Đường thẳng mặt phẳng trong không gian Oxyz docx

www.laisac.page.tl  Đ  Ờ  G T  Ẳ  G V  M  T P  Ẳ  G  ĐƯ  N  TH  N  VÀ  MẶ  PH  N  ƯỜN HẲN Ặ HẲN T  O  G K  Ô  G G  A  O  Y  XY IA HÔN RON TR  N  KH  N  GI  N  OX  Z  TS.Trần Phương PHƯƠNG TRÌNH M T PH NG TRONG KHÔNG GIAN I VÉCTƠ C TRƯNG C A M T PH NG: Hai véctơ u = ( a1 , a , a3 ) ; v = ( b1 ; b2 ; b3 ) m t c p véc tơ ch phương (VTCP) c a m t ph ng (α) ⇔ u , v ≠ ; không phương giá c a chúng song song ho c n m m t ph ng (α) Véctơ n = ( a; b; c ) véc tơ pháp n (VTPT) c a m t ph ng (α) ⇔ (α) ⊥ giá c a n Nh n xét: M t ph ng (α) có vô s c p véctơ ch phương vô s véctơ pháp n ng th i n // [ u , v ] u = ( a1 , a , a )  N u  m t c p VTCP c a mp(α) VTPT là: v = ( b1 ; b2 ; b3 )   a n = [u , v ] =   b2 a3 a ; b3 b3 a1 a ; b1 b1 a2   b2  II CÁC D NG PHƯƠNG TRÌNH C A M T PH NG Phương trình t ng quát: 2.1 Phương trình t c: Ax + By + Cz + D = v i A + B + C > N u D = Ax + By + Cz = ⇔ (α) i qua g c t a N u A = 0, B ≠ 0, C ≠ (α): By + Cz + D = s song song ho c ch a v i tr c x’Ox N u A ≠ 0, B = 0, C ≠ (α): Ax + Cz + D = s song song ho c ch a v i tr c y’Oy N u A ≠ 0, B ≠ 0, C = (α): Ax + By + D = s song song ho c ch a v i tr c z’Oz 2.2 Phương trình t ng quát c a mp(α) i qua M0(x0, y0, z0) v i c p VTCP u = ( a1 , a , a )  a  hay VTPT n = [u , v ] =    b2 v = ( b1 ; b2 ; b3 )  a2 b2 a3 b3 ( x − x0 ) + a3 b3 a1 b1 ( y − y0 ) + a1 b1 a3 a ; b3 b3 a2 b2 a1 a ; b1 b1 a2   là: b2  ( z − z0 ) = 2.3 Phương trình t ng quát c a mp(α) i qua i m A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x , y , z ) ; C ( x , y , z ) không th ng hàng có VTPT là:  y − y1 n =  AB, AC  =     y − y1 z − z1 z − z1 , z − z1 z − z1 x − x1 x − x1 , x − x1 x − x1 y − y1   y − y1  nên phương trình là: y − y1 z − z1 y3 − y1 z3 − z1 ( x − x1 ) + z − z1 x2 − x1 z3 − z1 x3 − x1 ( y − y1 ) + x2 − x1 x3 − x1 y − y1 y3 − y1 ( z − z1 ) = c bi t: Phương trình m t ph ng i qua A ( a; 0; ) , B ( 0; b; ) , C ( 0; 0; c ) là: x + y + z = ( abc ≠ ) a b c Phương trình chùm m t ph ng: Cho m t ph ng c t ( α ) : a1 x + b1 y + c1 z + d = ; ( α ) : a x + b2 y + c z + d = ( ∆ ) = ( α1 ) ∩ ( α ) v i M t ph ng (α) ch a (∆) p ( a1 x + b1 y + c1 z + d ) + q ( a x + b2 y + c z + d ) = v i p2 + q2 > III V TRÍ TƯƠNG I C A M T PH NG Cho m t ph ng (α1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = có VTPT n1 = ( A1 , B1 , C1 ) (α2): A2 x + B y + C z + D = có VTPT n = ( A2 , B , C ) N u n1 , n khơng phương (α1) c t (α2) N u n1 , n phương (α1 ), (α2) khơng có i m chung (α1) // (α2) N u n1 , n phương (α1 ), (α2) có i m chung (α1) ≡ (α2) IV GĨC GI A HAI M T PH NG Góc gi a m t ph ng (α 1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (α2): A2 x + B y + C z + D = ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) th a mãn: cos ϕ = n1 n2 n1 n2 = A1 A2 + B1 B2 + C1C2 2 A12 + B12 + C12 A2 + B2 + C v i n1 , n VTPT c a (α1), (α2) V KHO NG CÁCH Kho ng cách t M0(x0, y0, z0) d ( M , α) = n m t ph ng (α): Ax + By + Cz + D = là: Ax + By + Cz + D A2 + B + C 2 Kho ng cách gi a m t ph ng song song: d ( α; β ) = d ( M ; β ) ∀M ∈ ( α ) d ( α; β ) = d ( M ; α ) ∀M ∈ ( β ) VI CÁC BÀI T P M U MINH H A Bài L p phương trình t ng quát c a mp(α) i qua A(2; 1; −1) vng góc v i ng th ng xác nh b i i m B(−1; 0; −4), C(0; −2; −1) Mp(α) i qua A nh n BC = (1; −2;3) làm VTPT nên phương trình mp(α) là: ( x − ) − ( y − 1) + ( z + 1) = ⇔ x − y + z + = Bài L p phương trình tham s phương trình t ng quát c a mp(α) i qua A ( 2; −1; ) , B ( 3; 2; −1) vng góc v i ( β ) : x + y + z − = HD: AB = (1; 3; −5 ) , nβ = (1;1; ) Do mp(α) i qua A, B ( α ) ⊥ ( β ) nên (α) nh n AB, n b làm c p VTCP Suy VTPT c a (α) là:  −5 −5 1  n = ; ;  = (11; −7; −2 ) M t khác (α) i qua A ( 2; −1; ) nên 1   phương trình mp(α): 11 ( x − ) − ( y + 1) − ( z − ) = ⇔ 11x − y − z − 21 = Bài L p phương trình mp(α) i qua A(1; 0; 5) // mp(γ): 2x − y + z − 17 = L p phương trình mp(β) i qua i m B(1; −2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0) tính góc nh n ϕ t o b i mp(α) (β) HD: mp(α) // (γ): x − y + z − 17 = có n = ( 2; −1;1) ⇒ (α): x − y + z + c = (α) i qua A(1; 0; 5) ⇒ ⋅ − + + c = ⇔ c = −7 ⇒ PT (α): x − y + z − = mp(β) nh n véc tơ BC = ( 0; 2; −1) , BD = ( −1;3; −1) làm c p VTCP nên có   −1 −1 VTPT là: nβ =  ; ;  = (1;1; )  −1 −1 −1 −1  V y phương trình mp(β): x + ( y − 1) + z = ⇔ x + y + z − = cos ϕ = cos ( n , nβ ) = ⋅1 − 1⋅1 + ⋅ = = ⇒ ϕ = π = 60° +1+1 1+1+ 2 x − 2z =  Bài Vi t PT m t ph ng ch a ng th ng (∆):  3 x − y + z − =  vng góc v i m t ph ng (P): x − y + z + = HD: Phương trình chùm m t ph ng ch a (∆) là: m ( x − z ) + n ( x − y + z − 3) = ( m, n ∈ » ; m + n > ) ⇔ ( m + 3n ) x − 2ny + ( n − 2m ) z − 3n = ⇒ mp(α) ch a (∆) có VTPT u = ( m + 3n; −2n; n − 2m ) M t ph ng (P) có VPPT v = (1; −2;1) nên (α) ⊥ (P) u ⋅ v = ⇔ ⋅ ( m + 3n ) − ⋅ ( −2n ) + ⋅ ( n − 2m ) = ⇔ 8n − m = Cho n = suy m = , ó phương trình mp(α) là: 11x − y − 15 z − = Bài Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a Oz l p v i m t ph ng (α): x + y − z = m t góc 60° HD: M t ph ng (P) ch a Oz ⇒ (P) có d ng: mx + ny = ( m + n > ) ⇒ VTPT u = ( m; n; ) M t ph ng (α) có VTPT v = ( 2;1; − ) suy cos ( u , v ) = cos 60° ⇔ 2.m + 1.n − m2 + n2 = ⇔ ( 2m + n ) = 10 ( m + n ) 2 + 12 + ⇔ ( 4m + 4mn + n ) = 10 ( m + n ) ⇔ ( 3m + 8mn − 3n ) = Cho n = ⇒ 3m + 8m − = ⇔ m = −3 ∨ m = V y ( P ) : x − y = ho c ( P ) : x + y = Bài Vi t phương trình t ng quát c a mp(α) qua M(0; 0; 1), N(3; 0; 0) t o v i (Oxy) m t góc 60° HD: (α): Ax + By + Cz + D = qua M, N suy ra: C + D = 0; A + D = ⇒ C = A; D = −3 A M t ph ng (Oxy) có VTPT ( 0; 0;1) suy C 2 A +B +C = cos 60° ⇔ 3A = ⇔ 36 A = 10 A + B 2 10 A + B 2 ⇔ 26 A = B ⇔ B = ± 26 A Do A + B + C ≠ ⇒ A ≠ Cho A = suy mp(α): x − 26 y + z − = ho c x + 26 y + z − = Bài Cho A(a; 0; a), B(0; b; 0), C(0; 0; c) v i a, b, c s dương thay i luôn th a mãn a + b + c = Xác nh a, b, c cho kho ng cách t O n m t ph ng (ABC) t Max HD: y (ABC): x + + z − = Suy = 12 + 12 + 12 a b c d ( O; ABC ) a b c  ⇒ 12 = 12 + 12 + 12 ⇒ =  12 + 12 + 12  ( a + b + c ) ≥ ⋅ = 3 a d a b c b c   ⇒ d ≤ ⇒ d ≤ V i a = b = c = Max d = 3 Bài Cho chùm m t ph ng ( Pm ) : x + y + z + + m ( x + y + z + 1) = Ch ng minh r ng: (P m) ln i qua (d) c Tính kho ng cách t O n (d) Tìm m nh ∀m (Pm) ⊥ ( P0 ) : x + y + z + = HD: 2 x + y + z + =  nh (d):  x + y + z + =  V i m i m, (Pm) i qua ng th ng c M t ph ng x + y + z + = có VTPT: u = ( 2;1;1) x + y + z + = có VTPT v = (1;1;1) suy (d) có VTCP là: a = [u ; v ] = ( 0; −1;1) [OM ⋅ a ] M t khác (d) i qua M ( 0; 0; −1) ⇒ d ( O, ( d ) ) = a = 12 + + = +1+1 ( Pm ) : ( m + 2) x + ( m + 1) y + ( m + 1) z + m + = có VTPT n1 = ( m + 2; m + 1; m + 1) ; Trư ng h p c bi t m t ph ng ( P0 ) có VTPT n = ( 2;1;1) (Pm) ⊥ (P0) n1 ⋅ n2 = ⇔ ( m + 2) + 1( m + 1) + 1( m + 1) = ⇔ 4m + = ⇔ m = −3 Bài Cho i m A(0; 1; 2), B(2; 3; 1), C(2; 2; −1) Vi t phương trình m t ph ng (ABC) CMR: O ∈ (ABC) OABC m t hình ch nh t Cho S(9; 0; 0) Tính th tích chóp S.OABC Vi t phương trình m t ph ng ch a AB i qua trung i m OS HD: AB = ( 2; 2; −1) , AC = ( 2;1; −3) ⇒ VTPT n =  AB, AC  = ( −5; 4; −2 )   Do (ABC) i qua A(0; 1; 2) nên phương trình m t ph ng (ABC) là: −5 ( x − ) + ( y − 1) − ( z − ) = ⇔ x − y + z = O(0; 0; 0) 5.0 − 4.0 + 2.0 = nên O ∈ (ABC) Ta có: OA = ( 0;1; ) , OC = ( 2; 2; −1) ⇒ OC = AB OA ⋅ OC = 0.2 + 1.2 − 2.1 = suy OABC hình ch nh t G i H hình chi u c a S lên (OABC) suy V = S OABC ⋅ SH = ⋅ S ABC ⋅ SH = 2.V SABC = ⋅  AB, AC  ⋅ AS  3    Ta có: AS = ( 9; −1; −2 )  AB, AC  = ( −5; 4; −2 ) ⇒ V = ( −5 ) − ⋅ − ( −2 ) = −45 = 15 3 ( ) ( Trung