BO GIAO DUC & BAO TAO
TRUONG PAI HOC SU PHAM TP HCM KHOA TOAN-TIN HOC L4 KHểA LUẬN TỐT NGHIỆP Dộ tai: GIAI BAI TOAN BAO HiNH BANG PHƯƠNG PHÁP HèNH HỌC VI PHÂN & PHUONG PHAP HiNH HOC XA ANH Chuyờn ngành: HèNH HỌC
Giỏo viờn hướng dẫn: TS NGUYấN THÁI SƠN
Trang 2Loi nút đõu
Trong việc giảng dạy toỏn ở trường phổ thụng trung học ,
khảo sỏt hàm số cú những vấn để liờn quan đến việc tỡm bao
hỡnh của một họ đường cong hoặc một họ đường thẳng Do đú, tỡm hiểu và nghiờn cứu Lý Thuyết Bao Hỡnh là rất quan trọng và rất cần thiết
Đối với bài toỏn bao hỡnh hiện nay cú rất nhiều cỏch tiếp cận Trong khi hệ thống hoỏ những tiếp cận núi trờn bằng nhiều phương phỏp thỡ phương phỏp Hỡnh Học Vị Phõn & phương
phỏp Hỡnh học Xạ Ảnh là cỏch làm phự hợp trong chương trỡnh ở
bậc Đại Học
C; chương trỡnh học bậc phổ thụng trung học , những kiến thức về cỏc đường bậc hai được trỡnh bày sơ lược trong sỏch
giỏo khoa Hỡnh Học Giải Tớch Lớp l2 và một phần của mụn khảo sỏt hàm số Do đú, việc tỡm hiểu sõu sắc những nội dung núi trờn là việc làm rất thiết thực và rất cú ớch cho việc giảng dạy toỏn ở bậc phổ thụng trung học Xuất phỏt từ những nhận
định trờn chỳng tụi chọn đề tài “ Giải bài toỏn bao hỡnh bằng
phương phỏp Hỡnh Học Vỡ Phõn & phương phỏp Hỡnh Học Xạ
Ảnh ”
Thụng qua việc nghiờn cứu bài toỏn bao hỡnh - cụ thể là bao hỡnh của họ đường thẳng một tham số trong mặt phẳng ,
chỳng tụi cũng đầu tư tỡm hiểu bài toỏn quỹ tớch và một số tớnh
chất của đường bậc hai
Khúa luận gồm 3 chương :
Trong chương ẽ, trước khi đi vào nờu phương phỏp cụ thể và cỏc bài toỏn ỏp dụng việc giải bài toỏn bao hỡnh của họ đường thẳng một tham số trong mặt phẳng bằng phương phỏp Hỡnh Học Vè Phõn, chỳng tụi trỡnh bày đõy đủ Lý Thuyết Bao Hỡnh của họ đường một tham số trong mặt phẳng gồm định nghĩa
, điều kiện cẩn và điều kiện đủ
Trang 3hỡnh học cao cấp , chỳng tụi đó cú được phương phỏp va ỏp
dụng giải một số bài toỏn bao hỡnh của họ đường thẳng và bài toỏn đối ngẫu của nú - bài toỏn tỡm quỹ tớch
Mối quan hệ giữa hai phương phỏp giải bài toỏn bao
hỡnh được nờu ở hai chương trước được trỡnh bay cu thộ trong
chuong Ill bằng những bài toỏn bao hỡnh sơ cấp giải bằng phương phỏp hỡnh hoc xa ảnh
Do hạn chế về thời gian và kiến thức , vả lại đõy là lần đầu tiờn thực hiện việc nghiờn cứu khoa học nờn chắc chắn khúa luận cũn nhiều sai sút và hạn chế Em rất mong nhận í kiến đúng gúp của Quý Thầy Cụ
Em xin chõn thành cảm ơn Thầy Nguyễn Thỏi Son đó giảng dạy em trong những năm học qua tạo nờn kiến thức quý bỏu và đó tận tỡnh hướng dẫn cho em hoàn thành khúa luận này Em cũng chõn thành cảm ơn Quý Thầy Cụ và Ban Chủ Nhiệm Khoa đó giảng dạy em trong quỏ trỡnh học tập bốn năm qua và tạo điều kiện cho em thực hiện khúa luận này
TP HỖ CHÍ MINH , thỏng 5 năm 2001
Trang 4MUCLUC
Lời nú: đầu
CHUUGNG LPHUONG PHAP HINH HOC VI PHAN GIAI
BÀI TOÁN BAO HèNH
Đ1.Bao hỡnh của họ đường một tham số
trong mặt phẳng
Đ2 Bao hỡnh của họ đường thẳng một tham
số trong mặt phẳng
_CHƯƠNG II;GIẢI BÀI TOÁN BAO HèNH VÀ BÀI TOÁN QUY TICH BANG PHƯƠNG PHAP HINH HOC XA ANH
Đ1.Mụt số kiến thức chuẩn bị
Đ2,Giải bài toỏn bao hỡnh bằng phương phỏp hỡnh học xa ảnh
Đ3.Giải bài toỏn quỹ tớch bằng phương
phỏp hỡnh học xạ ảnh
Trang 5Chương I: Phương phỏp hỡnh học vi phõn
OPO OOOO OOP OLD DDL ORT ee ee ee
CHƯƠNG I
PHUGNG PHAP HINH HOC VI PHAN
GIAI BAI TOAN BAO HINH
Si BAO HINH CUA MOT HO DUONG MOT THAM SO
TRONG MAT PHANG 1.1 - Định nghĩa: Cho (C,) ,„Ă là một họ đường trong mặt phẳng cú phương trỡnh là: f(x,y.) = 0 (1,1) Với hàm số f(x,y,U liờn tục, khả vi đối với cỏc biến x,y,t dộn hang k (k>2)
Ta gọi đường cong #đ của mặt phẳng thỏa:
._ Mọi đường C, đều tiếp xỳc với đ (tại một hay nhiều điểm)
._ Mọi điểm của #đ đều là tiếp điểm của nú với một đường €,
là hỡnh bao của họ đường cong (C,) : sĂ
Điểm tiếp xỳc của mỗi đường C, với bao hỡnh #ệ gọi là đặc điểm
của C, Nếu M là một đặc điểm của C, thỡ khi t biến thiờn, M vạch nờn bao hỡnh (hoặc một nhỏnh bao hỡnh nếu C, cú nhiều đặc điểm) Núi
cỏch khỏc, bao hỡnh là quỹ tớch cỏc đặc điểm của C
2 - Điều kiện cần cho bao hỡnh - Đặc hỡnh:
Ta cơ, điều kiện giải tớch để bao hỡnh đ tổn tại được phỏt biểu
trong định lý sau: 1.2.1 - Định lý:
Trang 6Chương l: Phương phỏp hỡnh học vị phõn
