; V Ề002943/7-49899/9689/ 324972792 ~229*37 288882//6808929/08080G 32293832 2438304, 4:32820 2432542 x24420:212 200 , ' 5
& a i Sa Se ies 3 cil eke 4 3 v
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HAL HOC QUỐC GIÁ THÀNH PHO HO CHI MINH
TRUONG PAI HOC SU PHAM zế TA
LUẬN VĂN THẠC SĨ FOÁN HỌC
TINH LIEN TUC & LIPSCHITZ CUA
Trang 2GIG] THIEU
oom
- -
Một tron, những nhánh nghiên cứu chắnh của toán học hiện nay là giải
quyết các bài toần cực trị: nghiên cứu cực tiểu hoặc cực đại của một hàm [ trên
môi tận C nào đó Bài toán tổng quát có thể quy về dạng sau day: [{x)~Ừ min xe) vdi fda ham xắc định trên tập C >Q trong khéng gian Banach X nao dé (1) Thông thường tập @ được xác định bởi một hệ phương trình và bất phưởng trình: fÍx}<0,i=12, r 4 (x)=0 ,i=r+I ::.m
Với các giả thiết khác nhau về các hầm f và f; các nhà toán học đã dùng
khá nhiều giấy nưực cho bài toán (P) Trường hợp f va f 14 các hàm tuyến tắnh là trường hựp dua piản nhất Các kết quả vẻ điều kiện tổn tại nghiệm và nhiều
thuật toán tìm nghiệm da được đưa ra Mở rộng hơn một chút là trường hợp ỳ
và các I¡ là những hàm lỗi cũng đã được nghiên cứu khá nhiều Nhưng lúc này nh hình không dơn giản như trường hợp tuyến tắnh, không phải lúc nào ta cũng tm được lời giải cho bài toán lỗi Do đó nhiều phương pháp tiếp cần đã
được đưa ra, mội trong những phương pháp đó là cho bài toán muốn xét "nhiễu đi một chút để có được những hệ đơn giản hơn, có thể ủm được lời
giải Khi đó vấn để đặt ra là từ kết quả của bài toán đã bị * nhiễu hóa" làm sao
suy ra kết quả của hài toán muốn xét ?, Đó là một cầu hỏi mà những van dé
néu trong luận văn này nhằm hướng đến để tìm ra câu trả lời Một cách cụ thể ta có thể hình dụng vấn để như sau:
Ứng với hệ (P) ta có hệ bị nhiễu hóa là: (f(x,t}Ở> min
l(x.)()
với Q@ là ánh xa đa trị từ RỢ vào R" xi", Ặ là một hàm sổ xác định trên một tap con của R"ềR",
Trang 3Mãt khác khi t=tƯ thì (PQ) chắnh là bài toán (P) cần xét Khi đó nếu gọi Ít) là giá trị tôi ứu của (P)và bằng cách nào đó ( với các giả thiết thắch hợp )
la chỉ ra được @ là hầm liên tục tại tạ thì các kết quả của bài toán (PQ), t đủ gần (Ấ ta có thể suy ru kết quả của bài toán (Đ) L
Điều vừa nói chỉ là một trong những nhu cầu cần xét bài toán có nhiễu (đồng thời cũng nói lên ý nghĩa của thuật ngữ ỘnhiễuỢ mà chúng ta dùng đến trong các hệ được xéU Một vấn đề khác cũng có thể thấy ngay cẩn phải xét bài toán có nhiều là: nhiều vấn để cửa kinh tế, kỹ thuật khá phức tạp không dễ
gì đặt ra mỗ hình toần cho nó một cách chắnh xác, kết quả ta có được đôi khi
chỉ lì môt mô hình gần đúng của vấn đề cần xét mà thôi (nghĩa là bị nhiều
ỘmotirỖ |)
Những diều vừa nêu chỉ là sơ nét một cách khái quát về những vấn để được quan tâm trong luận văn: tắnh chất của hàm nục tiêu và tập nghiệm của
bài toán có nhiễu trong không gian Banach hữu hạn và vô hạn chiều
Luận văn dtực chia thành 4 chương:
Chương f dành cho việc nhắc lại một số khái niệm cơ bàn và ký hiệu
được dùng đến trong luận văn
Chương 2 giới thiệu một cách tổng quát quy hoạch có nhiễu (P,)
Chương 3 xét tắnh liên tục và khả vi cửa hàm giá trị tối ưu , tắnh Lipschitz của hàm MI của bài tốn (P\) trong khơng gian hữu hạn chiéu R"
Cương 4 sẽ nêu một số kết quả của bài toán quy hoạch có nhiễu trong không gian vô hạn chiều
Cuối cùng, tôi xin chân thành hiết ơn thầy PTS TRỊNH CƠNG ĐIỆU - Khoa Tốn ĐHSI' Thành phố Hỗ Chắ Minh - người đã trực tiếp hướng dẫn, tận
tình giúp đỡ tôi trong việc học tập và nghiền cứu để hoàn thành luận văn này
Xin chân thành cắn un quý thầy đã đọc và cho ý kién phan biện luận văn, cắm ơn quý thầy ở Khoa Toán đã tận tâm truyền đạt kiến thức cho tôi trong thới
gian học Cao học, _
Trang 4MỤC LỤC ỪO0 CHUGNG I: MỞ ĐẦU CHUGNG II:
ĐIỀU KIỆN CẤP 1 VÀ CẤP H CỦA ` , a
BÀI ROÁN QUY HOACH CÓ NHIÊU
() Veeto Kuhn-Tucker, (2, Hàm Lagrange
(9 Hài toán quy hoạch lồi có nhiễu
CHUONG III:
TÍNH LIÊN TỤC VA KIA VICUA HAM GIA TRETOTUU
ẹ 'Pinh lién tục và khả vỉ của hàm giá trị tối ưu Ạ9, Vắnh liên tục Lipsehitz của hàm đa trị M(t) Ể Phân tắch cấp H của bài toán quy hoạch (,) CHƯƠNG IV: Ộ Trang 11 17 20
BÀI TOÁN QUY HOẠCH TRONG KHONG GIAN VO HAN CHIBU
Ểệ, Nguyên lý biến phân
Ể@, Nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch có nhiễu Ể, 'Lắnh liên tục của hàm giá trị tối ưu
Trang 5MỞ ĐẦU
Một trong những nghiên cứu của toán học ứng dụng là giải quyết các bài toán cực trị: nhiên cứu cực tiểu hoặc cực đại của một him f trên một lập C
nào đó, Giải tắch lỗi đã đồng góp nhiều kết quả trong việc giải quyết những bài toán tốt tu,
Bai todn quy hoach loi ằ6 dang
(P) on > min
xeQ
