DAI HOC SU PHAM THANH PHO HO CHi MINH
KHOA TOAN - TIN HOC
LUẬN VAN TOT NGHIỆP
*
Trang 2
WT 2425 LVTN: Ly thuyét ham suy rong GVHD : Ts Lê Hoàn Hóa ^ LOINOIPAU ~ CìÌ ~
Lịch sử phát triển của Toán học gắn liển với nhu cầu thực tế của các ngành khoa học
khác và nhu cầu logic nội tại của nó Lý thuyết cổ điển về hàm số với các hàm thường đã phát
triển cao và có nhiều ứng dụng quan trọng trong Vật lý, kỹ thuật, Tuy nhiên, ta lại không thể
xác định được đạo hàm của một hàm thường tại các điểm gián đoạn, hay không thể tắnh được
xung của lực (trong vật lý) tại một điểm bằng cách lấy giới hạn thông thường của các xung
trong lân cận của thời điểm đó Hàm suy rộng ra đời đã đáp ứng các nhu cầu ấy Khi đó nhữ
một hàm suy rộng gọi là hàm delta 5 cha Dirắc, ta có thể tắnh được đạo hàm tại điểm gián đoạn, hay xung của lực tại một thời điểm,
Lý thuyết hàm suy rộng đã được nhiều nhà Toán học nghiên cứu và phát triển như ậ.L
Sobolev (Nga) và nhà Toán học Pháp Laurent Schwartz Lý thuyết hàm suy rộng còn được gọi là lý thuyết phân bố Lý thuyết hàm suy rộng được nghiên cứu sâu rộng và có nhiều ứng dụng trong khoa học, nhất là trong lý thuyết các phương trình đạo hàm riêng trong vật lý và vật lý lượng tử Tuy vậy, với thời gian và trình độ giới hạn, Luận văn chỉ trình bày lại một số vấn để
khởi đầu của lý thuyết hàm suy rộng bao gồm 4 chương :
Chương 0 : Một số khái niệm và kiến thức chuẩn bị Chương I: Cac ham suy rộng và những tắnh chất
ậ1 Không gian các hàm cơ bản ậ2 Không gian các hàm suy rộng ậ3 Chắnh quy hóa các hàm suy rộng
Chương HH : Vi phân của hàm suy rộng $1 Dao ham $2 Nguyên hàm Chương HI : Phép nhân trong không gian các hàm suy rộng $1 Tắch trực tiếp $2 Tắch chập
Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn tận tình của Thẩy-Tiến sĩ Lê Hoàn Hóa
Bằng tấm lòng chân thành, em kắnh gửi đến thầy cùng gia đình lời biết ơn sâu sắc nhất ! Em xin chân thành cám ơn các thấy cơ khoa Tốn đã tận tình dạy dễ trong suốt thời gian đại học Và xin cám ơa bạn Trung, người đã giúp đỡ rất nhiều trong việc đánh máy vàcùng tất cả các
bạn cùng lớp đã động viên giúp đỡ trong suốt quá trình học tập !
Tp Hỗ Chắ Minh, tháng 4 Ở 2002
Oe eee ee Ở< Sinh viên thực hiện
Fes (6 Nguyễn Thị Minh Vân
Yeuce-y Catto Su Phares
beh WEI
Trang 3LVTN : Lý thuyết hàm suy rộn GVHD : Ts Lê Hoàn Hóa Chương 0 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ O01:
Ta ký hiệu những điểm trong không gian thực n chiều Rồ bằng x, y, & ;
X = (% X; ,X,) những điểm trong không gian phức n chiểu Cồ" bằng Ư, ặ, ;
Z=(2), 22, .#v} =X+lY;XE=RẠƯ, y = Ìmz; Z =X - ly
Tắch vô hướng trong Rồ : (x, Ọ) = X;Ế¡+ X;ẾỈ + + Xuễ,
Tắch vô hướng trong CỢ : (Z,É)=Z+E¡+72EẬ+ + 2C
Chuẩn : | xI = Vf(x,x) = (47 + xg? + + x7)!"
izi= (2.2) = (iz, + iz3ồ ++ tzẤIỲ)!2
0.2:
Các tập mở trong RỢ được ký hiệu là O, Ơ, ; 2O 1a biên của O
Ta nói tập A là tập compact trong tập mở O (chứa nghiêm ngặt trong O) néu A bị chặn và bao đóng A của nó chứa trong O khi đó ta viết AcẤ O
U(xạ, R) là quả cầu mở tâm xo, bán kắnh R
S(xỪ, R) = 6 U(xỪ, R) là mặt cấu bán kắnh R, tâm xạ ; và ta viết Uy = U(0,R),
Se = S(O.R)
Khoảng cách giữa hai tập A và B trong RỢ là :
A(A, B) = inf {Ix - yl; xeA, yeB }
Trang 4LVTN : Ly thuyết hàm suy rộng GVHD: Ts Lẻ Hoàn Hóa 0.3 Hàm đặc trưng của tập A là hàm số @,(x) = Ị | nếu x e A 0 nếu x ặ À Hàm đặc trưng ạ ¡a Ấềị (X) trên nửa trục x > Ú là 0 nếu x < 0 B(x) = Inéux20 Ư Ô(X) >`
Hàm 6(x) được gọi là hàm đơn vị Heaviside ; 6,(x) = 6(x;) 8(xẤ)
Tắch phân Lebesgue của hàm f trên tập mở O là ÍtxỪx; [foodx = Íf(x)4x Oo Tập hợp tất cả những hàm f đo được, giá trị phức xác định trên O với chuẩn hữu hạn { ÍIf(x)!P dx}, 1spsx o llfll = L(O) * vraisuplf(x)l , p= xeO được ký hiệu là LP(O), <p<ụỦ Ta viet i = Waren) L(Rồ)=
Nếu f e LP(O) với O' c, O thi f gọi là p - khả tổng địa phương trên O ; với p = I thì f
gọi là khả tổng địa phương Tập các hàm p-khả tổng địa phương ký hiệu là L.(9).,
L/.= LJ.ệệ
Một hàm đo được được gọi là hữu hạn trong O nếu nó triệt tiêu hau khắp nơi ngoài l
tấp O` nào đó với O' cạ O Tập tất cả các hàm thuộc L'(O) mà hữu hạn được ký hiệu là (0)
0.4
Với Ủ = (ơ;, Ủ, ỦỂạ) là I bộ chỉ số, Ủ e N
Trang 5LVTN : Ly thuyét ham suy rộng GVHD : Ts Lê Hoàn Hóa Ký hiệu Ủ! = Ủ\! Ủạ! dạ! ; XỢ= XẶ" xP? x ()-C)G) A) ate Vii lal = Ủ¡ + Ủạ + + ỂẤ D=<(D,, Dạ, D,), D,= = j= lỡ 2 n | đ"f(x) Ox Ox"? Ox Doi khi a = (a), a2, , &q) Chi 1 bS chi s6 voi a, Ạ Z thì D* f(x) = 0.5
Ta dùng Cồ(O) để ký hiệu tập tất cả các hàm số f(x) liên tục trên O cùng tất cả các đạo hàm ĐỢ f(x), lỦl < k (tức DỢ f(x) cũng liên tục), CỢ (O) là tập các hàm khả vi vô hạn trong O
Tập hợp các hàm f trong CỢ(O) mà các đạo hàm D* f(x), lal < k có phân kéo dài trên Ô
liên tục được ký hiệu là C*( ỷ ) Chuẩn trên C*( ạ) với k < ụ là :
llfll = sup! D*f(x)!
C(O) xeỷĐ
lal sk
Ta cOng viet C(O) = C(O), C(O) = C(O)
Giá của hàm f liên tục trên O là một bao đóng trong O của tập gồm các x e O mà
f(x) # 0, ký hiệu suppf Nếu suppf cẤ O thì f là hữu hạn trong O
Tập các hàm hữu hạn trong O của lớp C*(O) là Co*(O) ; Co(O) = Co"(O)
Tập hợp các hàm của lớp C*( ạ ) mà triệt tiêu trên ôO cùng với tất cả các đạo hàm tới cấp k là Cạ'(ạ), Ca*(Rồ)= Cok, Co= Co" (Cok 1a tap hgp cdc ham trong C* triét tiéu tai vd hạn cùng với các đạo hàm đến cấp k (cũng triệt tiêu))
0.6
Ký hiệu (a,b) là ! dạng song tuyến tắnh (tuyến tắnh theo a và b); <a,b> là một dạng phi tuyến tắnh (tuyến tắnh theo a và không tuyến tắnh theo b)
<ơai +Íla;, Àbị + bạ >= dỂ Ả<a¡,bị> + d [<ay,bạ> + B Ả<aa,bị> + B fi<az,b> afl o,= fas = an là điện tắch của một quả cầu đơn vị trong RỢ, Ộai [(n/2) F là hàm gama F(p) = Íx?'e*dx 4
AỔ la ma trin chuyén vj cia ma tran A
Ta ký hiệu sự hội tụ đều của đãy các hàm {ọẤ(x)} đến hàm ọ(x) trên tập A như sau :
0Ấ(X) Ở Ở>o(x), n ỞỪ Ủ
Trang 6LVTN : Ly thuyết hàm suy rong GVHD : Ts Lé Hoan Héa 0.7 Mét sé dinh ly : 1) Định lý Hội tụ bị chặn Lebesgue : Cho (fẤ) là một đãy hàm khả tắch trên RỢ sao cho lim fẤ(x) = f(x) hầu khắp nơi m-ềx# Nếu có một hàm khả tắch g sao cho : lfẤ(x)I < g(x) hầu khắp nơi Thì ắ khả tắch, lim Ặ lfẤ(x) - f(x)ldx =0 và lim Í fẤ(x)lx = j f(x)dx mo m-ỞỪ%
2) Định lý Eubini : cho f là một hàm khả tắch trên RỢỢ` thì tắch phân
gly) = | f(x,y)dx tổn tại với hầu khắp các y, và tắch phân h(x) = J f(x,y)dy tổn tại với hấu khấp các x Ngoài ra, g và h khả tắch và ta có :
[f(udu= [( [f(x.y)0dxdy= [( [f(x.y)dy)dx
RT RR" RỖ Rệ
3) Định lý xap xi Weierstrass :
Với mọi hàm f giá trị phức xác định và liên tục trên đoạn [a,b] dong bi chin cia R, tén tại một dãy (PẤ) các hàm đa thức hội tụ đều về f trên [a,b] Nếu f e CP, l < p < +Ủ ta có thể chọn dầy (P,) sao cho với mọi số tự nhiên r < p, dãy (D'(P,)) hội tụ đều về D'(0 trên [a,b]
4) Dinh ly Haln Banach :
Cho E một không gian vectơ trên trường số thực R, và ánh xạ p : E -> R, thỏa mãn các