“V4 #4 rạn PP 4 d0 40 40 4 d4 e4/ẽea4,4œ “.*/Ằ ,,'>ỷ.zZpv.>ễ.”ỷ.ư._w,/ỷ.ư '/ỷL ĩJưỷưĩ ư ư ưỷ ưỷ * ư >ướ BLEDEL LLL LL LLL LLL LE LLC ELL ELLE ELLER RH
Chứ inh:
Giả sử, M là một điểm thuộc bao hỡnh đệ tức M nằm trờn mội
nhỏnh #đẽ nào đú của bao hỡnh Zệ
Giả sử, nhỏnh đ/ là quỹ tớch của một đặc điểm M(U trờn C Suy ra, toa độ điểm M là cỏc hàm số đơn trị và liờn tục khả vi đối với biến t:
X = x(t)
‘ = y(t) (1.2.1)
Đõy cũng chớnh là phương trỡnh tham số của nhỏnh # ' C đ Do đ ` tiếp xỳc với €, tại M(Đ nờn: x'(U, y'(U phải thỏa: Íx +ớyy =0 (1.2.2) Mat khac, M(t) € C, nộn ta co: tt, f(x(), y(0)) = 0 (1.2.3) Suy ra, {yx +fyy +f, =0 (1.2.4) Ti (1.2.2) va (1.2.4) suy ra f{, = 0 (1.2.5) Tit (1.2.3) va (1.2.5) suy ra, diộu phải chứng minh
1.2.2 - Quỹ tớch cỏc điểm kỳ di:
Định lý:
Nếu cỏc đường C, cú điểm kỳ dị thỡ quỹ tớch cỏc điểm kỳ dị phải
thuộc đặc hỡnh
Gia sit , x = x(t), y = y(t) IA toa d6 cha một điểm kỳ dị của đường C, Ta c6, diộm ky di thudc ho C, nộn f(x(), y(t) =0 (1.2.6)
Suy ra, Í,x + Uy +f, = 0 tai M(x(t), y(t) (1.2.7) _ Mặt khỏc, do M là điểm kỳ dị nờn ta cú tại M(x(U, y(U)
f =0
lệ cà kết hợp (1.2.7)
y
Suy ra, f, = 0 tai M(x(t), y(t) (1.2.8)
POP BABDAOOE COO OOOCL BLEDEL LLLELE EEL AE LLL â
TRANG 4
Trang 7Chương |: Phuong phap hinh hoc vi phan
a ttl POOPED E BEE ABAEBDLLLEBDLLELBELDE ELLE LE LEO LL ELL EEL LL LLL LAL LLAMA Aw
Từ (1.2.6) và (1.2.8) suy ra, quỹ tớch điểm kỳ dị cũng thuộc đặc hỡnh 1.2.3 - Đường dừng của họ (CU ‹ôĂ:
Định nghĩa: (C,„) là một đường dừng của họ {C,] nếu: [(x,y,L) = 0 thỏa V x,y
Với định nghĩa như trờn, rừ ràng đường dừng C,, la thuộc đặc
hỡnh của họ (C,), <1
Kếtluận: Đặc hỡnh của họ đường (C,) ¿; Ă bao gồm: bao hỡnh, quỹ
tớch cỏc điểm kỳ dị và đường dừng của họ Sau đõy, ta nờu ra vài vớ dụ ỏp dụng 1.2.4 - Cỏc vớ dụ: Vớ dụ 1: Xỏc định bao hỡnh của họ vũng trũn cú phương trỡnh (x-t)? + (y-1 = 1 (C,) Giai: Hệ phương trỡnh xỏc định đặc hỡnh của họ (€,) là: (x-t)? +(y-1)? =1 x-t=0 khu = x=ty=2 Suy ra, đặc hỡnh của họ (C,) gồm 2 đường thẳng cú phương trỡnh y=0,y=2
Dễ dàng kiểm tra cả hai đường trờn đều thỏa định nghĩa bao
Trang 8Chương I: Phương phỏp hỡnh học vị phõn
ơ.—— — —._— ._.ˆ.“ PDP LAE PPB EF BEBO đe 6x rc 6p p6 6 6e ae 6a 6 6 ôcm đÊ ô
x#t=0y+t=0
=> X+t=—,Y+l=— 4
9 27
Khử tham số t, ta được đặc hỡnh của họ đường (C,), - ạ gồm 2
đường thẳng song song cú phương trỡnh: y = x và y = x - 5 3 4 + Xột đường thẳng dị cú phương trỡnh y = x - = se datla x(t) 9 Phương trỡnh tham số của dị = Py datla y(t) y 27 X=-è
Đạo ham x,y theo t ta cú: { 24 (1)
Đặt f(x,y,) = (y+UŸ - (x+U`
Ta cú: f(x(U, y(U) = -3(x(Ù + U° = > (2)
fy(x(t), y(t) = 2(y() + 0 = = (3)
Tif (1), (2) va (3) ta c6 tai (x(t), y(t): fx + fy = 0 Hay f,x +fyy =0,V (xy) ed,
Vay d, thude bao hỡnh của họ (C,) Ă ¿ g
* Ta cú quỹ tớch điểm kỳ dị của họ (C,) ,; ạ được xỏc định bởi hệ:
f(x, y,t) =0 (y+t)? -(x+U`=0 f, =0 = x+t=0 f, =0 y+t=0 nk = y+t=0
=> Quỹ tớch điểm kỳ đị của họ (C,), ; ạ chớnh là đường thẳng d;: y = x
._ Xột tiếp tuyến ở điểm kỳ dị của họ (C,)
Ta cú: fx = -6(x+0)
Trang 9
Chương 1: Phương phỏp hỡnh học vi phan SE PPE EOE ELLE ELE? FP BBP EF BBB OEE OEE OL LLL ELL LLC LAL LL LLL LALA ALLL 6 6 6
inat
[yy =2
Suy ra, tai diộm ky di (-t, -t) ta cd: f,, = 0, hy = 0, fy = 2 Suy ra, tại điểm kỳ dị tiếp tuyến của €, là trục Ox Vậy đường thẳng d› khụng thuộc bao hỡnh
Trong bài toỏn này, đặc hỡnh của họ (C,), gồm hai phần: bao hỡnh là đường thẳng y = 2 và quỹ tớch điểm kỳ dị: y = x khụng thuộc bao hỡnh Vớ dụ 3: — Xỏc định bao hỡnh cỏc họ đường cú phương trỡnh: (Cy), : y - (x+t)’ = 0 Giải: Hệ phương trỡnh xỏc định đặc hỡnh của họ đường (C,), là: y?—(x+é =0 tr = 2 3x+U) =0 y“ =0 => Đặc hỡnh là đường thẳng kộp =0 Đặt Í(xy,Ú= y - (x+t)’ "Ta cú: f.=- 3(x+U° f, =2y Suy ra, hệ phương trỡnh xỏc định điểm kỳ dị của họ (C;): y -(x+U =0 (x+U° =0 = y=0 y=0
Vậy, quỹ tớch điểm kỳ dị cũng chớnh là đặc hỡnh,
Tiếp tuyến tại điểm kỳ đị (-t,0) chớnh là trục Ox: y =0 Vậy quỹ tớch điểm kỳ dị thuộc bao hỡnh
Trong trường hợp này đặc hỡnh, bao hỡnh và quỹ tớch điểm kỳ dị
là một,
BBL LLL LLL LLL LE EL EL LE LL LOL LLL OLE LL LEE LE LLL LE
Trang 10Chương I: Phuong phỏp hỡnh học vị phần
.c ~rư A AEF AAO SAAD HALO 2 + CPP APE AAO ELA ALARMS ô