i m c a OS M ; 0; ⇒ AM = ; −1; −2 2 ) ( ) ⇒ M t ph ng ch a AB i qua M có VTPT là: n = [ AB AM ] = −5; − ; −11 ⇒ Phương trình m t ph ng: 10 x + y + 22 z − 45 = Bài 10 L p phương trình c a m t ph ng ( α ) thu c chùm t o b i hai m t ph ng ( P ) : x − y + z + 36 = 0; ( Q ) :2 x + y − z − 15 = n u bi t kho ng cách t g ct a O n α b ng Gi i M t ph ng ( α ) thu c chùm t o b i (P) (Q) nên có phương trình d ng: m ( x − y + z + 36 ) + n ( x + y − z − 15 ) = ( m + n > ) ⇔ ( m + 2n ) x + ( n − 3m ) y + ( m − n ) z + 36m − 15n = Ta có d ( O, ( α ) ) = ⇔ 36m − 15n ( m + 2n ) + ( n − 3m ) + ( m − n ) =3 ⇔ 12m − 5n = 59m − 16mn + 6n ⇔ 19n − 104mn + 85m = ⇔ ( n − m ) (19n − 85m ) = ⇔ n = m ∨ 19n = 85m + Cho n = m = nh n c ( α ) : 3x − y + z + 21 = + Cho m = 19, n = 85 ta có ( α ) : 189 x + 28 y + 48 z − 591 = Bài 11 L p phương trình m t ph ng ( α ) i qua i m A(2; –1; 0), B(5; 1; 1) kho ng cách t ( i m M 0; 0; ) n m t ph ng ( α ) b ng Gi i G i phương trình m t ph ng ( α ) là: Ax + By + Cz + D = ( A + B + C > ) Ta có A ∈ ( α ) ⇒ A − B + D = (1) ; B ∈ ( α ) ⇒ A + B + C + D = ( ) M t khác: d ( M , ( α ) ) = ⇔ C + D = 6 2 2) ( 3) ⇔ 27 ( C + D ) = 49 ( A + B + C A2 + B + C T (1) (2), ta có C = −3 A − B, D = B − A ( ) Th (4) vào (3), ta c: 27.49 A = 49  A + B + ( A + B )    5B + 12 AB − 17 A = ⇔ B = A ∨ B = − 17 A + Ch n A = B = ⇒ C = –5, D = –1 nh n c ( α ) : x + y − z − = + Ch n A = 5, B = 17 ⇒ C = 19, D = –27 ( α ) : x − 17 y + 19 z − 27 = VII CÁC BÀI T P DÀNH CHO B N Bài Vi t PT mp(α) ch a g c t a C T GI I O vuông góc v i ( P ) : x − y + z − = , ( Q ) : x + y − 12 z + = Bài Vi t PT mp(α) i qua M(1; 2;1) ch a giao n c a ( P ) : x + y + z − = 0, ( Q ) : x − y + z = x − y + z − =  Bài Vi t phương trình m t ph ng ch a ( ∆ ) :  3x + y + z − =  vng góc v i m t ph ng (P): x + y + z − = Bài Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4) Vi t PT mp(ABC) Tính kho ng cách t g c O n (ABC) Vi t PT m t ph ng: a Qua O, A // BC; Qua C, A ⊥ (α): x − y + 3z + = b Qua O ⊥ (α), (ABC); Qua I(−1; 2; 3) ch a giao n c a (α), (ABC) Bài Xác nh tham s m, n m t ph ng x + ny + z + m = thu c chùm m t ph ng có phương trình: α ( x − y + z − 3) + β ( x − y − z + ) = Bài Cho m t ph ng ( α ) : x − y + z + = , ( β ) : x + y − z + = i m M(1; 0; 5) Tính kho ng cách t M n mp(α) Vi t phương trình m t ph ng (P) i qua giao n (d) c a (α) (β) ng th i vng góc v i m t ph ng (Q): 3x − y + = Bài Vi t phương trình m t ph ng (P) i qua i m A(1; 1; 3), B(−1; 3; 2), C(−1; 2; 3) Tính kho ng cách t g c O n (P) Tính di n tích tam giác ABC th tích t di n OABC Bài Cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3) Các i m M, N l n lư t trung i m c a OA BC; P, Q i m OC AB cho OP = OC ng th ng MN, PQ c t AQ AB Bài Cho A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(a; a; 0), D(0; 0; d) v i a, d > G i A’, B’ hình chi u c a O lên DA, DB Vi t phương trình m t ph ng ch a ng OA’, OB’ Ch ng minh m t ph ng ó vng góc CD Vi t phương trình mp(MNPQ) tìm t s Tính d theo a s o góc A′OB ′ = 45° Bài 10 Tìm Oy i m cách u m t ph ng ( α ) : x + y − z + = 0, ( β ) : x − y + z − = Bài 11 Tính góc gi a m t ph ng (P) (Q) i qua i m I(2; 1; −3) bi t (P) ch a Oy (Q) ch a Oz Tìm t p h p i m cách u m t ph ng (P) (Q) Bài 12 Cho ∆OAB u c nh a n m m t ph ng (Oxy), ng th ng AB // Oy ( ) i m A n m ph n tư th nh t mp(Oxy) Cho i m S 0; 0; a Xác nh A, B trung i m E c a OA Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a SE song song v i Ox Tính d ( O, P ) t ó suy d ( Ox; SE ) Ư NG TH NG TRONG KHƠNG GIAN PHƯƠNG TRÌNH I VÉCTƠ C TRƯNG C A Ư NG TH NG TRONG KHÔNG GIAN: Véctơ a = ( a1 ; a ; a ) véc tơ ch phương (VTCP) c a (∆) ⇔ (∆) // giá c a a Nh n xét: N u a m t VTCP c a (∆) ka (k ≠ 0) VTCP c a (∆) t c (∆) có vơ s VTCP II PHƯƠNG TRÌNH Ư NG