điều kiện sau :
a) Với mọi cặp (x,y) các phẳn tử của E : p(x+y) < p(x) + p(y)
bì Mọi x e E và mọi số thực đương Ủ : p(Ủx) = ap(x)
Mặt khác, cho E' là không gian con của E và f là một dạng tuyến tắnh trên E' sao cho, với mọi x e E' : lf(x)! < p(x) thì tổn tại một dạng tuyến tắnh f trên E là mở rộng của f sao cho, vai mdi y e E: If (y)l < ply)
5) Dinh ly ; (Lầ thuyét vé ham do được) Mỗi hàm số đo được không âm trên một tập
hợp A đều là giới hạn của một dãy đơn điệu tăng những hàm đơn giản đo được trên A 6) Bất đẳng thức Holder : cho f Ạ Ư và 6eL1<p,q<Ủ, +++ = 1 Thì
P.4
f;g eLÌ và Ặ lgl < IIfII,ẤlIgll,Ấ (ta có thể mở rộng bất đẳng thức này với n hàm khác
nhau)
7) CƯ(O) trù mật trong LP(O), l<ps<Ủ
Để theo dõi dễ dàng luận văn, trừ chương 0, ta chú ý các định lý, bổ để, hệ quả được
đánh số như sau : Vắ dụ Định lý (L1;2,4) thì thuộc chương I, bài l, mục 2, định lý thứ 4
(Không có thứ tự riêng cho định lý, bổ để hay hệ quả,và thứ tự này chỉ dùng trong một chươn#)
4Còn các công thức được kắ hiệu là, vắ dụ công thức ($ 3,1,1) thuộc bài 3, mục 1, công thức thứ
Trang 7LVTN : Lý thuyết hàm suy rộng GVHD: Ts Lê Hoàn Hóa
Chương l
CÁC HÀM SUY RỘNG VÀ NHỮNG TÍNH CHẤT
Lý thuyết về hàm suy rộng được trình bày trong chương này là phù hợp với những nhu cấu của vật lý về mặt lý thuyết vàyvể mặt toán học
ậ1 Không gian các hàm cơ bản 1.1 Mở đầu :
Một hàm suy rộng là sự mở rộng khái niệm cổ điển về hàm số Một mặt, sự mở rộng này cho phép diễn tả chắnh xác vé mặt toán học các khái niệm lý tưởng như khái niệm mật độ của một chất điểm, mật độ của một điện tắch điểm hay một lưỡng cực điện, mật độ không gian
của một lớp đơn hay lớp kép, cường độ của một nguồn điểm tức thời, độ lớn của lực tức thời tác dụng lên một điểm và v v Mật khác, khái niệm hàm suy rộng có thể phản ánh sự thật là trong thực tế ta không thể đo giá trị của một đại lượng vật lý tại một điểm mà chỉ có thể đo giá trị trung bình trong một lân cận đủ nhỏ của một điểm và xem giới hạn của dãy các giá trị trung bình đó là giá trị của đại lượng vật lý đó tại điểm đã cho
Điều này có thể được giải thắch bằng cách thử xác định mật độ được sinh ra bởi một chất điểm khối lượng đơn vị Giả sử rằng điểm xét là gốc tọa độ Để xác định mật độ ta phân
phối khối lượng đơn vị một cách đều đặn trong một hắnh cầu bán kắnh e, tâm 0 Ta có mật độ trung bình Í, (x) : néulxi<e 4 ee? 1 XE f (x) = 0 néulxi>e
Ta quan tâm đến mật độ tại e = +0 Để bất đầu, với một hàm mật độ như mong muốn, ký hiệu ổ(x), ta lấy giới hạn cla day cdc gid tr trung bình f, (x) khi e Ở>Ừ +0, nghĩa là ;
+% nếux=0
đ(x)= (ậ 1.1,1)
0 nếu x #0
Về mặt mật độ, hiển nhiên ta yêu cầu tắch phân của mật độ (x) trên tồn khơng gian là
toàn bộ khối lượng vật chất, nghĩa là :
[5(x)dx =1 (ậ 1.1,2)
Trang 8LVTN : Lý thuyết hàm suy rộng GVHD ; Ts Lê Hoàn Hóa
Điều này có nghĩa là hàm đ(x) đã không phục hồi được khối lượng, tức không thoả mãn
yêu cầu (ậ 1.1,2) và từ đó ta không thể lấy một hàm như mong muốn được A eer | fe (x) ' ' ' ' fe (X) Eenteetrrstni ' : ; ' + lo ụ a i i Ộ > O e 2 X
Như vậy, điểm giới hạn của dãy các mật độ trung bình f, (x) là không phù hợp với yêu cầu của ta, Vậy đường lối nào để giải quyết vấn để ?
Bây giờ, ta sẽ tìm một giới hạn khác nào đó của dãy các mật độ trung bình fÍ,(x)khi c
Ở> +(, và gọi đó là giới hạn yếu Ta thấy rằng, với mọi ham ọ liên tục : Tim ff,(xypxrdx = @(0) (ậ1.13) Vi, do @ liên tục tại 0 nên với mọi Ủ > 0, tổn tại & > O sao cho Ix! < e thì lọ(x) = @(0)l < Ể, SUY Fả : | [f,(x)fe(x)~ụ(0)Jx | < Íf,(x)|Le(x)~@(0)|dx < [f,(x)ụdx =Ủ Íf,(x)dx=ứ Ince Vay lim Íf,(x)@(x)dx = ụ(0)
Công thức ($ 1.1,3) bảo đảm rằng giới hạn yếu của đãy các ham f,(x), seỪ +0 là một phiếm hàm liên hệ với mọi hàm liên tục một số @(0) Ở giá trị của @ tại x = Ô
Chắnh nhờ phiếm hàm này ta sẽ xác định hàm mật độ đ(x) theo yêu cầu đặt ra Và ô(x)
chắnh là hàm Delta nổi tiếng trong Vật lý của Paul Dirac, và ta viết :
f(x) Ởvq-Ở> Ế(x), s Ở> +0
Và ta hiểu điểu này qua công thức (ậ 1.1,3) nghĩa là :
* im Íf.(xỪp(xxlx = [ồ(xỪp(x)xx =ú(0) Ợ
Giá trị của hàm ỏ tại hàm ọ (giá trị (0) ) được định nghĩa bởi (ô,@) = @(0) (ậ 1.1,4)
Vai trò của Ộtắch phânỢ Íơ(xỪ(xxdx được thay bởi (ỏ,@) Ở- giá trị của phiếm hàm ô tại
hàm @
Ta kiểm tra rằng hàm õ phục hồi lại toàn bộ khối lượng Thật vậy, như ta đã nói, vai trò của "tắch phânỢ ẶẾ(x)lx được thay bling (8,1), và từ (ậ 1.1,4) ta có :
Trang 9LVTN -Lý thuyết hàm suy rộng GVHD : Ts., Lê Hoàn Hóa
Như vậy, một cách tổng quát, những khối lượng Ấ được tập trung tại các điểm phân
biệt xƯ, k = l, 2, .,n thì mật độ tương ứng với một phân bố khối lượng như thế là : 3 mƯỗx-xƯ) Ở (ậ115) isksa Biểu thức (ậ 1.1,5) là một phiếm hàm tuyến tắnh tương ứng với một hàm liên tục @ một so s DMX, } Inkan
Từ đây cho thấy, mật độ tương ứng với một phãn bố điểm khối lượng không thể diễn tả được với các định nghĩa (khái niệm) cổ điển về hàm Để diễn tả được nó ta cẩn đến những cơng cụ tốn học tổng quát hơn : những phiếm hàm tuyến tắnh liên tục
1.2 Không gian các hàm cơ bản D(O) :
Trong trường hợp hàm Delta Dirac ỗ(x), ta thấy rằng nó được xác định nhờ những hàm liên tục @(x) như là một phiếm hàm tuyến tắnh (liên tục) trên những hàm số đó Những hàm
liên tục được gọi là những hàm cơ bản cho hàm Delta Chắnh quan điểm này được dùng như
mội nguyên tắc cho việc định nghĩa một hàm suy rộng tùy ý, như là phiếm hàm tuyến tắnh liên
tục trên một tập đủ ỘtốtỢ các hàm gọi là hàm cơ bản
e Không gian các hàm cơ bản D(O):
Với tập mở O Ủ R, tập hợp các hàm cơ bin D(O) là tập tất cả các hàm hữu hạn khả vi
vO han trong O :
D(O) = C5 (O)
Ta định nghĩa sự hội tụ trong D(O) : Một dãy các hàm ọ¡, @Ỉ, trong D(O) hội tụ đến
hàm ụ (ưong D(O)) nếu tổn tại một tập O' cẤ O sao cho supp ợ c ƠO'và với mỗi a,
D7 9,(x)ỞF-ỪDwx), kỞ>
Ta viết : @y Ở>@, k Ở> Ủ trong D(O)
Tập tuyến tắnh tức là không gian vectơ D(O) trang bị sự hội tụ được định nghĩa như trên
gọi là không gian các hàm cơ bản D(O) Ta dùng ký hiệu D(RỢ) = D, D((a,b)) = D(a,b)
Trang 10LVTN : Lý thuyết hàm suy rộn GVHD : Ts Lê Hoàn Hóa (0y (X) ty; (X) 26 -E E % Ham Ủ, (x) đóng vai trò là một hàm trung bình và ta xem hằng s6 C, sao cho : -l Ío,(x)dx =1, nghĩa là C, ặ" fe" ag = |} kl< | Bổ để (I.1:2,L) :
(Bổ để này mang lại trường hợp khác cho các hàm cơ bản)
Cho tập A và một số e > 0, có một ham yn, e CỢ sao cho ;
t(x)= l,xe Áồ;nd(x)=0,xe A*; 0 < n(x) < 1, và | DỘ n(x) | < Kạ e"Ộ Gọi 6, ; là hàm đặc trưng của tập AỢ"
Dat me(x) = [0.24 (ya, (x = yy
Néu x ẹ AỔ, va Ix-yl<ethiy AỢ, nên :
ndx)= fo,(xỞy)dy =1
A*t
Nếu x ằ AỎ và Ix-yl < e thì y ặ A*Ộ, do đó r,(x) = 0 (Còn nếu x e A* hoặc x ặ A*Ộ mà Ix-yl > e thì n,(x) = 0)
Hơn nữa, với moi a:
