Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 133 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Việt Anh PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Việt Anh PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Lê Dũng Mưu PGS.TS Nguyễn Hữu Điển XÁC NHẬN NCS ĐÃ CHỈNH SỬA THEO QUYẾT NGHỊ CỦA HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ LUẬN ÁN Người hướng dẫn khoa học Chủ tịch hội đồng đánh giá Luận án Tiến sĩ GS.TSKH Lê Dũng Mưu GS.TSKH Phan Quốc Khánh Hà Nội - 2018 z LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết số liệu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Các kết viết chung với tác giả khác nhận trí đồng tác giả đưa vào luận án Hà nội, ngày tháng năm 2018 Nghiên cứu sinh Trần Việt Anh z LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn GS TSKH Lê Dũng Mưu PGS.TS Nguyễn Hữu Điển Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn hướng dẫn tận tình GS TSKH Lê Dũng Mưu PGS TS Nguyễn Hữu Điển trình học tập nghiên cứu Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Lãnh đạo trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Phịng Sau đại học, Khoa Tốn - Cơ - Tin học, thầy cô giáo Bộ mơn Tốn giải tích, Ban Giám đốc Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng, thầy giáo bạn đồng nghiệp Khoa Cơ I - Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng động viên giúp đỡ tác giả thời gian làm nghiên cứu sinh Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS TSKH Phạm Kỳ Anh thành viên nhóm Xêmina liên quan Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, Trường Đại học Thăng Long, Viện Toán học, Viện nghiên cứu cao cấp Tốn đóng góp nhiều ý kiến quý báu thời gian tác giả tham dự Xêmina Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn động viên hỗ trợ gia đình bạn bè suốt trình học tập, nghiên cứu z MỤC LỤC Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Bảng kí hiệu Bảng chữ viết tắt Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm lồi vi phân hàm lồi 1.2 Toán tử chiếu khơng gian Hilbert 1.3 Bài tốn điểm bất động 1.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.5 Bài toán cân 20 20 22 23 24 31 Chương Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán điểm bất động tách 2.1 Định lý hội tụ 2.2 Một số hệ 2.3 Thử nghiệm số 39 40 50 53 Chương Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tách toán chấp nhận tách đa tập hợp 3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 3.1.1 Thuật toán định lý hội tụ 3.1.2 Một số hệ 3.1.3 Thử nghiệm số 3.