với lẤ làhầm lỗi xúc định trên tập lỗi xác định trên tập lỗi Ạ =X, X một là khéng gian Banach Q là tập con của X định bởi một hệ phương trình và bất
phưắng trình:
@=[keR*: p(x] <0, 1= 12, ¡ R(x) =0, ỉ=r+l m
trong đó F,Ấ Ê (i=1,2, ,m}) là các hàm lồi
Các phương trình và hất phương trình xác định tập @ được gọi là các
rằng buộc củu (1Ú)
TT có các (nh nghìu sau:
+Vâp nghicm chấp nhân được:
Một véc tư x dude gọi là nghiệm chấp nhận được của (P) nếu
xEC AQ, nói cách khắc, tập nghiệm chấp nhận được (có thể rỗng) củu (P) +
lap bi C=C, aC aac, , vi
C,Ở{x/f(x)<0} với ỉ= 12,
Trang 6+Hàm mịtc tiêu: Ham lỗi F trên làỢ xác định hỏi f(x) =4 (4 nếu xeC, [Íx) néu xeC,
sẽ được gọi là hàm mục tiệu của (P) Chú ý rằng [ được xác định trên Ể,
+Giá trị tối ưu của (P):
Cực tiểu của f { có thể hữu hạn hoặc bằng +zỈ) sẽ được gọi la giá trị tối
ti của (PP),
Nếu C, = @ tạ gọi nghiệm tối tu của (P) là những điểm mà ở đóf đạt
được cực tiểu, Tâp các nghiệm tối ưu là tập lôi ( có thể rông ) và là một tập củn cứu tập nghiệm chấp nhận được
Trong trường hợp nếu với mỗi véctơ tel$ỢỢ,t=Ít,t;, ,t}, gọi @(Ủ là giá trị cực tiểu cửa hàm Lj{x) trên Ạ, lệ thuộc vào các ràng buộc
|I(x)#t, 1=l12 r
\
I(x)=t i=r+rlẤ.m
thì đĩ nhiên, Ềg{ỷ} sẽ là giá trị tối ưu của bài toán (') Nói một cách khác oft)
là giá trị tối tu của bài toán quy hoạch lỗi (E4) suu đây:
I,(x) > min
(PQ)_ Ậf,(x}Ởt, <0,¡=l2, r L
f,(x}Ởt,=0,i=r+l, ,m
Bài toán quy hoạch lỗi với véc tơ tham số t sẽ được gọi là bài toán quy hoạch lỗi có nhiều với t là nhiều Việc khảo sát hài toán quy hoạch lỗi có
nhiều giúp ta thấy rõ sự tốn tại véctở Kuhn - Tuekcr của bài toán (P), hay nói
Trang 7cổ nhiều khi t=(l Do đó, xét bài toán có nhiều (P), ta được các hàm @ và M
định bởi t> g(Q, gÍt| Hà giá trị tối ưu của (P).tỈ MÍU là tập các nghiệh tối
imu ctia (24),
Trong luận ván ta ký hiệu X là không gian Banach, XỢ 1A không gian đối
ngầu của X { không gian các phiếm hàm tuyến tắnh liên tục trến X ), Bx là hình cầu dựn vị mở cuả X Các khái niệm cơ bản của giải tắch lỗi được định nghĩa
theo cách có trong phần lớn các tài liệu của giải tắch lồi
1, 'Fập lôi:
+ Tập con CẠỂX được gọi là lôi nếu và chỉ nếu 3x !{I- Ả)y EC với mọi x,y- Cvà Xxe{0/1]
+ Cho (Ạ'c X, giao của tất cả các đu tạp uffine chứa Ạ được gọi lả bào afline củu C, Đó chắnh là đa tạp affine nhỏ nhất chứa Ạ, ký hiệu là aff C
+ Ký hiệu r¡ C là tập tất cả các điểm wong tương đối của C : ẹ
nCc= { x earC:tJr-0, (Boxe jn alfC) c ch
De thay iC cũng là tập lỗi nếu Ạ là lôi
+ Tậấp KỀ X gọi là nón nếu Ax EK vi moi xeK và >0 Một nón được gọi là lồi nếu đó là mội tập lôi,
2.Ham Idi:
Cho f;C > [-ề,+ Ừ] vi C chứa ong khéng gian Banach X,
+ được gọi là proper nếu và chỉ nếu ỳ(x) > -s với mọi xeC và tổn tai
xeC' sao cho Í{x) < +0,
+ Ký hiệu I3om(1) là tập : Dom(Ẩ) = {x eC: f(x) eR} [3a đó, nếu F là proper thi Dom(f) = {x eC:f(x)< +20},
Trang 8+ Ặ là hầm lỗi nếu và chỉ nếu t[Ax +(I=3)y}s X(x)+(tỞ3)W(y) với mọi xyc C, mọi 2< [DI] Hơn nữa có thể đặc trưng cho tắnh lỗi của hàm f thong qua tắnh lồi củ + tài epắ Ê:
[ là hàm lỗi ề+ cpi F là tập lỗi trong X x là
+ Đưới vắ phân của hàm lỗi:
Cả sử f là hàm lỗi Ta nói f là dưới khả vắ tại xẤ nếu và chỉ nếu: tổn tại x ẠX" sao cho IÍx,}+ (x XỞ x, }s I{x) vai moi x eX (*)
Ký hiệu f(x) la tap cic xỢcXỢ sao cho (*) được thỏa mãn, Mỗi phần tử của đf{x) được gọi là một subgradient của ặ tại xẤ Do đó Ê là dưới khả vi tai
xẤ nếu và chỉ nếu ô[{x} ặ @ử
Nguài ra cũng nhắc lại rằng, nếu C!c lÈ" và ặ là hàm { không cần lỗi )
Trang 9Ở 0 néuxed
HH = io néuxead
4.Anh xa da trj- Vinh lién tuc va Lipschitz:
+ Cho X, Y là các không gian định chuẩn AC X,BCY,G=AxB, Phép wong ứng F cho ứng với mỗi xe A tận F(x) = fy clì/ (x,y) eG} được
gọi là ánh xạ đa trắ, ký hiệu là E:A->H
xt E(x)
G gọi là đỏ thị của E, ký hiệu là grE
Cho ánh xa đa trị E: A>B Tương tự như ánh xa đơn trị, ta có các
khiúi mic sau:
+ Ta nói F là nửa liên tục trên tại x e DomÍ F} nếu và chỉ nếu với bất kỳ
lan cân L của {x} ed ton tại ỏ>0 suo cho Với mọi X eẠ 3, (x,8) ta déu cé Ex Ở
l được gọi là nửa liên tục trên nếu và chỉ nếu F 1a nifa lién tue wén tại
+ v ` moi decin của Jct)
+ Tú nói l là nửa liên tục dưới ở x el2om(F} nếu và chỉ nếu với bất kỳ y el{x) và với bất kỳ dãy {xẤ}.xẤ e Dom(I'), xụ hội tụ về x, có tốn tại một dãy
fy, Ly, P(x), hGitu vé y,
Hién nhién cing giGng nhv 4nh xa don tri, dinh nghiu này tương đương voi ménh dé sau: voi bat kầ tp md UC Y, sao cho UM I(x) # Ểử, có tổn tụi
ồ >Í] suo chú với moi Xe B,{x,8), Hx jo Us
I được pọi là nửa liên tục dưới nếu E là nửa liên tục dưới tại mọi điểm
của I3oin(E)
