SUJET REPRESENTATION MATRICIELLE CANONIQUE DES TRANSFORMATIONS ORTHOGONALES, DES FORMES QUADRATIQUES ET DES FORMES HERMITIENNES TUTEUR SCIENTIFIQUE : BÙI TƯỜNG TRÍ Trang 2 LJ Mémoire d
Trang 1MINISTERE DE LEDUCATION ET DE LA FORMATION UNIVERSITE DE PEDAGOGIE DE HO CHI MINH VILLE
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES sli
MEMOFRE DE FAIA DEFUDES
SUJET
REPRESENTATION MATRICIELLE CANONIQUE DES TRANSFORMATIONS ORTHOGONALES,
DES FORMES QUADRATIQUES ET DES FORMES HERMITIENNES
TUTEUR SCIENTIFIQUE : BÙI TƯỜNG TRÍ
Trang 2LJ Mémoire de fin d'études
AVANT — PROPOS
Lc dygébre linéaire sanpérieure a une place spéciale parami Les disciplines enseiqnées a Uaniversité Dour les éudiauts de Mathématiques
, elle est trés atile a la formation de Vesprit Quisque les progranumes
acluels et les horaires de Ueuseiquement soul restreints , nous a'’en avous géuéralement que des savoirs de base Dar conséquent , ce sujet recherche plus profoudément aur la représentation matricielle canonique des frausformations orthogouales, des formes quadratiques ef des formes hermitiennes (une partie plas petite d'algébre linéaire ) Ce sujet coutient trois chapilres suivants :
Chapitre 1: WHotious de base
Ohapitre 2: Représentation matricielle eanonique des
trasuformations orthoganales dans uu espace euclidien Chapitre 3: Représentation matricielle canonique des formes
quadratiques et des formes herndliennues
Je voudrais remercier Mousieur le professenr Bai Tidtug Tri pour sa geatillesse de m'avoir aidé dans le travail de recherche - en me snggérant des améliorations et me signalant des corrections a apporter Je voudrais remercier aussi lous les professeurs du département de Mathématiques et de
(Franveais de Uaniversité de Dédagoygie , wes parents , aes camarades qui
aout persuadé et moult encouragé d'achever ce sujet
Mai, 2001 , Wlé Chi Minh ville
Trang 3LH Mémoire de fin d'études += = SS SS SS Se SS ee ee ee eee ee ee SS LL LS SL SL SS SST LT LTT = TABLE DES MATIERES PAGE Chupitre 1 Notions de base 3 A Transformations orthogonales: 3
L Endomorphismes orthogonals , autoadjoints , adjoints 3 li, Expression matricielle des formes orthogonales 8 IH Etude des deux groupes O(2,R) et O(3,R) y
B Formes quadratiques : 13
** Formes bilinéaires ,** 13
I Formes bilinéaires symeétriques et formes quadratiques 15 I Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques en
dimension finie 16
C Formes hermitiennes : 19
I Formes sesquilinéaires et formes hermitiennes 20 ll Formes quadratiques et formes hermitiennes en dimension
finic 21
Chapitre 2 Représentation matricielle canonique des transformations
orthogonales dans un espace euclidien, 23 Chapitre 3 Représentation matricielle canonique des formes
Trang 4Mémoire de fin d'études
===—=========—==—=~===-—=—==~=~=======~===~======~==~==~====~==~==~—=—==—===~=
CHAPITRE 1:
NOTIONS DE BASE
Dans ce chapitre, nous donnerons les théories de base pour trouver la representation matricielle canonique |
“Des trunslormations orthogenales dans un espace euclidien, “Des lormes quadratiques
-Des formes hermiticnnes,
A Transformations orthogonales
Dans ce paragraphe , nolons toujours en géncral que | * Es espace cuchidien définissant un produit scalaire cite , note (,) * f © End(E) application linéaire de E
(fest dit aussi un endomorphisme de E)
* End(Ey=(f EE linéaire}, rg - rang, || - norme
* A/(.), : matrice dans la base {c,]
* M,,(R) : matrice colonne a coefficients dans R, M,(R) matrice carée Jd’ ordre n 4 coefficients dans R ,
Definition 1.1 :
Soit fe End(E) On dit que fest un endomorphisme orthogonal si : (/(x)./(y)) =(x.y) :Vx.vVeE Proposition et đéfinition I2 : Soit / € End(E) ll existe un et un seul endomorphisme / de E tel que : (f(x).y)=(x,/°(y) Vx.reE ešt dịt adjọnt de / En terme de matrices :
Si [e,}] est une base orthonormeée de E ,
A=M(f), A°=M(f’), ona A ='A
Démonstratio
*Soit {e,} une base de E , on note :
Trang 5tu Mémoire de fin d'études
d=M(f), <A =MU), S=MQ)), X =MOo, Y= My),
L*égalté (/(x).vỳ =(x,/)()) Vx,peE estépale a:
'(AX)SY='XS4'YF,VX,FeA,(R) , 7 dó AS=SA'
Comme S est inversible ,on a A’ =S"AS Ce qui montre que A’ (done /’) est unique
Réciproguement , si l'on défini f par MU’) = SAS , en remontant les
caleuls , on voit que f vérifie identité de I'énonee ,
En particulier , si [e,) est une base orthonormée , alors S = 1 done A’='A
D
Proposition et définition 1,3 :
“Soi / € End(E), / est dit autoadjoint ou symétrique si : (/(x)x) =(X,/(V) vax yveE
-En termes de matrices : ce qui est Equivalent A ‘A= A od A= M(f), avec [e,) une base orthonormée
Done , f est symétrique si et seulement si A= M(/), est symétrique ({¢,} une base orthonormeée)
La démonstration est immeédiate en appliquant la proposition précédente 1.2 Revenons aux transformations orthogonales, nous avons les propriétés suivanies ; Propri¢tés L.4; Son / un endomorphisme orthogonal de E Les propriétés suivantes sont équivalentex: l.Vx,yeE: (/(x)./(y))=(x,y) 2.VxeE : |/()\|=ld
3 f°’ ef =id (oud'une maniére équivalente fo f° = id)
En particulier fest bijectif (c'est a dire f est inversible et f° = f') et détf= + 1
4 / transforme une base orthonormeée en une base orthonormee,
*1) <> 2)
1) => 2): évidente (il suffit de faire x = y)
2) = 1): en appliquant la relation qui exprime le produit sealaire en
Trang 6Mémoire de fin d'études Km mmmm=m====—=—==Cẳẳẳ-==ee===-.-. -s._ Ă.-=—=—.- .‹ _ - _- (FOS UY) = |: (|/()+ S09 =| FC0!" - | FOF) i } 2 KẾ |/(x+w)[' -[/G1ˆ |9”) : sls + yf ¬ tự ¬ lyf ) (puixgue { conserve la norme) = (x,y)
*1) <> 3): on démontre par l’équivalente ;
(x.y) =(/(0), SO) =O Se f(y) Wx yeE ,d’od p= fo fly) VyeE
done f'o f=id, Onaalors dét( f'ef)=1, c’est—a—dire :
(đét / ).(dét ƒ) = l
Or détf = détf( propriété def que nous allons donner aprés ), Done
(đét/) =l ,d'ó détƒ= #1,