TH NG TRONG KHƠNG GIAN Phương trình tham s : Phương trình ng th ng (∆) i qua M0(x 0, y 0, z0)  x = x + a1t   có VTCP a = ( a1 ; a ; a ) :  y = y + a t ( t ∈ » )   z = z + a3t  Phương trình t c: Phương trình ng th ng (∆) i qua M0(x0, y0, z0) x − x0 y − y z − z có VTCP a = ( a1 ; a ; a ) : = = a1 a2 a3 Phương trình t ng quát: Phương trình ng th ng (∆) t ng quát giao  A1 x + B1 y + C1 z + D1 =  v i A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B : C n c a hai m t ph ng   A2 x + B y + C z + D2 =  Phương trình ng th ng (∆) i qua i m M1 (x1, y1, z1), M2(x 2, y2, z2): x − x1 y − y1 z − z1 = = x − x1 y − y1 z − z1 Chuy n d ng phương trình t ng quát sang d ng tham s , t c:  ( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = ( A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B : C ) Cho (∆):  ( β ) : A2 x + B y + C z + D =  n1 = ( A1 , B1 , C1 )  ⇒VTPT c a hai m t ph ng  ⇒ VTCP a =  n1 , n    n = ( A2 , B , C )  Tìm i m M0(x0, y0, z0) ∈ (α) ∩ (β) ⇒ x − x0 y − y z − z = = a1 a2 a3 t t s b ng t suy d ng tham s III V TRÍ TƯƠNG V trí tương I C A CÁC Ư NG TH NG VÀ M T PH NG TRONG KHÔNG GIAN i c a ng th ng: Cho (∆ 1) i qua M1(x 1; y , z1) v i VTCP u = ( a1 , a , a ) , (∆2) i qua M2(x 2; y 2, z2) v i VTCP v = ( b1 , b2 , b3 ) N u [u , v ] ⋅ M M ≠ ( ∆ ) , ( ∆ ) chéo N u [u , v ] ⋅ M M = a1 : a : a ≠ b1 : b2 : b3 (∆1), (∆2) c t ( ∆ ) [u , v ] ⋅ M M =   N u  h phương trình c a  vô nghi m ( ∆ )  a1 : a : a = b1 : b2 : b3   (∆1), (∆2) song song ( ∆ ) [u , v ] ⋅ M M =   N u  h phương trình c a  có nghi m  a1 : a : a = b1 : b2 : b3 ( ∆ )   (∆1), (∆2) trùng V trí tương i c a ng th ng m t ph ng: Cho (∆) i qua M0(x0 ; y0, z0) v i VTCP u = ( a, b, c ) mp(α): Ax + By + Cz + D = v i VTPT n = ( A, B, C ) N u n ⋅ u ≠ ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ (∆) c t (α) N u n // u ⇔ a : b : c = A : B : C (∆) ⊥ (α) n ⋅ u =  Aa + Bb + Cc =   N u  ⇔  (∆) // (α)  Ax + By + Cz + D ≠ M ∉ (α )   n ⋅ u =  Aa + Bb + Cc =   N u  ⇔  (∆) ⊂ (α) M ∈ (α )  Ax + By + Cz + D =   IV GÓC GI A CÁC Ư NG TH NG VÀ M T PH NG TRONG KHƠNG GIAN Góc gi a ng th ng: Cho (∆1) i qua M1(x1; y1, z1) v i VTCP u = ( a1 , a , a ) , (∆2) i qua M2(x 2; y2, z2) v i VTCP v = ( b1 , b2 , b3 ) Góc gi a (( ∆ ) , ( ∆ ) ) = ϕ∈ [0, 90°] xác cos ϕ = u ⋅v = u ⋅v nh b i: a b1 + a b + a b 2 a 12 + a + a b12 + b + b 32 Góc gi a ng th ng m t ph ng: Cho (∆) i qua M0(x0 ; y0, z0) v i VTCP u = ( a, b, c ) mp(α): Ax + By + Cz + D = v i VTPT n = ( A, B, C ) Góc gi a ( ( ∆ ) , ( α ) ) = ϕ∈ [ 0, 90°] xác sin ϕ = u ⋅n = u ⋅ n nh b i: aA + bB + cC 2 a + b + c2 A2 + B + C Góc gi a hai m t ph ng: Góc gi a m t ph ng (α 1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (α2): A2 x + B y + C z + D = ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) th a mãn: cos ϕ = n1 n2 n1 n2 = A1 A2 + B1 B2 + C1C2 2 A12 + B12 + C12 A2 + B2 + C2 v i n1 , n VTPT c a (α1), (α2) V KHO NG CÁCH Kho ng cách t i m n ng th ng: Cho (∆) i qua M0(x0 ; y0, z0) v i VTCP u = ( a, b, c ) Kho ng cách t M1(x1; y 1, z1) n ng th ng (∆) là: d ( M , ( ∆ ) ) = u ⋅ M M    u Kho ng cách gi a ng th ng chéo nhau: Cho (∆ 1) i qua M1(x 1; y , z1) v i VTCP u = ( a1 , a , a ) , (∆2) i qua M2(x 2; y2, z2) v i VTCP v = ( b1 , b2 , b3 ) Gi s ( ∆1 ) , ( ∆ ) chéo nhau, ó d ( (∆ ),(∆ ) ) = [ u , v ] ⋅ M 1M [u , v ] i m Kho ng cách t i m n m t ph ng: Kho ng cách t M0(x0, y0 , z0) d ( M , α) = n m t ph ng (α): Ax + By + Cz + D = là: Ax + By + Cz + D A2 + B + C VI CÁC D NG BÀI T P D ng 1: Xác nh v trí tương i c a ng th ng m t ph ng ( ∆ )  Phương pháp: Gi i h PT t o b i  ; ( ∆ )  ( ∆ )  ho c s d ng d u hi u nh n  ( α )  bi t qua h th c c a véctơ Bài Xét v trí tương  x = 9t   ( ∆ ) :  y = 5t   z = −3 + t  x − y + = ( ∆1 ) :   2 x + y =  Bài Xác i b ng cách khác nhau: 2 x − y − 3z − =  (∆ ) :  x − y + z + =  ;  y + 2z − = (∆ ) :   x + z − =   x = + 2t   nh giao i m c a ng th ng ( ∆ ) :  y = − t ( t ∈ » ) v i m t  z = + t  ph ng ( α ) : x + y − z − = Bài Xác x + y + z − =  v im t nh giao i m c a ng th ng ( ∆ ) :  x + y − z − =  ph ng ( α ) : x + y + z − = Bài Cho ng th ng:  x = 3t y+2  − ( ∆1 ) :  y = − t , ( ∆ ) : x 1 = = z − , z = + t  a Xét v trí tương  x − y + 3z − = (∆3 ) :   2 x − y + z + =  i c a c p ng th ng v i b Vi t phương trình ng th ng (∆) song song v i (∆1), c t (∆2) (∆ 3) D ng 2: Xác nh hình chi u vng góc c a i m M lên m t ph ng (α) α Phương pháp: Vi t phương trình tham s c a ng th ng (∆ ) qua M (∆ ) ⊥(α) Giao i m H c a (∆ ) (α) hình chi u vng góc c a M lên (α) Bài Tìm hình chi u vng góc c a M(1; 2;−3) lên ( α ) : x + y − z + = D ng 3: Xác nh i m i x ng v i i m M cho trư c qua m t ph ng (α) α Phương pháp: Tìm hình chi u vng góc H c a M lên (α ) Gi s M(x1, y , z1), H(x0 , y0, z0), ó i m M’ i x ng M qua (α) M ′ ( x − x1 , y − y1 , z − z1 ) Bài Xác nh i m i x ng v i i m M(13; 2; 3) qua m t ph ng (α): x + y – 3z + = D ng 4: Xác nh hình chi u vng góc c a i m M lên ng th ng (∆) ∆ Phương pháp 1: Vi t PT m t ph ng (α) qua M (α ) ⊥ (∆ ) Giao i m H c a (∆) (α ) hình chi u vng góc c a M lên (∆) Phương pháp 2: Vi t PT tham s c a (∆ ) ⇒ T a H theo tham s t MH ⊥ u véctơ ch phương c a (∆) GPT MH ⋅ u = ⇒ tham s t ⇒ T a Bài Xác H nh hình chi u vng góc c a M(−1; −1; 1) lên ng th ng (∆): { x = + t ; y = + t ; z = −3 − 3t} D ng 5: Xác nh i m i x ng v i i m M cho trư c qua ng th ng (∆) ∆ Phương pháp: Tìm hình chi u vng góc H c a M lên (∆ ) Gi s M(x1, y , z1), H(x0 , y0, z0), ó i m M’ i x ng M qua (∆) M ′ ( x − x1 , y − y1 , z − z1 ) Bài Xác nh i m i x ng v i i m M(0; 2; −1) lên ng th ng (∆): { x = + t ; y = + t ; z = − 3t} D ng 6: Xác ∆ α nh hình chi u vng góc c a ng th ng (∆) lên m t ph ng (α) Phương pháp: TH1: (∆ ) ⊥ (α ) ⇒ Hình chi u vng góc c a (∆ ) lên (α ) i m H≡ (∆) ∩ (α ) TH2: (∆ ) ⊂ (α ) ⇒ Hình chi u vng góc c a (∆ ) lên (α ) ng th ng (∆) TH3: (∆ ) không vuông góc v i (α), (∆ ) ⊄ (α ): C1: Vi t phương trình m t ph ng (β ) ch a (∆ ) (β ) ⊥ (α ) Hình chi u vng góc c a (∆) lên (α) ng th ng (∆ ’) = (β ) ∩ (α ) C2: L y i m A, B phân bi t thu c (∆ ) Xác nh hình chi u vng góc c a A, B lên (α ) H1, H2 Hình chi u vng góc c a (∆) lên (α) ng th ng (∆ ’) ≡ H1 H2 C3: N u (∆ ) c t (α ): Xác Xác nh A ≡ (∆ ) ∩ (α ) L y M b t kì ∉ (∆) M ≠ A nh hình chi u vng góc H c a M lên (α) Hình chi u vng góc c a (∆) lên (α) (∆ ’) ≡ AH Bài Xác 5 x − y − z − =  nh hình chi u vng góc c a (∆):  x + 2z − =  lên m t ph ng (α): 2x – y + z – = D ng 7: Xác nh hình chi u song song c a ng th ng (∆1) lên (α) ∆ α ∆ theo phương (∆2) c t (α) α Phương pháp: TH1: (∆1 ) // (∆ 2) ⇒ Hình chi u song song c a (∆1 ) lên (α ) theo phương (∆2 ) i m H≡ ( ∆1 ) ∩ (α ) TH2: (∆1 ) (∆2 ) khơng song song: Vi t phương trình m t ph ng (β ) ch a (∆1 ) // (∆2 ) Hình chi u song song c a (∆1) lên (α) theo phương (∆2) (∆) = (β) ∩ (α) Bài Xác 7 x + y − z − =  nh hình chi u song song c a t (∆1):  lên (α): x + 2y + z +1=   y +1 z + x − y + z − = theo phương (∆ 2): x − = = ∆ D ng 8: VPT ng th ng (∆) qua M c t (∆1), (∆2) v i (∆1), (∆2) chéo ∆ ∆ ∆ ∆ không i qua M Phương pháp 1: Vi t phương trình m t ph ng (α ) qua M ch a (∆ 1) N u cho (∆1) dư i d ng t ng quát nên vi t phương trình (α) dư i d ng chùm N u (∆1 ) d ng tham s l y i m A, B ∈ (∆1 ) ⇒ Phương trình (α ) qua i m A, B, M N u (α ) // (∆2 ) tốn vơ nghi m N u (α) c t (∆2 ) tìm N = (∆ 2) ∩ (α ) N u MN // (∆ 1) tốn vơ nghi m, n u MN c t (∆1 ) suy ng th ng c n tìm (∆) ≡ MN Phương pháp 2: Vi t phương trình m t ph ng (α ) qua M ch a (∆ 1), m t ph ng (β ) qua M ch a (∆2 ) Xét (∆) = (α ) ∩ (β ) N u (∆) c t (∆1 ) (∆2 ) ng th ng (∆ ) ng th ng c n