+ F được gọi là liên tục tại x nếu Iồ nửa liên tục trên và nửa liên tục
Trang 10+E gọi là I.ipschitz địa phương tại x 6X nếu tốn tại một hằng số dương ti và một lần cận LÍ Dom(F) củu x sao cho
VXI,Xạ ẠU, F{x¡}C F{x;}+ tỈxị Ở xa] lầy
với Hy là lình cầu đơn vị Trong trường hợp này ta còn nói E là Lipschiz trên
L { hoặc 1.1pschilz module tt)
+ Với vy cÍxÌ, được gọi là Peusdo - Lipschitz dia phương tai
(x,y] grl' nếu có một hằng số dương itvà một lân cận U c DomF} của x và
lãn cận V của y suo cho:
ầx,, Xo EU, F(xj)vVcF(xy)+hjxa-a|By :
+ Giới hạn trên của (x ) khix ỞỈx là tập được Ký hiệu:
lim sup Hx} = ty =Y / lim inf df y.1(x }) = 0] A PA x PS Nghĩa là: y Ạ lim sup HỈx <> VỚI mọi dãy {x,,} +x, có t6n tại dãy A FA ty } >xy:y, Ạb(x,)
+ Giđi hạn dưới của F(x ) khi x ->xlà tập dược ký hiệu:
lim inf (x ) = ty eY/
ss lim supdly, F(x )) = a}
Ừ_
+ Anh xa da ti P:>X 1a Lipschitz trên ở tạ eW nếu tổn tại I2 { sao chớ vdi moi tthudc lần cận tụ tạ có:
Trang 11CHUGM
ĐIỀU KIỆN CẤP VÀ CẤP H CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH CÓ NHIÊU
L.VECTO KUHN - TUCKER:
Cho bài toán quy hoạch (P)
(6 Ở min
xe
vđi Q= {x ER": f(x) $0, i= 1,2, ,05 f(x) <0, i= 04], im}
Gid stf fy là hàm lồi xác định trên tập lỗi Cụ +S ,C, < R", {1a cdc ham Li
hữu hạn trên C vdii= 1,2, ,.ằ va f, 1a cic ham affine én C vdi i = rtl, ,m Ở đầy
báo hàm cá trường hợp đặc biệt khi r = m (nghĩa là không cố đẳng thức ràng buộc) hoặc r=0 (không có ràng buộc bất đẳng thức)
Mar CHC AC, A.C,
Chú ý rằng, chúng ta sẽ công nhận môi hàm f,, ¡= Ôỷ, 1, , m được xác định trên toàn bộ làỢ theo quy ước sau:
a fy la ham lt proper vai Dom(f,) =Ạ,
b, f, f2, , 14 ham 16i proper vai ri(Domf}) > ri C, Dom(f, )> C c Í là affinc trên toàn lẬỢ với mọi ¡ z O sao cho f; là affine trên C Các điểu kiên a), bh) hiển nhiên thốu mãn bằng cách đặt f(x)'=+zỈ khi xC, với ¡=t1,l, r,
Định nghĩa 2.1:
Trang 12Các À,, A Hì goi là các hệ số Kuhn-Tucker liên kết với các ràng buộc
In, fb, EẤ của bài toán (Ú),
Dinh ly 2.2:
Xót hài toán (P), A=(A,, 4,,) ER Ỏ 1a mét véctd Kuhn-Tucker ctia (P); vah= f+ 04.424, 6, Goi D 1a tập những điểm ở đó h đạt'cực tiểu im Ộtì
én R", [li tip eéằ chi s6 i sao cho 1SiSr ,%,=0,] 1a phin bd cha! wén tip
{I, ,m) Gọi 1),là tập những điểm Xe l) sao cho:
f(x)<0,Viel l,(x}=0,Viel
thi 1), 1a tap tit ed các nghiệm tối ưu của (P)
Chứng mịn
Voi gid thict inf h = inf f, wong dé ặ14 ham muc tiêu của (P) và inf f là
hitu han, goi x tà một nghiệm chấp nhận được bất kỳ củ: (P), tà có:
À¡ Í,(x)<0, ¡ = l2, ,m
nên fy (x) Ay T(x +32 là (x)}+ +AẤu ÚẤ (x) S fy (x)
Vi h{xj2t{x),vx nén dang thức xẩy ru nếu và chỉ nếu x là nghiệm chấp }
nhan dude suo cho: A, I (x) =(), vdi moi t= 1,2, m
Cuối cùng, với chú ý rằng tập cực tiểu của f nim trong tập cực tiểu của h,
Trang 13Cho bài toán (TP), X=(À4, ,AẤ ) là véctd Kuhn- Fucker của bài te?n (P)
Giả sử các hàm Í,,i= I, m đóng Dặt hz fƯ+2,f, + +3 ẤfẤ, Nếu h đạt mm 1H
cực tiểu ở duy nhất X, thì X cũng là nghiệm tối tắ duy nhất cho (P)
Chứng mình
Giả thiết chứng tổ rằng h và hàm mục tiêu ắ của (P) là đóng Giả sử h đạt cực tiểu duy nhất ở X, hệ quả sẽ được suy ra từ định lý nếu ta chứng tỏ được rằng
(P} có ắt nhất một nghiệm tối ưu, nghĩa là cực tiểu của f dạt được ở một điểm nào
đó, Vì tập cực tiểu của h chỉ chứu duy nhất X ta suy ra h khơng có phương thối
MIảt khác, vì f>hh nên f cũng không có phương thoầi, từ đó suy ra tập cực tiểu củu f là khác rỗng
bình lý 3.4 :
Cho hài toán (P), Gọi T tập các chắ số ¡ #0 sao cho f, không affine, Giả sử
giá trị tôi tu trong (P) khác -<o và (P) có nghiệm thỏa tất cả cấc rằng buộc bất
đẳng thức với ¡cl, thì tổn tại mội véctơ Kuhn- Tucker (không nhất thiết duy nhất
) cho (P)
Chứng minh
Trang 14không có nghiệ mì trong rỉ C Từ hệ thứ hái suy ra tôn tại những số thực không âm Xa, không đồng thời bằng không sào cho :
2u([s(x)}-a +4, f(x)+ +24ẤfẤ(X)>0,VxeC
Ta nhận xét rằng phải có 2,Ấ,>0, vì nếu A,=0 ta sẽ có 2if,(XÌ+ t2,ẤfẤ(x} khơng âm trên C với it nhất một hệ số của ÀƯ, ,À; dương, điều nầy mầu thuấn với giả thiết tấn tại nghiệm của hệ hất đẳng thức thứ nhất Chia tất cả các hệ số Ả, cho ÀẤ, ( nếu cần thiết ), không mất tắnh tổng quát giả sử ÀẤ =1 làm h=f, +4 ¡Ít + ~2 6, thỏa mãn hÍ x}>Ủ với tất cả xeC
và h(X}=++, xứC
Vì vậy inÝlh>ơ Nói cách khác, với bất kỳ nghiệm chấp nhận được x ta có h(x)s fẤ(x) Fừ À¡ z0 ft (x)<0, i=1, m và inf h khéng thể lđn hơn cực
tiểu của lẤ trên tập những nghiệm chấp nhận được, ta suy ra inĩ h =Ủ và (A, 4 <a la mot vécts Kuhn -Tucker cua (PB)
liầy giủ xét trường hợp có ràng huộc đẳng thức, nghĩa là r < m thì các