Nhõn xột: Từ cỏc vớ dụ trờn ta thấy quỹ tớch điểm kỳ dị cú thể thuộc
hoặc khụng thuộc bao hỡnh Cũng như vậy, đường dừng cú thể thuộc hoặc khụng thuộc bao hỡnh
Vậy, cỏc điểm thuộc đặc hỡnh khụng phải luụn thuộc bao hỡnh Hai định lý nờu sau đõy cho ta điểu kiện đủ cho bao hỡnh 1.3-b cho bao hỡnh: 1.3.1 - Đỉnh lý 1: Nếu (x,, y, t„) là một nghiệm của hệ: f(x,y,U)=0 ` mune (1.3.1) f((x,y,U)=0 Off sao cho với cdc gid Uh Xo, Yo, ly: ằ 40 (1.3.2) A(x, y)
thi diộm (x,, y,) thudc bao hinh
Với điểu kiện (1.3.2) ta cú, trong lõn cận x,„, y„, t, hệ phương trỡnh (1.3.1) xỏc định một cỏch duy nhất: x = x(U),y=y() — (1.3.3)
sao cho X(t,) = X„ y(t,) =y„ Cỏc hàm số x(UÙ, y(U khả vi, liờn tục và
(1.3.3) là phương trỡnh của một nhỏnh đặc hỡnh qua điểm (x y,)
Trang 11Chudng |: Phuong phap hinh hoc vi phan
_ernre “ ưưưn n th Lư n ng -cư nnnm" kL ơn nức
* Nộu f° =0 thỡ hệ (1.3.4) cho x, =y, =0 Suy ra, đường (1.3.3) cú điểm lựi tại L
Đạo hàm theo t hai lần cỏc phương trinh (1.3.1) tai x., y, & fox, + fey, =0
la co: ike: (1.3.5)
aka + fo + fy = 0
Nếu f #0 từ (1.3.5) suy ra x„.y„ khụng đồng thời bằng 0
và phương trỡnh đầu của (1.3.5) chứng tỏ tiếp tuyến tại điểm lựi của (1.3.3) cũng chớnh là tiếp tuyến của đường €,
Nếu Í° =0, ta tiếp tục quỏ trỡnh trờn và chứng minh được sự tiếp xỳc giữa đường (1.3.3) với Cụ
1.3.2 - Định lý 2: Nếu (x,„, y„„ tạ) là một nghiệm của hệ (I.3.1) sao cho
(x„ ye) là điểm thường trờn C,„ và f# #0 thỡ (x„ y„) là một điểm của
bao hỡnh
Chứng minh:
Do f #0 cho nờn trong lõn cận (x y„, t,) xỏc định duy nhất hàm số t(x,y) liờn tục sao cho t„ = t(x„ y„) và cỏc đạo hàm của nú xỏc
định bởi hệ: { f,, + fat, =0 (1.3.6)
fy + fyly = ()
Thay (x,y) vào trong phương trỡnh đầu của (1.3.1) ta được phương
trỡnh của đặc hỡnh trong lần cận (x y, t„) là:
g(x,Y) = Í(x,y, t(x,y)) = 0 (1.3.7)
Cỏc đạo hàm riờng của g(x,y) là:
ơ—_—_—_ ^ “= “<< <<: <5“ ơ—=ơ=—====ễ=ơ==—============—=———==—=———-._ eal
Trang 12Chung [: Phudng phap hinh hoe vi phan
ơ ` =- Sa
rere
Ey =f, + ft, =f,
By = ly +f,l, =f,
Do (Xo, Yo) 1a điểm thường suy ra fí,f” khụng đồng thời bằng 0, nờn gt.gy cũng khụng đồng thời bằng 0 theo (1.3.8) và ta cú:
;Ũ 3 (
i u = r ` chứng tỏ nhỏnh dac hinh (1.3.7) tiếp xỳc với đường C,, cia
ÿ ng
ho tại điểm (x yo)
Ta biết rằng bài toỏn tỡm bao hỡnh là một bài toỏn khú, đũi hỏi phải cú nhiều cụng cụ mạnh để giải Trong Đ1, chỳng ta đó xõy dựng được cỏc điều kiện cần và điều kiện đủ để tỡm bao hỡnh
Sau đõy, chỳng ta vận dụng cỏc kết quả trờn để giải một số bài toỏn tỡm bao hỡnh thường gặp Cụ thể, chỳng ta sẽ đi khảo sỏt kỉ hơn về bao hỡnh của họ đường thẳng một tham số trong mặt phẳng
“ BOOP PEE BELLE ELLE ODE wre - - la PPB EPA BEE EEO OPE OBO P LER
Trang 13Chương |: Phudng phỏp hỡnh học vi phõn
Đ2 BAO HèNH CỦA MỘT HỌ ĐƯỜNG THANG TRONG MAT PHANG
Từ kết quả khảo sỏt tổng quỏt về bao hỡnh của họ đường trong mặt phẳng Chỳng ta cú thể túm tắt vấn để bao hỡnh của họ đường
thẳng trong mặt phẳng bằng một định nghĩa và một định lý sau:
2.1 - Định nghĩa:
Cho (D,) ,¿Ă là một họ đường thẳng của mặt phẳng cú phương
trỡnh: (D) :a(Qx + b(Dy + c(t) = 0 Trong do, abc ;:lI>R a,b,c thuộc lớp CỶ và với mọi t e ẽ ta cú: a(t) b(t) +0) a(t) bit
Ta goi dudng cong I cia mat phẳng thỏa: _ Mọi đường thang D, đều tiếp xỳc với F
Tạo mỗi điểm của F cú một tiếp tuyến và tiếp tuyến này là một đường thẳng thuộc họ (D,),:Ă
là hỡnh bao của họ đường thẳng (D)‹eĂ
2.2 - Định lý:
Cho (D,) ;ôĂ là một họ đường thẳng của mặt phẳng cú phương
trinh (D,): a(x + b(t)y + c(t) = 0 (2.1) trong dd, a,b,c: 1 => R thuộc lớp
CỶ và Vtel: Mễ ĐỀU a(t) b'(t) #0 Khi đú, (D,), Ă nhận hỡnh bao F và [ là cung tham số húa Ù = x(t) ym yt)’ Trong d6, V tel, (x(t), y(0) là nghiệm của hệ: {x +b(L)y + c(L) = 0 (2.2) a'(Ux + b (Uy +c'()=0 * Nhõn Xột:
Từ định lý trờn ta thấy thụng thường bao hỡnh của họ đường thẳng (2.1) được xỏc định bằng cỏch khử tham số của hệ (2.2) Hay
núi cỏch khỏc, bao hỡnh của họ đường thẳng là toàn bộ đặc hỡnh
LM MLM MCLE LMLLL LLL LLL LLL LLL LL LE LLL LLL LOLA LLL LLL LE EE EH
Trang 14Chương I: Phương phỏp hỡnh học vị phõn
SBME EMBL LOPE BEBE EE ODP BEB BOE AOD E EOP PEO BOOB BEBE EE EBLE 6 6 9g 6 €6 90 90 6 6 6 0 6e 46 e4, e6 6 e6
Mặt khỏc, hệ phương trỡnh (2.2) xỏc định đặc hỡnh cũng chớnh là