tìm N u (∆ ) // (∆1 ) ho c (∆ 2) tốn vơ nghi m Bài VPT y − =  , T (∆) qua M(1; 3; 0) (∆) c t (∆1):  2 x − z − =  (∆2): { x = + 2t , y = − t , z = + t} ∆ D ng 9: VPT ng th ng (∆) c t (∆1), (∆2) song song v i (∆3) ∆ ∆ ∆ Phương pháp 1: Vi t phương trình m t ph ng (α ) ch a (∆1 ) // (∆3 ), m t ph ng (β ) ch a (∆2 ) // (∆3 ) N u (α ) // (β ) tốn vơ nghi m N u (α ) c t (β ) xét (∆ ) = (α) ∩ (β) N u (∆ ) c t (∆1 ) (∆2 ) ng th ng (∆) ng th ng c n tìm N u (∆ ) // (∆ 1) ho c (∆2 ) tốn vơ nghi m Phương pháp 2: Vi t phương trình tham s c a (∆1 ) theo t1, c a (∆ 2) theo t2 L y M ∉ (∆1 ), N ∉ (∆2 ) ⇒ T a Xác M, N theo t1, t2 ⇒ MN theo t1, t2 nh t1, t2 cho MN // (∆ 3) ⇒ ng th ng (∆ ) c t (∆1 ), (∆ 2) song song v i (∆3 ) (∆ ) ≡ MN Phương pháp 3: G i M(x0, y0, z0) giao i m c a (∆) (∆ 1) (∆) nh n VTCP c a (∆3) làm VTCP ⇒ Phương trình tham s c a (∆) theo x0, y0, z0 ( ∆ )  (∆ ) c t (∆ 2) suy h  có nghi m ⇒ x 0, y0, z0 ⇒ Phương trình (∆ ) ( ∆ )  y − =  Bài VPT ng th ng (∆) c t (∆1):  , (∆2): 2 x − z − =  { x = + 2t , y = − t , z = + t} // v i tr c Oz Bài VPT y + z −1 y −3 z −9 = = T (∆) c t (∆1): x − = , (∆2): x − = 1 y+3 z−2 // (∆3): x + = = −2 ∆ 10 D ng 10: VPT ng th ng (∆) qua M vng góc (∆1), c t (∆2) ∆ ∆ ó M ∉ (∆1), (∆2) ∆ ∆ Phương pháp: Vi t phương trình m t ph ng (α ) qua M ⊥ (∆1 ), m t ph ng (β ) qua M ch a (∆ 2) N u (α ) // (β ) tốn vơ nghi m N u (α ) c t (β ) xét (∆ ) = (α) ∩ (β) N u (∆ ) c t (∆2 ) ng th ng (∆ ) ng th ng c n tìm N u (∆ ) // (∆ 2) tốn vơ nghi m y +1 z + = Bài VPT ng th ng (∆) qua M(1; 2; 0) ⊥ (∆1): x − = , 2 7 x + y − z − =  c t (∆ 2):  x + y + z + =  ∆ 11 D ng 11: VPT ng vng góc chung c a ng th ng (∆1), (∆2) ∆ chéo a TH c bi t: (∆ 1) ⊥ (∆2): Vi t phương trình m t ph ng (α ) ch a (∆1 ) (α) ⊥ (∆2 ) Tìm M = ( ∆ ) ∩ ( α ) , H hình chi u vng góc c a M lên (∆1 ) ⇒ MH ng vuông góc chung c a (∆1 ), (∆2) b Phương pháp 1: Vi t phương trình (∆1 ), (∆ 2) dư i d ng tham s L y M∈ (∆ 1), N∈ (∆ 2) ⇒ T a M, N theo t1 , t ⇒ MN theo t1 , t MN ng vng góc chung c a (∆1 ), (∆ 2) ⇒ MN ⊥ ( ∆ ) , MN ⊥ ( ∆ ) ⇒ t1 , t ⇒ MN c Phương pháp 2: G i a1 , a VTCP c a (∆1 ) (∆ 2) ⇒ ng vng góc chung (∆) có VTCP a = a1 , a2    Vi t phương trình m t ph ng (α ) ch a (∆1 ) // (∆), m t ph ng (β) ch a (∆2 ) // (∆) ⇒ (∆) = (α) ∩ (β) Bài Cho A(6; 3; 0), B(−2; 9; 1), S(0; 5; 8) Vi t phương trình ng vng góc chung c a SB, OA Bài Vi t phương trình ng vng góc chung c a x + y + z − = ( ∆1 ) :  y + z − =  x − y − 2z + = ( ∆ ) :  y − z +1= Bài Vi t phương trình ng vng góc chung c a x = + t2  x = + 2t1  ( ∆ ) :  y = + t1 ( ∆ ) :  y = −3 + 2t   z = + 3t  z = −3 + 3t   Bài VPT ng vuông góc chung c a 3 x − y − = ( ∆ ) : 5 x + z − 12 = ( ∆ ) : {x = −1 + 3t; y = −3 − 2t; z = − t}  x = + t x + 2z − =  Bài Cho ( ∆ ) :  y = − t ( ∆ ) :  y − =  z = 2t  u (∆ 1) (∆2) Vi t phương trình m t ph ng cách 12 D ng 12: Các toán v kho ng cách 12.1 Tính kho ng cách: Bài Tính kho ng cách t M(1; 2; 3) y +1 z −1 n (∆) : x − = = Bài Cho A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(4;−1; 1) Tính kho ng cách t A Bài Tính kho ng cách gi a ng th ng x + y = ( ∆ ) :  x − y + z − = ( ∆ ) : { x = + 3t; y = −t; z = + t}  Bài Tính kho ng cách gi a ng th ng − ( ∆1 ) : x 1 = y −2 z −3 = , x + y − z = ( ∆ ) : 2 x − y + 3z − =  Bài Tính kho ng cách gi a ng th ng  x + z + 23 =  x − 2z − =   ( ∆ ) :  y − z + 10 = , ( ∆ ) :  y + z + = Bài Tính kho ng cách gi a m t ph ng (α): 2x + y + z – = (β):2x + y + z + 10 = n BC Bài Cho A(5; 7;−2), B(3;1;1), C(9; 4;−4) Tính kho ng cách t D(−1; 5; 0) n (ABC) 12.2 Tìm i m bi t kho ng cách cho trư c: Bài Cho (α): x + 2y – 2z – = Tìm M∈Oy cho kho ng cách t M n (α) b ng Bài Cho A(1;−2; 0) Tìm M∈Oz cho kho ng cách t M n (α): 3x – 2y + 6z + = b ng MA Bài Cho (α): x + y + z + = 2 x + y + z − = Tìm M∈(∆):  