hàm FẤ;, ,Ấ là affine theo định nghĩa cia (P) MGi rang bude f (x) = 0 e6 thé ditvte thay bdt hut rang bude f(x) $0 ,(-f, (x) < 0 để trả thành một bài toán quy
hoach tong ng (P) chắ tầm các ràng buộc bất đẳng thức, Theo chứng mình
trưđc, những thành phần cửa véctở Kuhn-Tucker là những số thực không âm
3ể a ins scons dom si cho cure tiểu của him F ti li fo Sayfa SAE + SA, (-f) 1a hitu han va bing giá trị cực tiểu trong (P) i ' Ở_ on | l-r: i-r-l
oo AyỞA, vOi i= rtl , , m, la dat duge mot véctd Kuhn-Tucker
h=(Ay suk, ) cho (P) # Đặt À;
Sau đầy ta xét vắ dụ về sự không tôn tại véctơ Kuhn-Tucker trong bài toán
quy hoạch
Vắ du 2 5:
Trang 15I (X, x }- X, -> min
(I) te, %,)> X50
fit JER es Hk, 20
(i day ta cot = 2 Ta nhận thấy chỉ có diểm X=(0,0} là nghiệm tối ưu duy
nhất và ỷ là pi wi tot wu củu (P), Tuy nhiên, nếu À=(2,,À2 ) là một véctơ
Kuhn-Tueckecr cu (P), thi A, 20, A, 20 và:
O= fb, (x, X, 44,1, &, xX, )1A, Lf, (Kx, )
4
là khong thé co dược Đó là do các giả thiết của định lý 2.4 không thỏa mãn, tức
li khong tốn tại điểm (XI, Xa) sao cho: fy (x1, X2) <= O va fixy, X2) < 0
Vi ẹ I(x, x2) /X, 20,x, 2 0} , xét bai todn quy hoach tuyén tinh: fo bes) =X 2x, +x, > min
(I) ix, +2x, +x, 212 2Xi+XƯTỞXẤ <10
Hài toán có một nghiệm tối ứu là x = (0,6,0) nhưng không tổn tại véctd
Kuhbn-Tucker cho (P) vi x 2 ric
tw | HAM LAGRANGE: Ổ
Ihẩn này sẽ cho thấy các hệ số Kuhn-Tucker và nghiệm tối ưu của bài toán (P) được đặc trưng bởi Ộđiểm yên ngựa " củu hàm lỗi-lõm trên Rồ xRỢ,
Định nga 2.7:
Trang 16yl ẤHH
Hầm L xúc định trên lỢỘ xlỌỢ định hỏi:
lta(xl+ a, fy OxỖ, f(x) khi AeE, x eC
Kằx4Ỳặểm khi ^ zEẤ ,xeC
+21) khi x ẠC
với B, =|A=(Ảv x2 * l1 }eứỢ:^A,z0,i¡=r+l m | được gọi là hàm Lagrange t6n# tlfng vớ: bài toán (P)
se A
Các À,,¡i=l, ,m được gọi là các nhần tử Lagrange liên kết với ràng
luộc thứ ¡của bài toán (P)} Nhân xét: + Hàm I là lõm đối với À với mỗi x cố dịnh và L lôi đối với x với mỗi 2 cố định + Giá trì của các hàm Tạ, Ít, , Ấ trên Ạ có thể thu được từ L theo công thức le (X) = L(0.x)
lý (XE L(e(;x)-L()⁄), 1#1,.,m,xeếC
vdie; là véctơ hàng thứ ¡ của mại trận mìxn trong đÓ C¡=(X¡, X3, ,Xu } và | nẻu j=i x; = Ú nếu ji VY A52 4 Suy ra có Hưng ứng l-| giữa bài toán quy hoạch (P) và hầm Lagrange cia nd, HBịnh nghĩa 2.8:
[iểm {X,^} là điểm yên ngựa của L (nghĩa là L đạt cực đại tại À và dt
cực tiếu đối với x) nếu:
Trang 17Định lý 2.9: ( Điều kiện Kuhn-Eueker - Điều kiện cấp 1)
Cho hài toàn (EP), Giả sử 2 x Eq cúc vécU trong làỢ và lRỢ tướng ứng
tu do AAAS A Dh À là vceus Kuhn-Tucker cho (UP) và x là nghiệm
túi tắt của (P) ki và chỉ khi (X,2}) là điểm yên ngựa của hầm T tưởng ứng củi (I) Hicu này wong dung các thành phần 3, của À phải thỏa : (0) ÀẢ,>0, (#0 và A,f,(J=0 , i= lẤ (b) f,(xI- 0 với ¡ = r+l, ,t (c)0 c[ỏf(x)+^ ¡đỉự (X)+ +^ mw OL, O69] Chifie minh
[leo dịnh nghĩa vẻ * điểm yên ng ", (x.A} là điểm yên ngựa của [, ncu via chỉ nếu sup, LQx,A)<L(x.A)<inf, LOx,4) Tuy nhién, bat ding thite
Trang 18d) REE, X eCy inthe =fy(x}:
Biểu kiện đ) được thỏa mãn khi 2 là véctd Kuhn-Tuckcr và X là một nghiệm tối ứu, từ đồ inFl =ứ và (x) Ởt với Ủ là giá trị tối ứu của (P) và hữu han, Nói cách khác, giả sử d) thu mãn, với bat ky x Ca tắ có
1,f,(x)* O,1=1, ,m và H(x }sfg(X)
[3u đó infh = inf h(x) s inỳ Ư (x)= át < ÊƯ (x]
xe xe,
điều này chứng tỏ inFlh =a-=ty (Xx)
Từ d) cũng suy ra 2 là véctứ Kuhn-Tucker và X là nghiệm tối ưu của ()
[3 nhiền, từ lắ luận trên ta cú infh s h(X)< fy (X) khi AEE, REC, , do bat ding thife thi hai la chat ngoai wit A, f)(x)=O v6ii= 1, Vithé ur d) suy rủ a), h) và điểu kiện:
c)h{X]~ infh,
Dio hai, fa), b> vai cp suy ra đ) hởi vì h(x]= Í\, (x) Cuối cùng ta chỉ cần
chứng mình Ủ) 1ả tướng đường với e} với giả thiết 2 e Be
Theo dinh nghia, h dat eye iẠud Xầ 0 ửh{x) tị Vit f1 ti{Iom(l,))= riCz@, ta co: j=i) ah(x)=At, (x) 4 (A, f, \x) + + â(3uu fẤ)(x) =Afy(x)+2, Af, (x)+ 4+2,,f,, (x)
với wv Từ đó suy ra điều kiện 0c2hi[x) là tương đương với c)
Điều kiện u}), h, c) gọi là điều kiện Kuhn-Tueker cho (P) Khi những hàm
lị khả vị tại X, 2F, (X} trả thành grudienL VÍ, (X) cửa f tai X va c) ted thành đẳng
thức prudivot:
Trang 19Kắ hiệu: I={1,2 r} I =Ír t1, ,m} Định lý 2.10: ( Điều kiện cấp HH } Ciả sự các hầm lị khả vắ cấp HH, liên tục và x` thỏa các ràng buộc củu bài |
loan (P) sao cho tip cae véetd pradicnt | VIẲx | :j clIt ¡1 là độc lập tuyến tắnh khi dị tồn tại vvẻcLd A= LÀN À3 VÀ, |suo cho:
L(x" a} =0, d, 20, ie, À,LÍx`]=0, iel
Vil (L4.(xồ Alp) 24)
vdi mot p thoa mim
U(x" vu} so iel{xỖ], i #1, (x"]
: | (2.1)
( I,(x'}.p) =0 ie 1x |2
lrong do:
I,|x | ={i:4, >0, iel}
xỖ | = Ổi : I{x`] =i el!