| D* n(x) f=! D* fo ~ Y)đyl < ị DỢụ,Ấ(xỞy)ldy A a st < [ID*c,e* *ƑYỢ ldy = fei Dee" 14k s Kae A*Ề a** Hé qua (1,1;2,2) : Cho O là một tập mở, khi đó với mỗi tập O' c, O, c6 mot ham n Ạ D sao cho n(x) = |, xeẠO',,0<n(x)<l
Chứng minh : Suy ra từ bổ để với O' = A, e= x A(O',2O) > 0
Lay Oy, k = I1, 2, là một họ đếm được các tập mở Ta nói hệ này tạo thành một phủ
hữu hạn địa phương của tập mở O nếu O = +JO,, O, Cạ O và mỗi tập compact K cạ O chỉ giao
Trang 11LVTN -Lý thuyết hàm suy rộng GVHD : Ts Lé Hoan Héa
Dinh 1ậ (1,1;2,3) : (phan hoạch đơn vị)
Lấy (O,} là một phủ hữu hạn địa phương của O Khi đó có một họ các hàm (e} sao cho Ủ Ạ D(Ơ,), ỷ < ey < l và
> ex (x) = I, xẠe0
kel
Chú ý : với mọi x e O mà có một tổng khác 0 thì chỉ có một số hữu hạn các số hạng
Ủ(x) Tập các hàm (ex) được gọi là sự phân hoạch đơn vị tương ứng với phép phủ hữu hạn địa
phương (O, | của tập mở O
Chứng mình -
Ta sẽ chứng minh rằng có một phủ hữu hạn địa phương khác : (O'Ấ| của tập O sao cho O`, Ca O, Ta xây dying Up OQ, va Ki =O\OO,, k22
Khi đó K;, c O¡ cạ O, K; đóng trong O nhu vay K; Cy O;
Ta lấy O', là một tập mở sao cho K;, Cạ OẼ; Cạ Ơi
Khi đó O',, OỈ, tạo thành một phủ hữu hạn địa phương của O
(do 0", UO; U > K; UO; UO; = O)
Bằng cách tương tự ta xây dựng được tập mở ẹ'; Cạ O; từ phủ O';, Op, và cứ vậy đến khi thu được phủ {O'Ỉ]
Từ hệ quả (1, 1;2,2), với Ể mở, O'Ấ Cạ Oy, tn tai nhifng ham m sao cho mx) = 1
khi x e O'Ư, và ỷ < nu(x) < l1 ny CX) Đặt Ủ(x) = ng) Ấ { (x) 21) my (x) 2M kel D(x) thi > e, (x) = = | WN 2 : SG) k>i
Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng có một số đủ lớn các hàm trong D(O)
Cho f là một hàm khả tổng địa phương trong O
feLiẤ(O) LIỀH, 2= [f()1dx]
0
Xét tắnh chập f(x) = [f(yxo,(x ~ yMly = fo,Cortx ~=yly
f, được gọi là hàm trung bình của f (hay chắnh quy hóa của f)
Layfe LO), | <pso (f(x) được xem như bằng 0 ngoài ẹ) Khi đó f, e CỢ và
NE Mire S "Elkno, ED)
Thật vậy, áp dụng định lý về đạo hàm đưới đấu tắch phân và định nghĩa của f, ta có | i
f, e CỢ ya bat ding thife Holder (với [f(y)o,dy - [f(y*o,po,pdy ) với | <p< Ủ ta có :
Trang 12LVTN: Lý thuyết hàm Suy rộng GVHD : Ts Lé Hoan Hoa
If,IP = fi Col dx = fl [f(yxe,(xỞyMy IP dx vw oO 00 Ss [Í f(y)IP ỦẤ(xTỞ yy{ Jo,(xỞyly]P"'dx 00 0 < J f(y)IP ụẤ(x = yxlydx < Ị f(y)? dy EMP Vay lf st fl eo) Trường hợp p = Ủ ta chứng mình tương tự
Cho f e [L})(O) và f(x) bằng 0 hẳu khấp nơi ngoài tập K cạ O Khi đó, với mọi
e < A(K,OO), ham trung bình ắ, e D(O) và
trong C(O) néu f Ạ Co(O)
Í, Ở> Í ặ Ở> +0 trong LP{O) (I <p< Ủ) nếu f Lj(O) hầu khấp nơi trong O nếu f e L7
Nếu g < A (K,êẹ) thì Ío,(x-yx =1 nếu l(x-y)l < e< A (K,đ ẹ), và từ đó (x-y) e K
nên f(x-y) xác định (khác 0) Như vậy, f,(x) là hữu hạn trong O
Vì vay f(x) Ạ Cũ (O) = D(O) => fx) e D(O) 1) Khi f e Ca(O) : Từ đánh giá : | f(x) - f(x) |= 1 flf(y)- ặ00), (x-y)dy| s max | f(y) Ở f(x)! Ío,(xỞy)dy = max | ứx}Ở RY) = ix-ytss xe
và từ tinh liên tục đều của f (liên tục trên tập K bị chặn : f Ạ Co(O), f(x) = 0,
Wx #ặ KcỂaO) ta suy ra sự hội tụ đều của f(x) về f(x) khi Ở> +0, nghĩa là : fÁx) ỞẾỘỞ> fix), hay f, -> f trong C(O) 2) Khife LLỮ(O),1<p<Ủ Lấy một ỗ > 0, có một hàm g e Cz(O) sao cho ; ô 1y il fỞEÍ soyS 5 (vì Cạ(O) là trù mật trong LỢ(O), l <p< Ủ) es VỚI tọi < UP(O)Ộ 3 Ổ ẹ tạ
Ta c6 lif Ởf, I oy lÌ f BÍ vo Ẩ igỞg, l soy Ỳ lI(fỞg), II
Với g CẤ(O) theo chứng mình phần I, có một gọ sao cho Il g ~g, Il
Trang 13LVTN ; Ly thuyết hàm suy rộng GVHD : Ts Lê Hoàn Hóa <2II f ~Eỳ so Ý llgỞE; đi
= Ọ: 3
(vì ll (f Ởg), Wt eo) lifỞg Wo) ($ 1.2.1) )
$2, Ở-+Ở=86 + 3
Vậy f, Ở f, e ỞỪ +0 trong L*(O)
3) Khi f ẹ [7 (O) : f la khả tổng và hữu hạn nên f là đo được, do đó tổn tai mot day
hàm liên tục hữu hạn (thuộc CạƯ(O)) hội tụ hầu khắp nơi về f Nghĩa là : với Í e L, (0) 3 f, Ạ CKO): void >0 | f(x)~ f(x)Í< = YxeO\10,u(Q)=0 ~ Với f, e Cạ(O), nên l Í;(x) = f,(x) l< : Do đó l f(x) - f(x) | <Í fc(X) Ở fv(X) | + | fy(xX) Ở f(x) l 6 6 < Ở+Ở=6 `: Vậy f, Ở**ồỞỈ f, Ở> 0 trong O, Hé qua (1,1;2,5): Đ(ẹ) là trù mật trong L(O), l áp < ụ
Chứng minh : Ta có D(O) trù mật trong J_?(O) theo chứng minh phẩn 2), mà J ?(O)
trù mật trong LỢ(O), nên ta có D(O) trù mật trong L?(O)
Hệ quả (1,1:2,6) :
D(O) là trù mật trong (C\ (ạ) (trong chuẩn (CỶ (ạ)) nếu O bị chặn hoặc O = R"
Chung mình ;
1) Khi O bị chặn, với f e Cì@ử đo f và các đạo hàm ĐỢf, IxI < k triệt tiêu trên biên ôO nên với õ > 0, tốn tại ặ > 0 sao cho : max { lf(x)l, IDỘf(x)! ; x ử\O, }<
Tén tai ham m Ạ C*(O) (theo bé dé (1,1;2,1)) sao cho n(x) = 1, x Ạ OF, nx) =0,x Ạ O* Khi dé : g(x) = f(x) nx) Ạ C*(0) va ige-fll <_ : chG) 2
Do D(O) trù mật trong (75 (O), nén c6 g e D(O)sao cho | g-g, lowi<5
Vay |g-f a,g,< 5 Hay D(Optrd mat trong C5 (6 )
3) Trường hợp O=RỢ ta chứng mắnh tương tự
Trang 14LVTN : Ly thuyét hàm suy rộng GVHD : Ts Lê Hoàn Hóa
ậ2 Không gian các hàm suy rộng
2.1 Định nghĩa:
a) Định nghĩa : Một hàm suy rộng xác định trên một tập mở O là một phiếm hàm tuyến tắnh liên tục trên không gian các hàm cơ bản D(O)
Giá trị của phiếm hàm Ở hàm suy rộng f tại một hàm cơ bản ọ là (f ,@) ; tương tự
những hàm thường, ta có thể viết f{x) thay vì f, với x là đối số của hàm cơ bản ọ Ta có khai triển của định nghĩa hàm suy rộng f là :
(1): f là một phiếm hàm trên D(O), nghĩa là với mỗi @ D(O), tương ứng với một số phức
(fp)
(2): f là một phiếm hàm tuyến tắnh trên D(O):tức là nếu với tỳ, @ Ạ D(O)va Ap EC thi
(LA @ + P= ALD Hp (EW)
(3): flién te trên D(O), tức là nếu @y => @ ,k => Ủ trong D(O) thì (f@y) => (f,@),kỞỞỞ> = Hai hàm suy rộng f và g xác định trên O được gọi là bằng nhau trong O nếu chúng là những phiếm hàm bằng nhau trên D(O), nghĩa là , nếu với mọi @ e D(O) thì (f,@) = (g,@) Ta viết là f = g trong O hay f(x) = g(x), x e O
b) Ta kắ hiệu D'(O) là tập hợp các hàm suy rộng xác định trên O
Tập D'(O) là không gian vectơ nếu với g, f e D'(O), @ e D(O) và 2 ,u e C thì
(1Í + ug , @) = À(, @) + u(g,0) -
ỳ gọi là hàm suy rộng liên hợp của hàm f thuộc D'(O), f D'(O) nếu : (f ,Đ)= (f,@) ( e D(O) ; Ref = = , Imf= = tương ứng là phần thực và phần ảo của hàm f
Ta có: f = Ref + ilmf,f = Ref Ở ilmf
Néu Imf = 0 thì f gọi là hàm suy rng thyc, 6 Ở him delta Dirac 14 m6t vi du vé ham suy rộng
thực
Sự hội tụ trong DỖ(O):
Một dãy hàm suy rộng (fL) trong D'(O) hội tụ về một hàm suy rộng f e D'(O) nếu với
moi @ Ạ D(O),
(/ Đ) => (Ặ.@).,k -> Ủ
ta viết: Ặ, => Ặ ,k => Ủ trong D'(O) Sự hội tụ này là hội tụ yếu
Không gian vectơ D'(O) được trang bị sự hội tụ yếu được gọi là không gian các hàm suy rộng D'(O)
Kắ hiệu : D' = D'(RỢ), Đ'(a,b) = D'((a,b))
Nếu O¡c O; thì D'(O;) c D'(O,) (vì O¡c O; thì D(O,) c D(O;) , nên các phiếm hàm
tuyến tắnh liên tục trên D(O;) cũng là các phiếm hàm tuyến tắnh liên tục trên D(O;) hay
D'(OỈ)c D'(O,) ) và sự hội tụ trong D(O;) kéo theo sự hội tụ trong D(O;) (vì giả sử Ặ, -> Ặ ,k
Ở> Ủ trong D(O;) , nên có hàm cơ bắn (p e D(O;) ,ta chọn sao cho @ e D(O,) để (Ặ,,@ ) >