-En déduire bien que f est inversible et /ˆ = ƒ`, don ƒ est bijectif car :
f injectif : fix) =0 > 0= f° fix)=x-x=0
et car: en faisant agir f' a droite duns f" © f = id, on obtient f° =f" Enfin , en faisant agir f a gauche ,ona fe f° =id,
*|) c 4)
Soit {e,) une base orthonormée , on a: (/(e, )./(e, )) =(e,.e,)=ởð, Done |/(c,)] est une base orthonormée
Réciproquement , supposons qu'il existe une base orthonormée (¢,} telle que [fle,)} soit une base orthonormée , el soit x = 3 xe, ye > Ye) sal jel Comme {e¢,} est orthonormée , done : (x,y) = yx), D*autre part : (f(x) JOY) Ex Me Tv Me Y= Yay (Med Mey sol rel tr ~ Sxuy,ổ, = Vx, = (x,y) done Yx,yeE: (f(x) f(y) = (xy) est -a-dire fest orthogonal L]
À cơté de ces propriétés de transformations orthogonales , nous avons aussi les propriétés principales des endomorphismes symeétriques ct des endomorphismes adjoints,
Trang 7Lu Mémoire de fin d'études
=c=.s-n-n-nr.rnee.sr.e=- == S2228S2S 2222288225 2222288282228 22822
2 fest diagonalisable
3 Les sous —espaces propes de f sont deux a deux orthogonaux (on peut done construire une base orthonormée de vecteurs propres en choisissant une base orthonormée dans chaque espaces propres)
Ou encore , en termes de matrices : Toute matrice symétrique réelle est Jiagonalisable dans R et les espaces propres sont deux a deux orthogonaux
1) Soit A la matrice symétrique réelle gui représente f dans une base orthonormée et Aune valeur propre réelle ou complexe de A (Aexiste car le polynéme caractéristique de A considéré comme le polynơme de C(X))
Montrons que Ae Nous allons raisonner en termes de matrices : Soit X élant la matrice d'un vecteur propre v corrrespondant 4 4 Ona AX = AX ,
d'od AY =A¥ C'est -a-dire AY = AY
Puisque A est réelle , done AN = AY Comme / est un endomorphisme symétrique ,donc:
'(AX)X=XAVX WX €M,,(R)
alors ‘(AX )X='XAX VX € M, ,(R)
c'est—a-dire > Alyy’ =Ajyf> et commev#0.onaalors A=2
Done Aest un réel
2) Nous savons que ; f est diagonalisable si et seulement si i] existe une base de E forméc de vecteurs propres dc /
Par récurrence sur la dimension nde E % n=! ,iln’y arien a démontrer ,
Trang 8Lu Mémoire de fin d'études
-ll est évident que dimH =n - |
-H est stable par /, c'est —a-dire (MH) cH
En effet : sot ye H ( c'est -a -dire ylx Vxe/*), on considére
(f(y).x) = (y, /(x)) = A(y,x) =0 ,donc /(y) Lx,owbien f(yìcH,VyvweH
Ainsi /(H)c H , H est stable par /
On a alors la restriction # de ƒ ÀàH estun endomorphisme symétrique de H
Car siv.we H ona :Œ), W)„ =(/(v).M), =t, /(M)), ,ứ! comme /(w) € H done ,
égái à (v,/(w))„ On a maintenanL dimH = n - Ì et đaprès Í'hypothèse de
~
récurrence iÌ œxiste une base {€¿, e„} [ormée de vecteurs propres de /
Done [X,¢, €,} est une base de E formée de vecteurs proprecs de / / csL ainsi diagonalisable
3) Soient vy, et v2 vecteurs propres correspondant aux valeurs propres A, A, (A, #4,) HM suffit de monirer que v, 1 v,.Ona (f(¥, 95) = ACY ¥y) Or fest symetrique , donc : (0, ),V;) = (vf (yy )) = Ä;{V,,V;) Done (Ä, ~ Ä;)4v,.v,) =0 C'est-a-dire (y,,v,)=0 (puisgue 2, # A,) Dol v, Lv, L] Proposition 1.6: Pour tout g , / € End(E) et pour tout scalaire 2 , ona: a) f° =f , (id) =id b) (/+g) =/ˆ+g (J) =AJˆ,(fsg) =g s/ ce) re(f y=rg(f) deLƒ” =detƒ
s* un endomorphisme orthogonal est un endomorphisme / tel que :
Pof=fof =id
“ un endomorphisme symétrique est un endomorphisme / tel que :
| fef
Demonstration
Trang 9L.) Mémoire de fin d'études
ee ee ee ee
a),
POOH) =O SO) = =O) =O Oy) Yee E
dunce ƒf(x)= f”{x) , VxeE
dJ'ó /= / ` De mẽme pour (ở) b), -De méme maniére que a)
-On démontre :
(foxy =g ef" Eneffetvona (fe gXkx)y)= (Uf ex) () Or ((ƒ^gXx).w) =(g(x) / (y)) =(x.g`$ 0y)
Done (foxy =giof
6).On a delinit que |
Me foal avec d= M(s), of [e,) une base
En ullisant ces remarques , on démontre done facilement la propriété - Sif est orthogonal , on a :
feof =id et f'ef=id Dome fof =f eof «id “Sif est symeétrique , ona: a =(x,f(y)) VryeEk (S)y = f(y) Vayek donc ƒ= ƒ` * dc
D’aprés les propriétés des transformations orthogonales précédentes , on a:
Définition et proposition II.1;
Soit Ae M,(R) On dit que A est orthogonale si elle vérifie l'une des conditions équivalentes suivantes :
J1 11143 t0 (1140/01
a) ‘AAez=l b) A Awl
c) Aestinversible et ‘A= A" %
d) A est la matnce de passage d'une base orthonormée 4 une autre base orthonormee ,
Remarque : A orthogonale , alors det A = £1
La demonstration est évidente si l'on applique la propriété 14 Définition 1.2: ( Groupe orthogonal )
Dans une base orthonormée :
Trang 10LJ Mémoire de fin d'études
eSi A, Be OnR) alors ABE O(n R) ef Ee Oin.R)
eSi Ae O(n R) alors A’ © O(n.R) Ovn,R) est uppeleé “ groupe orthogonal *
b, Le sous-ensemble SO(n, R) = {4 € O(n, Ridet A = 1}
est aussi un groupe s‘applile “ groupe spécial orthogonal * ( ou “groupe des rotations”)
La verification est immeédiate
Nous avons ainsi définit “groupe orthogonal “ Nous allons étudier maintenant les deux groupes orthogonaux importants 4 savoir O(2,R) et O(3,R)
Ill Etude les deux gr rincipaux O(2,R) et
i111) Groupe O(2,R)
Sout Ae (2, R).On trouvera que A est de lu forme i le (-1)'" sind : = avec GER kEZ xin (-1)" cos b Eneffet soil A= Í Ầ Vd,b,c,d e Ẩ c ad '+cÌz] () AeO(2.R)e©e>‡h'+d'°=l (2) aồ + cả = 0 (3)
ủ`après (Ì) , ¡Ì existe đe &(eÍ que a =cosØ,c =sinớ,
de méme , d’aprés (2) il existe ge R tel que b=cosp,d =sing Enfin , d'aprés (3) ona cos@.cosg +sin@ sing =0 ,d'od:
cosig -0)=0,done p-@=(2k+1)"
alors ,b = cos(Ø + (2k +1) >) =(-1)"" sind
e d=sinhO+(2k+ 02) =(-1)'cos@ Ona ainsi ,la matrice voulue
Comme det A =(-1)' (cos? @+ sin’ 0) =(-1)', Done Ae SO(2,R) & & est pair
Trang 11Mémoire de fin d'études == SSS SS = SSS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS Se ee SS SS SS SS SS Se See SS = Propositi : Soitt Ae O(2,R), alors : cos? =—sing sind? cos?