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp 3.2.1 Thuật toán định lý hội tụ 57 57 58 69 70 74 75 z 3.3 3.2.2 Một số hệ Bài toán bất đẳng thức biến phân với tập hợp 3.3.1 Thuật toán định lý hội tụ 3.3.2 Một số hệ 3.3.3 Thử nghiệm số ràng buộc chấp nhận tách Chương Phương pháp tìm nghiệm có chuẩn nhỏ cân tách 4.1 Thuật toán định lý hội tụ 4.2 Một số hệ 4.3 Thử nghiệm số đa 84 86 88 97 98 toán 104 106 115 118 Kết luận kiến nghị 124 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 126 Tài liệu tham khảo 127 z BẢNG KÍ HIỆU R tập số thực Rn không gian Euclide n−chiều H không gian Hilbert thực N tập số tự nhiên N∗ tập số nguyên dương ∃x tồn x ∀x với x kxk chuẩn vectơ x hx, yi tích vơ hướng hai vectơ x y ∅ tập rỗng A⊂B A tập B B tích Descartes hai tập A B x∈A phần tử x thuộc tập A x∈ /A phần tử x không thuộc tập A int C phần tập C dom f miền hữu hiệu hàm số f argmin{f (x) : x ∈ C} phần tử cực tiểu hàm f C argmax{f (x) : x ∈ C} phần tử cực đại hàm f C δC hàm C NC (x) nón pháp tuyến ngồi C x ∂f (x) vi phân hàm f x Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T PC (x) hình chiếu x C {xn } dãy vectơ xn xn −→ x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn * x dãy {xn } hội tụ yếu tới x lim sup giới hạn lim inf giới hạn A∗ toán tử liên hợp A z V IP (C, F ) toán bất đẳng thức biến phân Sol(C, F ) tập nghiệm toán V IP (C, F ) EP (C, f ) toán cân Sol(C, f ) tập nghiệm toán cân EP (C, f ) kết thúc chứng minh z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT SFPP toán điểm bất động tách SFP toán chấp nhận tách VIP toán bất đẳng thức biến phân BVIP toán bất đẳng thức biến phân hai cấp SVIP toán bất đẳng thức biến phân tách BSVIP toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp EP toán cân SEP toán cân tách MSSFP toán chấp nhận tách đa tập hợp 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lý chọn đề tài Cho H khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng h·, ·i chuẩn tương ứng k · k, C tập lồi đóng khác rỗng H, F ánh xạ từ tập H chứa C vào H Bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP - Variational Inequality Problem) V IP (C, F ) phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ C cho hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ ∀x ∈ C Bài toán bất đẳng thức biến phân giới thiệu lần vào năm 1966 Philip Hartman Guido Stampacchia công bố nghiên cứu bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải toán biến phân, toán điều khiển tối ưu tốn biên lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Bài tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian vơ hạn chiều ứng dụng giới thiệu sách "An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications" David Kinderlehrer Guido Stampacchia xuất năm 1980 sách "Variational and Quasivariational Inequalities: Applications to Free Boundary Problems" Claudio Baiocchi Antonio Capelo xuất năm 1984 Hiện nay, toán bất đẳng thức biến phân phát triển thành nhiều dạng khác nhau, ví dụ bất đẳng thức biến phân tách, bất đẳng thức biến phân vectơ, bất đẳng thức biến phân ẩn, Bài toán bất đẳng thức biến phân thu hút nhiều quan tâm nhà tốn học mơ hình chứa nhiều tốn quan trọng số lĩnh vực khác toán học ứng dụng tối ưu hóa, tốn bù, tốn điểm bất động Brouwer, lý thuyết trò chơi, cân mạng lưới giao thông, Một hướng nghiên cứu quan trọng toán bất đẳng thức biến 