(Ặ.@) Mà Ặ, cũng thuộc D(O,), do đó Ặy => Ặ, k = Ủ trong Đ(O;) Vì lắ do này, nên với
Ặ <D (O), có duy nhất một thu hẹp của Ặ trên tập mở O' chứa trong O sao cho Ặ e D'(O') Định lắ (1L2;1.1)
Trang 15LVTN : Lý thuyết hàm suy rộn GVHD : Ts Lê Hoàn Hóa
Điều kiện cắn và đủ để một phiếm hàm tuyến tắnh Ặ trên D(O) thuộc D'(O), tức Ặ là
một hàm suy rộng là : với mỗi tập mở O'cạ O, tổn tại các số K = K(O'), m = m(O') sao cho Uf P < K||@ ÍÍcỪ,ụ; P Ạ DIOỖ) (ậ 2.1.1)
Ching minh :
Điễu kiện đủ : Ặ là phiếm hàm tuyến tắnh trên D(O), cũng là trên D(O') , nên với
( @ệ' e D(O'), ta có l(f, @) - (f,@'Ẽ)I = l(,@ - @`)I S KỊ| @~9 ÍÍCỪ,83 , nên Ặ là liên tục đều trên
Đ(O'! do đó Ặ liên tục Suy ra feD"(O)
Điễu kiện cẩn : giả sử Ặ e D`(O), và O'cẤ O
Nếu hất đẳng thức (ậ 2.1.1) không đúng, nghĩa là có một dãy dx, k =l,2, các hàm cơ
bản trong D(O') sao cho K(f, 2 kilo lead (*)
Nhung diy wi = ầ ~> 0 khi k ~Ừ ụ trong D(O) bởi vì
vk lÌ 0y laws
đo supp OẼ cạ O (do giá của @y nằm trong O') và k > lộI, ta có :
IM law
D? wri = ID? Putt Ở1 1 Sa 1 oS Ở" I +0
k l9 Í[cs,ga KM Mags, kil lag, vk
khi k ỞỪ ẹ Cho nén (f, Ư) =>Ừ 0, k Ở> ụ
Lại có : l(, y}l = (fe) | > vk (do(*)) => (f we) + ẹ khik Ở ẹ (mau thuẫn)
KIM easy
Vậy ta chứng mình được phần thuận
Giả sử , Ặ eD'(O), nếu có thể, trong công thức (ậ 2,1,1) chọn số nguyên đương m độc lập với
O', thì ta nói rằng hàm suy rộng Ặ có cấp (bậc ) hữu hạn Số m nhỏ nhất gọi là cấp của f trong
O, cấp của hàm ỏ là 0 ( vì l(,@)I = l@(0)I = |Lụ llcs,g;) Cấp của hàm Ặ, (f,@ )= 3 @'*)@)
kel
trong (0.Ủ ) là vô hạn
Chú ý: bất đẳng thức (ậ 2,1.1) vẫn đúng với mọi hàm ( thuộc (ồ' (ạ") ,vì D(O') trù mật trong
Có (ạ'`) ( từ hệ quả (1,1:2,6))
2.2 Tắnh chất đầy đủ của không gian các hàm suy rộng Tắnh đấy đủ là tắnh chất rất quan trọng của không gian D'(O) Định Iậ(1,2;2,2) :
Cho một dãy các hàm suy rộng Ặ\.Ặ3, trong D'(O) sao cho , với mỗi hàm @ e D(O)
đầy số (Ặ,,@) hội tụ Khi đó , phiém ham f được định nghĩa bởi (Ặ, @ ) = jim (Ặ @) cũng là
phiếm hàm tuyến tắnh liên tục trên D(O), hay Ặ e D'(O)
Ching minh : Do (f.@) = lim (ẶỀ.ệ) Ặ là tuyến tắnh nên theo tắnh chất về giới hạn ta
có Ặ là phiếm hàm tuyến tắnh Ta chứng minh Ặ là liên tục, ta có bổ để sau : Bổ dé (1,2;2,3):
Trang 16LVIN: Ly thuyét ham suy rong GVHD : Ts, Lé Hoan Héa Cho một day hàm Ặ;.ẶỈ, lấy từ một tập bị chặn yếu M'c D'(O), nghĩa là l(,@ì ! < Cạ,
ẶeM' với mọi @ e D(O), và giả sử dãy @, ,Q@; tiến về 0 trong D(O) Khi đó (Ặ:.@,) -> 0
khi k =Ừ Ủ
Chứng mình bổ để: Giả sử bổ để này không đúng Khi đó, nếu cần thiết ta có thể chuyển sang một dãy con, ở đây ta có thể viết l(Ặ,.@,)l >C > 0, k Ở> Ủ (1)
Ta có : @, ->Ú trong D(O), k Ở> Ủ, tức là với QẼcẤ O, suppỂ, c O', vàYỦ ,lỦ l< k :
D* Q(x) 9 , 0 ,k Ở>% đo đó, một lắn nửa chuyển sang một dãy con, ta có thể giả sử rằng : | DỢ@,(x)| < + laisk=0,1,
Pat yy =2*g, , acd supp wc O' c, O va | D" w(x) S sr lAlSk=0,1.2, (2)
từ (1) ta suy ra Kfx.adl = 241 Pol 22ồC > ẹ,kỞ> @ (3)
Bây giờ ta xây dựng dãy con | f, |} và ( y } theo cách sau: Chon f,, va wy, saochol( fy oy WS 141 =2
Giả sử ắ, va wy da duye chon, j = 1,2, v-1, ta cdn xde dinh fy va wy,
Trang 17LVTN: Lý thuyết hàm suy rộng GVHD : Ts Lê Hoàn Hóa
Do đó (Íy ,\J) =>, V~> ụ mà điểu này mâu thuẫn với tắnh bị chặn của day
(Ặ .w), k => (do fy, ẹ MỖ), Vay bé dé là đúng Chủ ¡nh đình lý:
Lấy | , |, @, D(O), giả sử @, =>Ừ Ú,vw Ở> Ủ ta phải chứng mình (Ặ,@,) > 0,
V Ở=ể w,
Giả sử ngược lại , khi đó tổn tại một dãy con của dãy (@, ) mà ta có thể giả sử là chắnh (@, ) với mọi v sao cho l(Ặ ,@,)I > 2a, với a > 0 nào đó Mà (Ặ, @, ) = im (Ặ .@, ) nên với mọi
Ở
v=l,2, tổn tại k, : l(fy ,@v)l >a
Mà ta có Í, Ạ D'(O) nen (fy Py) > OC Dy > 0 vỞ> &) (theo bổ dé (1,2;2,3))
Điều mâu thuẫn này chứng tỏ Ặ liên tục B
2.3 Giá của một hàm suy rộng :
Một cách tổng quát, một hàm suy rộng không có giá trị tại các điểm riêng biệt Tuy nhiên, ta có thể nói đến sự triệt tiêu của hàm suy rộng trên một tập mở Ta nói rằng, một hàm
suy rộng Ặ e D'(O) triệt tiêu trên một tập mở O' c O nếu thu hẹp của nó trên O' là một phiếm
hàm đồng nhất 0 trong D(O') nghĩa là (Ặ ,@ ) = 0,V@ e D(O'), hay Ặ(x) = 0,x e O'
Nếu một hàm Ặ e D(O) triệt tiêu trên O thì rõ rằng nó triệt tiêu trên lần cận của mỗi điểm thuộc O
Thật vậy : lấy y e O, U(y) - lân cận của điểm y U(y)= { ậ e O: đ(Ọ ,y) < |
ma E e Onên Ặ(Ọ)=0 Do đó Ặ(Ể)=0 VE e U(y), hay Ặ triệt tiêu trên U(y)
Ngược lại ta có :
Bổ để (I,2:3.4) :
Nếu một hàm suy rộng trong D(O) triệt tiêu trên một lân cận nào đó của các điểm
thuộc tập mở O thì nó triệt tiêu trên toàn bộ tập O
Thật vậy, xét phủ mở { U(y), y O } của tập O
Ta xây dựng một phủ mở địa phương ( O,} sao cho mỗi Oy chứa trong một U(y)
Lấy O¡` Cạ OƯ' CẤ 2 Ov`= O,
Từ bổ để Hein-Borel , tập compắc Ở;' được phủ bởi một số hữu hạn các lân cận U(y,), U(y;), , U(yyy, ) và tập compấc ỔỈ' \O," cũng được phủ bởi một số hữu hạn các
lân can U( ỲYN,+l ềvs U( YN,vN, ) và tiếp Lục như thế,
Dat; O = U(yy) M Oy , k= 1,2,.- Np 3 Op= U(yy) (Ơi) \ ạƯ'),k=N¡+l, , NiẬN:Ư
Cứ tiếp tục như vậy ta sẽ được một phủ mở địa phương { OƯ } của tập O
Lấy | Ủ] là một phân hoạch tương ứng với phủ { Oy} Khi đó , với mỗi @ e D(O),
supp(eƯ) ẹ Uly) [ viex Ạ D(O,) , supp & CO c Uly)] Do đó (/,@ey ) = 0 do giả thiết,
Vậy (Ặ ,@)= Ểứ 3 cv@)= 5 (f.e,0) = 0 (do định lý(I,1;2,3)) Suy ra f(x)=0,x e O
kzi kel
hay bổ để được chứng minh
Giả sử Ặ D(O), hợp tất cả các lân cận mà f = 0 tạo thành một tập mở ẹ; - gọi là tập 0
của hàm suy rộng Ặ Theo bổ để ta có f = 0 trong OƯ Ngoài ra O; là tập mở lớn nhất mà Ặ triệt
tiều
Trang 18LVTN : Lý thuyết hằm suy rộn GVHD : Ts Lê Hoàn Hóa
Giá của hàm suy rộng Ặ là phẩn bù của O, trong O, kầhiéu supp f va supp f = O\ 0, -
là tập đóng trong O
Nếu suppẶ ạ O thì Ặ được gọi là hữu hạn trong ẹ Ta có các kết luận sau: (a) Nếu suppẶ ẹ supp@ = ử, Ặ e D(O), @ e D(O) thì (Ặ ,@) =0
(b) Để x thuộc vào giá của Ặ, điều kiện cẩn và đủ là Ặ không triệt tiêu trên một lân cận
nào đó của x
Cho A là tập đóng trong Ơ Kắ hiệu D(O,A) là tập tất cả các hàm suy rộng trong D'(O) mà giá của nó chứa trong A cùng với sự hội tụ Ặ, => 0, k => trong D(O,A) nếu
fi > 0, k + trong D(O) va suppf, c A Ta viét D(A) = D(R".,A)
Định lý (I2;3.5) (Nguyên lắ dán từng mảnh )
Giả sử mỗi y e O Có một lản cận U(y) c O và trên đó xác định một hàm suy rộng Ặ, thỏa mãn f, (x) = fy, (x) nếu x = U(y¡) ể U(y;) # ử Khi đó có duy nhất một hàm suy rộng Ặ
trong D(O) trùng với Ặ, trong U(y), với mọi y Ạ O
Chung minh :
Ta chứng minh bằng cách xây dựng từ phủ (U(y), y O| của O một phủ hữu hạn địa
phương (O,], Oy C U(yƯ) của O (như ở bổ để (I,2;3,4)) và một phân hoạch đơn vị (ey }
Đặt (f, ọ)= 3 (f,.0a) ,ọeD(O) (*)
ket
Vì các số hạng của vế phải của (*) là hữu hạn và không phụ thuộc vào @ e D(O') với
