Không gian bmo trên rn

fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN-TIN HỌC ———————o0o——————– LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHÔNG GIAN BMO TRÊN Rn Chuyên ngành: Tốn giải tích gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf Giảng viên hướng dẫn: TS TRẦN TRÍ DŨNG Sinh viên: PHẠM NGỌC XUÂN VY MSSV 44.01.101.155 Thành phố Hồ Chí Minh 2022 fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tốt nghiệp tơi thực hướng dẫn khoa học TS Trần Trí Dũng Các nội dung nghiên cứu kết tham khảo luận văn trích dẫn liệt kê đầy đủ mục Tài liệu tham khảo Thành phố Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2022 Sinh viên thực Phạm Ngọc Xuân Vy gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến TS Trần Trí Dũng tận tình hướng dẫn, giúp đỡ suốt trình em nghiên cứu hồn thành khóa luận tốt nghiệp Thứ hai, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô giảng viên khoa Toán Tin học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành khóa luận Thứ ba, em xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến với bạn sinh viên K44 khoa Toán - Tin học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh chia sẻ, giúp đỡ em nhiều kinh nghiệm học tập, rèn luyện viết luận văn Đây khóa luận đầu tay lần em làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên khơng thể tránh khỏi hạn chế sai sót Em mong nhận nhận xét, đóng góp ý kiến thầy cô bạn để khóa luận đầy đủ hồn thiện Xin kính chúc q thầy cơ, anh chị bạn nhiều sức khỏe, hạnh phúc thành công sống Thành phố Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2021 Sinh viên thực gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf Phạm Ngọc Xuân Vy fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm phân phối chuẩn Lp 1.2 Bất đẳng thức Holder 1.3 Định lý vi phân Lebesgue Không gian BMO 10 2.1 Định nghĩa 10 2.2 Tính chất không gian BMO 11 2.3 Tính đầy đủ khơng gian BMO 15 Bất đẳng thức John - Nirenberg 3.1 3.2 19 Phân tích Calderón - Zygmund khối lập phương 19 3.1.1 Khối lập phương nhị nguyên khối lập phương 19 3.1.2 Phân tích Calderón - Zygmund khối lập phương 21 Bất đẳng thức John - Nirenberg 22 Toán tử cực đại nhọn 4.1 gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf 33 Toán tử cực đại nhọn 33 fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU • Q = [a1 , b1 ] × × [an , bn ] với b1 − a1 = = bn − an : khối lập phương Q Rn có cạnh song song với trục tọa độ • l(Q): độ dài cạnh khối lập phương Q   l n • Q (x, l) = y ∈ R : |yi − xi | ≤ , i = 1, , n : khối lập phương Q có tâm x ∈ Rn chiều dài cạnh l > • aQ = Q(x, al) với a > 0: khối lập phương aQ khối lập phương có tâm với khối lập phương Q cnh l al ã Lp (à) l khụng gian cỏc hàm lũy thừa bậc p khả tích úng với µ; k·kp,µ chuẩn, µ(A) độ đo A ứng với µ  Z L (µ) = f : p  |f | dà < + p Rn ã Khi µ độ đo Lebesgue, ta viết ngắn gọn Lp , k·kp A Ta không đề cập đến µ cho tích phân ứng với độ đo Lebesgue • L1loc (Rn ) khơng gian hàm khả tích địa phương Rn gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf • L∞ (Rn ) khơng gian hàm đo Lebesgue thỏa:   > a = • χA hàm đặc trưng tập A • B(x, r) cầu tâm x bán kính r Z Z • fQ = − f (x)dx = f (x)dx tích phân trung bình hàm f ∈ L1loc (R)n |Q| Q Q khối lập phương Q fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Mở đầu Lý chọn đề tài Giải tích điều hịa đại nhánh quan trọng Tốn học có nguồn gốc từ lý thuyết chuỗi Fourier tích phân Fourier cổ điển Trong 60 năm gần đây, giải tích điều hịa đại phát triển mạnh mẽ đóng góp nhiều kết quan trọng cho lĩnh vực xử lý tín hiệu, xác suất thống kê, phương trình đạo hàm riêng Trong giải tích Fourier, khơng gian Lebesgue Lp đóng vai trị vơ quan trọng Tuy nhiên nghiên cứu, số toán tử quan trọng lại ill-behaved không gian L∞ , cụ thể không gian đích nhiều tốn tử quy lại vượt L∞ Điều dẫn đến nhu cầu cần tìm khơng gian thay cho khơng gian Vào năm 1961, không gian BMO (không gian hàm có tính chất bounded mean oscillation) lần giới thiệu F John gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf L Nirenberg mang tính tối ưu khơng gian L∞ , cụ thể tốn tử ill-behaved khơng bị chặn L∞ trước bị chặn BMO Hơn 40 năm qua, không gian BMO nhà tốn học giới nghiên cứu sơi động Lý thuyết khơng gian BMO tìm nhiều ứng dụng lý thuyết ánh xạ bảo giác, tích phân Cauchy đường cong Lipschitz, lý thuyết xác suất, phương trình đạo hàm riêng, Với mong muốn tìm hiểu kiến thức chuyên sâu lý thuyết hàm BMO, tác giả định lựa chọn đề tài: “Không gian BMO Rn Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn làm quen với việc nghiên cứu khoa học, định hướng số nghiên cứu sau, thuộc chuyên ngành Toán giải tích Về mặt khoa học, tác giả mong muốn đạt mục tiêu: tìm hiểu khái niệm, số tính chất đánh giá, bất đẳng thức quan trọng không gian BMO Phạm vi nghiên cứu Các kiến thức kết nêu khóa luận thuộc lãnh vực giải tích hàm lý thuyết độ đo tích phân giải tích thực fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn này, tác giả thu thập tài liệu liên quan đến đề tài, tự tìm hiểu, tổng hợp trình bày số kiến thức không gian BMO : cụ thể khái niệm, số tính chất đánh giá, bất đẳng thức quan trọng không gian BMO Công việc đòi hỏi tác giả phải vận dụng kiến thức chuyên sâu giải tích hàm, độ đo – tích phân giải tích thực Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm chương sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm kiến thức cần sử dụng cho luận văn Lý thuyết độ đo tích phân, Giải tích hàm, Giải tích thực Chương 2: Khơng gian BMO Chương trình bày định nghĩa tính chất không gian BMO Chương 3: Bất đẳng thức John - Nirenberg Chương trình bày nội dung cách chứng minh bất đẳng thức John - Nirenberg Chương 4: Toán tử cực đại nhọn Chương trình bày định nghĩa tốn tử cực đại nhọn đánh giá thường dùng gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm phân phối chuẩn Lp Cho (X, µ) khơng n gian đo fo: X → C hàm đo Hàm định nghĩa cho t ∈ (0, ∞) µ x ∈ X : f (x) > t hàm phân phối f ứng với µ Ta sử dụng hàm phân phối để đại diện cho chuẩn Lp (µ) hàm Bổ đề 1.1.1 Cho φ : [0, ∞) → [0, ∞) khả vi, tăng φ(0) = Khi đó: Z∞ o  n