+ Soit A € SO(2, R) et dans ce cas A -| (rotation d' angle 0 et de centre O),
@ sind
*Soit Ae SOR) et alors ÁA=| sin? -cos?
dans ce cas A représente la symétrique orthogonale par rapport a la droite
dangle polaire %,
II 2›.Groupe O(3,R) :
Soit 4e O(3.#),/ un endomorphisme orthogonal de R’ tel que A= MU yn {e,} étant la base canonique Si A # +1, nous avons les lemmes suivants ;
Lemme LL
Si A est une valeur propre réelle de A, alors A =t1
En effet , si v est un vecteur propre correspondant 4 A C'est -à-dire
Kwy= Av
On a ||/(»)] = [Av] ={Alfy] Comme f est orthogonal , on a done :
(/(v)|=Íjs|=lÄ[V| et puisquev #0 done \Aj=l ow A=+)
Lemme II1.2.2
& SidétA=1, A= 1 est valeur propre d’ordre | ou 3 s% SidétA=-1, A =- 1 est valeur propre d’ordre | ou 3
Démonstration
s% détA=1:
Si les trois valeurs propres 4,,4,,A, de A sont toutes réelles et puisque A, A, A, =detA=1 et A, =+1 (lemme III.3.1), On a donc , nécessairement :
soit A, =1,A, =A, =-l | =A, =A, =1
Si lune des valeurs propres gv est complexe , alors 4 est aussi valeur propre (puisque A réelle) Or dét A= Ay yw (avee Aune autre valeur propre ) , alors A est nécessairement réelle , done A = tl
Comme dét A = 1 > O et par conséquent A = 1, “% Dét A =- 1: se traite d'une manicre analogue
Trang 12CÀ Mémoire de fin d'études SSSSSSSS SS SS SSSSSLSSSSSAVSRSLVSSS LLLLSSSSRLSSLSRLESLSSESESLLAELLVAA Lemme I1L2.3 Si detd=1 , dim&, =] Si detA=-1 dimE, =) (avec E, = {ve EL f(v) = Av|) Démonstration
** Supposons dét A= 1 (A = 1 est valeur propre simple ou triple) - Si dimE, = 3, ona E; = R?, donc A=I ce qui est exclus
- Supposons dimE, = 2 (2 = | est valeur propre triple) Raisonner par l'absurde;
Suit {v,.v, | une base de E, et wely,,v,]) we 0
Ona (/0w)v,)=((0).f@2))=wv)<0 Vísl2
car (i): f(y ev, (A=1) et (2): f est orthogonal
Done /(w)e[w,v,]|° ou f(w)el[w],il existe donc A, € R tel que f(w) = Aw Mais A =1 est valeur propre triple,done A, = A
Alors fiw) w , d'od we, ceyuiestexclus (curweE;) Ainsi on a nécessairement dim E, =]
* DétA=- |: se traite d'une maniére analogue
Lemme L1L2.4
Si dét A = 1 (resp : dét A = - 1) alors le plan += £ÿ (resp:z= E%) est invariant par /f ct sa restriction f sur x @stune rotation
Démonstravion “ 7 estinvariant par /:
Soitxe w , c'est-a-dire (x, w)=0, ¥we E, (resp E_,)
Trang 13CA Mémoire de fin d'études
Soit f = t\, alors “x,yer ,ona: (f(x), fir) =(ƒ(x)./(y)) = (x, y) done ff est orthogonal Montrons maintenant que det f =|,
Soit {v,.¥, | une buse de x, on a: a 6b 0 l=Af(/),„„ =|c d O| avec (° i) = MiP), et £= +Ì sxelons que đet Á = +| 0 0 e c'est-a-dire détA =e , a a h - Done , det A = | =| etdone / est une rotation b i jpaet đ'ó c € € L1 En appliquant les quatre lemmes ci-dessus , on a la proposition suivante : Pr i
ll existe une base orthonormée {e;',e2',¢y’ Jde R? tele que
~~ mee 8 lsi detA=l Ae SOQ R
A=M() =ỈsinØ coœØ 0 £=lsí =Ì (ou A<SO(3,#))
% 0 0 x c=-lsi detA=-l (ou AeSO@,R))
Démonstration
*$ĩ A=+3+(:trivial
dans ce cas on prend pour k kia base canoniqueeL Ø=0s( A=!1,0z=Tsỉ A#~I
sẽ Az#esl
D'uprèx les quatre lemmes , il existesine base orthonormée [ei`,c;`,cy } dc R’ avec ee; eL e;€E, (re;:e;¿eE,) telle que ona la matrice voulue
D En résumant :
Soit Ae OR) , AF tl
- Si dét A= 1, A représente dans la base canonique de 2’ une rotation autour de axe E, , angle (non orienté ) de rotation est donné par :
Trang 14tu Mémoire de fin d'études
cS SSS SS SS Se SS SS SS SSS 8
TrA = 2cos@ +1
-Sidét A=-1, A représente dans la base canonique de R? une rotation autour de axe E_., suivie de la symétrie orthogonale par rapport au plan E*, , l’angle (non ortenté ) de rotation est donné par :
TrA = 2cos0-l
En particulier , si TrA = | on u @ = 0 Alors A représente la symétric orthogonale par rapport a E+,
B.Formes quadratiques
Dans tout ce paragraphe , le corps de base des espaces vectoriels considérés est R ef on note aussi :
2 feknd(E)=|f: EE linéaire}
“%* (E, gì : espace vectoriel E de dimension finie n muni d'une forme yuadratigue ¢
Tout d'abord , nous allons étudier la représentation matricelle des formes bilinéaires et ses expressions matricielles qui seront beaucoup appliquées dans
la démonstration des autres
.e et e i Ề
Soit b:ExE—>K une forme bilinéaire et [c,]} une básc de E, là matrice de b dans la base [e,} est la matrice :
ble, ¢, ) ° ble, at’, )
M(b), =|: 7 = |hÍe,.e, || Vi = tn
ble,.e,) ®(e„.e,)
ou il indice de ligne et j l'indice de colonne
L’élément de la i*"” ligne et r colonne est le coetfieient de xy, ou A(x.) = yxy, ble,.e,) avec x= yx, oye vy,¢,
spol val jet
Trang 15tJ Mémoire de fin d'études En termes de matrices : Si A= MÍP), ,„ * = M(x), Y= M(y), qw( x,V€E on a: |ð(xy) =_ “X4r|
Notons que ð est symétrique sĩ et seculement sĩ M(b) est symétrique Avec un changement de base :
la matrice de passage et x,y € E Si l'on note; X = M(x), X'= M(x), ¥ =M(y), Y= My) ona X'=P"X et Y'=P"Y Done X=PX' et Y=PY' Alors b(x,y)= 'XAY ='X'A'Y' oer ia Bắc ) B(g;.e¡) blesses) On a donc |A' = 'PAP Où 4=M(b), = Définitions: I._ On appelle rang de b le rang de Papplication : j :IE¬E yr by)
ot E” l'ensemble des formes linéaires
2._ On appelle noyau de b le noyau de |'application j Noté N(b) ,ona :
N(b) = |y e E|b( y) =0 |
=|yweElb(xy)=Ú V+xe È |
3._ On dit que b est non dégénérée si j est injective , c'est =à-dire sĩ N(b) = 0
ouencore si (d(x,y)=0 VreE)=> y=0
Soit le, } une base de E on a:
* rg(b)=rgM(6),
*b est non dégénérée si et seulement si dét M(4), #0
Trang 16Lu Mémoire de fin d'études
1 Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques : || ~Definition :
Une application bilinéaire s: £« £ > & est dite symeétrique sĩ : Vx,y eE,s(X,y) = x(y,X)