mỗi O` cạ O nên phiếm hàm f được định nghĩa ở (*) là tuyến tắnh và liên tục trên D(O),
tức Ặ e D`(O) Ngoài ra, nếu @ e D(U(y)) thì @eƯ e D(U(yạ)) và từ đó (f,Ấ@ey) = ( fy, ex)
>(f.o= Vif eead=(f.e Dey) =(f 9)
kel kel
Vậy f = f, trong U(y) Ta dể dàng chứng minh f là duy nhất 8 ậ3 Chắnh qui hóa hàm suy rộng 3.1 Hàm suy rộng chắnh quy:
Vắ dụ đơn giản nhất về một hàm suy rộng là một phiếm hàm sinh bởi một hàm f khả
tổng địa phương trong O: (Í, @) = [f(x)Ủ(x)dx (ậ 3.1,1)
Trang 19LVTN : Lý thuyết hàm suy rộn GVHD : Ts Lê Hoàn Hóa
Vậy f < D(OI; và ta gọi hàm f sinh bởi một hàm khả tổng địa phương được xác định
qua công thức (ậ3,1,1) là hàm suy rộng chắnh quy
Mọi hàm suy rộng khác được gọi là kì dị ( hay suy biến )
Bé dé (1,3;1,1) (BO dé DuBois Reymond)
Hàm f(x) khả tổng địa phương trên O triệt tiêu hầu khấp noi trong O khi va chi khi hàm suy rộng chắnh qui sinh bởi nó triệt tiểu trong O
Chuâng mình ;
( =>); hiển nhiên
(c=): cho [ặ09 @00dx = 0, e D(O) (ậ 3,1,2)
Lấy tập O' bat ki, O'c, O, yo la ham dac trumg cha O' Xét ham eyo
Theo (0.3), tạ có vrdsuple "9y < 1 hữu hạn nên eỘỘỘ 49 Ạ L*(O"), Oồ cp O nén
oo
ey ề khả tổng địa phương ( đo được và hữu hạn ) do đó theo định lý (1,1;2,4) (trutng
hợp3! , tốn tại một dãy tăng các hàm @(x), k = 1,2 trong D(O)hội tụ về e ệỘỘ"'y y hấu
khắp nơi trong O và l@y(x)l < le ệ# Ộ9y Ấ| = I hẳu khắp nơi trong Ơ
Từ đây, dùng định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, định lý chuyển qua giới hạn dưới dấu tắch phân và (ậ 3,I,2) ta có : fitooldx = [f(x)ie "9y o(x)dx G oO = lim | [f(x)@txdx+ [fool exo: - gxOO)dx | oO ỦỂ tim ffx) fe yo - ox) dx or oO f(x) lim | cệ!9 13 - @(x)]dx =0 ở => lÍ(x)I =0, xe O'
Vậy f(x) = 0 hấu khắp nơi trên O'.Vì O'cẤ O là bất kì nén f(x) = 0 hầu khắp nơi trên O Từ bổ để (I.3:1,1) ta suy ra mỗi hàm suy rộng chắnh quy được sinh bởi đuy nhất một hàm khả tổng ( duy nhất sai khác các giá trị trên một tập độ đo không ) Do đó ta có sự tương ứng I-I giữa những hàm f(x) khả tổng địa phương trong O và những hàm suy rộng chắnh quy trong Ở và ta sẽ đồng nhất một hàm f(x) khả tổng địa phương trong O với một hàm suy rộng
trong Đ'(O) được xác định bởi công thức (ậ 3,1,1) Vàtừ bổ để DuBois Reymond (I,3;1, l), ta
suy ra rằng cả hai định nghĩa về giá của một hàm liên tục được đưa ra trong mục 0.5 và 2.3
(chương 1) là đồng nhất
Nếu dãy f((x), k= 1,2, các hàm khả tổng địa phương trong O hội tụ đều tới f(x) trên mỗi tập
compdc K c, O thi f, > f,k => Ủ trong D(O) (vì ắ, Ở> ắ,k Ở> ẹ trong D'(K) SD'(O))
Gia sit f Ạ D`(O) và O, c O, ta nói một hàm suy rộng f thuộc vào lớp C*(O,) , nếu trong O, , f đồng nhất với f,e Cệ(O,) Nghĩa là, Vọ e D(O,),
(f,@)= [fi(x)@(xx
Trang 20LVTN :Lý thuyét hàm suy rộng GVHD : Ts Lê Hoàn Hóa
3.2 Độ đo :
Một lớp tổng quát hơn của các hàm suy rộng , chứa các hàm suy rộng chắnh quy được
sinh bởi những độ đo, Một độ đo trên một tập Borel A là một hàm cộng tắnh xác định trên mọi tập con Borel bị chặn E của tập A:
u(E)= Í w(dx)
E
và hàm này hữu hạn trên mọi E -tập con Borel bị chặn của A, lụ (E)l < Ủ
DO do p (E) trén A có thể được biểu dién như sau :
li #H¡-Ậ + l(ì-Hà) , (rong dé p(E) 20 ,j = l4 trên A va
Í H(dX) = Í Hà(dX) - | Hz(dX) + i | Hs(dX) - ¡ Ặ a(dx) (ậ 3.2,1)
l 1L t E ặ
Độ đo (E) trên một tập mở O xác định một hàm suy rộng ụ trên O bởi công thức :
(I@) = | g(x)u(dx), @ Ạ D(O) (ậ 3,2,2)
Vế phải chắnh là tắch phân dạng Lebesgue ~ StJieltes, theo tắnh chất của tắch phân, 4 là một hàm suy rộng Chú ý : Độ đo u trên O là liên tục tuyệt đối đối với độ đo Lebesgue , nghĩa là u(dx) =f(x)dx, fe LLẤẤ (O) thì công thức (ậ ,3;2,2) định nghĩa một hàm suy rộng chắnh quy Bé dé(1,3;2,2) :
Để độ đo u(E) ( E là đối số của p ) trên O là độ đo không, điểu kiện cẩn và đủ là hàm
suy rộng được định nghĩa bởi nó triệt tiêu trên O Chứng mình -
Chứng minh này được dựa trên khẳng định :
Ể) là độ đo 0ẹ Í ụ(x)w(dx)=0,0 e C(O) (ậ 3,2,3)
0
Khi đó, suy trực tiếp sẽ có điểu kiện cẩn (tức là u(E) là ! độ đo không, nên
[ o(x)p(dx) = 0, @ Ạ D(O) do 46 ụ Ở hàm suy rộng xác định bởi u(E) triệt tiêu trên O) Oo Ta chứng minh điều kiện đủ Tức là gid sử hàm suy rộng triệt tiêu trên O, cẩn chứng minh J (X)H(dx) = 0, @ e Ca(O) oO Ta có Ấtriệt tiêu trên O, hay Ặ_@(x)w(dx) = 0 với mọi @ Ạ D(O) (theo bé dé (1,3;1,1)) 0
Lấy Ừ bat ky trong C,(O), gid sit supp ọ c O' cạ O Theo định lý (1,1;2,4), tổn tại một
Trang 21LVTN : Ly thuyết hàm suy rong GVHD : Ts Lé Hoan Héa
Từ Bổ để (I,3;2,2) này ta có sự tương ứng 1~1 giữa các độ đo trên O và các hàm suy
rộng sinh bởi chúng qua công thức (ậ 3,2,2) Và ta sẽ đồng nhất độ đo u(E) trên O và hàm suy rộng j trong D'(O) xác định bởi độ đo
Để một hàm suy rộng f trong D'(O) là một độ đo trên O, điều kiện cẩn và đủ là cấp của
nó bằng O trong O
Ching minh -
Điều kiện cần : Lấy f e D'(O) là một độ đo trên O Khi đó, với mỗi O' cẤ O, và
@ Ạ D(Ơ'), ta có ;
l(f,@)I = Ì forx) w(dx)! < fi (dx) | mạy lọ(x) = K(O') II Pho Boers (MYC 0.5)
Vậy cấp cba f bing 0
Điều kiện đủ - Lấy f D`(O) có cấp bằng 0, nghĩa là Kio is KIO) oles, Ừ.@ Ạ DIO") (ậ 3,24)
Lấy O, k = 1,2 là một đãy tăng nghiêm ngặt các tập mở trong O: O,CẤ ẹ, ,
VQ, = O
Vì D(O,) là trù mật trong Co( Oy) trong chuẩn C(ử,) ( hệ qua (1,1;2,6) , O, bị chặn) và ta có
Fe D'(O) suy ra f e D'(O,) Nên từ ($ 3,2.4) ta cũng có l(f,@ )I < K(OƯ) ll @ÍÍC(ử,, VỚi @
D(O,), suy ra f có phần mở rộng liên tục trên Cạ( ạƯ) Theo định lý Riesg-Radon có một độ đo
wy trên O, sao cho (f,@ )= j @(X)Ju(x)(dx), @ e Cạ(ạ;Ư)
Điều này suy ra tạ và yuẤ¡ là trùng nhau trên ẹ, Do đó, tổn tại một hàm ụ trên O đồng
nhất với độ đo jụ trên O, và với f trên O (điều phải chứng minh)
Một hàm suy rộng được gọi là không âm trong O nếu (f,@ ) >0 với mọi @ D(O), Mx) 20.x e O Đinh lý (1.3;2,4) : Một hàm suy rộng f trong D'(O) là một độ đo không âm trên O khi và chỉ khi nó không âm trên O Chiing minh :
~ Điều kiện cắn là hiển nhiên
~ Điều kiện đủ : giả sử f e D'(O) là không âm trên O.,
Trang 22LVTN: Ly thuyét ham suy rong GVHD : Ts Lé Hoan Hóa Vi du: Ta đã biết 6 Ở ham Delta cba Dirac c6 cip bing 0 nén 6 1a mot dé do va
(6.0)=@(0),9ẠD.6eẠ DỖ ;6(x)=0,x #0 nén suppd= (0)
6 1a một hàm suy rộng kì dị Thật vậy : giả sử ỏ là chắnh quy , khi đó có hàm f JL).Ấ (Rồ)
sao cho với mọi @ e Đ sao cho với mọi @ Ạ D
J foo@ Gods = (ỗ ,ụ ) = @ (0) (ậ 3,2,5) Vì Ixl@ e Dnên từ (ậ 3,2,5) ta có
Ặ f(x)IxI? ọ (x)dx = lxIÊ@ (x)l,- = 0 = (xIÊf,ụ ) Vọ e D
Do (IxIỲf,@ ) = 0 va Ix? fla một hàm khả tổng địa phương trong R" nên IxIồf = 0 hầu khắp
nơi (Bổ để DuBois Reymond ) theo nghĩa suy rộng , và ta cũng có : f(x) = 0 hấu khấp nơi trong RỢ ( vì IxI f(x) = 0, không suy ra được f(x) = 0, V x e [O] - tập độ đo 0) điều này trái với giả
thiết trên Vậy õ là một hàm suy rộng Kì dị
Giả sử, Ủ, (x) là hàm cơ bản ở mục (1.2)
