PHẦN II: BA ĐƯỜNG CÔNIC pot

PHẦN II: BA ĐƯỜNG CÔNIC I. Elip 1) Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F 1 , F 2 với F 1 F 2 = 2c (c > 0) và hằng số a > c. Elíp (E) là tập hợp các điểm M thỏa mãn MF 1 + MF 2 = 2a. (E) = {M: MF 1 + MF 2 = 2a} Ta gọi: F 1 , F 2 là tiêu điểm của (E). Khoảng cách F 1 F 2 = 2c là tiêu cự của (E). 2) Phương trình chính tắc của elip Chọn hệ trục Oxy sao cho F 1 và F 2 nằm trên Ox và đối xứng qua O. Tiêu điểm trái F 1 (–c; 0). Tiêu điểm phải F 2 (c; 0). MF 1 = 2 2 (x c) y   ; MF 2 = 2 2 (x c) y   2 2 1 2 1 2 1 2 MF MF 4cx (MF MF )(MF MF ) 4cx       Mà MF 1 + MF 2 = 2a (1) Nên MF 1 – MF 2 = 2(c/a)x = 2ex (e = c/a < 1 là tâm sai của elíp) (2) Từ (1) và (2) suy ra MF 1 = a + ex và MF 2 = a – ex (hai bán kính qua tiêu) Ta lại có: (MF 1 + MF 2 ) 2 + (MF 1 – MF 2 ) 2 = 4a 2 + 4e 2 x 2 . Suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c x (a c ) x y c a x y a c a a          Đặt b 2 = a 2 – c 2 . Phương trình elip là: (E): 2 2 2 2 x y 1 a b   3) Hình dạng và tính chất của (E) – Các đỉnh: A 1 (–a; 0); A 2 (a; 0); B 1 (0; –b); B 2 (0; b) – Trục lớn: A 1 A 2 = 2a, nằm trên trục Ox. Trục nhỏ: B 1 B 2 = 2b, nằm trên trục Oy – Đường chuẩn: x = a e  – Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x = ± a; y = ± b (Độ dài hai cạnh là 2a và 2b) – Trục đối xứng: Ox; Oy – Tâm đối xứng: O 4) Tiếp tuyến của elip Định nghĩa: Cho elip (E) và đường thẳng (d). Đường thẳng (d) gọi là tiếp tuyến của (E) nếu (d) có một điểm chung duy nhất với (E). Định lý: Cho elip (E) có phương trình chính tắc (E): 2 2 2 2 x y 1 a b   Đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 (với A 2 + B 2 > 0) là tiếp tuyến của (E) khi và chỉ khi: A 2 a 2 + B 2 b 2 = C 2 (gọi là điều kiện tiếp xúc) Hệ quả: Nếu điểm M(x o ; y o ) thuộc (E) thì tiếp tuyến tại M có phương trình là (d): o o 2 2 xx yy 1 a b   II. Hypebol 1. Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F 1 , F 2 với F 1 F 2 = 2c (c > 0) và hằng số a < c. Hypebol (H) là tập hợp các điểm M thỏa mãn 1 2 MF MF 2a   . (H) = 1 2 {M : MF MF 2a}   Ta gọi: F 1 , F 2 là tiêu điểm của (H). Khoảng cách F 1 F 2 = 2c là tiêu cự của (H). 2. Phương trình chính tắc của hypebol Chọn hệ trục Oxy sao cho F 1 và F 2 nằm trên Ox và đối xứng qua O. Tiêu điểm trái F 1 (–c; 0). Tiêu điểm phải F 2 (c; 0) Xét nửa phần bên phải MF 1 > MF 2 . Ta có: MF 1 = 2 2 (x c) y   ; MF 2 = 2 2 (x c) y   2 2 1 2 1 2 1 2 MF MF 4cx (MF MF )(MF MF ) 4cx       Mà MF 1 – MF 2 = 2a (1) Nên MF 1 + MF 2 = 2(c/a)x = 2ex (e = c/a > 1 là tâm sai của hypebol) (2) Từ (1) và (2) suy ra MF 1 = a + ex và MF 2 = ex – a (hai bán kính qua tiêu) Chứng minh tương tự cho trường hợp MF 2 > MF 1 ta có: 1 2 MF a ex MF a ex          Ta lại có: (MF 1 + MF 2 ) 2 + (MF 1 – MF 2 ) 2 = 4a 2 + 4e 2 x 2 . Suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c x (c a ) x y c a x y c a a a          Đặt b 2 = c 2 – a 2 . Phương trình hypebol là: (H): 2 2 2 2 x y 1 a b   3. Hình dạng và tính chất của (H) – Các đỉnh: A 1 (–a ; 0); A 2 (a; 0) – Trục thực: A 1 A 2 = 2a, nằm trên trục Ox. Trục ảo: B 1 B 2 = 2b, nằm trên trục Oy – Đường chuẩn: x = a e  – Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x = ± a; y = ± b (Độ dài hai cạnh là 2a và 2b) – Phương trình các đường tiệm cận: b y x a   – Trục đối xứng: Ox; Oy – Tâm đối xứng: O 4. Tiếp tuyến của hypebol Định nghĩa: Cho hypebol (H) và đường thẳng (d) .