I3 -Đéfinition :
ne applicaton @- £ = # esL une lorme quadratiquc x'1Ì eXiste une [orme bilinéaire symeétnique stelle que: VxeE : g(x) =s(x,x)
|.3 —Proposition et définition :
Si q em une forme quadratique , tl existe une unique forme bilinéaire symetrique s telle que gf) = s(n) Ss est dite forme poluire de q
( la démonstration est immediate d'apres lu définivion )
|4 - Propriétés :
|) qg et s (sa forme polaire ) sont liés par une ou l'autre des identités suivantes ;
s(uyy) = 2 Iq(My)~ q6) = g0)|
S(x,y) = [q(x#y) ~ q(x-y)|
2.) Il existe une correspondance biyective entre les lormes bilinéairex symeétriques et les formes quadratiques |
3) WxeE WAeR qhAxp= A’ qin) Demonstration
|.) En développant la forme g(x+y) et y(X-y) on a le résultat
2.) Considérons le cas E est finie dans le paragraphe considéré suivant pour plus simplifier la démonstration
3)Ona VxreE ,WAeER
q( Ax) =S( Ax, AX) = Ä'%(X,X) =4” q(X),
Trang 17L1 Mémoire de fin d'études
Pour montrer qu'une application g:E=>+K est une forme quadratique , il faut montrer que :
a) s(X,y)= 5 [q(x,y) = q(x) = q(y)| est une forme bilinéaire b) s{x,x) =q(x) (ouq( Ax) = 24 'd(x), VxeE ,VAeR )
Il Formes bilinéaires symétriques ct formes quadratiques en dimension finie
En cus de dimension finie , nous considerons toujours (E,qg) espace vectoriel E sur R de dimension finie n muni d'une forme quadratique q
IL.1- Définitions :
_Forme quadratique qg est dite non dégénérée si et seulement si sa forme polaire est non dégénéreée
_On dit que s ou q est positive si: VreE g(x)20
_ On dit que s ou q est définie positive si: g(x)20 ce( g(v)=0=>+xe<0
H.2-Expression analytique đe s et g
Soient ‡e,Ì,i = in une base de E , s une application symétrique de E et q la forme quadratique associée
Soient x=) xe, ef y=) ye, deux vecteurs de E Lexpression
emt jet
analytique de s et de gq dans la base {e,] :
s(x, y) = dx y,5(€,0€, ) " 3`x,y,4(e, ) + 3 (x,}, + x,y, )s(e, e, ) sel
yt lát< ¡ấnz#/
q(x)= S xux,s(e,„£,) = y xig(e,)+2 3x,x,s(e,.€,)
‘get vel Isi<sSeres
Résultat :
ll existe une coresspondance bijective entre les formes bilinéaires symetriques et les formes quadratiques ; En effet,
“* q est une forme quadratique non nulle sur E , q(x) est un polyndéme homogéne de degré 2 en les composantes x, de x Donec , si s est une forme bilinéaire symétrique, en remplagant x par y on obtient une forme quadratique,
Trang 18tì Mémoire de fin d'études
m—=—==—=—=—==—=— Ặ-ằ ằễ -—-—-=- _—_— CC =——=————-`- =====—~-
% Réciproquement, sỉ g:£—># telle quc : g(x)= 3d xx, Vx=Ð xe, 6E
evi
y est une forme quadratique et la forme polaire associ¢e a q s’obtient par “la regle de dédoublemenL des termes ”, c'est-d-dire en remplacant
a,x; par a,x,y, et 2a,x.x, par aixy, +x,y,) 11.3-Bases ortho - rthonormées : 11.3.1 - Définition :
Solent s une forme bilinéaire symétrique , q la forme quadratique associée et {e,} une base de E La matricc 4= ls(e,.e, lì est appellée matrice dụ s ( ou yg) dans la base {e,} , elle est bien appartenant a M,(R) et est symeétrique H.3.2-Définition : Une base {e,} de E est dite orthogonale pour la forme bilinéaire Symecirique $ si: v(e,„e,) =0 Vie; Elle est dite orthonormée sỉ s(e,e,)=d, avec la notation l,4s( i=
d, = O,si is : : ⁄ la symbole “kronecker”
Sous formes de matrices , on a :
1.) [e,} est une base orthogonale si et seulement st: đ, 0 M(q), = me @, =sle,,€,)= Qle,) 0 a " ou encore g(x) = a,x} +4,x} + +d,„X) 0Ù x =3 xé, owt 2.) (e,} est une base orthonormée si ct seulement si : i 0 * - Mig), =|, |,0uencore Q(X)= x' +xj+ +xj, 0ù x= 3 xế, 0 | 3.) Si A est la matrice de s dans la base {e,} yueleonque , ona: Vx, peE.s(xyj="NXAY et g(x)’ NAY
Il se pose une question ; Est-ce qu‘il y a toujours une base orthogonale pour la forme quadratuque q de E ? Le théoreme suivant montre l’affirmation
11.3.3-Théoréme :
Trang 19Lo Mémoire de fin d'études
==E—~=—===~=——==——===~*x~z—=rz~x=x~==~===~-==~=r========-x===-==x==x====
Dans un espace vectoriel de dimension finie E , E + {0} , muni d'une
lorme quadratique q , 1] existe toujours sur E des bases orthogonales par q
5 1S: : 3
Par récurrence sur la dimension n de E “* n= l;iln`y a rien à dềmontrer
s* Supposons lv théorème vrali à Í*ordre n - Ì
-siqg =0, le theoreme est trivial (car toutes les bases sont orthogonales)
“st og #0, ef soitve Etel que g(v)#0,.Notons F=[v] la droite vectorielle engendrée par v On montre que E=F @F* Eneffet , si xe FOF’, ona x = Av ( puisque xeF ) et s(x,v) = 0 ( puisque xe F*), dod s(Avv) =0, c'est-a-dire As(v.v) = Aq(v) = 0 Done A = O (puisque y(v) #0 ) Alors
Paok* =), ce quiveutdire que E=F@F* etonen deduit que dimF* =n-1.,
Soil 7 = q| ,.- D'aprés 'hypothése de recurrence sur #* muni d'une forme yuadratique g, il existe une base orthogonale {e, ,c,} Il est clair que
(V,€›, e„j est une base orthogonale pour E C'est-a-dire : écrivons une forme quadratique gq en somme de carrés de formes linéaires indépendantes , -Si la forme quadratique q a au moins des termes carrés est non nul , il est facile đ'écrire X
-Si la forme quadratique g ne comporte que des termes rectangles ¡ c`est-à-dire : G(X) = GX Xy + Gy XX) + Fae, X, + ¢0, 4.x, 0n a la méthode suivante ; “* On choisit un terme rectangle 4 coefficient non nuÌ xx, avec k #0
“ On calcule les dérivées partielles | ,y’,
+
NI Eis
Trang 20LJ Mémoire de fin d'élades
====>—=—=>>>—>~>~>>~~>~~~———=~ ===>>>>>>>—>~— ~ -—-—-—-===~========-
On aura une expression du type :
q(x) = | 0\()95(X) + termes ne contenant nioxni x , of @,,Ø,sonL đdeux
lormes linéaires (en fait: g, = 4) 2g, = %, }
%* (On Ccrit le produit @,@, sous la Íormec : @@ = ale +p.) -(9, -~,)'|
