Espaces ET coercivité des formes sesquilinéaires elliptiques dans eux

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VNU JOURNAL OF SCIENCE, Mathematics - Physics T.XIX, Nọ4 - 2003

ESPACES [{""(2)]"’ ET COERCIVITE DES FORMES

SESQUILINEAIRES ELLIPTIQUES DANS EUX

Vu Van Khuong

Ecole Supérieure de transports et de communication de Ha noi Abstract Le journal a donn les dfinitions de espaces de sobolev ct leurs proprits Spciallement, le journal a tudi les espaces de sobolev de la forme [W2`)(©)}^”, u s-entier et non-entier En suite, le journal a tudi la coercivit des formes sesquilinaires dans le đemi-espace "dform”, 1 Introduction On considére M? opérateurs diférientiels elliptiques de la forme M x AM = SO (-1)"Di(aiD!), r,q=1,M (1.1) liIjISk on coordonne à l'opérateur 4 = TA ưng une forme sesquilinéaire, définie sur (ws? (Q)] (ws ay]: M — A(nsu)= | 3) 3) aD ty DÐutdr, (12) Q ng=1li|J2|<k

Soit V un sous-espace fermé de {W $®(9)] - On étudie le probléme de la coercivité de la forme (1.1) pour l’espace V: on cherche \ > 0 de sorte que

> alal2 2 %

|A(v, v)| = Sa] ~ Ael0llsz(ajw, Vø€ V,e> 0 (1.3) L'inégalité (1.3) est une condition suffisante pour que les problémes aux limites soient résolubles L'etude des conditions algébriques entrainantes (1.2) a été faite par plusieurs auteurs (cf Garding [8], L C Evans {3], N Aronszajn (2], ) La solution du probléme aux limites A conditions aux limites hémogéne se trouve dans l’espace mentioné V

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On démontre au travail présente la validité de (1.4) pour M M B(,u) = J ` > ay] D'v" Diutda + A J3 vai, 2 reg=t |i|,|j|<k sy 084 5 1 " ó les coefficients ait sont constants, \ > 0, |A| < 3 et assez petit l’opérateur 4 forte- sử h 2 - 1 ment elliptique, si ay sont réels on a le résultat pour tous |Ø| < 5- Puis, sous les hy- (k+9) pothéses mentionnées, on déduit de (1.4) que 4 + À un isomorphizm de Iw 2 * (Q)] - (k~8) ! (w~8) , (~9) sur (# 2 (@]”) ( ou([ 2 (Q)] *) est le dual du [Ww 2 (Q)] My (m) M 2 Les espces [W3”(Q)]” Comme I’habitude, on a, pour k > 0, entier: M + llloejx =3 (ƒ 3 Iprdz)” „e1 Q lHI<k M (0,9) yo canine = >| > Dịu" Dturdr T=lủ lik on tire de l'égalité de Parceval pour 0, € {W4”)(Ex) MLN Pom / (4) WO (ey) = > (=) [oe 3, tt Ew Vag lilsk ó £! = £ƒ'€* €jƑ On a évidemmént pour & entier M = ‡ l9 #(g„ <3" ƒ lê +Ief)*&) <elPlgjx: — (1) ral đẩy Soit maintenant rn > 0 [W2”)(y)} Me [La(Ex)] M de sorte que M 12 mu Y3

lPlwzsexys =3 ( J J?Ƒ 0 + ki?) ag) < +00 ral gy (2.2)

on obtient ainsi un espace de Hilbert & produit scalaire:

M

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Espaces [W{")(Q)| et coercivit des formes 35 Soit maintenant m < 0 On désigne par [W£®\Em)]* le dual du (WE (En) Soit QC Ey, 0 <m <1 On désigne par {W4”(@)] *Í Vespace des restrictions sur 2 des vectorielles fonctions de (ws (Ew)]’

On désigne par {W4”)(@)] Me [wEim) ay] le sous-espace pour lequel D'u € iwz” boyy, lii = [m] On a alors:

M

ialageeayr = 2 (1 laviimtgaiyee x | |Df[lus-enayy) - — (83) re lil=Im

Soit 0 < m < 1 On introduit l’espace [ws a)" des vectorielles fonctions de [ra(9)]” pour lesquelles

Jur(z) - u(w)|Ê (0)? 4

lal wemqayar = ` (u lien) + [are aie dzdu) s e9 (24)

Sim >0, non entier, u € [WA”(9)] gì Du € [nh (o)]®“, lị = [m) ẻ 4 bel wg canyae = (lle yt neat > |p ult ws Day) l (2.5) liI=Im] [WS (Ew), 0 < m < 1, Vespace des vectorielles fonctions de [Lo(Ew)], pour lesquelles M 2 el ave cay) = >- (I# ll,, „5+ Sf [ MiGente 10 By tigen en HO se) < 40 (2.6) Si m > 0, non entier, M ‡ ll we egy = » (cs Kiwi ey a + » ; |P*u "i wen thyepjs.} <+œ (2.7) jij =[m]

on dimontre, saus difficulté, en utilisant la transformation de Fourier au cas de 2 = En, l’équivalence des normes | lw Gey 9) et | lwem (ey yee dou, il s’ensuit l’équivalence des normes | |, | |

Résumons:

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Lemme 2.2 Soit 2 = EX Alors les normes (2.2), (2.5), (2.7) sont équivalentes Lemme 2.3 Soit Q= EX, O<m< ; Soit P le prolongement par zéro des vectorielles fonctions de (Ws (E%)|"! sur Ey

Alors, P est une application linéaire et continue de [W, fe) i >)|! dans (ws (Ey))M (m) et ona (W 2 (Eÿ)]” = (wir) Ex)! 1 Lemme 2.4 Soit 2 = EX, 2 <m <1 Soit P le prolongement par zéro des vectorielles (m) fonctions de [Ww (EX yy sur Ey aT a ee 2 Ww (m) gy M ;(m)

Alors, P est une application linéaire et continue de [ 2 (Ex)] dans [W; (En) \" On considére maintenant le cas du demi-espace “déformé” et les normes (2.3), (2.5) Lemme 2.5 Soit a(x’) une fonction Lipschitzienne, définie dans Ey, nulle au voisinage de linfini

Soit Q = Etzlz =(04#X)#x> a(z)} Alors, les normes (2.3), (2.5) équivalent Lemme 2.6 Soit 2 du lemme précédent Alors le lemme 2.3 a lieu

Lemme 2.7 Soit 2 du lemme précédent Alors le lemme 2.4 reste en vigueur Lemme 2.8 Soit 0 < m <n Alors & chaque ¢ > 0 on peut coodonner A(e) > 0 de sorte que pour € [Ws (Ew)] 7

Helio cey yer SEM ey ya FACE) el caer) (2.8) Lemme 2.9 Soit Q un domaine a frontiére Lipschitzienne Alors les normes (2.3), (2.5) équivalent

Lemme 2.10 Soit Q un domaine a frontiére Lipschitzienne Alors les lemmes 2.3 et 2.4 ont lieu

Lemme 2.11 Soit 2 un domaine a frontiére Lipschitzienne ou un demi-espace “déformé” Soit m > 0, m — [m] # bì Soit P l’opérateur du prolongement par zéro des vectorielles

(m)

fonctions de (wv 2 (®)] ™ sur Ey Alors, P est une application linéaire et continue de (m)

[h(a] dans (WE (Ew)]”

Lemme 2.12 Soit 0 < m < n,Q un domaine a frontiére Lipschitzienne Alors [ws (2) Me (Wz"@)] w algébriquement et topologiquement

Lemme 2.13 Sous les hypothéses du lemme 2.11, avec Ú <rn < n, £ > 0 arbitrairement

(n)

petit, il existe A(e) > 0 de sorte que pour u € [W 2 (2)] -

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Espaces (W{"")(Q)|" et coercivit des formes 37 Finissons la deuxi¢me partie de nortre article par:

Lemme 2.14 Soit 2 un domaine a frontiére Lipschitzienne m > 0 Alors la restriction de