điều kiện để (2.1) cú nghiệm kộp theo L
Vậy trong một số trường hợp đặc biệt nếu phương trỡnh của họ đường thẳng cú dạng là ; một phương trỡnh bậc hai theo tham số t
A(x.y)U + B(x,y)L+ C(x,y) = 0 hoặc phương trỡnh bậc ba dạng
L`+ P(x,y)L+ Q(x,y) = 0 hoặc phương trỡnh lượng giỏc cổ điển
D(x.y)cost + E(x,y)sint + F(x,y) = 0 thỡ phương trỡnh bao hỡnh tương
ứng là B*(x.y) - 4A(x,y)C(x,y) = Ú;
4P'\(x.y) + 27Q°(x.y) = ();
D*(x,y) + EŸ(x.y) = F(x,y)
Bõy giờ, ta ỏp dụng cỏc kết quả đó khảo sỏt được vận dụng cụ thể vào một số bài toỏn tỡm bao hỡnh sau:
Trang 15Chuiing |: Phương phỏp hỡnh học vị phõn
6 BEEP EP AOLD ODT PFPA OPPO BPOELLE LEO PAEBPAOLOEE ET Ow â
2.2.2 - Cho Hypebol cú phương trinh (H): x - y = 1 Hai diộm A, B thuộc (H) sao cho hoành độ điểm B gấn đụi hoành độ của điểm A Xỏc định
bao hỡnh của đường thẳng AB Chứng minh: YA Giả sử, tọa độ điểm A, B trờn (H) cú toa d6 1a A(t, “), B(2t, 2 (tL # 0),
Suy ra, họ đường thẳng AB thỏa điều kiện để ra cú phương trỡnh: ` - (D,): x + 2y - 3L= 0 Ụ XA XB * Hệ phương trỡnh xỏc định đặc hỡnh của họ đường (D,): mm = 0 4ty -3 =0 Đõy cũng chớnh là hệ phương trỡnh xỏc định bao hỡnh cua ho (D,) xX=—t Giải hệ trờn ta được: 4 y= 1
Khử tham số t ta được phương trỡnh của bao hỡnh: xy = :
Nhõn xột: - Kiểm tra lại, ta thấy rừ ràng phương trỡnh bao hỡnh chớnh
là điều kiện để phương trỡnh xỏc định đường thẳng AB là D(U cú
nghiệm kộp theo t,
- Với mỗi t e R ta cú, tiếp tuyến của hypcbol bao hỡnh: xy = 9/8 tại điểm Đ ` là đường D, thuộc họ đường thẳng AB
2.2.3 - Cho hệ trục tọa độ Descartes vuụng gúc, hai điểm A thuộc trờn
xx', B thuộc trờn yy' sao cho: AB = a > 0 (a cố định) Xỏc định hỡnh bao của đường thắng AB,
COS OOOO EEO POPE IO OOP DOT rer - er PPS EF EEF OOO OPE BELO D ELAR
Trang 16Chương I: Phương phỏp hỡnh học vị phõn
ma —- Š` ˆÁ.cỏ 7Â) 1771) ,1} 111777, 7.11 1111111 1.111111Ầ 1À) 1è `è'è ` ' 0 Ả
Chứng minh:
._ Chọn t làm tham số, ta cú: tọa độ cỏc
điểm A,B là :
A(acost, 0), B(O, sint), t € R
Suy ra, phương trỡnh họ đường thẳng AB là: XSint + ycost = acostsint Hệ phương trỡnh xỏc định đặc hỡnh cũng chớnh là hệ phương trỡnh xỏc định bao hỡnh của họ đường thắng AB là: iu =acostsint
xcost— ysint = a(cos? t—sin? t)
Giải hệ nhương trỡnh trờn ta được: X=acas’t y= asin’ t Vậy hỡnh bao của họ đường thẳng AB là đường hỡnh sao cú 3 = L phương trỡnh tham số: ` ne LER y=asin t
2.2.4 - Tim bao hỡnh của họ đường thẳng D, cắt hai trục của một hệ
trục tọa độ trực chuẩn tại A và B sao cho: OA + OB = a(a là một hằng số)
Chứng minh:
Gia sit, OA =t, OB =a — L Ta cú phương trỡnh đường thẳng D là:
Py Fe
t a=t
> +(y—x~— a)L+ ax=Ú (*)
Phương trỡnh (*) cú dạng một phương trỡnh bậc hai thco t Do đú,
phương trỡnh xỏc định bao hỡnh của họ đường thẳng D, là điều kiện cần và đủ để phương trỡnh bậc hai (*) cú nghiệm kộp Đú là: (y — x - a)” - 4ax = Ú
Phương trỡnh này được viết lại là: x? + y’ — 2ax - 2ay — 2xy + a’ = () Kiểm
â â CPP POBPELOL ELLE LDLLLLL LLL LL LLL LLL LLL LLL LLL LE LLL LL LLL ELL LLL LLL LE
Trang 17Chương l: Phương phỏp hỡnh học vỡ phần
—_— “_ — — ^ ` -= iil PPPOE AAAOAAAAL ALA e6 0, 90 0 46 0, ô#0 40 #0 EEA <‹
tra được, phương trỡnh bao hỡnh là biểu diễn của một parahol cú cỏc yếu tố xỳc định sau: Yt \ -Đỉnh S{ `] 4 4 ` - Tiờu điểm 3.5] - Đường chuẩn A :x+y=U \ XN Y -Trucddixitng :x-y=0 A
2.2.5- Cho điểm A cố định cú tọa độ A(a,b) Hai diộm P, Q lần lượt
thay đổi trờn trục tung và trục hoành sao cho AP vuụng gúc với AQ Xỏc
định hỡnh bao của đường thẳng PQ
Giả sử tọa độ của P và Q là: P((,0) Q(O, 0)
Suy ra AP= (t—a,—b)
AQ = (-a,t'-b)
Do AP L AQ nờn: a(t — a) + b(U — b) =0
y — , a+b -at
b
Vậy phương trỡnh của họ đường thang PQ tham số t: (a° +b’ — at) (x — + yht = 0
P A âđ aÚ+(yb— ax— aˆ— bè)L +(aˆ+b )x=0(*) 5 a + Ta cú, phương trỡnh trờn cú dạng một
x X phương trỡnh bậc hai theo L
Do đú, ta cú phương trỡnh bao của họ
đường thẳng PQ chớnh là phương trỡnh điều kiện để (*) cú nghiệp kộp:
(yb - ax— a’ bỶ - 4a(a? + b*)x =(0)
SOCOM ORO REP AEP DBD LDL LALO OPP e PFPODOBLOBPLEL LL LECLELBLECBLLALA LM
Trang 18Chương |: Phuong phap hinh hoc vi phan
PPS SOOO PE ABE POPOL SD? PPP OPP BBB BP BBP BB BB BP BLL LLL ee64#eP #e ô6