se Si dans les termes correctils , s'il ny a que des termes rectangles , on recommence l'opération jusqu’d écrire q comme une somme de currés de lormes lineuires
Remarque ° les formes linéaires ainsi obtenues sont linéairement indépendantes (C’est Gauss qui a dit)
b.) Recherche d'une base orthogonale :
Soit g(x) = a,x) + 4a x) + +a, Xe (ou x= Vive)
sỉ
D‘apres le théoréme 11.3.3 on peut toujours trouver une base orthogonale {y,}
SEX = ay + #4 omaurasg(x)=hx,) + +b,4) avec bị, =š(V,.v)= g(v,) 5 0 x, x; C'est-a-dire : M(qg), =|: ¬ : |.Si X=Ị: =M(x),, À'=|: |=M(x), , 0 oe & x, x, Ona A"=P'X avec P=P_, En notant |, les coefficients de la matrice P' , on a: x, =1x, + +4,x, :=@,(x) (8): ễcxyoeeesdieore(deeesserex x, + +1 x, 1 =, (x) Oi @» SOnt de formes linéaires indépendantes (puisque dét P#0) On aura ~~
Trang 21LJ Mieémoire de fin d'études
1.- Formes sesquilinéaires et formes hermitiennes :
Notons gue les formes sesquilinéaires jouent le méme réle que les formes bilinéaires et que les formes hermitiennes jouent le méme rdle que les formes bilinéaires symétriques Done , nous allons étudier ces formes dans le corps K=C., 1.1-Définitions : s* Définition LI1.1: Un endomorphisme ƒ£ de E est dịt anU-Ìinéatre (ou semi-linéaire ) sỉ : f(x + #w}= /(v)+ /(w) Vx.ye€E,VÄÀeC : /(Ào) = Af (x) s* Définition L.1.2 :
Soi E un C espace vectoriel Une application /:ExE—~C est dite sesquilinéaire si elle est linéaire dans le seconde argument et anti-linéaire dans le premier argument
C*est-à-dire ;
*®Vx,y,ve€E,VÀeC: /(x,Äy + `) = ÀÄ/(x.y)+ /(x.w')
*®Vx,xr,peE,VÀeC: /(ÀÄx+x',y)= À/(x.y)+ /(œ.#) En termes de matrices :
-Sol d= M(f), X =M(x), Y =M(y),, {e,} étant une base de E, ona ;
f(x, y)='XAY
-Avee un changement de base :
Si (e; } et [e,"} deux bases de Eet P=? _., la matrice de passage , on a ;
Lod 42 MUN),
Remarque : On définit aussi le rang , le noyau , la matrice d'une forme sesquilinéaire comme le rang , le noyau et la matrice d'une forme bilinéaire que
nous avons énoncé au début du chapitre | @ L’on a aussi la définition d'une
forme sesquilinéaire non dégénérée comme les formes bilinéaires
-
# ĐÐéfinition I.1:3:
Une forme sesquilinéaire h est dite hermitienne si A(x y) = h(y,x) Vx,yE Sỉ h est une forme hermitenne , lapplicauon :
G:E +R
xe đ(x,x)
est appelée forme quadratique hermitienne associée ah
Remarque : h est hermitienne , alors : Vx e E, A(x,x)e€ & C’est-a-dire les éléments de la diagonale de la matrice qui représente h dans une base sont réels
Trang 22LJ Mémoire de fin d'études
** Proposition 1.1.4:
Seu fiune forme hermitienne ef gtx) 2 hax) , ona đ{(x, x} = “(ge + ¥)—q(x- y)—ig (4 + iy) + @(x = iw)| Demonstration
Enellet, ona:
(X + #) = đ(x + ÿ,X + V) = Íđ(x,X) + đ(v, #) + Ady) + đ€w, tr)
~ qh ~ y)@ hte = W,X~ #) = =ÍN\x,X) + #(x, t) + h(y, x)— đ{ #, w)
—1g (ay + iv) = thx + iy x + iy) = =ÍÍN\x, x) + #(x, #) — My, x) = lẤN vụ v) ig (X= iy) = h(x = iy, x — iy) = thx) + Ade) — ACY) + i)
Par Paddition membres & membres , on obtient le résultat
Comme nous avons énoncé ¢(x) = 6(v,x)e€ KR Uy a done un sens 4 parler des formes hermitiennes positives
* Definitions 1.1.5:
-Forme hermitienne h est dite positive (resp : négative)
Si: q@(x)20 VeeE (resp:gG(x)s0 VxeE)
Elle est dite définie si G(x) =0> x =0
-Done , il est facile de vérifier que toute forme définie est non dégénéréc
H.Formes quadratiques ¿ en d
sur C ;
H.1-Expression analytique de 7 ct de h:
Soient {e,},vi=ln une base de E , h une application sesquilinéaire
hermitienne de E et ƒ ita forme quadratique associée Soient
x= et ys - y,¢, deux vecteurs de E L’expression analytique de bh et
swt svt
de ¢g dans la base {e,} :
A(x, y)= 3`1.v,h(e,„e,)= 3`š,y,đ(e,)+ Vey, +X y.)/(e,.e,)
eet vat tare pteres
- " ì
—
qg(x)= 3 1.x,h(e,.e,)= Dlx g(e,)+ Y3 (š,x, +x,x, Jh(e,.e, ) tye sel hare pha ves
11.2-Bases orthogonales — bases orthonormées :
H.2.1-Đéfinition :
Une matrice HeM,(C) est dite hermitienne xỉ : [=7 ó
H=M(h), avec {e,| une base de E
Remargue > En cas particulier , les matrices symeétriques réelles sont les matrices hermitiennes réelles
11.2.2 - Definition :
Trang 23Lu Mémoire de fin d'études
ICSI SS SS SS SS SS SSS SITS TT
Une base [e,) est dite orthogonale pour la forme hermitienne h si : Í(,.e,) =0 pour ¡ # j
Elle est dite orthonormée si de plus Afe,,e,)=6,
Sous formes matricielles :
a.) fe,} est une base orthogonale si el seulement si: a O Mih), mpi + : » (a,€R) GC a 8d, ou encore q(x)=a, \x,!° + +d,lx„| , (dVœC x= 3 xe,) rl b.) {e,} est une base orthonormée si et seulement si : 1., 0 Mh), = 0 ¿¿ 1
ou encore G(x) =lx,| Fic +/x, |" (avec x=) xe)
De méme pour les formes quadratiques , il se pose une question : Est-ce qu'il existe Loujours une base orthogonale (orthonormée) de E ? La réponse est positive d’aprés le théoréme suivant :
11.2.3 - Théorème :
Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur C , E# {0} , muni
d'une forme hermitienne h , Il existe toujours des bases orthogonales pour h La démonstration est la méme que pour les formes quadratiques /
CBR
Trang 24£13 Mémoire de fin d'études
a i i i a ae a a eae a eae ae a ee se
CHAPLTRL 2 -
REPRESENTATION MATRICIELLE CANONIQUE DES TRANSFORMATIONS ORTHOGONALES
DANS UN ESPACE EUCLIDIEN
Dans ce chapitre , nous donnerons les résultats des transformations orthogonales obtenus du chapitre précédent , l'un des ces résultats est res important 4 savoir lu représentation matricielle canonique des transformations orthogonales pour espace cuclidien E de dimension n
1.) Proposition L.1 :
Soit f une transformation orthogonale dans un espace euclidien E On a
alors :
(Ker(7 ~id) = Im(f - id)!