Ta ching minh : ox) ỞỞ> 6 (x), & ỞỞ> +0 trong DỖ Ta c6 @, ỞỞ 6 ề ỞỞ 0,
theo (ậ 3,2,5) tương đương với lim | Ủ (x}Xp (x)dx = @ (0)
ctl
Ta có : l Í @, (x)p (xkdx Ở= @ (0) < Ặ Ủ, (X)l@ (X) Ở @ (0)ldx
< max lọ (x)~@ (0)I Ặ u,(X)dX = max lọ (X)=@(0)I
lxt<ề Inise
vì @ e D(O), nên khi ỞỞ+ 0Ú tức x ỞỞ+ O thi 9 (x) Ở ụ (0) nên
lim Ặ Ề(x)e (x)dx = @ (0) hay ụ/(x)ỞỞ> ỗ (x)
Hàm bế mặt ỏ là sự mở rộng của hàm điểm ồ Lấy S là một mặt trơn từng mảnh trong Rồ và ụ
là một hàm liên tục trên S Hàm suy rộng uuỗs được định nghĩa là :
(uôs.@)= [n(x)@(xx,ụ e D $s
rõ ràng uỗ e D'; uôs(x) =0,x e S( vì với định nghĩa trên x e suppọ Ộ3 S # ử; nếu x Ạ S thi
x Ạ suppeas Ấ hay giá của ọ và ậ không có điểm chung , do đó [ u(x)o(x)dx = 0 ) ậ
cho nén supp pds c ậ Vì ỗ là hàm suy rộng kì dị , cũng là một độ đo ki di nén p ds 1A mot db
đo kì dị nếu u # Ô ( theo vắ dụ trên )
Hàm suy rộng kỗs(x) gọi là một lớp đơn trên mặt S Nó diễn tả mật độ không gian của khối
lượng hay điện tắch tập trung trên mặt S với mật độ mặt ụ (ở đây mật độ của lớp đơn được định
nghĩa như giới hạn yếu của các mật độ tương ứng với một phân bố rời rạc trên mặt S
>; XA S.S(xỞx,) , x, Ạ S, khi mat S dude chia nhd v6 han, diéu nay tong ty diéu đã k
trinh bay & muc 1.1)
Chú ý: Các hàm khả tổng địa phương và các hàm ỏ diễn tả phân bố mật độ của khối
lượng , điện tắch, các lực do đó chúng còn được gọi là những phân bố
Trang 23LVTN : Lý thuyết hàm suy rộng GVHD : Ts Lê Hoàn Hóa
Vắ dụ : nếu hàm suy rộng f là mật độ của khối lượng hoặc điện tắch, thì (f,1) la tổng
khối lượng hay tổng điện tắch Đặc biệt (õ ,L) = L, (f,l)= Ặ f(x)dx nếu f e L', 3.3 Công thức Sochozki: Ta giới thiệu một hàm kì dị quan trọng khác P = ` (P Ì ,)=PV ON dx = lim (fe + fa x San {
Phiém ham P - là tuyến tắnh và liên tục Điều này được suy ra từ tắnh chất của tắch
phân và đánh giá sau:
\(P 2 @)I=lPV Í oN dxI = =IPV ỳ (OO as xixi =IPV ỉ ỘĐụ, +PV i Se as -R =0+IPV i mm là hàm lẻ) < PV | P= RO) ax s PV ỘTeen ytd -R xỖ Ạ (-R,R) < 2Rmax lọ'(x)l, @ Ạ D(-R,R)
Hàm suy rộng P ` đồng nhất với hàm - Ấ với x #0 ( với ý nghĩa ở mục 3.1 )
Trang 24LVTN : Ly thuyết hàm suy rộng GVHD : Ts Lê Hoàn Hóa R R =larctg = =- 2iarctg a R R E R "xl@(x)~@(0)dx= Í * lim a+) R x +Ạặ -R thay vào ta được : lim A) cee X+lE X=l "5 18) - 90) 4 R dx =Ở2i @(0) lim arts & 4 AX)~ 00) 5 cr) Ee R X R R =-2i 9 (= + f PO) 4 | M9) 5 2 ạ X = R 8 R =-inp(0)+ [ 2@dx (esixisR) x -R =-imp(0) +PV Í a x, Công thife (ậ 3,3,1) chi ra ring diy có giới hạn khi e ỞỞ> 0 trong DỖ, gidi han 46 ki X+IE hiệu là và bằng -imô(x) +P - x+
Như vậy: ỞỞ=-inô(x)+P + (63.32) x+i0 X
Tương tự : Ở = ind(x) -P + (ậ 3,3,3) x~i0 x
Hai công thức (ậ 3,3,2) và (ậ 3,3,3) tìm được từ tắch phân dạng ($ậ 3,3,1) vào năm 1873 bởi nhà toán học nga Sochozkắ , hiện nay những công thức này được mở rộng trong vật lý lượng tử Cấp của P s trong RỶ là 1, thật vậy với l( P = )I <2R max lọ'(x)Í, e D(-R,R) thì cấp của a p4 không thể lớn hơn 1 Giả sử cấp của P Ở bằng 0, khi đó P Ở là một độ đo trên RÌ và x PV Í ỘSu sẽ xác định trên mọi hàm ọ liên tục hữu hạn trên R`, mà điểu này không đúng - Vì với @(x) = 9X) py | s0 =PV | Xx) dx không xác định trong lân cận của 0 In x x xInx Nên cấp của pl trong RÌ là 1 Nhưng , cấp của P J trong {x #0] là 0 vì nó đồng nhất với X X
hàm khả tổng địa phương x khi x # 0, X
Hàm suy rộng Pa là sự mở rộng của hàm suy rộng chắnh quy + từ tập (xz#0} lên toàn x
Trang 25LVTN : Ly thuyét ham suy rong GVHD : Ts Lé Hoan Hoa
Một vấn để đặt ra : mọi hàm khả tổng địa phương trong O # Rồ có một mở rộng lên toàn
bộ RỢ như các hàm suy rộng trong D'(RỢ) không ? Câu trả lời là không ! L i Vắ dụ: e* với x #0 ta có (f,@)= | e* @(X)dX , @ Ạ D,x#0 Chọn o, Ạ D,o Ax) =O vdix< 1 vA xX>2, Ox) 20, j mp (xkix =] -k Khi đó : @(x) =e 2 kọ,(x) ỞỞ> (},k ỞỞ> Ủ trong D, Ũ ick Ặ e * @(x}dx = | e* ?kọ,(x)dx vty e * * oly)dy > @.(y)dy =l, @y Ạ D, (x #0) I
Nhung | < | e* @Ủ(x)dx = (Ý, @) ỞỞ> ỷ khi k ỞỞ+z Ủ (do f e D'(R}))
Vậy ta có câu trả lời đúng
3.4 Đổi biến của các hàm suy rộng :
Cho f e LỊ (O) và x = Ay+b là một biến đổi tuyến tắnh không suy biến (detA # 0) từ Olên O; Với mọi e D(O);), ta có : [f(Ay+ble(ydy= [fGoe(A"'(x-b)M(A'(x-b)) 0, oO I Ở ldetAI [f(ẹ@(A-Ợ(x~b))dx (dx = d(Ay=b) = ldet Aldy) Oo @(A"!(xỞb)) ỘTH al ), @ e D(O,) (ậ 3,4,1)
Vì toán tử @(x) Ở> @[A(xỞb)] là tuyến tắnh liên tục từ D(O;) vào D(O), phiếm hàm
f(Ay+b) định nghĩa bởi ($ 3,4,1) là một hàm suy rộng trên O\, nghĩa là f < D'(O,) Đặc biệt,
Trang 27LVTN : Lý thuyết hàm Suy rong GVHD : Ts Lé Hoan Héa
of Op
Ở,p)=-(f, Ở : D(O
oe tp) = - ( ` @ e D(O)
of of
Ta có ỞỞlà một hà ả có ox, một hàm suy rộng Ox, e ẤỞ ẠD\(O) D'(O)
That vay, rd rang là một phiếm hàm tuyến tắnh Ngoài ra, nếu ; Ở> 0, ' Op, ap, ; ]Ở # trong D(O) thi x, Ở 0, | + Ủ trong D(O) Do dé (f, S1 TH ee Ũ Suy ra ( = pj) > 0, ) >, hay = liên tục Vậy e D(O) 2 Ta xét đạo hàm cấp hai của hàm f, với ọ Ạ D(O) 1 ay ee of ap a9 ô*f af a ao Ti ne 7 ak, Ọ) + an ỞỞ== Oe ox, eS ( ax ox, f, Ox Ox, ẹ) _ ae? ( ox ax, = Ở ee 1, ỞỞỞ ao đử?o 8?f 8?f xc
mà Lạ có ỞỞỞỞz ỞỞỞỞ.Vậy ẹ Oxia) OnyxỖ Onion, KOR, ỞỞỞỞ= Ấ Với ¡, j=1,2, n '
Tổng quát hóa, giả sử Ủ = (cs, ., Oy), a, N.Gọi ĐỢ là phép lấy đạo hàm cấp lal =a,
+ơ;+ +dẤ<k
Ta có (D"f,ụ)= [DỢf(x)@(x)dx, e D(O) = (<1)! [f(x)DỘ@(x)dx = (-1)Ợ (ặ,Dồ @)
Oo oO
vì toán tử sọ > (-1)ỎD* ụ là tuyến tinh liên tục từ D(O) vào D(O), nên DỢ f là tuyến tắnh liên
tục hay DỢ f là một hàm suy rộng trong D'(O)
Từ đấy, đạo hàm của hàm suy rộng f e D'(O) được định nghĩa là :
Gọi DỘ là phép lấy đạo hàm cấp lal, (D* f, @) = (-1)"! (ặ,ĐỢ @), e D(O) (ậ1,1,1)
và D* f e D'(O).Đặc biệt, nếu f = Ế thì (ậ1.I,1) trở thành :
(DỢả.ụ)=(-J#Dồọ(0) ,ỦềD
Nếu hàm suy rộng f e D'(O) thuộc lớp C*(O,) trong O¡C 0 (mục 3 chương 1), thì đạo hàm
của Ặ theo nghĩa rộng và cổ điển DỢf, lal < k là trùng nhau trong O¡
1.2 Tắnh chất :
Ta có các tắnh chất về phép tắnh vi phân của hàm suy rộng như sau :
(1): phép tắnh vị phân f |Ở> DỢf là tuyến tắnh và liên tục từ D'(O) vào D'(O)
Tắnh tuyến tắnh là rồ rằng Ta chứng minh tắnh liên tục :
Giả sử ắ, Ở> 0, k Ở> Ủ trong D'(O) Khi đó, với mọi @ e D(O), ta có :
(D" fi @) =(-1)Ỏ (fh Dệ @) Ở> 0, k > 0, Suy ra D* fi, Ở> 0, k Ở> Ủ trong D'(O) Vị dụ ;
(a) ta có ỦẤ(X) Ở> đ(X), ặ Ở> +0 trong Đ" (mục 1.2 và 3.2 chương l)
nên DỢ Ủ/(x) Ở> DỢ đ(x), e Ở +0 trong D' (ậ 1.2,1)
Trang 28LVTN ; Ly thuyết hàm Suy rộng GVHD : Ts Lê Hoàn Hóa Ta có đồ thị của đãy hàm 6Ủ, '(X), e Ở> +0 là ẳ y t0 '(X) (b) Nếu chuỗi 5u, (x)= S(x) ,u e LLẤẤ(O) hội tụ đều trên mọi tập K compact, K cq kel
O (chudi >: u, (x) 1a hOi tu déu nẠu cdc tong riéng S,(x) hdi ty déu dén tong S(x), n > ẹ với
moi x Ạ K c, O, hay phan dư RẤ(x) hội tụ đều tới 0 khi n Ở> 0), Khi 46 chudi nay c6 thé kha vi
lần lượt một cấp nào đó và chuỗi thu được sẽ hội tụ trong D'(O), > D* uy (x) =D*S(x)
k2!