o> ax +b’y’— 2abxy — 2a(a* + b”)x —2b(a’ + b>)y + (a + by = 0 Phương trỡnh hỡnh bao cú dạng tổng quỏt của một conic và kiểm tra ta
được đõy là phương trỡnh của một Parabol Cú cỏc yếu tố xỏc định sau:
a? hỡ
Dinh ;
{= rd
Đường chuẩn A cú phương trỡnh: bx + ay = 0
Tiờu điểm F(a, b)
Trục đối xứng cú phương trỡnh: ax — by + b*- a =0
2.2.6- Tim bao hỡnh của họ đường thẳng d tạo với hai nửa trục Ox,Oy của hệ trục trực chuẩn một tam giỏc cú diện tớch khụng đổi
Chứng minh:
Giả sử, đường thẳng d lần lượt cắt hai nửa trục Ox, Oy tai A,B
Giả sử, số đo diện tớch khụng đổi để ra là a (đvdU Ta cộ: OA OB =a (1) Giả sử, điểm A cú tọa độ A(t, 0) thỡ từ (1) suy ra, toa độ điểm B(0,) t Vậy ta cú phương trỡnh họ đường thẳng d theo tham số t là: X Y đỤ, :—+ —=lè y4 ETS t > ax+ty=ta(*) Ta thấy (*) là một phương trỡnh bậc
“tg hai theo biến t Do đú, phương trỡnh
bao hỡnh của họ đường thẳng d là
Trang 19Chương |: Phương phỏp hỡnh học vi phan
ren a LđẰŸễỡdỷđẰễỷdđdưỷư y Äỷ lẽỷ L hư n n nở ƯÄỶÄẽ In Ỷ “TỶ }*TẰTTẰ Ằ Ằ _IÄ nÄ TT ƯỦ“ỶnnẽƯé NA nn tt ưu n kg thư ưu ưu n z2 tư ra T~Ằ
Vậy bao hỡnh của họ đường thẳng d là một nửa (nửa dương) hypcbol cú phương trỡnh y = Sỉ x>U,y>0,
X
2.2.7- Tỡm bao hỡnh của họ đường thẳng d lưu động sao cho hỡnh chiếu
H của điểm cố định A xuống D là một đường thẳng I khụng qua điểm A Chứng minh: - Chọn hệ trục tọa độ trực chuẩn sao cho: I4y _ Điểm A nằm trờn trục hoành d Trục tung là đường thẳng 1 Suy ra, gốc tọa độ O là hỡnh chiếu cia A dộn | OA ô= Đặt OA = 3 ĐỀ AzF(p22, 0) = OH =t Ta cú, đ là đường thẳng qua H và
vuụng gúc với AH(- : ,J) nờn
phương trỡnh của họ đường thẳng d
là:
P i
(Dt): = Rộ lỢ fen
câ 2Ú ~ 2yL+ px =0
Ta thấy, phương trỡnh họ đường thẳng d cú dạng một phương trỡnh bậc
hai theo tham số t, Suy ra, phương trỡnh xỏc định bao hỡnh chiếu là phương trỡnh xỏc định bao hỡnh chớnh là phương trỡnh xỏc định đặc hỡnh và cũng là
điểu kiện để phương trỡnh trờn cú nghiệp kộp theo ẩn là tham số t:
yỶ~ 2px=0
Vậy, bao hỡnh của họ đường thẳng d thỏa điều kiện để ra là một parahol cú tiờu điểm F trựng với điểm A(p/2, 0), trục đối xứng nằm ngang, hể lửm quay về chiều đương, đỉnh là gốc tọa độ O(0, 0)
“tư #04 4e 8 e6 e6 e6 e,e,.~ee,.ˆeee~,eeÊộÊe#wốeÊ/,e,eđe4wewÊœÊđ -~+Ắ- ~7.~.~-.~~r*PU LE LOL ELELEOLP ELH
Trang 20C "hương 1; Phương phỏp hỡnh học vị phõn
CLEP MABEL EEL LD BDO DED ODD LD ED SOPPPPPOOPLBOOPOOLOOEODEDDL EOE LELLLOL DLL LED OLED OLDE ES
2.2.8- Một điểm M chạy trờn Parabol cú phương trỡnh (P): y” = 2px (p > 0 cộ định ) Giả sử, (T) là tiếp tuyến của (P) tại M và đường thẳng đối xứng của (T) qua đường thẳng song song với yy` kẻ từ M là (T') Xỏc định hao hỡnh của họ đường (TẺ) Chứng minh: F\(p/2, 0) hy —> x
i sƠ toa dd diộmM là: MC—,U(P) p
Trang 21Chương I: Phương phỏp hỡnh học vị phõn
“ ge.e x v6 e6 G6 ma @6ô~eweô+e#Êe^e.~e,.đee+ee+ree+eerRwemee+erevr wứe-đÊ-yweđ*ekmBeđemapœmyứwr(weđÊeœmœmwœ6đewuwœemeđwemeđœeewe”we~wemđwew@weộ40?mđâeeđ+?e+ + 4909 49 e0 4@e6 4g e6 4e 4e @eeđepđee #,e‹
Phương trỡnh đường thẳng (T”) cú dạng một phương trỡnh hậc hai theo
ấn t, Suy ra, phương trỡnh bao hỡnh của (T") chớnh là điều kiện để phương
trỡnh bậc hai theo t cú nghiệp kộp: yˆ + 6px = 0
Vậy, bao hỡnh của họ đường thẳng (T`) là parabol cú phương trỡnh:
*
(P`): y =-6px cú tớnh chất sau: trục đối xứng nằm ngang bờ lừm quay
2 kờ `2 * af Km s3 ểé ° 3 2
về chiều õm, đỉnh là gốc tọa độ, tiờu điểm rc p., 0), đường chuẩn x = ểp
2.2.9- Điểm M thuộc trờn parabol cú phương trỡnh y = ax” chiếu M
xuống Oy thành P Gọi N là trung điểm của OM Tỡm hỡnh bao của đường
thang PN
Chifng minh:
Trang 22Chương l: Phương phỏp hỡnh học vi phõn
DPB EPO LLL LL LDL EEL
PP PPE PO PDL OOF EOP ELE BPO LEP ELL OL LE #
* Nộu t= 0, phuong trinh ca ho duộng thang PN: at’ - axt— y = 0 (*)
cú dạng một phương trỡnh bậc hai theo t Do đú, ta cú ngay phương trỡnh xỏc định đót hỡnh, phương trỡnh xỏc định bao hỡnh là một và chớnh là phương
trỡnh điểu kiện để (*) cú nghiệm kộp: aˆx” + 4ay = 0
o> x? = y a
Vậy, theo hỡnh của đường thẳng PN là một parabol cú:
Nếu a >(: + Đỉnh là gốc tọa độ O(0, 0), trục đối xứng Oy, bể lừm quay về chiều õm, tiờu điểm F (0, -l/a)
Nếu a < 0: + Đỉnh O(0., 0), trục đối xứng là Oy, bể lửm quay về chiều dương, tiờu điểm F(0, -l/a)
2.2.10- Một điểm M chuyển động trờn đường trũn O đường kớnh AB