On démontre par l'équivalente :
Vx e lm( / =id)! ©@(x,(/-idXy) “=0, VyeE c(x/(y)—y)=0, VyeE cC(4,y)=(x,/(y) VyeE
l:n cemplavant y par / (2) ( puisque ƒ/orthogonale , done f bijective , dune i existe ZzeE tel que y =ƒf*(z)),on obtient<x/ Ì(z)»=<xz> ,VWZzeE et comme forthogonale , ona:
L009, fo (2) = Oy P72) € (ƒf(x).z) =(x,f (2) (puisque fof =id) Done (x,ƒ '(z))=(xz) , VzeE €>(/(x)z)=(xZ) , VWreE > (f/(x),.z)-(x,z)=0 Vzek «»>(/(x)—x,z)=UÚ , VzeE <> f{(x)-xe E* ={0} ` © /(\)-x=U D’od xe Ker(f-id) Done Ker( f -íđ) = Im( £ - ¿đ}"
Notons que: A* = Ire EXa.x)=0 Yue 4d} er =E* = {o}
On en déduit le résultat suivant :
Corollaire 1.2 :
Si(f- id) =0 Alors_f= id |
Trang 25Ld Mémoire de fin d'études
Wot ( f- idx) €Ker( f-id) et done Im(f-id) c Ker (f-id) Or , d’aprés fa proposition!.| on a: Ker( f —id) = Im(ƒ - ¿đ)ˆ
done Im( f—id) c Im f—-id)* Puisque Im f -id) Im(ƒ/ -¡đ)° = {0)
onadone Im(f-id) c (0) , et done fid=0 ou f=id ce qui est bien le résultat xouhaité
2.) Proposition 2.1:
Dans un espace Euclidien , soit une transformation orthogonale et g =f + Fi ự clant autoadjoint , E est somme directe d’espaces propres de g
Notons Aj Am les valeurs propres distinctes de g et V, V, les sous- espaces propres correspondants Nous avons alors les résultats suivants ; Résultat 2.1.1: Les sous -espaces FV, sont stables par / Démonstration Onvoitque gf=(f+f)f=fr+f f= fr id etque feaffe+f)=f+ff =f+id , car fest orthogonale , c’est- a-dire if f= ff = id Onadonc gf=fe
Si VxeV, on doit démontrer que /(x) el⁄, C*est-à-dire g|/x)] = 3/0(x)) Enefletlona gf=fg ,d'od gfx) = fea), VxeV, Comme xe V, et V, est le sous-espace propre de g donc , g(x) = 4,x , on oblient g/(x) =/(A\x) = AVX) Alors V, est stable par/ 0 Résultat 2.1.2 : Soit f, = /\V,, , alors le polynéme Q(X) = X?-A|X+1 est annulateur de /, Démonstration Il faut démontrer que : Q(X) est annulateur de /, , c'est-à-dire : Q(/,)= fi -Af, +id =0 En clfet,V xe Ứ, on a g(x) = 2,x, d'ó (f+ f(x) = Ajx, done (f+/')(x) - Aix = 0 etdone , (f+/"-A,id)(x) =O (1)
En faisant agir fa gauche dans |égalité (1) on obtient : (+ff-A Pix) =0, ¥xel’,.D'od f- Af+id=0 ( puisque £f = id) Q(X) est ainsi annulateur de fi
Trang 26ee Mémoire de fin d'études =====—=>>==—~=~~~>~xE~-~*x>>~x>>x>>~>>>——>~~>*x~-~xkxxx**5X~~x~xEz6⁄5⁄5£ˆ£ m6 mr£ZnR⁄hZ==:E8 Résultat 2.1.3 : Si V,#{0} alors f, =id Si V,#{0} alors f., =-id Démonstration -SỈ A,=2 et V, # {0} ona Q(X)= X?-2X4+1=(X-1/
Comme Q(X), d'aprés 2.1.2), est annulateur de f, =f, , done nous avons
(f;- id)? =0 Done en utilisant le corollaire 1.2 ,)= id
-Si 4,=-2 et V., {0} onade méme , Q(X) =(X+ 1) et /=/¿ , dó Ufa+ idP=0 ,c’est-d-dire [f)- (-id)[?=0 Done f)=-id
n Résultat 2.1.4 :
Soi 4,442 tel que V,#{0} Alors ,sivel,, alors v n'est pas vecteur propre de f, Et l'on a en déduire que , le sous-espace W=|v/(v)] est de dimension 2 Đémonstrauon Par Vabsurde : Puisque f est orthogonale , done toutes les valeurs propres de f ne peuvent cure que +1
Sỉ ve l7, était vecteur propre de f correspondant a la valeur propre 4, il devrait etre racine de Q(X) = X?-A,\X+1 ( puisque Q(X) est annulateur de /, )
Or Q(41) = 2% 24,40 (comme 4,4 +2 ) Done v n'est pas vecteur propre de / et done (fv),v} est une famille indépendente , done dimW = dim|vj(y)] = 2 L] Résultat 2.1.5 : W et W* sontstables par/, Demonstration Enelfet, VreW :x=Avepf(y) avec AweER >
Ona /(x)= À/(v)+ ”(), puisque / - 4 /+id = 0 entraine /=ÀÄ /- 1d,
done fix) = ÀÄ/V)* ,(2/V)-v) cLdờnc, (X)=- Vv#(À+À,)/(V), c estrà-
dire fixpeW
Trang 27(¿1 Mémoire de fin d'études
Si Vee W*, on démontrera que (f(x),z)=0,V¥zeW ( puisque W est stable par f)
Comme zeW alors il existe a,b ER tels que z=a/iv)+bv EW C'est-a-dire : Z=aflv)+b( 2 Jiv)-f"(v)) © W ( puisque f*- 2 f+id=0 © id= A f-f" )
Alors z= (a+ b)flv)-bf'(v) © W Or W est stable par f, done (a+A jb)v-b/iv)e W
On considere done , (x,(a+Abw-hf(v))=0 VabeR , et puisque /
Trang 28iJ Meémoire de fin d'études
En appliquant la proposition 2.1 (les résultats de 2.) ) on a un résultat rcs important a savoir le résultat de la representation matriciclle canonique des lranslormations orthogonales ,
Proposition 2.2 :
Dans un espace cuclidien , sou f une transtormation orthogonale TI existe alors une base orthonormée fe} telle que: YY \ M(f), = -l cosứ ~sinớ, sin@, cosé, 0 cosở, —-sin@, : sin@, cosé, /
-Ð'après la proposidon 2 , on trouve que E contient une droite ou un plan stable par f C’est-d-dire 2,=42,f induite tid et A, #+2 , f induite un plan W=lv/v)
-Maintenant , nous démontrerons que E est somme directe orthogonale de droites ou de plans stable par /
Nous procédons par récurrence sur n: La propricté est vraie sin=1 oun= 2
Supposons cette propriété vraie jusqu`à n - | (n>z3), et soit E de dimension linie n Soit Wy une droite ou un plan stable par f Nous savons (d'apres la proposition 2.1) que W,* est aussi stable par f et que endomorphisme £ induit par f sur W,* est orthogonale La dimension de W,° étantn- | ou n= 2, on
Trang 29LJ Mémoire de fin d'études
ES SSS SS SS SS Se SS SS SS SS SS FS SS SS See ee SS eee