cho d ( M , ( α ) ) = x + y + 2z + = Bài Cho (α): 12x – 16y + 15z + = (β): 2x + 2y – z – = Tìm M∈Ox cách u (α) (β) 12.3 Các toán v t ng, hi u kho ng cách l n nh t, nh nh t: a D ng 1: Cho i m A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x , y , z ) (MA + MB) Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = Phương pháp: Xác cách tính nh v trí tương i c a A, B i v i m t ph ng (P) b ng i lư ng: t A = ax1 + by + cz1 + d ; t B = ax + by + cz + d N u t A t B < ⇔ A, B khác phía i v i (P) G i M ≡ (AB)∩ (P), ó MA + MB ≥ AB = M 0A + M0 B N u t A t B > ⇔ A, B phía i v i (P) L y A1 i x ng A qua (P) G i M0 ≡ (A1 B)∩ (P) Khi ó MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M B b D ng 2: Cho i m A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x , y , z ) Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = Phương pháp: Xác cách tính nh v trí tương |MA – MB| max i c a A, B i v i m t ph ng (P) b ng i lư ng: t A = ax1 + by + cz1 + d ; t B = ax + by + cz + d N u t A t B > ⇔ A, B phía i v i (P) G i M ≡ (AB)∩ (P), ó |MA – MB| ≤ AB = | M0 A – M 0B| N u t A t B < ⇔ A, B khác phía i v i (P) L y A1 i x ng A qua (P) G i M0 ≡ (A1B)∩ (P).Khi ó |MA – MB| = |MA1 – MB| ≤ A1B = | M0A1 – M0B| b D ng 3: Cho i m A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x , y , z ) Tìm M∈(∆) cho trư c cho (MA + MB) Phương pháp: Xác nh t a i m A’, B’ hình chi u tương ng c a i m A, B lên (∆ ) G i M0 i m chia o n A’B’ theo t s k= M A' M 0B' =− AA ' Ta ch ng minh MA + MB ≥ M 0A + M0 B BB ' Th t v y, g i A1 ∈(P) = ((∆), B) cho A khác phía B so v i (∆ ) th a mãn  A1 A ' = AA ' A A′ M A′  ⇒ = ⇒ A1, M ,B th ng hàng  B1 B ′ M B ′  A1 A ' ⊥ ( ∆ )  ⇒ MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M 0B = M0 A + M 0B Bài Cho A(−7; 4; 4), B(−6; 2; 3) Tìm M∈(P): 3x – y – 2z + 19 = (MA + MB) min;|MA – MB| max Bài Cho A(1; 2; 3), B(4; 4; 5) Tìm M∈ m t ph ng Oxy cho: (MA + MB) min; |MA – MB| max Bài Cho A(1; 0; 2), B(2; −1; 3) Tìm M∈ ( P ) : x − y + z − = (MA + MB) min; |MA – MB| max Bài Cho A(1; 3; −2), B(13; 7; −4) Tìm M∈ ( P ) : x − y + z − = (MA + MB) min; |MA – MB| max Bài Cho A(1; 2;−1), B ( − 2; 2; −3) x + y + z − = Tìm M∈ ( ∆ ) :  cho (MA + MB) y + z − = Bài Cho A(1; 1; 0), B(3;−1; 4) y −1 z + cho (MA + MB) Tìm M∈ ( ∆ ) : x + = = −1 A(1;2; −1) y−2 z −2  Bài Cho  Tìm M∈ ( ∆) : x + = cho (MA + MB) = −2 B ( 7; −2;3)  Bài Cho A(2; 3; 0) B ( 0; − 2; ) x + y + z − = cho (MA + MB) Tìm M∈ ( ∆ ) :  x − y + z − = 13 D ng 13: Các tốn v góc Bài Xác nh góc gi a m t ph ng ( P ) : x + y + 2z + = 0, ( P2 ) : 2x + y + z + = Bài Cho t di n ABCD v i A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(−1; 0;−2), D(−2; 1; 1) Tính góc c a m i c p c nh i c a ABCD; Tính góc ((AB); (BCD)) Bài Cho ( P1 ) : x − y − z + = , ( P2 ) : x + y + z − = , ( P3 ) : − x + y − z + = G i (∆) giao n c a (P1) (P2) Tính góc gi a (∆) v i giao n c a (P1), (P3) v i m t ph ng (P3) x = + t 3 x − y − =  Bài Cho ( ∆ ) :  ( ∆ ) :  y = −1 Tìm m z − 3y − =   z = + mt  a Góc gi a (∆1) (∆2) b ng 45° : b Góc gi a (∆1) (∆2) b ng 60° Khi ó tính góc gi a (P) v i (∆2) bi t r ng (P) ⊥ (∆1) ( ) Bài Cho A(0;−2; −2), B(−1; −1; 0), C(−2; −2; 0), D − ; −1; a Tính góc gi a ((ABC); (ABD)) b Tính góc kho ng cách gi a ng th ng (AD) (BC) 14 Bài m u Trong h Oxyz cho A(1; 4; 2); B(−1; 2; 4) ( d ) : x − = −1 Tìm t a y+2 z = i m M thu c ng th ng (d) cho: a) MA + MB nh nh t; b) MA + MB nh nh t; c) MA + MB nh nh t d) Di n tích tam giác AMB nh nh t VPT m t ph ng (P) ch a (d) cho kho ng cách t A n (P) l n nh t VPT m t ph ng (Q) ch a (d) t o v i m t ph ng (xOy) m t góc nh nh t VPT m t ph ng (R) ch a ng th ng (d) t o v i tr c Oy góc l n nh t Trong s ng th ng i qua A c t ng th ng (d), vi t phương trình ng th ng cho kho ng cách t B n l n nh t? nh nh