Đường thẳng AM (tương ứng BM) cắt tiếp tuyến với (O) tại B (tương ứng A)
tại điểm P (tương ứng Q) Xỏc định hỡnh bao của đường thang PQ
Chứng minh:
- Chọn hệ trục tọa độ trực chuẩn thớch hợp sao cho cỏc điểm A, B cú tọa độ : A(-R, 0), B(R, 0)
- Do M di chuyển trờn đường trũn đường kớnh AB nờn tọa độ M cú dạng
(R cost, R sinU, t e R R là bỏn kớnh của đường trũn (O) = (AB): x* + y’ = Rđ Suy
Trang 23Chương 1: Phương phỏp hỡnh học vi phõn
ea ee ee ee ee ru ư cư ờnm, PPE BEE BBB BLE EE EEO EEE OOO SR - “-
Từ (2) và (3) suy ra, tọa độ giao điểm Q =BMx d là : Q(-R————— sint)
cosL -è
Suy ra phương trỡnh đường thẳng PQ:
(PQ): 2xcostsint + ysin°t~ 2RsintL = ()
Ta cú, hệ phương trỡnh xỏc định đặc hỡnh cũng chớnh là bao hỡnh của ho đường thẳng là: 2(costsint)x+ (sift)y-2Rsint=0 -2(sint)x+ (cost)y=0 Giải hệ trờn ta được: x=-Reost y=~2Rsint 2 2 Khử tham số t ta cú: —=t—= | R 4R Vậy, bao hỡnh của họ đường PQ là một clip cú phương trỡnh: x + đe =], cú cỏc tớnh chất: R° 4R - - Trục lớn thuộc Oy, bỏn kớnh 2R - Trục nhỏ thuộc Ox, bỏn kớnh R
- Tõm đối xứng là gốc tọa độ O(0, 0) - Hai tiờu điểm F,(0, 43R), F;(0, -3/3R)
2.2.11- Cho hỡnh vuụng ABCD Một đường thẳng biến thiờn qua A cat
BC tại E và CD tại E Gọi I là trung điểm của EB Tỡm bao hỡnh đường thẳng FT,
ô _———— “.ễ << -.-<<==<ơ-<-<===<“=ễ=ơ=ơ===ễ=====5==ơ===<======s—==s====s=ss=s=sx=ssx=s=es =
Trang 24C "hương [: Phương phỏp hỡnh học vị phõn SC MBL LACM LLL LLL LL LLL LLL LLL LLL LLL LLL LE LEE LO LLL
Ta thấy (*) cú dạng một phương trinh bac hai theo k, Do d6, phudng trỡnh hao hỡnh của họ đường thẳng FI chớnh là phương trỡnh điều kiện để (*) cú nghiệp kộp: (2x+2y ~3a)” — ẹ(a — y)(a —- x) =0 a> a+ a4 tin suối a — — — c> (X 2) (y >) 4
Vậy , bao hỡnh của đường thẳng FI là đường trũn tõm C.2) bỏn kớnh " Pay chinh là đường trũn nội tiếp hỡnh vuụng ABCD,
i
2.2.12- Đường trũn tõm C bỏn kớnh R khụng đổi thay đổi và luụn tiếp xỳc với trục hoành và ở trờn trục hoành, tiếp điểm là A Định bao hỡnh
đường đối cực D của gốc tọa độ O đối với đường trũn (C) Chứng minh:
Chọn t làm tham số, tọa độ điểm A cho bởi A(t,0)
Suy ra, tọa độ tõm € của đường trũn (C) là: C(t,R) Vậy ,đường trũn tõm € bỏn kớnh R cú phương trỡnh là:
FH 4 9 2, di de 4 L dd g4 de ee/,eốeốee,em,eeÊœwœÊœđÊ ,./ /Ä9 ,'z,L, xỏxÄ 'zÄẽ._.ỏẽ _x7ẽ.xẽ ưẽề CPO Pa PPL LLL PELL LLL LOLOL LB!
Trang 25Chương l: Phương phỏp hỡnh học vị phõn
OPE OOO LODO? PPP POPPA LE PDA L ELLE LALO LLPEL OL EBAE LRA &
(C): (x-0' +(y-RY=R’, Hay x°+y°-2x-2Ry+t=0,
Quy tắc tỏch đội tọa độ cho ta phương trỡnh đường đối cực D của gốc
toa độ O(0,0) đối với đường trũn (C):
D: t-xt- Ry =0 (*)
Phương trỡnh đường đối cực D, cú đang một phương trỡnh bậc hai thco tL 2o đú, phương trỡnh bao hỡnh của họ đường thẳng D, là điều kiện cần va đủ để (*) cú nghiệm kộp theo t Đú là, x” + 4Ry = Ú
Phương trỡnh bao hỡnh là phương trỡnh của một parabol cú cỏc yếu tế
xỏc định như sau:
Đỉnh O(0,0); Tham số tiờu p = 2R; Trục đối xứng thẳng đứng: Bề lừm quay về chiều õm; Tiờu điểm F(0,-R): Đường chuẩn y = R
2.2.13- Cho đường trũn (C) và đường thẳng D Một đường trũn (C) bỏn
kớnh khụng đổi R dịch chuyển vuụng gúc với đường thẳng D Xỏc định bao
hỡnh của dõy cung chung của hai đường trũn (C) và (C))
Chứng minh:
Chọn hệ trục tọa độ trực chuẩn sao cho trong đú ta cú phương trỡnh
đường trũn (€) là: x? + y = a” và phương trỡnh của đường thẳng D là: y = m
Chọn t làm tham số, họ đường trũn cú bỏn kớnh R vuụng gúc với
đường thẳng D cú phương trỡnh:
(C): (x—Uˆ+(y- m)'=RŸ
với điểu kiện |R ~a| <v + m? <|R +a|
Hay (R - a)° - m' < < (R+a)°- m°
—< —>
Trang 26Chương | Phuong phap hỡnh học vi phõn
“ CPP AAO OE OOO OOO OT “ Ằđ i/đ ả/Ằồớả PAD PEABO PLEABEE ELE BEEBE OOOO Tm ‹
Suy ra, phương trỡnh dõy cung chung của hai đường tron (C) va (C’) là: D: 2x+2ky-U—m ~ a’ +R?>=0 Hệ phương trỡnh xỏc định đặc hỡnh của họ D,: 21x + 2ky -t? - m? -a? +R? =0 2x -—21=0 Hệ phương trỡnh này cú nghiệm duy nhất theo t: XK=t as m? +a’ -R*? =’ 2m y
Đõy cũng chớnh là phương trỡnh tham số của hỡnh bao họ đường thẳng
D Khử tham số t ta được: x” + 2my - R?+r-m =0
Vậy, bao hỡnh của dõy cung chung của hai đường trũn (C) và (C') là đoạn parabol cú phương trỡnh:
x? + 2my—R? +rỶ—m” =0
(R-a)? —-m? <x? <(R+a)’ -m?