( hứng mith
Xethim Lagrange L(x, aps ti Ode Saab)
rel
Giả sử rằng xỢ là nghiệm ctia bai todn (1) théa cdc diéu kiện của định lý Sử đụng hệ quả 4.1 của định lý 4.1 wong [5] ta co: L.(x`.A] =0 (2.2)
Với má thiết các hàm Hị(x) khả vị liên tic đến cấp [tắ suy ra ma tran cha dao him cap U (a ;^| củu hàm L{x,2^] đối với x cũng dượdc xác định, Ngoài ra,
Trang 20Ea có: I(x") I{x` | (theo (4.17) của [5| )
Goi p la veets thou (2.1), wid suf:
L(x" | = i Ạ Ix" Ju I; it,(x").p) =0] (2.3)
" * + , ' >
ỔTied alutng vécus f(x | VOLE I,[x | là dde lap tuyén tắnh, do đó có tốn
fai mot him rÍn| él" suo cho f(x(u))=0 ie U(x] (2.4)
: ' r(u) *
ở đá x(u] =x Fup+ r{u}, ln ỞỞ~ =) (chứng mình dựa vào dinh ly 4.1 cia [S])
` lị=*#!/Ư Ul
M1ả1 khác, nếu ¡ g tẤÍx } thì l,(x `) <0 hoặc (,(x").p) <0thỏa điều kiên f,
(x(uJ] < Đ vdi 0 đủ nhỏ, Vì vậy, điểm x(u) với u đủ nhỏ thỏa tất cả các ràng huộc cuit (7),
Ping cic ket qua uy (2.1) dén (2.4) ta dude f,(x(u}) = L(x(u).^.) Ấ VÌ vậy nếu
ÀẤ ệẨ lì từ (2-1 ) tá có: [;(x{u)) = 0)
Từ (1.17) của hệ quả 4,l trong [5] say ra: f,[x"] a LÍxỢ.A]
lây giữ xem x(u}) thỏa các ràng buộc của (P) và xỢ là cực tiểu địa phưng
của l,, với ràng huộc của (P) thì với u dủ nhỏ ta có: L(x(u),a)}2 L{x",a} Vay:
I.(x{u}.^}= Lx".2)+(1(xồ a), au) Ở x7 +
; : (La (E(u) 2)( x(u) ~x"},x(u) - x" >IÍx`,A]
ở đó Ọ(u} là điểm trong khoáng giữa xụ và x(u) suo cho Ọ(u) Ở> xỢ khi A> 0, Sử dụng (2.3) ta có:
to (ctafor Sor Oa
Trang 213.BALTOAN QUY HOẠCH LỒI CÓ NHIÊU:
Trong phán này chúng bắ xét hài tuán quy hoạch trong trường hợp hàm tức tiêu và cức ràng buộc của bài toán (PP) phụ thuộc vào một véctợ tham số: t,
ChoỘ, R!!,RP là các Không gian véctở hữu hạn chiều, với tắch võ hướng
5 - | 7
Ư ,.} và chuiin E-uche {|= tư.Ợ
rR" ềRY OR va wR" ềxR! SR (i= 1 m) là các hầm số lỗi,
O:R?->R" th ham da ti theo biên Le lỌP, với:
O(L)~{x<R*" /B,(x,U)=0,1=1, ,r ¡8,(X.E)< 0,1=r+1, ,m}
Chú Ọ là do lắnh lỗi của các hầm g¡ lú suy ra ngày A(t) là tập lỗi, dio đó ánh xị Ạ3 là ánh xạ đa trị giá trị lôi
Dinh oghia 2.11:
ỔTu poi bai todn quy hoạch phắ tuyến với nhiều t là bài toán có dạng:
(IP, ) ỞỞ BẠN với ! là tham số xeệ(t]
+ J ditue #ói là hàm mục tiêu của bài toán (PP)
+Iập {| tÌ dược gọi là tập nghiệm chấp nhận được của (P,)
+(0(t]= in[{ f(x,L) / xeđ(L)} là hầm giá trị tối ưu của (P,)
+Những điểm mà ở đó cực tiểu đạt được sẽ được gọi là nghiệm tốt wu chu (P,), Tap các nghiệm tối t1 này phụ thuộc vào nhiều t, ký hiệu là M(0, và gọi là
Trang 22tập) các nghiệm tối ứu, Hiển nhiên MÍL} c Ơ(t) Như vậy, đốt với bài toán (P,) ta
có các hàm sda, ham da ti M phụ thuộc vào biển L
Định nghĩa 2.12:
+ Vdji xER" LER", véctd X=(X¡, ÀẤu}ẠRỢ;Ả¡20,i=r+Í,
túc mọi là một véctđ Kuhn-Tuekcr cda bai todn (P, ) néu ham:
f(x,t)! 3 `4,g(xt) khix eR", ter?Ợ
it
dụt cực tiểu ( hữu hạn ) trên là"
+Ham Lagrange L của bài toán (4) dược dịnh nghna nhĩ sau:
L{x.A.)= f{x,t] + 28 (Xt) khi xelt",telRP,2 eE,
co) kh 2A #el*,
với B= fA=(A yada, JERS 2,20, fF tl, m |,
Tương tư bài toán quy hoạch lồi bình thường (P) ta có các điểu kiện cấp l và cấp H cho (Út)
-
Dinh ly 2.13: ( Điều kiện Kuhn~-Tueker- Điều kiện cấp L)
Cho bài toán (P,) xER", AERỎ va A=(A,, ,A,, ), thì với mỗi teRP
ta có A là một véctd Kuhn-Tucker cho (P) và XIà nghiệm tối tu của (PP) khi và
chỉ khi :
(MA, ZO, & SO va À,I(X)=0 i=, ,F
Trang 23(c0 e|đl(x,L]+^¡2f(x,L)H ặAẤđẤ (X,Đ)|
Điều kiện ả), b), c) gọi là diều kiện Kuhn-Tueker cho (P4) Khi những hàm
[¡ khả vắ tại Ạ, at (x0 rd thank eradicnt Vf, (x,t) cua I, tai X vac) wd thanh
dAny thife gradient :
Vi, (X01 4, VE (KO A, VE, CX = 0,
Định lý 2.14: ( Điều kiện cấp IL)
Ciả sử cúc hầm f, khả vì cấp HH, liên tục và xỢ thỏa các ràng buộc của bài
tuần (Í, } sao cho tập các véctơ gradient {vix`.\ "- Q27) là độc lập tuyến
tắnh khi đó tổn tại véctở À.= [ XI.Ã2u ÀẤẤ } sao cho: ` ih
L,(xỖ.A}=0, 4,20, aui(xỖ t)=0, tet