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 = 0, k−→∞ k−→∞ k + ∞ ∞ X X = ∞, • αk = k+2 k=0 k=0 k+2 k+1 • ≤ ηk = ≤ = − αk , 3k + k+2 k+2 • lim ηk = lim = < 1, k−→∞ k−→∞ 3k + 3 • {δk } ⊂ [0.1, 0.2] ⊂ 0, = 0, 19 kAk2 + Với sai số ε = 10−9 , ta có kết tính tốn Bảng 3.3 nghiệm xấp xỉ nhận • lim αk = lim sau 73550 bước lặp x73550 = (0.88889, −0.44436, −0.88890, 0.99998)T , xấp xỉ tốt cho nghiệm có chuẩn nhỏ x∗ = −4 −8 T , , , MSSFP 9 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 100 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 k+2 k+1 , ηk = , δk = , k+2 3k + 10k + 11 điểm xuất phát x0 = (3, 5, −4, 7)T sai số ε = 10−9 Bảng 3.3: Thuật tốn 3.3 cho Ví dụ 3.3 với αk = Số bước lặp k xk1 xk2 xk3 3.00000 5.00000 −4.00000 7.00000 1.50000 2.50000 −2.00000 3.50000 0.89560 1.71887 −1.22893 2.29273 0.78602 1.23199 −1.03602 1.71955 0.77539 0.91230 −0.97539 1.37564 0.78985 0.68841 −0.95651 1.14637 0.80687 0.52514 −0.94973 0.98260 0.82100 0.40200 −0.94600 0.85977 0.85884 0.29280 −0.96996 0.86884 0.86507 0.21747 −0.96507 0.87057 10 0.86645 0.15768 −0.95736 0.87599 ··· ··· ··· ··· xk4 ··· 73546 0.88889 −0.44435 −0.88890 0.99998 73547 0.88889 −0.44435 −0.88890 0.99998 73548 0.88889 −0.44435 −0.88890 0.99998 73549 0.88889 −0.44435 −0.88890 0.99998 73550 0.88889 −0.44436 −0.88890 0.99998 Các bảng 3.4, 3.5 3.6 cho ta kết tính tốn số Thuật toán 3.3 với tham số αk , ηk , δk khác nhau, điểm xuất phát khác sai số khác Các trường hợp cho ta nghiệm xấp xỉ sau số bước lặp −4 −8 T nghiệm tốt so với nghiệm x∗ = , , ,1 9 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 101 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Bảng 3.4: Thuật tốn 3.3 cho Ví dụ 3.3 với tham số αk , ηk , δk khác nhau, điểm xuất phát x0 = (2, −1, 3, −4)T sai số ε = 10−6 (αk , ηk , δk ) k+2 k+1 , , δk = k + 3k + 10k + 11 k+1 , 0, k+ 10k + 11 , 0, 0.15 k + k+2 k+2 k+1 ln , , δk = +4 10k + 11 k1+ 3k k+2 k+1 √ , , δk = 10k + 11 k + 3k + Số bước lặp k Thời gian CPU (giây) xk 2077 3.2136 (0.88940, −0.44470, −0.88699, 0.99937)T 1999 3.0420 (0.88961, −0.44481, −0.88711, 0.99957)T 1999 3.0420 (0.88961, −0.44481, −0.88711, 0.99957)T 1660 3.1356 (0.88880, −0.44440, −0.88743, 0.99922)T 10587 16.3021 (0.87762, −0.43881, −0.87762, 0.98732)T Bảng 3.5: Thuật tốn 3.3 cho Ví dụ 3.3 với điểm xuất phát x0 khác nhau, k+2 k+1 αk = , ηk = , δk = sai số ε = 10−6 k+2 3k + 10k + 11 Điểm xuất phát x0 Số bước lặp k Thời gian CPU (giây) xk (0.1, 0.3, 0.2, −0.4)T 1483 2.1684 (0.88825, −0.44389, −0.88805, 0.99912)T (−2, 4, 5, 3)T 1925 3.6972 (0.88933, −0.44311, −0.88777, 0.99932)T (−3, −28, 20, −10)T 5838 10.4833 (0.88886, −0.44948, −0.88595, 0.99978)T (10, 40, −25, 32)T 6872 12.0745 (0.88921, −0.43806, −0.89139, 0.99981)T (30, −60, 40, 43)T 8774 14.7889 (0.89116, −0.45071, −0.88319, 0.99985)T Bảng 3.6: Thuật tốn 3.3 cho Ví dụ 3.3 với sai số ε khác nhau, αk = ηk = k+2 k+1 , δk = điểm xuất phát x0 = (2, 3, −6, −4)T 3k + 10k + 11 , k+2 Sai số Số bước lặp