: M sm M

[D(En)|" sur © est dense dans [M2 (a) 5

3 La coecivité des formes dans le demi-espace “ déformé”

Soit un demi-espace * đéformé" 9 = E{z|z = (',#w), #v > a(#')}, kun entier >0, A un nombre On désigne par M M By(v,u)= 3° J SD al D'y"Diu'de +A f Dumas (3.1) rS1Q li, UI=k a rst une forme sesquilinéaire dans [ws (Q)] My [ws (9)] ™ a coefficients constants et forte- ment elliptique: M _ M

Re3) 3) ae Murat ae So nie, na=1 fil (g|=k r=l (3.2)

€ > 0,V € = (61,6 €v) € Ev, 7 = (myn?, 9), EF = GG ENY, Li] = tite tin Lemme 3.1 La forme (3.1), définie sur [p(o)]" x [D(Q) (k~9) (k+9) Ù |0| < & par continuité en une forme sesquilinéaire sur (Ÿ 2 (@J* x [Ÿ 2 (ay) M z ‘

| , peut étre prolongée pour On désigne par R, une transformation de [P(Eu)]” dans [Lo(Ew)|™, définie par:

Rate)(6) = T(a + )ơ(£) J [I+1(.ø)]ˆ“+(ø)d8 (3.3)

R

ó J? = —1, et K la boule unité, centrée a l'origine, (a) une fonction définie sur la surface K de la boule v(a) > 0, indéfiniment différentiable avec [vos =1 (€,ø) désigne le

R

Lemme 3.2 Soit m > 0, a+m > 0, |a| < 1 Alors la transformation Ra peut étre prolongée par continuité en une transformation linéaire et bornée de (we”’(By))" sur (we Ey Théorème 1 Soient 2 un demi-espace “ déformé”, By(v,u) la forme (3.1) jouissant de (3.2), (3.3) produit scalaire dans Ey 1

Alors pour |6| < 3 et 6 assez petit, on a pour A > 2:

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pour \ > 1: ReBy(v, tu) > a(B)]el2 ymen ayy (3.5) : „ (+0) M rey 8) M ó ứ € Ww (Q)] +U « IW 2 (9)] ,v = R_gg(u), R est une transformation +0) M „ (k~8) M oo rq linéaire et continue de wey (Q)] dans Ww 2 (9)] : Si les coefficents ayy sont, réels, on a l’assertion pour tous |6| < 3

Démonstration: Nous essquissons de demonstration: on modifie l'identité de $.L Sobolev (cf [8]), on a (2) = — [tứ + to))dt 6 en posant x + to = y, on obtient: «œ= [(S 5 Ey =! pour —1 <a < +90 en posant 2) ———\ tev a= (2 eu |z - g|Ÿ~1 x) 7 Ew Soit u€ [D(Q) (Q lo 0 = R_¿¿(0) on a 0€ wh” (Ey) pour chaque m > 0, il s’ensuit que (m) ve (Ÿ; (9) nt et ona (2) M, —— ReBy(v,u) = (5) ef x > amet ur leur ule) )đ£ + Rer J3 noelo« > qr=l fil.djl=k By =! 2k 8 a0) Í 3 (a+ ie) (14+ eP)"lơol246 Ey =} par un calcul élémentaire, on obtient pour A > 2

(A+I£l?*) (1+ letP)” > «(1+ l£l)” + esvVÄ =1

pour À > 1:

(A+I£l2*)(1 + lel?)” > «(1+ le)???

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Espaces [W§")(Q)|"! et coercivit des formes 39 References 1 wo a § Agmons, The coerciveness problém for integro-differential forms, J Anal Math., 6(1958) 183-223 N ARonszajn, Coercive integro-differential quadratic forms, University of Kansas, 1964 94-106

L.C Evans, Partial Différential Equations, American Math Society, 1988, R.A Adams, Sobolev spaces, Academic Press, 1975

J Necas Sur une méthode pour résoudre les équations aux dérivées partielles du type elliptique voisine de la variationelle, Ann Sup pisa, 16(1962)

J Necas, Sur la coercivité des formes sesqui-linéaires elliptiques, Revue Roumaine de Math., tome XI, N°1(1964)