(2) Mỗi hàm suy rộng f e D'(O) (hay mỗi hàm khả tổng địa phương trong O) là khả vi vô hạn
lần (theo nghĩa suy rộng)
of ô
ửf of
; DO), ỞỞc<D(O).Và ỞỞ e D'(O) nên ỞỞ(ỞỞ) e D'(O),
Thật vậy, vì f re a, (O) ox, (QO) "me, mx (O)
(3) Kết quả của phép tắnh vi phân không phụ thuộc vào thứ tự lấy vi phân : D**ồf = D*(D"f) = Dồ(DồĐ (ậ1,2,2) Ching minh : (D***f,ụ) = (-1/"Ộ%(f, DỘệỦ) = (-1)Ộ!(D?f, D*e) = (Dồ(DẺ0, @) (D"* f,ụ) = (-1)"ệ%(f, DỘệỦ) = (-1)Ợ(Dồf, Dọ) = (DP(Dồ0, @) Suy ra (DỘ*Êf, ) = (Dồ(DỂ0, ọ) = (D*(D"f, 9) (4) Nếu f e D'(O) và a CỢ(O) Khi đó, công thức Leibniz cũng đúng với vi phân của tắch af D*(af) = >| Ìbap**r (ậ 1.2.3) fisa a : af) ap op d ậ * ẽ Oo cé: * =x* f, Ở Ở.ề f, ỞỞỞ
Thật vậy, nêu e D(O), ta x g)=-(a ox, ( 5
Hag) ea Aag) Oa of ôa
=< ( ox, f, - ta ỞỞ J f, ( Ox, )+( tạ) f, Ở_ = %; ae) Th een Ởf, 9)
Trang 29-27-LVTN: Ly thuyết hàm suy rộng GVHD : Ts Lê Hoàn Hóa
or ca đ â
= (aỞ,.) +(Ởf 9) = (aỞỞ+ỞỞI,
"oO " Ox, OX, ồ
Đây là công thức (ậ 1.2,3) với Ủ = (1,0, , 0).Ta cũng chứng mình được với mọi ứ (5) supp DỘf c supp f (ậ 1.2,4) Thật vậy, nếu f e Đ'(O), thì với mọi ọ e D(O,), ta có : DỢọ Ủ D(O,) và (Dff, @) = (-L}Ợ! (f, Dồ@) =0 do dé O,,, > O, =O\ supp f => supp DỘf c supp f 1.3 Các vắ dụ :
a) Vi du J : Ta tắnh mật độ của điện tắch tương ứng với một lường cực điện momen bằng
| dat tại điểm x = 0 và hướng theo phương l = (Ì¡, , lẤ), Ill = l
a | I 4) L
eo
E
ẹ
Hình vẽ lưỡng cực điện, momen : m =q.ỳ
Xét điểm x = e.ỳ , e> 0 (điểm x thuộc đường thẳng qua điểm x = 0 và có vectơ chỉ
phương là 1)
Với e đủ bé, ta có luGng cue dién dat taix=e 1 có mômen bằng xấp xỉ bằng | (vi tai
x = 0, mémen bing 1)
Ta có, mômen của lưỡng cực điện đặt tại x :
fắ =q.& =qặl Nên II = qel II = l
=>q= - : điện tắch tại điểm x là - => điện tắch tại x = 0 là `, E
Vậy tương ứng xấp xỉ với lưỡng cực điện đã cho là mật độ điện tắch :
? #x.e)) - 2 &x-0) = * ậ(x.e]) - 1 xx) ,c>0
ặ E E E
(mật độ tương ứng với một phân bố rời rạc tại các điểm xạ các các điện tich py 1a
> Hy Six ỞXƯ ) - mục 1.1 chương I) Lay gidi han khi e Ở> +0 :
kel
(1 8(x-el) ồ 2 ậ(x), 0) # 3 to(e) - g0} Ở> ửo(0)
(lấy đạo hàm @(x) theo hướng ỳ tại x = 0)
âu(0) ap a6
l 'ó atikucess SƠ ,ỞÌ=-ÍỞ,
Trang 30LVTN : Ly thuyết hàm suy rộng GVHD : Ts Lé Hoan Héa
G(x) 2Ủ),
Ox, ỢỢ Ox,
Ta chứng tỏ rằng tổng điện tắch của lưỡng cực điện (-q+q) bằng 0 và momen của nó
bằng |:
Theo mục 3.2 chương I, tổng điện tắch của lưỡng cực điện là :
(tắch vô hướng của vectơ ỳ và vectơ Dô(x) = (
68 él
-Ở,] ể ỗ.Ở _ 6, 0 =0)
( a )=( a (5, 0)
Theo công thức tắnh momen : m =q Ở 1)
Trang 31LVTN : Ly thuyét ham suy rong GVHD : Ts Lé Hoàn Hóa
Ham suy rong - a võ) được gọi là một lớp kép trên mặt S Nó diễn tả mật độ không
gian của điện tắch tương ứng với các lưỡng cực điện trên mặt S với mật độ momen mặt là v{ x),
điện tắch định hướng theo phương của vectơ pháp tuyến n của S
(Ở đây, mật độ của một lớp kép được định nghĩa là giới hạn yếu của các mật độ tương ứng với một sắp xếp rời rạc của các lưỡng cực trên mặt ậ,
- vẻ [v(x,)A SƯỗ(x-x;)|, xy e S với {S, } là một phân hoạch bị chặn của mặt S) ny c) Vidu 3: | néux20 Xét him O(x)} = xeR' Ổ, néux <0 6.(x) = @(x;) Ô(xẤ) ử chắnh là hàm đơn vị Heaviside ệ +Ủ Ta có (0, @) = - (9, 9") =- Í@xđụ(x)dx =- Jụ(xxx= (eo) - 0 = (0) =(6, 9)
Vay 0 =6, 6 dude goi lA ham xung đơn vị(xung : xung của lực tác dụng lên một vật)
Ta thấy Đ(x) là hàm gián đoạn tại x =0, nếu lấy đạo hàm theo nghĩa thông thường thì
đạo hàm '(x) =0,x #0, và không xác định tại x=0 ,nhưng đạo hàm suy rộng của ử là 6' = õ,
Một cách tổng quát, đầu tiên ta sẽ xét một hàm f liên tục khả vi khi x < 0, và khi x > 0,
tức ỳ gián đoạn tại x = 0, sau đó là những hàm khả vi, liên tục từng đoạn trên (a,b), đạo hàm
của chúng sẽ được tắnh theo ô, tức đạo hàm của chúng tắnh được ngay tại các điểm gián đoạn
(i) Lay f khả vị liên tục khi x # 0 Ta có : tỦ 0 + (F,@) =-(f.@)=- Ífx)g(xdx=- Íf(x)@(x)dx - [f(x)g(xwx _- ỞỦ 0 Ũ Ủ + =- (tree) Íf(x)e(x)dx ] - Heo - [f(x)e(x)dx | ~= 0 0 +ệ =-(f(-0)p(0)- [f(x}e(xklx) - (-f(0+0)p(0)- [f(x)g(xxlx) Ở# 0 = (f(0+0)Ởp(0) Ở 1(0-0)9(0)) + Íf(x)}@(xklx = [f(0+0)- f(0-0)]@(0)+ Íf(x}g(x)dx
=[flsp(0)+ Íf(x)@(x)dx - ([flo gọi là bước nhảy của f(x) tai x = 0)
Vay f = [fd + fu (fy la dao ham cua f theo nghia théng thường, ặ' = f' khi x # 0)
Trang 32~30-LVTN : Ly thuyết hàm suy rộng GVHD : Ts Lê Hoàn Hóa
ti) Xét f(x) là một hàm khả vị liên tục từng đoạn trong (a,b) và {xƯ | là những điểm
thuộc (a,h) mà tại đó đạo hàm của f bị gián đoạn loại một, Khi đó : f' =f+ 2 [f],, ỗ(xỞ xự ) (ậ 1.3,1) k (f, @) Với f,¡ là đạo hàm thông thường, f';Áx) = f'{x) khi x # xạ Ặ',¡ không xác định tại các điểm xụ (f],, là bước nhảy của f(x) tại điểm xạ J (X) (đấu, ỞỞ Poses Ừầ Xi xạ Ry
Ta chứng minh cong thife (ậ 1.3,1):
Trang 34-_32~-LVTN : Lý thuyết hàm suy rộng GVHD : Ts Lé Hoan Héa
That vay, ta xét chudi | Ta có : Sky K- < (ik)"*Ế 5 +> Ởk eỎ* (*) (m +2)! (ik)m'? Các số hạng của chuỗi (*) là khả vi vô hạn do đó chuỗi khả vì vô hạn A(l+lkI)" +2 +2 5 I(ik)Ợ?* | ttỢ m In cà DỊ = AdỢ Ở> Ok -Ở> ow IkIim+Ỳ Iki?