Đường thẳng (d) gọi là tiếp tuyến của (H) nếu (d) không song song với các đường tiệm cận của (H) và (d) có một điểm chung duy nhất với (H) Định lý: Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc (H): 2 2 2 2 x y 1 a b   Đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 (với A 2 + B 2 > 0) là tiếp tuyến của (H) khi và chỉ khi A 2 a 2 – B 2 b 2 = C 2  0 (gọi là điều kiện tiếp xúc) Hệ quả: Nếu điểm M(x o ; y o ) thuộc (H) thì tiếp tuyến tại M có phương trình là (d): o o 2 2 xx yy 1 a b   III. Parabol 1. Định nghĩa: Cho điểm cố định F và đường thẳng cố định Δ không đi qua F. Parabol (P) là tập hợp các điểm M cách đều điểm F và đường thẳng Δ. (P) = {M: MF = d(M; Δ)} Ta gọi: F là tiêu điểm của (P). Đường thẳng Δ là đường chuẩn của (P). p = d(F; Δ) là tham số tiêu. 2. Phương trình chính tắc của parabol Chọn hệ trục Oxy sao cho F nằm trên Ox và Δ vuông góc với Ox, đồng thời F và Δ cách đều Ox. Tiêu điểm F(p/2; 0) và phương trình đường chuẩn (Δ): x = – p/2. MF = 2 2 p x y 2         và d(M; Δ) = p x 2  Vì MF = d(M; Δ) Nên 2 2 2 p p x y x y 2px 0 2 2              Vậy phương trình chính tắc của parabol là (P): y 2 = 2px. 3. Hình dạng và tính chất của (P) – Đỉnh: O(0; 0) – Bán kính qua tiêu điểm của (P) là MF = d(M; Δ) = x + p/2 – Trục đối xứng: Ox 4. Tiếp tuyến của parabol Định nghĩa: Cho parabol (P) và đường thẳng (d) .Đường thẳng (d) gọi là tiếp tuyến của (P) nếu (d) không song song với trục đối xứng của (P) và (d) có một điểm chung duy nhất với (P). Định lý: Cho parabol (P) có phương trình chính tắc (P): y 2 = 2px. Đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 (với A 2 + B 2 > 0) là tiếp tuyến của (P) khi và chỉ khi pB 2 = 2AC (gọi là điều kiện tiếp xúc) Chứng minh: Ta thấy trục Ox cắt (P) tại một điểm duy nhất nhưng không là tiếp tuyến của (P). Để (d) không song song với trục Ox thì A  0. Khi đó (d) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm duy nhất: (I) 2 2 By C y 2p y 2px A Ax By C 0 By C x A                            Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi phương trình bậc hai y 2 + (2pB/A)y + 2pC/A = 0 có nghiệm duy nhất Δ’ = 2 B 2pC p A A        = 0 Hay pB 2 = 2AC (với A  0) Hệ quả: Nếu điểm M(x o ; y o ) thuộc (P) thì tiếp tuyến tại M có phương trình là (d): yy o = p(x + x o ) IV. Ba đường cônic 1. Định nghĩa chung: Cho điểm F cố định, một đường thẳng Δ cố định không đi qua F và một số dương e. Đường cônic (C) là tập hợp các điểm M sao cho MF e d(M; )   . (C) = MF M : e d(M; )         Ta gọi: F là tiêu điểm, Δ là đường chuẩn, e là tâm sai. 2. Nhận xét – Parabol (P): y 2 = 2px là đường cônic với e = 1 – Cho elip (E) có phương trình chính tắc (E): 2 2 2 2 x y 1 a b   với b 2 = a 2 – c 2 Tâm sai c e 1 a   Đường chuẩn (Δ 1 ): x = – a/e ứng với tiêu điểm trái F 1 (–c; 0) Đường chuẩn (Δ 2 ): x = a/e ứng với tiêu điểm phải F 2 (c; 0) Với mọi điểm M thuộc (E) thì: 1 2 1 2 MF MF e d(M; ) d(M; )     Vậy đường (E) là đường cônic với e < 1. – Đường hypebol (H) là đường cônic với e > 1. . là (d): yy o = p(x + x o ) IV. Ba đường cônic 1. Định nghĩa chung: Cho điểm F cố định, một đường thẳng Δ cố định không đi qua F và một số dương e. Đường cônic (C) là tập hợp các điểm M sao. M thuộc (E) thì: 1 2 1 2 MF MF e d(M; ) d(M; )     Vậy đường (E) là đường cônic với e < 1. – Đường hypebol (H) là đường cônic với e > 1. . PHẦN II: BA ĐƯỜNG CÔNIC I. Elip 1) Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F 1 , F 2 với F 1 F 2 = 2c (c >