng nhiệt đi qua một đơn vị diện tích của S
trong một đơn vị thời gian theo chiều dương và theo chiều âm,
ta có mật độ dòng nhiệt qua S là:
U N U N
Q
Q
Trang 7Trong đó N1, N2 là số phân tử khí đi qua một đơn vị diện tích
của S trong một đơn vị thời gian, còn U1, U2 là động năng
trung bình của một phân tử khí ở khoảng cách l ở phía trái và
phải của S (l là quãng đường tự do trung bình, tại đó các phân
tử va chạm lần chót trước khi đi qua S)
Trên thực tế, các hạt có vận tốc tuân theo một phân bố xác định
(như phân bố Maxwell chẳng hạn), nhưng ở đây ta coi như
chúng có cùng một vận tốc bằng vận tốc trung bình Ngoài ra,
vì chuyển động nhiệt là hỗn loạn, nên có 1/3 số hạt đi theo mỗi
phương x, y và z Trong số các hạt đi theo phương x, lại có một
nửa đi theo chiều dương và một nửa đi theo chiều âm Vì vậy:
v
n
N
N
6
1
2
Với n là mật độ phân tử khí
Ta có:
6
1
U
U
v
n
Động năng trung bình của một phân tử khí là (i/2)kT, trong đó i
là số bậc tự do của phân tử, còn k là hằng số Boltzmann Mặt
khác, nhiệt dung mol đẳng tích của khí lý tưởng là CV =
(i/2)kNA, với NA là số Avogadro Do đó:
T
N
C
kT
i
U
A
V
Hệ thức (3.3.3) sẽ có dạng:
6
1
T T
N
C
v
n
j
A
V
Nếu quãng đường tự do trung bình đủ nhỏ ta có gần đúng:
x
T
l
T
T
Vậy:
x
T N
C
l
v
n
j
A
V
x
3
1
(3.3.7)
So sánh hệ thức trên với định luật Fourier ta có biểu thức của
độ dẫn nhiệt:
A
V
N
C
l
v
n
K
3
1
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Jean-Marie Brebec et al, Hachette Supérieur
Jean-Marie Brebec et al, Hachette Supérieur
translated from Russian by G Leib, Mir Publishers
(Moscow)
(1988) Dịch từ Fundamentals of Physics, David
Halliday et al, John Wiley & Sons, Inc (New York)