aioỢ >! hội tụ (theo Định lý so sánh)
Do đó theo định lý Weirstrass về sự hội tụ đều của đãy hàm, chuỗi (*) hội tụ đều trong
R'
Theo vắ dụ b), tắnh chất 1) mục 1.2 chương II, ta có chuỗi đạo hàm cấp m+2 của chuỗi
(*) là > a,eỎ hội tụ trong D' kề~Ủ Ặ) Vắ dụ 6 : Ta có De = ầ 8x -2kx) - k Thật vậy : Ta có với fix) là hàm khả tắch tuần hoàn chu kỳ 2+ thì a+2r
[fee = Joos ,aeR
Trang 35LVTN : Ly thuyét ham suy rong GVHD : Ts Lé Hoan Hóa 1.1 x eM Pe 7 Ị nike x ==-= Paik (2 an ~ik b = (ese Ị an Ở ik dx -Ikx ==IG-ÙỞỞ-2Ở=)-ỞỞỞ b 2mk 2 Ởik 2-ik 2nik Ởik ah Ee ~ 2 tkik 2nk2 Vậy chuỗi Fourier là : f(x) = -Ở | ils (2)
Theo vắ dụ 5, chuỗi Fourier (2) khả vi vô hạn lần, Nên từ (1) và (2) ta có : fy'(x) = Sie ay lm ,O<Sx<s2n 2 2x 2xỘ k Ợ =4 | kx và fÍyỢ({X)=ẽ Ở+ 0X) = > 28 x ~ 2kz) =Ở ) an ee l lkx l lkx => ô(xỞ-2kx)=Ở beỢ +Ở=D)e 2 T2 2n 2
Ta có điều phải chứng minh
Trang 36LVTN : Lý thuyết hàm suy rộng GVHD : Ts Lê Hoàn Hóa x n Giả sử f e C'(G)AC'(G ), va f(x) = 0 ngoai G Khi 46, vai mdi @ Ạ D, ta c6 cong thifc Green : f(r Vồ9 - @V?0dx = jặđ2*-= (*) a ; on on
Ta c6 : ham pds(x) la mét lép don trén mat S vdi p 1a ham lién tục trên mặt S (muc 3.2
chuong I) va ham = (v8s) là một lớp kép trên mặt S vdi v 1a hàm lién tuc trén mat S (vi du
2, muc 1.3 chương HH) Nên với f liên tục trên S (f Ạ C!(G)), ta có thể viết công thức Green
trên theo các hầm suy rộng (lớp đơn và lớp kép) như sau :
Ta có: [fVồpdx= [VỢfedx+ frLas - foZas (suy từ (*))
G G ậ on S on
Theo nghia suy rong va do f lién tuc trén mién déng va bi chan G, nén_ bj chan ttc f
Trang 37LVTN ; Ly thuyét ham suy rong GVHD : Ts Lé Hoan Hoa te 2 or et 2 pA i _*) ae tay, oe x ox? a? Ox, ar Pp a er Ẩ f r => V'f= = + ae - 2 2 et out
Moi ham diéu hòa đều có VỶf = 0 hay thỏa mãn phương trình vi phân
OF BEA ~ 0 Nghiệm của phương trình vì phân là
x r &
rts , A,B = conat, n # 2 [(r) =
Alnr+B, A,B = const, n = 2
(day chinh là nghiệm có bản của phương trình Laplace VẺf = 0)
Hàm Ở> (Inr) điều hòa hoàn toàn trong RỢ trừ tại gốc toạ độ, tuy nhiên nó vẫn khả ri
tổng tại gốc toạ độ và xác định một phân bố (hàm suy rộng) mà ta sẽ tìm Laplacien của nó, tức
ta chứng mình nó thỏa mãn phương trình Poisson :
vi = (n-2)0,8(x),n 23; VP =-4n5,n=3; Vine = 2x6, n=2
oo r
Vaio, 1A dién tich mat cdu don vị trong R" :
dạ = 2xỢ = fas (muc 0.6) ; ơ;y = 2n, ơi = đán [(n/2) Sie! Diện tắch mặt cầu bán kắnh R : SẤ = R"Ỏ'o,, S>=2aR , Sy) =4nR? Ta xét trong RỶ, I1 3 2 a xeR Ixl = ( x, ⁄ r x ¡=1 23
ham f= ỞLẼ là khả tắch và V~ =0, x0 IxI Ix!
Lấy Ừ D, supp @ c Ủạ Khi đó,
Trang 38LVTN : Ly thuyết hàm suy rộng GVHD : Ts Lê Hoàn Hóa
Véi mdi him Ừ Ạ D, ta có :
Op _ St, Op rim Ộox, "x, Ổx, ,VIXE ys ớ Ế, = >n = =Ở=ỞỞ TT (vin x (vì ự hướng ă ng vao vào tron g) Ộ én SOx, By r Aix! Do x Ạ S, nén ix! =e, va S;(e) = 4ne* ay OR | dạ op
vViỞ_.o)= CỞỞ .ỞỞỞ Áo lNb ỘHA VÀ IẾN THUẠE .ói
IxI = tes srt Ấ sais = bon SainỢ ề5A Ms
= -1 & l _ Op -
_ agar ee aes Fat saa lược
Trang 39-37-LVTN : Lý thuyết hàm suy rộng GVHD : Ts Lé Hoan Héa vị @(0)- 0x) m ~Ừ 0'(x'), lxl => 0, x'` e ậ, Suy ra lọ(0) - @(x)l Ở> lxl@'(x') > 0, Ixl > X 0 nen [to(00- @(x)MS -> 0.4m) =0, cỞ> Ú Suy ra (V`~Ở-, g) = ~4g(0) = (~drỗ, 9) S Vậy VìỞ = -4mõ(x) x Các trường hợp n > 3, n = 2 ta chứng mình tương tự Các phương trình ve = ~4n5(x), n= 3; (V'nix!) = 2xỗ(x) , n=2 x (vì jn-2 )=-(n-2)ơ,ỗ(x), n > 3gọi là hàm điện thế Newton sinh ra bởi điện tắch đơn vị 1x +1 tai diém x = 0
1.4 Cấu trúc của các hàm suy rộng :
Trong mục này, ta sẽ chứng mình rằng không gian địa phương D'(O) là một mở rộng nhỏ nhất của không gian LỢ(O), mà trong nó phép tắnh vi phân luôn thực hiện được
Gho f e D'(O) và một tập mở O' cạ O, tổn tại một hàm g e LỢ(O') và số nguyên m > 0 sao cho : f(x) = D,".D,"g(x) x Ạ 0" (ậ 1.4,1) Ching minh : Ta cé f D'(O), theo định lý (1.2;1,L), tổn tại số K và k sao cho : l(f,@)l < Killa gs, oeD(O") (ậ 1.4.2) ` Vì với e D(O'), w(x) = [D,w(x'x,' Suy ra Ộuy <d max | D,w(x)l ~Ủ 160ồ seb d là đường kắnh của tập ẹ' Lại có lÍ @ ÍÍ ca mo I DỘ@(x)l, hay NO lew sey < thax 1D" (x)! (myc 0.5) kaksk laisk Ấp dụng bất đẳng thức (ậ 1.4,2) một số lắn đủ lớn ta có : l(fp)I <ẠC maxID,* D,Ấ*e(x)l (ậ 1.4.3) Oo" w(x) Hon nifa w(x) = | JZ oy
se _= 1a dy, dy,, , Suy ra ly(x)i < fi D, D, wy) | dy ơ
Do đó, từ (ậ 1.4,3) ta thu duge : (fg) $C fi D, D,"@(x) Idx ,m=k+l
ơ
Từ định ly Hahn - Banach (mục 0.7) với x(x) = (-1)ỎD," D,"@(x) ta c6 phiếm hàm
tuyến tắnh liên tục f* mà (f*,z) = (f,@) có một mở rộng là phiếm hàm h tuyến tắnh liên tục trên
LÌ(O') 5 D(O') (h là hàmkhả tổng địa phương) với chuẩn < C, và vì :
Trang 40LVTN : Lý thuyết hàm suy rộng GVHD : Ts Lé Hoan Héa Kf y= KEN sCiy tig,
Nên ta có : f*(x) = h(x), x e O' và II hll Uo)Ế Ạ Suy ra : (f*,y) = [hoz(xx ,he
oO
L'(O')
Mà ẹ' là tập bị chặn và h liên tục nên từ hl nghĩa là II h lÌ
thon <C ta suy ra maxlh(x)Í bị chắn, t*Ưo, hữu hạn do đó h e LỢ(O') Vậy tốn tại một hàm g e LỢ(O') sao cho ; g(x) =(-1)"Ỏ"h(x), Ig ll LO al bil, Ợ' <C va (fy) =(-1)Ỏ [gtx0z(x)4x ở =>(f@) =(-1)Ỏ" Íe(+0x(xdx= (-1)Ỏ [g(x)D," DẤ "@(x)dx oO ơ = (-l)Ợ D,Ợ D,Ợ@) = (D,Ợ D,ồg,o) => f(x) = D¡Ợ D,"Ợg(x) xeO &
* Chú ý : Ở đây D," D,"e(x) được hiểu theo nghĩa suy rộng 1.5 Ham suy rộng với giá Compắc :
Sự hội tụ trong tập các hàm thuộc lớp CỢ(O) : cho @y e CỢ(O), ta nói @ hội tụ về 0 khi k dẫn đến Ủ trong CỢ(O) nếu DỢỦ,(x) ỞE?_ Ỉ 0, k Ở> Ủ, với mọi Ủ và O' cạ O
Như vậy, sự hội tụ trong D(O) (mục !.2 chương 1) suy ra sự hội tụ trong CỢ(O) nhưng
điểu ngược lại không đúng Để có điều ngược lại, ta xét các hàm suy rộng có giá compắc như
sau :
Cho hàm suy rộng f e D'(O) có giá compắc trong O : supp f = K cụ O
Giả sử nạ e D(O), n(x) = 1, với mọi x thuộc lân cận của giá của K, Ta xét hàm f sao cho
(Ỳ, @) = (f, re) 9 Ạ C(O)
Taco; f 1a tuyén tinh và toán tử ọ > nọ là liên tục từ CP(O) vào D(O)
(vì Ine-ng'I = Inl lọỞo'l < lẹỞ@'!) nên nếu @y > 0,k-Ở> 0 thì nọy Ở> 0 trong D(O) Khi đó ( Ỳ ,@) = (f, n@y) => 0, k ỞỪ ụ Do đó : Ỳ là liên tục trên CỢ(O)
Í là một mở rộng của f từ D(O) lên CỢ(O) Thật vậy : (f 9) = (f,n@) = (nf, @) Mà nf = f, f e D'(O), bởi vì với @ e D(O), do n(x) = 1 trong lân cận của K nên giá của f và
(1~n}ọ không có điểm chung, do đó (ặ, (I1Ởn)@) = 0 = (f(1Ởn), @) = 0
Theo bổ để DuBois Reymond ta có ặ = nịf Suy ra ( Ỳ, @) = (f, @) (**) Đến đây, trở lại vấn để ban đầu đã nêu, ta có f là mở rộng của f từ D(O) lên CỘ(O)
nên : với @y e CỢ(O) suy ra nựy e D(O), ( f Pr) = (f, NOx)
Néu @ ỞỪ 0; k ỞỪ ụ trong CỢ(O) thì (f,n@y) = (Ỳ, @) > 0, k > Ủ, f Ạ D'(O), nên nọ, 0, k =>Ừ = trong D(O) Vậy, sự hội tụ trong CỢ(O) suy ra sự hội tụ trong D(O)
Ta chứng minh f ~ mở rông của f là duy nhất trên CỢ(O) :
Ta có : (Ỳ, @) = (f ne) với Ý không phụ thuộc vào hàm nị Giả sử có một mở rộng khác của f trên CỢ(O) là f*