va (Ly x",2,t)p.p) 20
với mọi t tiỏa mãn:
trong do;
t,[x") ={i:4,; >0, iel}
i(x") = fiz (x")=0 ier! |
Trang 24CHUGNG 3
TÍNH LIÊ N'FỤC VA KHA VICUA HAM GIA TRETOLUU
Trong chứng này tà sẽ xét tắnh liên tục và khả vì của hàm giá trị tối ưu p va ham da wi các nghiệm tối we M tương ứng của bài toán quy hoạch lỗi có nhiều 6 [(x,L)Ở> min (I, ) rE O(N) với Q(t) 1a mdi tap con cia R" dinh bởi một hệ phương trình và bất phương trình
ẹ{U = {x ekỢ: f, (x,t)< 0, I=Ì, T; l, (x,t) =QO,i=r+ L m|
rong di (x, t) ek" x RP ff la các hàm lỗi xác định trên C > At) me diy, ta
giả sử rằng ứng với mỗi nhiễu ty tap chap nhan duge Qty) # ử
Ộ+ ` +
LVINH LIÊN TỤC VÀ KHẢ VI CỦ; ỞỞỞỞ
ả, Điều kiện Mangsarian-Fromoyitz (MF):
(kì sử các hàm: E fị, L=l,2, Ấm là liên tục và cố đạo hàm liên tục trên
ItỢx RẺ,
ĐI L=Ít:.r}; 1={r+l, ,.m}
Với điểm (xU R"x RP ta kắ hiệu: I(x, t) = {i Eel: f, (x,t) =O}
Tại một điểm L= tụ ta viết I{x,1,) = 1,(x) va M,y= M(1,)- Ta nói rằng diều kiện (MF) đạt được tại xeM, nếu :
Trang 25ii "Tổn tại một véctd V suo cho :
(VV, t (Xt, ))= ), Viel
(v.ầ, 1,(X.t,)) <0 , Vi =I,(x)
Ta nhận xét rằng, nếu điều kiện (M11?) đạt được tại X eM,, thì điều kiện
cản cấp | của hài toán (P,) cũng thỏa mãn ở X Tức là, tổn tại một véctử
Kuhn- Tucker & = (2, "max sao cho:
V.L(X,ÀtẤ}=Z0 với Aj>20,iel(X) và A, =0, ie 1\1, (x)
ỔTap nhitng véetd % théa điều kiện cân cấp I ở điểm (x,t,) được kắ hiệu
là AL (x)
b.Gia thiét | - Điều kiên inf-compaet:
Co ton tai mat sO a CR va mét tap compact Se R" sao cho a(t, ) <a va
tại! Ịx C (At): f(x, (| < ct} CS vedi mort thude veo lan can cue ty
Nhãn xét
Trang 264.1L: Mệnh é Ciiá sử điệu kiện (ME) và inf-compaet thốa mãn tại xeM,, thì: lim supM(t(w]]}M,Íh] vi M., (hh) = f ồ My: max th.Ấ( L(x,A,t,)) = s(n)| ả[h}= min i (hh V, L(x.A.,)) Chứng nữnh
Trướe tiên la có nhận xét lim sup((1}~ g{t,)) < B(h) và theo định,
nghi của đ(h) thì: Ở max (h,V,LÍx,À,t,}))> đ(h) (3.1)
AEN {x}
Lo tỉnh lôi của các hàm f, fy néu điều kiGn (ME) cb được ở một X eM, nito do thi cing dat divide & moi x eM,
XerdiẠm x ẹ lim sty M(t} theo định nghĩa của lim sụp, có tổn tại một
wore
day Iw, Ở>(]Ợ và {x,,} Ở> X saocho x, Ạ M{t,,) ,0d6 (,= ((W,)
XÉI vécId 2 eAÁ,Ấ và gọi ÀẤ là véctd Kuhn-Tuckecr tưởng ứng tại diểm (XuuL} ta có : LÍx,,.1Ấ,^] < ap va L(x t,,A)<L(x,,t,,4) Mặt khác, (t,)=1(x,.1,.4,,) vd e(t,,) = (51,2) , từ đồ tà có : Ở
of Ly) = oft.) = L(x, 00,4) L060, A)e LÍxẤ,t,À)~ LÍxu,12,A)
Trang 27lt) oft) 2 fy - ti oV, L{ xy st aA) +( Ở Lx mers)
với (x, 0] là điểm nim trong khoảng giữa hai điểm (x,,1,) va (? 1P
Mặt khác, VL{x) 0.2) V.I{XS,Ã]=0 (do điểu kiện cẩn cấp l
hoa)
ir dd la có: tn) ot s > (h, V U(x, 0 A))}+0(w,)
Wi
Vi A Li mot véctd ty ầ thude A., ta suy ra:
lim sup al(w))-e (ls ds max(h, V L(x, tạ;Ả)) (3.2)
wal) W AeA,
Lừ (3.1) và (3.2) ta suy ra max(h, V,L(x,t,,,A})= d(h)
lire la Xe M,(h) Ấ ta được điều phải chứng mình.N
Chú ý rằng, với giả thiết của mệnh để 3.1 ta có 8{h) = @ {t,,h)
c.@iả thiết 2 - Điều kiện độc lập tuyến tắnh:
Vai moi X eM, tap những vécto gradient {V, f(x fi( X, mã i elus} la độc
* '
lấp! tuyển tắnh
Iiểu kiện này chứng tỏ rằng những điểm xeM,Ấ tập Á, x) chỉ có môt phần tứ AẤÍx} = ụ (x)} và từ đó Ế(h) = nin (hy, V us i .A(x))) là đạo hàm
xeMl,
Ư (t,,h) củu hàm giá trị tốt tu (p,
2.TÍNH LIÊN TỤC LHPSCIHIFZ CỦA HÀM DA TRI M(t):
Trang 28Trước tiên tạ nhắc lai rằng hàm đu trắ 1:12Ợ Ở> RỢ là Lipschitz trên tại tụ thes " h nẻu tổn tại một hằng số dương É suo cho với mọi đường cong
([w|- t, + wh 3 tIÍw] có tốn ti một số ằ > 0 sao cho:
I'((w}}c Ì (1, ) + Kw, w éẠ[0,e) (3.3)
iy vas, pad st? cde ham Ẳ, f, có dạo hàm cấp II liên tục trên RỢxIỌ? và có diệu Kiện đóc lập tuyển tắnh Với điểm xeM, và À= A(x), xét n6u da diện lái:
CỈN]: hy: fy, V.I,| [x,t }) = ằ ), 0, iet,(x,4) và (ys Vt (xt Ổ tẤÌ}Ế (), ¡ c1,{ (x)\1,(x.^] }
vũi l/ÍxÃ}= fi E L(x), h, >0} (34)