k Thời gian CPU (giây) xk ε = 10−5 769 1.3728 (0.88623, −0.43792, −0.89142, 0.99831)T ε = 10−6 2431 4.0560 (0.88805, −0.44238, −0.88969, 0.99946)T ε = 10−7 7688 13.0573 (0.88862, −0.44379, −0.88914, 0.99983)T ε = 10−8 24311 38.1734 (0.88880, −0.44424, −0.88897, 0.99995)T ε = 10−9 76879 112.4923 (0.88886, −0.44438, −0.88891, 0.99998)T 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 102 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Kết luận chương Trong chương này, chúng tơi trình bày thuật tốn giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp phương pháp đạo hàm tăng cường Từ chúng tơi thu hệ thuật tốn giải toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm toán chấp nhận tách Một kết đóng góp chương đề xuất thuật tốn giải toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tách với ánh xạ giá giả đơn điệu liên tục Lipschitz Theo hiểu biết chúng tơi chưa có thuật tốn khác để giải tốn Đóng góp chương đề xuất thuật toán để giải toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm toán chấp nhận tách đa tập hợp Bằng cách sử phương pháp song song kết hợp với thuật toán CQ để giải toán chấp nhận tách, đưa cách tiếp cận khác với cách tiếp cận đưa GS Nguyễn Bường (xem [8]) để giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán chấp nhận tách đa tập hợp 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 103 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Phương pháp tìm nghiệm có chuẩn nhỏ toán cân tách Trong chương này, chúng tơi trình bày phương pháp đạo hàm tăng cường để giải tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ toán cân tách Các kết chương công bố báo [4] danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H1 H2 Giả sử A : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn song hàm f : C × C −→ R g : Q × Q −→ R Khi tốn cân tách (SEP Split Equilibrium Problem) tốn Tìm x∗ ∈ C : f (x∗ , x) ≥ ∀x ∈ C (4.1) y ∗ = Ax∗ ∈ Q : g(y ∗ , y) ≥ ∀y ∈ Q (4.2) cho Bài toán cân tách giới thiệu nghiên cứu Zhenhua He (xem [29]) cho song hàm f, g đơn điệu thỏa mãn Bổ đề 1.6 Thuật toán giải toán cân tách Zhenhua He sau: Xét dãy {xk } cho x1 ∈ C, {λk } ⊂ (0, ∞), µ > 0, y k = T f (xk ), λk (4.3) uk = Tλgk (Ay k ), xk+1 = P (y k + µA∗ (uk − Ay k )) C Dưới điều kiện {λk } µ, dãy {xk } cho (4.3) hội tụ yếu đến nghiệm SEP với điều kiện tập nghiệm SEP khác rỗng 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 104 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Gần Bùi Văn Định đồng nghiệp (xem [23]) đề xuất phương pháp đạo hàm tăng cường-gần kề cho SEP Với ý tưởng sử dụng phương pháp đạo hàm tăng cường để giải toán cân thuật toán Zhenhua He, tác giả đề xuất thuật toán giải SEP trường hợp f giả đơn điệu g đơn điệu Thuật tốn mơ tả sau: x1 ∈ C, {λk } ⊂ (0, ∞), {αk } ⊂ (0, ∞), µ > 0, n o k k k ky − x k : y ∈ C , y = argmin λ f (x , y) + k n o z k = argmin λk f (y k , y) + ky − xk k2 : y ∈ C , k g k u = Tαk Az , xk+1 = P (z k + µA∗ (uk − Az k )) C (4.4) Các tác giả chứng minh với điều kiện đặt lên {αk }, {λk }, µ tập nghiệm SEP khác rỗng dãy {xk } xác định (4.4) hội tụ yếu đến nghiệm SEP với f giả đơn điệu g đơn điệu Khi H1 = H2 , C = Q A ánh xạ đồng H1 , SEP trở thành tốn tìm nghiệm chung hai tốn cân (4.1) (4.2) Còn f = g = SEP trở thành tốn chấp nhận tách SFP Tìm x∗ ∈ C cho Ax∗ ∈ Q Năm 2012, Lu-Chuan Ceng đồng nghiệp (xem [14]) đề xuất thuật tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ SFP x0 ∈ H1 chọn bất kỳ, y k = PC (xk − λk ∇fαk (xk )), xk+1 = βk xk + γk y k + δk PC (xk − λk ∇fα (y k )) ∀k ≥ 0, k (4.5) ∇fαk := A∗ (I − PQ )A + αk I Các tác giả chứng minh với điều kiện {λk }, {αk }, {βk }, {γk } {δk } dãy {xk }, {y k } cho (4.5) hội tụ mạnh đến nghiệm có chuẩn nhỏ SFP với điều kiện tập nghiệm Γ SFP khác rỗng Với ý tưởng sử dụng phương pháp đạo hàm tăng cường để giải toán cân bằng, chương này, sử dụng phương pháp đạo hàm tăng cường để giải 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 105 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ SEP, song hàm f, g giả đơn điệu Bài tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ SEP mơ tả sau: Tìm x∗ ∈ Ω cho kx∗ k ≤ kxk ∀x ∈ Ω, Ω = {x∗ ∈ Sol(C, f ) : Ax∗ ∈ Sol(Q, g)} tập nghiệm SEP 4.1 Thuật toán định lý hội tụ Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H1 H2 Giả sử song hàm f : H1 × H1 −→ R ∪ {+∞}, g : H2 × H2 −→ R ∪ {+∞} thỏa mãn đồng thời điều kiện: • Ít hai điều kiện int C 6= ∅ điều kiện với x ∈ C hàm f (x, ·) liên tục điểm thuộc C thỏa mãn; • f giả đơn điệu C, liên tục yếu đồng thời C × C thỏa mãn (A) điều kiện kiểu Lipschitz C với số c1 > 0, c2 > 0; • với x ∈ C hàm f (x, ·) lồi, nửa liên tục H1 khả vi phân C; • với x ∈ C C ⊂ dom f (x, ·) f (x, x) = • Ít hai điều kiện int Q 6= ∅ điều kiện với u ∈ Q hàm g(u, ·) liên tục điểm thuộc Q thỏa mãn; • g giả đơn điệu Q, liên tục yếu đồng thời Q × Q thỏa mãn (B) điều kiện kiểu Lipschitz Q với số L1 > 0, L2 > 0; • với u ∈ Q hàm g(u, ·) lồi, nửa liên tục H2 khả vi phân Q; • với u ∈ Q Q ⊂ dom g(u, ·) g(u, u) = Ta giả thiết tập nghiệm Ω SEP khác rỗng Dễ thấy f g thỏa mãn điều kiện (A) (B) tập nghiệm Sol(C, f ) Sol(Q, g) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 106 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 toán cân (4.1) (4.2) lồi đóng (xem [43,46]) Do tập nghiệm Ω = {x∗ ∈ Sol(C, f ) : Ax∗ ∈ Sol(Q, g)} SEP lồi đóng Thuật tốn 4.1 Chọn x0 ∈ C dãy số {λk } ⊂ (0, 1), {δk }, {βk }, {µk } thỏa mãn đồng thời điều kiện ∞ X lim λk = 0, λk = ∞, k−→∞ k=0 {δ } ⊂ [a, b] ⊂ 0, , k kAk2 + n 1 o {βk } ⊂ [c, d] ⊂ 0, , , 2c1 2c2 o n {µk } ⊂ [e, f ] ⊂ 0, , 2L1 2L2 Với k ≥ 0, ta tính n o k k k u = argmin µ g(P (Ax ), u) + ku − P (Ax )k : u ∈ Q , k Q Q n o v k = argmin µk g(uk , u) + ku − PQ (Axk )k2 : u ∈ Q , k k ∗ k y = PC (x + δk A (v − Axk )), n o k k k ky − y k : y ∈ C , t = argmin β f (y , y) + k n o z k = argmin β f (tk , y) + ky − y k k2 : y ∈ C k xk+1 = PC (z k − λk z k ), A∗ tốn tử liên hợp A Định lý 4.1 Giả sử tập nghiệm Ω SEP khác rỗng điều kiện (A), (B) thỏa mãn Khi dãy {xk } Thuật tốn 4.1 hội tụ mạnh đến nghiệm có chuẩn nhỏ SEP Chứng minh Vì Ω tập lồi đóng khác rỗng nên tồn x∗ = PΩ (0) Theo định nghĩa tốn tử chiếu ta có kx∗ k ≤ kxk với x ∈ Ω Do x∗ nghiệm có chuẩn nhỏ SEP Ta chứng minh dãy {xk } hội tụ mạnh đến x∗ Phép chứng minh định lý chia thành bước sau: Bước 1: Với k ∈ N kxk+1 − x∗ k ≤ (1 − λk )kz k − x∗ k + λk kx∗ k, 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 107 (4.6) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 kxk+1 − x∗ k2 ≤ (1 − λk )kz k − x∗ k2 + 2λk hx∗ , x∗ − z k + λk z k i (4.7) Theo tính khơng giãn tốn tử chiếu PC , ta có kxk+1 − x∗ k = kPC (z k − λk z k ) − PC (x∗ )k ≤ kz k − λk z k − x∗ k = k(1 − λk )(z k − x∗ ) − λk x∗ k ≤ (1 − λk )kz k − x∗ k + λk kx∗ k, kxk+1 − x∗ k2 = kPC (z k − λk z k ) − PC (x∗ )k2 ≤ kz k − λk z k − x∗ k2 = k(1 − λk )(z k − x∗ ) − λk x∗ k2 = (1 − λk )2 kz k − x∗ k2 − 2λk (1 − λk )hx∗ , z k − x∗ i + λ2k kx∗ k2 ≤ (1 − λk )kz k − x∗ k2 − 2λk (1 − λk )hx∗ , z k − x∗ i + 2λ2k kx∗ k2 = (1 − λk )kz k − x∗ k2 + 2λk hx∗ , x∗ − z k + λk z k i Bước 2: Với k ∈ N ky k − x∗ k2 ≤ kxk − x∗ k2 − δk (1 − δk kAk2 )kv k − Axk k2 − δk kPQ (Axk ) − Axk k2 (4.8) Vì x∗ ∈ Ω nên x∗ ∈ Sol(C, f ) ⊂ C, Ax∗ ∈ Sol(Q, g) ⊂ Q Theo Bổ đề 1.1 tính chất toán tử chiếu kPQ (Axk ) − Ax∗ k2 =kPQ (Axk ) − PQ (Ax∗ )k2 ≤hPQ (Axk ) − PQ (Ax∗ ), Axk − Ax∗ i =hPQ (Axk ) − Ax∗ , Axk − Ax∗ i i 1h k ∗ k ∗ k k = kPQ (Ax ) − Ax k + kAx − Ax k − kPQ (Ax ) − Ax k Do kPQ (Axk ) − Ax∗ k2 ≤ kAxk − Ax∗ k2 − kPQ (Axk ) − Axk k2 (4.9) Vì Ax∗ ∈ Sol(Q, g) nên theo Mệnh đề 1.1, với k ∈ N, ta có kv k − Ax∗ k2 ≤ kPQ (Axk ) − Ax∗ k2 − (1 − 2µk L1 )kPQ (Axk ) − uk k2 − (1 − 2µk L2 )kuk − v k k2 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 108 (4.10) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 n 1 o Từ (4.10), (4.9) {µk } ⊂ [e, f ] ⊂ 0, , , ta 2L1 2L2 kv k − Ax∗ k2 ≤ kAxk − Ax∗ k2 − kPQ (Axk ) − Axk k2 (4.11) Sử dụng (4.11), ta có hA(xk − x∗ ), v k − Axk i = hv k − Ax∗ , v k − Axk i − kv k − Axk k2 i 1h = (kv k − Ax∗ k2 − kAxk − Ax∗ k2 ) − kv k − Axk k2 1 ≤ − kPQ (Axk ) − Axk k2 − kv k − Axk k2 2 Do đó, δk > nên 2δk hA(xk − x∗ ), v k − Axk i ≤ −δk kPQ (Axk ) − Axk k2 − δk kv k − Axk k2 (4.12) Từ (4.12) tính không giãn PC , ta ky k − x∗ k2 = kPC (xk + δk A∗ (v k − Axk )) − PC (x∗ )k2 ≤ k(xk − x∗ ) + δk A∗ (v k − Axk )k2 = kxk − x∗ k2 + δk2 kA∗ (v k − Axk )k2 + 2δk hxk − x∗ , A∗ (v k − Axk )i ≤ kxk − x∗ k2 + δk2 kA∗ k2 kv k − Axk k2 + 2δk hA(xk − x∗ ), v k − Axk i ≤ kxk − x∗ k2 + δk2 kAk2 kv k − Axk k2 − δk kPQ (Axk ) − Axk k2 − δk kv k − Axk k2 = kxk − x∗ k2 − δk (1 − δk kAk2 )kv k − Axk k2 − δk kPQ (Axk ) − Axk k2 Bước 3: Các dãy {xk }, {y k } {z k } bị chặn Theo Mệnh đề 1.1, với k ∈ N, ta có kz k − x∗ k2 ≤ ky k − x∗ k2 − (1 − 2βk c1 )ky k − tk k2 − (1 − 2βk c2 )ktk − z k k2 (4.13) n 1 o Từ (4.13) {βk } ⊂ [c, d] ⊂ 0, , , ta 2c1 