peut done , appliquer I'hypothése de récurrence : W,* est somme directe orthogonale de droites ou de plans stables par / ,
Son WS =,® @IW, une tclle décomposlion On a ainsi ke = WOW, ® OW, uvec W, est stable par fet de dimension | ou 2 (Vi=l k }
-Considérons maintenant une décomposition de E du type précédent, nous clussons les droites stables en deux catégories ; les droites D sur lesquelles / induit idp et les droites A sur lesquelles f induit —/d,
D'autre part , soit P un plan stable Si l'endomorphisme / induit par f sur P n'est pas une rotation , on sait que / est une réflexion de P par rapport a une
droddđ A
Notant A lorthogonal de D dans P, on voit que P=A@D, Jf induit idp (resp : ~id,) sur D(resp :A) Done on peut écrire E sous la forme :
E = D,® 0D, @A,® 04, OP ® @P,
ó / induisant sur chaque plan Py une rotation
Il suffit de choisir dans chaque sous-espace A, , D, , Py une base
orthonormée La concaténation de ces bases nous fournit une base orthonormée de E dans laquelle la matrice a la forme souhaitée
L]
Trang 30i Mémoire de fin d'études
SSS SSS SSS SSS SS SS SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSERESSSSESESEE
CHAPITRE 3
REPRESENTATION MATRICIELLE CANONIQUE DES FORMES QUADRATIQUES ET DES FORMES
HERMITIENNES
I Formes quadrati
Nous avons dit dans le chapitre | que la donnée d'une forme quadratique est égale 4 la donnée d'une forme bilinéaire symétrique Par conséquent , nous étudierons une forme particuliére s’appelle forme bilinéaire unti-symetrique ,
1.) Forme bilinéaire anti-symétrique : 1.1-Définition :
Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur K et Q:ExE—K une forme bilinéaire Q est dite forme bilinéaire anU-syméưique sỉ elle vériflic
Q(x,x)=0, Vee E (ok K=C ouR ),
1.2-Propriétés : a> Propriété 1.2.1:
Soi Q une forme bilinéaire anti-symétrique Ona ; 1) Vx,y€E, Q(x,y) =- Q(y,x)
ii.) Si x,y eB sont liés , alors Q(x,y)=0, et on en déduit que : si dimE = | tlors Q =0
ili.) Supposons que dimE22 et que Q40 Alors, il existe deux vecteurs
indépendants u,,u,eE tels que Ơ(u,,uạ) = 1
) : - 0 |
iv.) Notons F = [u,,u:] Alors M(Q),) -| 5}
v.)Son W=#'« bw € ElQ(u.w)=Ú Vue pt Alors ona E= FOW
Demonstration
i.) VeveE ,ona O(x+y x+y) =0 Alors,
ÚZ ((x+y,X+y)= Q(X,X) + Q(X,y) + Qly,x) + QLy,y)
comme Q(x,x) = Q(y,y) =0, done Q(x,y) +Q(y.x)=0,0u Oxy) =-Qly.x),
Trang 31tu Mémoire de fin d'études
ii.) Si x ve E sont liés , on peut done supposer que y= Ax ,ona donc: Q (x,y) = Q(x, AX) = A Q(X,x) =O
.SidimE = 1, s0it E=[x] , alors VyeE c’est-d-dire y= Ax , VreE done, @3(x,y)=0 Vx,yweE ,etdone Q=0
iit.) D'apres Vhypothése étant donnée, il existe done v,,v2 6 E tels quc ©(v¡,vạ)
#U)
En posantuj=v, , a € E alors (u;,uuạ)= Ơ(v,, — )=l
©v,.v;) ©(,,vị)
Ainsi , il existe deux vecteurs u;,uạe E qui vérfie la proprtété
IV.) V X=(X,,X:), Y =(V¡,Y‡) e F=|u,uạ| on a XEX¿Uj+X¿U; €LYSY¡(U+V‡U;
Ona: Qx,y) = Ơ@(X;¡U¡+X;¿U¿,Y40i#+Y›U‡)
= Xp Vy CQ (Uy Uy PAX V2 C2 (Uy tha AY, $2 (Uy, Uy PX DV? 22 (Up, Uy) Or @(u,/u,)= Qlugu)=0 , Qluyu)=1] et Q(uy,uy) =- OƠ(0¿,ui), On a done , Q(xX,y) = Xyyo — Xay;-
0
Alors MA nny | ' ) ;
v.)-Démontrons d'abord que Wo F = {0} :
Supposons il existe xeW oF, nous allons démontrer que x =0
xelÝf >YfA(ux)=0 ,Vue#
En effet, si reW OF rr Mx) -
|xe#x=x,m +*x,H; , Vx=(*Y,,x,)c€f
C'est-a-dire Q(u,,x)=O0 et Ơ(u;X)=ZÚ avec X=ZX¿U;¿ + XạU;) D'ó Q@(u,X¡U,+X¿uU;)=Ú et Ơ(0;, X:u; + X;u¿) =0, on obtient :
K,@(0,u¡)+ xạ@(u,uạ)=Ú etL x;Q(u;,u,) + x;‡Ơ@(u;,uy) =0,
Mais @(u,,u;)= O(u;/uạ)=Ú eL O(0;,u;) = - Q(uy,u,) = |
Done ona: x;= x¿=0, c'est-à-dire x=0 Alors W ¬a£ = |0}
Trang 32t2 Mémoire de fin d'études
I
-Démontrons maintenant que Yxe E alorsx=y+z avec ye Fetze W Siye F el ze W onaura y= aut uz elz=x-y.,
Done Q(y.z)=0 , ¥ ye F etze W= F* = Qa ujy+ PB u0¿,X-ơ u¡- # uy) =0
© z Q(u,x)- @ 7 A(uy,u))- z Ø Q(u,uạ)+ Ø @(u;x)-
-œ Ø 9(uzu,)- Ø ”Q(u;u;) =0
Dot œø @(x,u¡) + O(xuạ)=0 En prenant @ = Q(x,u2) = 8 =-Ơ(XuU¡), C’est-a-dire , 1Í exise y = @(XjUuUạ)u; - Ò(XuU¿)U¿ e F Ona donc, la démnonstrauon de xe E,
ll est facile de vérifier que ;
, 3(Xx,uUs)u; - @(x,u¡)uạe F (évident )
.X~ @(x,u;)u;+@(x,u;)uạ € W,En effet,
@(u,x-@1X,uạ)u¡+@(x,u¡)u;) = Ơ(u¡,X) - Ơ(X,u¿) Ơ(u;,u;)+ Ơ(x,u¡) Ơ(u;,u;)
=@(u¡,x)+ @(x,u¡)
(puisque @(u;,u;) = | et Q(u¡,u¡) = 0) = Q(u¡,x)- Ơ(u,x)=0 De méme pour up
Alors X=y+z avec ye F etze W Onadonc, E=FOW, L]
b> Proposition 1.2.2 : Représentalion matricielle canonique des formes
bilinéaires anti-symétriques : `
Suit Q une forme bilinéaire anti-symétrique sur un espace vectoriel E de dimension finie sur C Il existe alors une base [e;} telle que :
Trang 33LJ Mémoire de fin d'étades ========— ===—~~>~>~~>~>~>>>>>>>~~~-——~——-~—-~-—=-=~-~ == -x~ -~ =~=~ ị 0 | 0 -l 0 0 | -l 0 M(Q), = 0 | -l 0 U ` 0/
Ea particulier , toute forme bilinéaire anti-symétrique est de rang pair ,
Puisque E=FOW ot W= F* Donc, on va raisonner par récurrence avec
la restriction Q = Q|,
Hest evident que © est une forme bilinéaire anti-symétrique sur W et
supposons que dimW =r , od r= n-2 ( puisque dimE = n = dimF + dimW ) La propriété est vraie pour r= 1 etr=2 car
sir=1 alorsdimW=1 donc Q=0