Nón C(x) được gọi là tới hạn và có liên quan với điều kiện tối ưu cấp Ì
Nếu xeM, thìucó: (y,VẬL(X,L,,A)}>0, VieC(ậ) (3.5)
Tưởng ứng với điều kiện đủ cấp H về nghiệm chấp nhận được X (thỏa we kiện cần cấp l) thì điểu kiện dể ặ đạt cực tiểu địa phương tại X là
mat {8,442 5 xác dinh dương trên COX),
Xét tập NS{x]} = ty cCÍx): (y,VỆ LÍ [{x,t,,À A)) =0) (;iá thiết 3:
Vii mies XN M.{h) ta có lui điều kiện súu:
Ư tần Bạt một lân cận NL của x sao cho:
M,,/ìN,G ẬY: [,(y,t,] =() ieẠ L(x) WW l} (3.6)
i lập nghiệm tốt tắn Àf, tà de tap tron trong lân cận của x và
NSÍx)c TÍx,M,,)} (3.7)
# di 'I(x,M,) là không gian tiếp vác với ÂE, túi v
Chú ý rằng điều kiện ¡ dương nhiên thỏa nếu các thành phần
Trang 29tắnh, 130 điều kiện tối tu cấp LÍ, khơng gian tiếp xúc T{x,M,), nếu tồn tại, phái
chứa trone tấp NS(X}, do dó: NẾ(x) = I(x;M,) (3.8)
fun nữa, điểu kiện i kéo theo tổn tại TOM) vì vậy,
N8(x)G trị V, V.fiÍx,tu)) =Ú, ¡Ạ Lu(x)c1} củu nón C(x) Định lý 3.2: Giả sử có các giả thiết !-3 thì hàm đa trị tối ưu M là Lipschit trên tại t, lheo hing h- Chifng minh Giú sử khẳng định của định lý là sai thì sẽ tổn tụi dãy {w,,} > 0* va d x, Ạ M(t}, X, = x(w,) sao cho lim Ở> =, d,=d(xẤẤM,]} (3.0) ime Wi Từ giả thiết l và 2 tú có dẤ Ở> va tip M, déng suy ra tén tai x suo ch; + x,ặeM:: u a d(x, M,,) =Ì* =x; I
Xét yẤ = xẤ Ở Xụ, với giả thiết vẻ tắnh compact ta suy ra {x,} hdi ty vé
xeM, vù _ hội tụ về y Hiển nhiên ly =|] vithé y#0
( u
Theo ménh dé 4,1 ti c6X eM¡(h}, Cuốt cùng từ giả thiết 3,i0) M, là đa tạp
tun gin xX và: NS(x)=T(x;M,) (*)
Từ (3.9) suy ru với n đủ lớn thì yẤ là một véctơ phấp tuyển với M, tại Xu
và đo đó y là là một véctơ pháp tuyến với MỊ, tại X, Đẳng thức (*) cũng chứng tố rằng y trức #to với không pian tuyến tinh NS{x)
Xét các hàm ràng buộc Í;, ta có:
Trang 30R(x tah Oe t= dy Re tp +h, xe VD.) (3.10)
bold (x,, LẤ] >Íx, Mu: [3o giá thiết của định lý, ta có với n đủ lớn thì
lÍ Xu: l 4) =0, vorrel alX ud,
ay pid, néu goi A, là mét vécto Kuhn-Tucker tong tfng clia (P,) voi diCm (X,,6,) thi vei gid thiét liền tục, n đổ lớn, ta có các thành phần 2} >0 với
ie1,(X,A), A= A(X)
Từ đó suy ta f(x,.6,)=0, ie 1,(RA)UT va vế trái của (3.10) bằng
khong với ¡ e1,(X,A), ^ = (x) và nhỏ hơn hoặc bằng không với ¡el,(X)11,(X3}- ỔTom bai, lit ed: Cy Vy f(t, =O tel, (x, AJ \< Aa (y,V (X,t))<0 ie l,,(x)\1,(x,4)
nữa là y c(C{%) Hlưdn nữa, vì Ữ trực giao với NA(X) từ đồ suy ra y ặ NSỈR)
ỔVi diéu kiện cần cấp II đặt e = ly, Vib (x,1,.2)}y) > 0 (3.11)
XEUX, =2 (x4) tes: oft,)=L{xh.ty.24) vd (ty) 2 L(x, 1,.%5)
Từ đó suy ra:
0(t,)Ở 00) > L[xutuềsAx]Ở L|xãỪt2sÃ2)
S4 xiouslek Ở ty Valley (ty -te))
+ (ta ~tosVE (eau Ở3)) +2 Cy Ở 45 VEL) Xu - x5)
Trang 31với Z, = (X01 ard, | > (Xt sh at A) Chú ý rằng do điều kiện cần cấp 1 tại điểm
lối ,Ấ hiểu thức (x, -x,,V, L(x; x tàn) trong mở rộng Taylor triệt
VI,
Suy ra: 0(LẤ}Ở @(tẤ}> (t, =u ViL{ x), iy) + ed3 +0(d2] (3.13)
với c dược xác định ở (3.11) Nói cách khác, do diéu kiện độc lập tuyến tắnh có tồn tại một dãy {vẤ} và một hằng số dương k sao cho;
f,(vẤ,tẤ}=0, ¡ 6l (X21 và ly, ỞX Ổ| kịt, -t,|
(3.14)
Kẻ dó, với n đủ lún, v ae | | on và
0(t,)= (Ryo, ) S1(Vy sty) = LY Viet seu)
Suy ru o(t,)Ở a(t) )ặ1LÍv,.t hohe J1 {x;.\, AM) (3.15) Áp dụng (3.12) và công thức Faylor cho vẽ phải của (3.15) và sử dụng
(3.4) tì được:
w(t, ~t, <(t, - Lei LỈx, Xu lida) Fell, =f
Trang 32Clufnpr ììnhh
Giả sử khẳng định của hệ quả sai thì sẽ tổn ti diy
ti} Ởt,, {xẤ} cMỆt,} sao cho: lim <* = ụi vdi w,, =|{t,, -t,] ti-> * Ộ hh H i Với tia thiết vẻ tắnh compact suy ri tổn tai một day : W
Niue vay, him da tri M sẽ không Lipschi trên theo liướng h, Điều này niầu thuận với định lý 3.2 M
3 PHÂN TÍCH CẤP H CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH (P,):
Trong phần này sẽ nghiên cứu sự khả vỉ cấp II của hàm giá trị tối ứu +p
Xét đường cong tw) = + wh +wW ⁄+0(), We Oe)