2c2 kz k − x∗ k ≤ ky k − x∗ k ∀k ∈ N Vì {δk } ⊂ [a, b] ⊂ 0, (4.14) nên từ (4.8), ta có kAk2 + ky k − x∗ k ≤ kxk − x∗ k ∀k ∈ N 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 109 (4.15) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Từ (4.6), (4.14) (4.15), ta suy kxk+1 − x∗ k ≤ (1 − λk )kxk − x∗ k + λk kx∗ k ∀k ∈ N Do kxk+1 − x∗ k ≤ max{kx∗ k, kxk − x∗ k} ∀k ∈ N Từ đó, quy nạp, ta chứng minh kxk − x∗ k ≤ max{kx∗ k, kx0 − x∗ k} ∀k ∈ N Vậy dãy {xk } bị chặn dãy {y k }, {z k } bị chặn theo (4.15) (4.14) Bước 4: Dãy {xk } hội tụ mạnh đến x∗ Ta xét hai trường hợp: Trường hợp Tồn k0 cho dãy {kxk − x∗ k} giảm với k ≥ k0 Khi giới hạn lim kxk − x∗ k tồn hữu hạn k−→∞ Từ (4.7), (4.14) (4.15), ta có (kxk+1 − x∗ k2 − kxk − x∗ k2 ) − 2λk hx∗ , x∗ − z k + λk z k i ≤ kz k − x∗ k2 − kxk − x∗ k2 ≤ ky k − x∗ k2 − kxk − x∗ k2 ≤ Do đó, giới hạn dãy {kxk − x∗ k} tồn hữu hạn, lim λk = 0, {z k } bị chặn k−→∞ nên lim (kz k − x∗ k2 − kxk − x∗ k2 ) = 0, (4.16) lim (ky k − x∗ k2 − kxk − x∗ k2 ) = (4.17) k−→∞ k−→∞ Kết hợp (4.16) (4.17), ta lim (ky k − x∗ k2 − kz k − x∗ k2 ) = k−→∞ (4.18) n 1 o Từ (4.13) {βk } ⊂ [c, d] ⊂ 0, , , ta có 2c1 2c2 (1 − 2dc1 )ky k − tk k2 + (1 − 2dc2 )ktk − z k k2 ≤ ky k − x∗ k2 − kz k − x∗ k2 (4.19) Kết hợp (4.19) với (4.18), ta lim ky k − tk k = 0, lim ktk − z k k = k−→∞ k−→∞ 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 110 (4.20) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Từ (4.20) bất đẳng thức tam giác, ta có lim ky k − z k k = k−→∞ (4.21) Kết hợp (4.8) với {δk } ⊂ [a, b] ⊂ 0, , ta kAk2 + a(1 − bkAk2 )kv k − Axk k2 + akPQ (Axk ) − Axk k2 ≤ kxk − x∗ k2 − ky k − x∗ k2 (4.22) Từ (4.17) (4.22), ta có lim kv k − Axk k = 0, k−→∞ lim kPQ (Axk ) − Axk k = k−→∞ (4.23) Sử dụng bất đẳng thức tam giác (4.23), ta thu lim kPQ (Axk ) − v k k = k−→∞ (4.24) Vì {xk } ⊂ C PC không giãn nên kxk − y k k = kPC (xk ) − PC (xk + δk A∗ (v k − Axk ))k ≤ kxk − xk − δk A∗ (v k − Axk )k = kδk A∗ (v k − Axk )k ≤ δk kA∗ kkv k − Axk k ≤ bkAkkv k − Axk k Do đó, kết hợp bất đẳng thức với (4.23), ta có lim kxk − y k k = k−→∞ (4.25) Chọn dãy {z ki } {z k } cho lim suphx∗ , x∗ − z k i = lim hx∗ , x∗ − z ki i i−→∞ k−→∞ Vì dãy {z ki } bị chặn nên khơng tính tổng quát, ta giả sử z ki * z Do lim suphx∗ , x∗ − z k i = hx∗ , x∗ − zi k−→∞ Vì C lồi đóng nên đóng yếu Do từ {z ki } ⊂ C z ki * z, ta suy z ∈ C Ta chứng minh z ∈ Sol(C, f ) Vì n o tk = argmin βk f (y k , y) + ky − y k k2 : y ∈ C , 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 111 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 nên theo Mệnh đề 1.1, ta có βk [f (y k , y) − f (y k , tk )] ≥ htk − y k , tk − yi ∀y ∈ C (4.26) Đặc biệt, với i βki [f (y ki , y) − f (y ki , tki )] ≥ htki − y ki , tki − yi ∀y ∈ C Do đó, βki > với i nên f (y ki , y) − f (y ki , tki ) ≥ htki − y ki , tki − yi ∀y ∈ C βki (4.27) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ý βki ≥ c > với i, ta htki − y ki , tki − yi ktki − y ki kktki − yk