sir=2, alors dimW =2 donc, si Q #0 , il existe u,',uy’ e W tels que
- 0 1
W=lu,',u;] eL A/ (9) „ Pa L x |
Supposons cette propriété vraie A l’ordre r— 1 (r2 3)
Soit W, dont la dimension est | ou 2 et supposons que Q # 0 (car Q =0 est
évident ) Puisque W = W, ® W,* et que la restriction de Q sur Wrest aussi une forme bilinéaire anti-symétrique et la dimension de W,* étantr- | our —- 2 Done , appliquer I'hypothése de récurrence , il existe sur W,* une base
(e.}, , telle que on a la forme souhaitée
Done , sur W = W, ® W,* il existe une base {u;,w;, fe, }} et donc , il existe une
base sur E=F@W_ dans laquelle la matrice de Q a la forme souhaitée I} est Evident que le rang de Q est pair ~
2.) Formes quadratiques :
Nous €tudierons la représentation matricielle canonigue des formes quadratiques dans deux cas des corps de base
2.1- Cas K =C :
Son E un espace vectoriel de dimension finie n sur C muni d'une forme quadrauique q Il existe alors une base {e,)} telle que dans cette base nous avons :
n
Trang 34LJ Mémoire de fin d'études
2 TH SSSESSE2S2E 2222222222222 222E2SE2222EESEC._.05555° ooo ceSq5EQ5qz5eE=— fy 0` | , ? 2 Miq), = 4 Cest-a dire dq(X) = XỊ** +X, 0 0) uvee r=rg(yq) et x= S xe, Demonstration D apres le théoréme 11.3.3 , il existe une base , notons fe,} orthogonale ct a O Mi(q), = 0 @ En changeant au besoin la numérotation , on peut supposer a), ,a, sont non nuls el ret = = a, = 0 Si x= yy, ,ona q(x) = ayy i ee Orcomme aye C_ il existe toujours «l
A,e Ctel que a, = A : Done g(x) = (A UY nD ane Pf A vở on aura :
q(x) = X)°4 4X,) (en posant x, = A,y,) , c’est-d dire x, sont les composantes
de x dans une certaine base qui vérifie les conditions du théoreme L1
Résultat :
Soit (E,q) un espace vectoriel E de dimension finie n sur C muni d'une forme quadratique q Il existe une base orthonormée si et seulement si rg(q) =n, c’est-a dire g non dégénérée ,
2.2-CasK=R
Théorème (théoreme d’inertie de sylvester ) :
Trang 35i Mémoire de fin d'études
====->=-—-—=-——=—-— ~—-~——-—-——~— ———————~———=>——=~-~~~~-~-==~-~xx~-~-~-~-~~~~~~~~~>~>-==~=-~=
"
v'est-a dire q(x) = Xt Xp Xu — —=x) (ó x= 3 xe, bộ
sul
ou f= retqy) et p est un entier qui ne depend que de la forme quadratique q (et non pas de la base) Onappelle (p,r-p) la signature de q
Demonstration
Sout {e,} une base orthogonale
SX = ` ye, on aura Qq(X) = a LV [nate (aje R) Supposons que aj, ,a, > 0 Cl pein, <0 On pourra écrire :
q{x) = ( a,y¥,) B54 (Ja,¥,)° -(f- đa Xá? = Si" (v~ a,y,) 2 ny? 2x) t +2) - 2 pe uvec x, = x4, #, (í = l, p) €l x, =v~đ,V, (J=p+l, r)
Il nous reste 4 démontrer que p ne dépend pas du choix de la base Considérons deux bases (e,} et {e,"} telle que :
u(x) = Xi + + x2, - 7x? (ol x= > xe, ) et g(x) = Yi bub yh ~ You tee? (0d x= >»; ) rel Soient F = [e;, e,] , F’ =[e'), , ep], G=leper eal G'= le’ pai, €'al Ona: xe F-{0}=> g(x) >0 x € F’-{0} = g(x) >0 xeG=w(x)<0 xeG'=> g(x) S50
done xe FOG' ,d’ot x=0 et par conséquent F OG'= {0} Done F et G’ sont
en somme directe et on a dimF + dimG’ <n (puisque F®G'cE) C'est-a dire p+(n—p') sn etdonc, psp’
De méme , on voit que F'NG = {0} etdone p’< p
Alors bien, p =p’ et ce qui est le résultat
O
Résultats : Soit q une forme quadratique sur un espace vectoriel réel E de dimension finie n Alors ,
* q est définie posilive <= sign(q) = (n,0)
<> il existe des bases orthonormées * yest délinie négalive > sign(q) = (0,n)
(c’est-a dire q(x) < 0 et q(x) =0=> x =0)
“ yest non dégénérée — sign(q) = (p, n-p)
Trang 36Lu Mémoire de fin d'études
Il Formes hermitiennes :
Nous savons que les formes hermitiennes jouent le méme rdle que les formes bilinéaires symétriques Et par conséquent , nous avons aussi le théoré¢me d‘inertie de Sylvester en cas des formes hermiticnnes
Théorème đ'inerti lyester :
Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur C et h une forme
hermitienne sur E , Il existe une base (orthogonale ) (e,;} de E telle que ; (| 0 0ì 0 l -l 0 M(h), = 0 -l 0 L0 0/ c’est-a dire telle que six= > xe, : G(x) =|x,}" + +|x,| ~lx af ai jot |
ó r=rg(ÿ ) =rg(h) L'entier p ne dépend pas du choix de la base Le couple (p, n-p) est dit signature de h ,
x r
La démonstration est la méme que pour les formes quadratiques et en appliquant |'expression analytique d'une forme hermitienne (resp ; forme quadratique )
q(x) = }'x,x,A(e,,e,) eLh(x,y)= Ð`x,y,h(e,,e,)
| yet
Résultats : Comme les formes quadratiques , nous trouverons les résultats suivants sur les formes hermitiennes h :
“* hestposiive > sign(h) = = (r,0)
(négative) (sign(h› = (0,r))
“+ h cst délinie © sign(h) = (n,0) ou (0,n),
s* h est non dégénéréc & sign(h) = (p,n-p)
En particulier , il existe une base orthonormée si et seulement si la signature est
(n,0) , c’est-a dire h est définte positive ⁄,
CBX
Trang 372 Mémoire de fin d'études
CONCLUSION
De ce travail, nous tirons :
La représentation matricielle canonique des transformations orthogonales est de la forme de la proposition 2.2 du chapitre 2
_La représentation matricielle canonique des formes quadratiques en cas K =R et des formes hermitiennes est de la forme du Théoréme d’inertie de Sylvester