2.2.14- Tỡm bao hỡnh đường đối cực của một điểm lưu động M thuộc đường trũn (O) cú phương trỡnh: vey = a? đối với đường trũn (C) cú phương trỡnh: x” + yŸ—~ 2Rx =0 Xột trong hệ trục trực chuẩn
Chứng minh:
Chọn t làm tham số, tọa độ điểm M cho bởi: M(acost, asinU
Suy ra, phương trỡnh đường đối cực D của M đối với đường trũn (C) là: (D,): (acosUx + (asinUy — (x + acosUR = 0
Hay (ax = aRẹ)cost + aysint=Rx (1)
Ta thấy, phương trỡnh của họ đường thẳng D, cú dạng phương trỡnh
lucing giỏc cổ điển theo t Phương trỡnh bao hỡnh của họ đường thẳng D, là điều kiện cần và đủ để (1) cú nghiệm kộp theo L
Đú là: (ax T— aR)” + a yè = RỶxỶ
Hay: (a”— R”)x” + a°y°— 2a Rx + aˆRỶ = 0 (2)
“roi, ca PC On P6 HP hit dd dd G g9 ợ g4 “sư ợg,ố /,-Ê,eđẽweew,e#Êđe#eôđ OL LLL LLL LLL LLL LL LLL LL LLL LL LL LL LL LL LL 4e 4‹
Trang 28Chương |: Phương phỏp hỡnh học vị phõn
POP OER OP BABD LEED O DEE
- Thamsộ tiộup=R
- Truc d6i xitng nim ngang - Bộ liom quay vộ chiộu dương,
- Tiộu diộm F (R, 0) - Đường chuẩn x = 0)
e Nếu R >a thỡ (2) là phương trỡnh của một Hypcbol
Trang 29Chương I: Phương phỏp hỡnh học ỌC vi phõn
° úƯ PC 0 4P 20 22 BLM LLP d4 2n4đ6a4ne4đe4eđe4/đe< PPPOE PLD ODD LŨ 6ễ co 6 BPD OL ODO PLE LEE LEBEL ELE LEE ELE ELE EM OO Ow
2.2.15- Tim bao hỡnh của đường thẳng lưu động d biết rằng: quỹ tớch cỏc hỡnh chiếu H của một cố định A xuống d là một vũng trũn (C) khụng đi qua À cú bỏn kớnh là b
Chứng minh:
Chọn hệ trục tọa độ trực chuẩn sao cho: điểm A thuộc trục hoành Ata,0), Gốc tọa độ O(0,0) chớnh là tõm vũng trũn (C) Suy ra, tọa độ điểm H
là H(hcost, bsinU) với t = (OA,OH)
Ta cú, phương trỡnh họ đường thẳng d (qua H và vuụng gúc với AH =(bcost - a,bsin L)) là:
d: b(x + a)cost + bysint - (b + ax) =0
e Phương trỡnh đường thẳng d cú
y4
H dang phương trỡnh lượng giỏc cụ aoe
điển theo biến t, Suy ra, phương t trỡnh xỏc định bao hỡnh chớnh là > uae a0 ”x„ phương trỡnh xỏc định đặc hỡnh của họ là: b* (x + a)’ + b’y* = (b° + ax)’, Hin 4 V â (b`-a)x°+bỡy°+b(aè—bè)=0Ú (*)
hi Đo (C) khụng qua À nờn b z a
,Suy ra, bŸ — a” # 0 2 2 y =| =>(*") = b2 * bh? -a?
Trang 30Chương l: Phương phỏp hỡnh hoc vi phan
OPEL ELEM LL BOLL LLL LB LLAMA LALLA LLL LL LL LLL LO 49 44%
Nếu lbl < lai thỡ bao hỡnh là Hypebol cú: tõm đối xứng là gốc tọa độ O(0,0), truc thực 3b nằm ngang, trục ảo war -E thẳng phương trỡnh hai đường tiệm căn là: vư'—b*x—by=0 va) =b*x+by=0 (Hỡnh 2)
2.2.16- Tim bao hỡnh của cỏc tiếp tuyến D của hyperbol cú phương
trỡnh xy = 2À (khi 2 thay đổi) tại những giao điểm của hypcrbol với đường
thẳng x+y = 1
Chứng minh:
Gọi (x„y„) là tọa độ giao điểm của hyperbol cú phương trỡnh xy = 2
(2.< 1⁄4) với đường thẳng x + y = l
Suy ra, phương trỡnh tiếp tuyến D tại (x.„y„) với hyperbol là:
X,Y + Y„X = 2À với x„, y„ xỏc định bởi hệ sau: XoVo =! Yo +Xy =! Chon x,„ là tham số, ta cú phương trỡnh tiếp tuyến ở trờn được viết lại như sau: (l — X¿})X * Xey = 2X¿ (è = Xo) Hay 2xu,°+(y— x— 2)x,+x=0 (*)
Ta thấy, phương trỡnh (*) cú dạng một phương trỡnh bậc hai theo biến
là x„ Vậy, phương trỡnh xỏc định bao hỡnh của họ đường thẳng (*) chớnh là
điều kiện cần và đủ để phương trỡnh của nú cú nghiệm kộp thco x„ Đú là:
(y/-—x-2)”— 8x=0
A OAM MM MR RA M— MM < M MM A MM LM La Mh LL LALA LL ALAM ALLL ALLA LL ALLL ALAA AAA A AAA ALLL LE
Trang 31Chương |: Phuong phdp hinh hoc vi phan
COP OOOO OPE LOO OT
Hay x + v` - 2xy - 4x - 4y =0 Ta kiểm tra được phương trỡnh này là
phương trỡnh của một parabol cú cỏc yếu tố xỏc định sau: Đinh parahol chớnh là gốc tọa độ O(0,0),
Tiờu điểm Fr! < ) +
Phương trỡnh đường chuẩn: x + y + l =0,
Trang 32Chương IÍ: Phương phỏp hỡnh học xa ảnh * OBE BL BBO LBL LLL LLL LLL LE ELE EEE EEE MEME LEE LE LL LL NOL EA ee CHUGNGII
GIAI BAI TOAN BAO HINH VA BAI TOAN QUY TICH BANG PHUONG PHAP HINH HOC XA ANH
Trong chương l,ta đó giải bài toỏn bao hỡnh bằng phương phỏp hỡnh học vi phõn Qua việc giải cỏc bài toỏn đú ta rut
ra một nhận xột chung là với cụng cụ tương đối sơ cấp ta đó
giải được hầu hết cỏc bài toỏn tỡm bao hỡnh