Với diểm xeM, và À =A{xÌ, xét hàm đa trị Ded ge" SR" | dinh eh:
ầ (up = ty: (suv) =O,ie L(x, AJ; riÍxiu,v) <0, ỉ e1,Íx}\ IẤ(x,A)
ở đó ỮƯ là hầm tuyến tắnh dối với (u,v)
hit é rẢ 4 Bs à đa chic *ivh e ¡ 1Â lẻ Í Ộhs
Chú ý rằng tập >.Ấ(u) là đa diện lôivà cho hỏi tập nghiệm tôi ưu của
Trang 33Ọ,{u,v) (0 Vt ( tH )u}+ (VUE, 2) ) Ấ49.ViL(x.1,Ấ5)') Ấ ẾẤ được
gơi là hàm liền kết với sự md réng Taylor cap H edu ham LÍx,LA) Định lở 3,41: Giả sử các phắ thiết 1-3 có thì đạo hàm cấp II tên tại và dược xác dịnh tikiỖ san w'(ty.hz}= min min {(z.Wib(x,1.,2(x))) +6,(h,v)} xeM1,(Ii)veS" (h} (3.16) ( hứng nữnh
Trang 34p"(t,,hu)= lim áp t0%/))Ở Olbe) = we (lool) wi" w ;
i
Ấ106 ) (3.20)
Liy x, eMÍt,} va x) EM, sao cho d(x,,, M,)] =x, _ xf
Tu có thể giả sử {xẤ}hội lụ về một điểm s thuộc Mị(h) và vì thế
J*a~ Ộa (*) bi chan (định lý 3.2), từ đồ suy ra day (*) hét tu về một điểm v, |,
Như đã chứng mình ở định lý 3.2, với n đủ lớn vế trái của (3.10) tiến về 0 với
¡clt,Ấ L.Ís A(s}} và nhỏ hơn hoặc bằng không với ¡ eI,(s) 1,(s,A(s})
Từ đó suy ra :
z,{sh,v) =0, với ¡ c1,Ís^(s))
v {sh,v) <0, vai i et, (s)\1, (s A(s))
nghĩa là v3Ợ {h} Tương tư, vdi 4,, = A(xẤ} bất đẳng thức (3.12) cũng thỏa nen: p(t.) Ởp{t,) 2 W, {DV L(x) tot} + Wilts VL[X eaten) + Wabe( bs v)+0|w2] (3.21) Theo định nghĩa &{(h) 2052001017 n)/ từ (3.21) suy ru (3.20) và đình lý chững mình xong
Chú ý rằng theo giả thiết 3., với mọi x thuộc M,(h) tập NS(x) được chứa
trong không gian tuyến tắnh của nón chuẩn C(x), Do đó C(x) được đặc trưng
bởi tổng trực tiếp của NS(x) và NS(x]+C(x} ở đó NSỢ(x} là phần bù trực
Trang 35|1 Vw) E= iv: v=xỞÌ(x,M,), xe M(t(Ừ))} ở đó ký hiệu v=l(xM,} có IIehia là v cM, và d(x,M,) = |x = vị Dinh ly 3.5: Giá sử rằng giá thiết |-3 có thì; lim sup M(tÍw))<= M:(h,z} w=zl) và lim vo tim, Ề Ufo, (h): Xe M;{h.z)} VÍw) ( hứng mình Xét điểm se lim sup M(t(w]) và lấ y (wu} 0Ợ, {x,,} +s 1d cde day wellỖ lung Ung saa cho x, Ạ M(t,,} ,t, = t(w,,} Nhu da chifng minh & dinh ly 3 1 ta + weal atest [: Ở x | | củ thể giá sử {- "ỞT"),với xẤ = ĐÍx
Wi M,,) héiw vé mat diém v nio đó
Trang 36vẻ điểm seM:(h,z), thì veNS?(s}+5Ợ (h} và bất đẳng thức (3.22) xảy ra
Trang 37CHƯƠỚNG: 4
BALTOAN QUY HOACH TRONG KHONG GIAN VO HAN CHIEU
[rong chương này chúng ta xét bài toần quy hoạch có tham số trong các
không tian vô làn chiếu, và chú ý đến tắnh liên tục của hàm giá trị tốt tắuỀp,
Cho Ạ là một tập con của không gian Banach X, Ỳ, ụ là hài hàm lấy giá trị thực, xúc dịnh lrên X và xét các hài toán quy hoạch:
đồi hân min 4,] xeC 1) (4.2) xeC 14xÌỞ min đế) Ổ
Ta vẫn kắ hiệu M là tập những nghiệm tối ưu của bài toán (4.1) va giả
sử Mz@ Gọi S là một lân cận lỗi, mở của M trong X
I.NGUYÊN LÝ BIỂN PHẬN;
Phin nay xét 2 nguyên lý biến phân sẽ là trọng tầm cho những phân tắch của quy hoạch có tham số,
Giả thiết ÀL:
Tên tại một hằng số dương Ủ sao cho
Trang 38vdimorxeC as, Xót hàm hắ(x} = g(x) - Í(x) và gọi: [tƯ)w0)[Ẽ `GM,yẠcS,x#y (4.5) k-y k = sup
vetiaỖ Li ki hicu cia max{0,a} Giả sử k hữu hạn thi với chú ý rằng nếu h(x) là
liên Lục Lipsch1Z trên Ế modul path k ẹ pt,
Trang 39diện trầy t0: đướng:
d| a lf -(k + 3uyÌÌx ies | + v Ở=eg<\) ! kK + Quy '|Ík +20)Ợ +4alx -rỢ)Ƒ +|lEỞxƯÌỞỞỞỞkỞỞỞỞ 2a Vì d(x,M] <JXỞxẤ| nên khi cho y > 0*, bit dang thite wén chitng tỏ: k + vk Ộ+ hens: 2Ủ
Cuối cũng sử dụng hất đẳng thức va+b<va+Vb az0,b>0 với a =k), h= đực tủ được điều phải chứng mình M d(x, M) ặ lây piớ, với PỨCCX xét bài toán: xeT ae") là > min Giả sử tăng M = {x,}, T=TAS#@ và 8, = supd(x,8 } ở dé xếl Ạ =Ể@S vi 6, =d[xẤ.t] Chú ý rằng đ, và õ; nhỏ hưn hoặc bằng khoảng cách IIuusdoff giữa hai tập SỐ và 'E, ký hiệu bởi Haus(C , T) và được xác định như +1: Haus{C aE | = max|supd[,C | supd[x,C | Bố đề 4.2:
Cả sử có giá thiết AL va tap M= {x.}- f, # là các hàm Lipschiz Hiến
te lần lượt có mod kị và kỈ trên ậ, Nếu gọi X là e-nghiém tối ưu của (P )