t? Gi i M (1 − t ; − + t ; 2t ) ∈ d ⇒ MA = ( t ; − t ; − 2t ) , MB = ( −2 + t ; − t ; − 2t ) a MA + MB = ( −2 + 2t ; 10 − 2t ; − 4t ) Suy MA + MB = 24 ( t − ) + 44 Do ó MA + MB nh nh t t = lúc ó M ( −1; 0; ) b Ta có MA + MB = 12t − 48t + 76 = 12 ( t − ) + 28 V y MA + MB nh nh t t = ó M ( −1; 0; ) c Ta s xác nh hình chi u A1 , B1 c a hai i m A, B lên ng th ng (d) ) ( − 14t + 18 ) ⇔ t = ⇔ M ≡ B ( − ; ; 14 ) v i BB ⊥ ( d ) 3 3 MA = ( 3t − 10t + 20 ) ⇔ t = ⇔ M ≡ A1 − ; − ; 10 v i AA1 ⊥ ( d ) 3 3 MB = ( 3t AA1 = 210 ; BB1 = 30 3 s k =− AA1 BB1 1 = − nên t a i m M c n tìm i m chia o n A1 B1 theo t  −2 (1 + ) 10 − 14  ; − 1; c a M    (1 + ) 3 (1 + )    d AM ( −t ; − + t ; − + 2t ) ; AB ( −2; − 2; 2) ;  AM ; AB  = ( 6t −16; − 2t + 4; 4t −12)   2 S AMB =  AM ; AB  = ( 6t − 16 ) + ( −2t + ) + ( 4t − 12 ) = 56t − 304t + 416   2 304 = 19 , ó M − 12 ; ; 38 D th y S AMB nh nh t t = 112 7 7 x + y + =  PT t ng quát c a (d)  Vì m t ph ng (P) ch a ng th ng 2 y − z + =  ) ( (d) nên (P) có phương trình a ( x + y + 1) + b ( y − z + ) = v i a + b ≠ • N u a ≠ có th gi s Suy d ( A; ( P ) ) = 5b + 2.4 − + = 10 = 5 + ( −1) a = Khi ó ( P ) : x + (1 + 2b ) y − bz + + 4b = • N u a = (P): y − z + = Khi ó d ( A; ( P ) ) = Xét hàm s f (b) = 2 ( 5b + 3) 5b + 4b + 5b + 4b + 2 Ta có f ′ ( b ) = −50b + 10b + 24 = ⇔ b = ∨ b = − 5 ( 5b + 4b + ) Do f = 35 ; f − = ; lim f ( b ) = nên d ( A; ( P ) ) l n nh t b ng 35 b →∞ 6 () ( ) K t lu n: So sánh hai trư ng h p ta có Max d ( A; ( P ) ) = 35 b = , lúc ó phương trình (P) có d ng x + 13 y − z + 21 = , hay ( P ) : x + 13 y − z + 21 = 5 Do (Q) ch a (d) nên PT (Q): a ( x + y + 1) + b ( y − z + ) = v i a + b ≠ M t ph ng (xOy) có phương trình z = • N u a = (Q): y − z + = ó cos α = • N u a ≠ ta có th gi s a = Khi ó (Q): x + (1 + 2b ) y − bz + + 4b = T b ó cos α = Xét hàm s g (b) = b2 = cos α 5b + 4b + 2 5b + 4b + 4b + 4b = ⇔ b = ∨ b = −1 Ta có g ′ ( b ) = ( 5b + 4b + ) Do g ( ) = 0; g ( −1) = ; lim g ( b ) = nên cos α l n nh t b ng b→∞ b = −1 K t lu n: So sánh hai trư ng h p ta th y cos α l n nh t hay (Q) t o v i m t ph ng (xOy) góc nh nh t b = −1 Lúc ó (Q) x − y + z − = PT (R): a ( x + y + 1) + b ( y − z + ) = Tr c Oz có VTCP v ( 0; 1; ) N u a = (R): y − z + = β = ((Q), Oy) th a mãn sin β = N u a ≠ ta có th gi s a = Khi ó (R): x + (1 + 2b ) y − bz + + 4b = Khi ó sin β = + 2b Xét hàm s h ( b ) = 4b2 + 4b + = sin β 5b + 4b + 5b + 4b + 2 Ta có h ′ ( b ) = −4b + 6b + 42 = ⇔ b = ∨ b = − ( 5b + 4b + ) ( ) Do h ( ) = ; h − = ; lim h ( b ) = nên sin β l n nh t b ng , b = b →±∞ 6 K t lu n: So sánh hai trư ng h p ta th y sin β l n nh t b = Khi ó m t ph ng (R) có phương trình x + y − z + = Gi s d ng th ng b t kì i qua A c t d t i M (1 − t ; − + t ; 2t ) Khi ó d ( B; d ) =  AM ; AB    AM = 56t − 304t + 416 6t − 20t + 40 = 28t − 152t + 208 3t − 10t + 20 16 (11t − 8t − 60 ) = ⇔ t = −2 ; t = 30 Xét u ( t ) = 28t − 152t + 208 Ta có u ′ ( t ) = 11 3t − 10t + 20 ( 3t − 10t + 20 ) ( ) Do u ( −2 ) = 48; u 30 = ; lim u ( t ) = 28 nên kho ng cách t B 11 35 b→∞ nh t b ng 48 t = −2 nh nh t b ng t = 30 Khi ó 35 11 y−4 z−2 y−4 = = d : x − = có phương trình d : x − = −4 −3 15 18 n d2 l n d tương ng z−2 −19 ... song v i Ox Tính d ( O, P ) t ó suy d ( Ox; SE ) Ư NG TH NG TRONG KHƠNG GIAN PHƯƠNG TRÌNH I VÉCTƠ C TRƯNG C A Ư NG TH NG TRONG KHÔNG GIAN: Véctơ a = ( a1 ; a ; a ) véc tơ ch phương (VTCP) c a... t s b ng t suy d ng tham s III V TRÍ TƯƠNG V trí tương I C A CÁC Ư NG TH NG VÀ M T PH NG TRONG KHÔNG GIAN i c a ng th ng: Cho (∆ 1) i qua M1(x 1; y , z1) v i VTCP u = ( a1 , a , a ) , (∆2) i... m t VTCP c a (∆) ka (k ≠ 0) VTCP c a (∆) t c (∆) có vơ s VTCP II PHƯƠNG TRÌNH Ư NG TH NG TRONG KHƠNG GIAN Phương trình tham s : Phương trình ng th ng (∆) i qua M0(x 0, y 0, z0)  x = x + a1t