Tuy nhiờn, như đó núi, việc giải bài toỏn tim bao hinh [a khụng dễ dàng Chẳng hạn, nếu bài toỏn đó nờu khụng được
cho trong hệ trục toạ độ Descartcs vuụng gúc thỡ với cụng cụ
hỡnh học vi phõn việc giải rất khú khăn
Do đú , chỳng tụi ủm hiểu thờm việc giải bài toỏn bao hỡnh bằng phương phỏp xạ ảnh Ta nhận xột rằng bài toỏn tỡm bao hỡnh là bài toỏn đối ngẫu của bài toỏn tỡm quỹ tớch Vỡ vậy , trong chương này chỳng tụi cựng trỡnh bày song song cỏc cụng cu và giải cỏc bài toỏn quỹ tớch với bài toỏn bao hỡnh
Đ1 MOT SO KIEN THUC CHUAN BI 1.1 Phộp chiếu xuyờn tõm và phộp phối cảnh I.!.1 Phộp chiếu xuyờn tõm :
Trong mặt phẳng xạ ảnh P›, ỏnh xạ xạ ảnh f: { m} => {(m']
giữa hai hàng điểm cú giỏ là đường thẳng m, m' là phộp chiếu xuyờn
tõm nếu cỏc đường thẳng nối cỏc cặp điểm tương ứng luụn đi qua một điểm D cố định Điểm cố định đú gọi là tõm phộp chiếu
Kớ hiệu :{m} 7 [m')
“ ờH U d9 me ‹ “4g #' 0g 4# 4# dc 2 L4 Lạt + 4,9đ9ố‹ạg 4e87-e42Êđede.eˆee,#Ê.,."B.Êe-.Êe-“,œ 7 PPPOE ,ạL a, POLE EPL OL LOL
Trang 33Shan BI One eT A anenernerennennanenenenranncnenenenmnns
Điều kiện cần và đủ để ỏnh xa xạ ảnh giữa hai hàng điểm trở
thành phộp chiếu xuyờn tõm là giao điểm của giỏ hai hàng điểm là tự
ứng
I.1.2 Phộp phối cảnh : (Đối ngẫu của phộp chiếu xuyờn tõm) Trong mặt phẳng xạ ảnh P;, ỏnh xạ xa ảnh f: [M] > {M']
uiữa hai chựm đường thẳng {M] và (M'] là phộp phối cảnh nếu giao
điểm của cỏc cặp đường thẳng tương ứng luụn thuộc một đường thẳng d cố định Đường thẳng đú gọi là trục phối cảnh
Kớ hiệu : (M}) $ [M'
Điều kiện cẩn và đủ để ỏnh xạ xạ ảnh f giữa hai chựm đường thẳng trở thành phộp phối cảnh là đường thẳng nối hai tõm tự ứng
1.2 Định lý Steiner va đối ngẫu :
1.2.1 Dinh lý Steiner :
Định lý thuận:
Trong mặt xạ ảnh P;, nếu một ỏnh xạ xạ ảnh f :(M]-> (M') của hai chựm tõm m m' khụng phải là phộp phối cảnh thỡ quỳ tớch giao điểm của cỏc đường thẳng tương ứng là một conic đi qua M, M'
và tiếp xỳc với hai đường thẳng f(MM'), F'(MM')
Dinh ly dao:
Nếu M,M' là hai điểm cố định của một conic và điểm N là điểm thay đổi trờn S thỡ ỏnh xạ f : (M} —> {M'} từ chựm tõm {M] vào
chựm tõm {M'] sao cho : f(MN) = f(M'N) là ỏnh xạ xạ ảnh nhưng
khụng là phộp phối cảnh
I.2.2 Định lý đối ngẫu của định lý Stciner :
Trong mặt phẳng xạ ảnh P›, nếu là ỏnh xạ xạ ảnh f:{m`} —>
(m`]} giữa hai hàng điểm cú giỏ là cỏc đường thẳng m, m`nhưng khụng là phộp chiếu xuyờn tõm thỡ cỏc đường thẳng nối cỏc cặp điểm
tưởng ứng sẽ tiếp với một conic, Conic này tiếp nối với m,m'`và đi qua
hai điểm f(mxm)và f(mxm`)
Đảo lại, nếu m, m`là hai tiếp tuyến khỏc nhau của một conic và n là tiếp tuyến thay đổi của nú là ỏnh xa f:{m} —> {m'`} sao
ơ.—.— — — — _———-.- - - ~7.rĂ_-ỄẰPé r —- - PPPOE EEO ELA OE ELLE ELLE
Trang 34- hương HH: Phương phỏp hỡnh hoc xa ảnh
cho f(mxn) = m'x n la một ỏnh xạ xạ ảnh nhưng khụng phải là phộp chiếu xuyờn tõm
1.3 Phộp đối hựp trờn đường thẳng và trờn conic:
I.3.1 Phộp đối hợp trờn đường thẳng :
a Dinh nghia phộp đối hợp :
Một phộp biến đổi xa ảnh f: P, -> P„ của ỏnh xạ xạ ảnh là đối
hợp (gọi tắt là phộp đối hợp ) nếu fˆ là phộp đồng nhất,
bh, Dinh ly:
Cho một phộp biến đổi xạ ảnh f: PĂ => PĂ của đường thang xa ảnh PĂị Nếu trờn Pị cú hai điểm phõn biệt sao cho M'= f(M) và M
= f(M') thỡ f là phộp đối hợp
c Định lý:
Giả sử f: Pị —> PĂ là một phộp đối hợp của đường thẳng xạ ảnh P, nhưng khụng là phộp đồng nhất Khi đú ,nếu f cú một điểm kộp P thỡ nú sẻ cú điểm kộp thứ hai là Q và với mọi điểm M thuộc P; sẽ cú điểm tương ứng M'=f(M) sao cho (P QMM') -< -I
Vậy, phộp đối hợp f: Pị > P,, f # Id thi hoặc nú khụng cú
điểm kộp nào hoặc nú cú hai điểm kộp phõn biệt ,
Äđ— Định lý :
Mọi phộp hợp f(f # 1d) hoàn toàn được xỏc định nếu biết hai cặp điểm tương ứng
Œ Định lý Desargues thứ hai :
Cho chựm đường bậc hai S(A,B,C.D) và đường thang d qua điểm nào trong bốn điểm A, B, C, D khi đú, mỗi đường bậc hai của chựm
đó cho sẽ cắt d theo hai điểm tương ứng nhau trong một phộp đối hợp
của đường thẳng d,
1.23 Phộp đối hợp trờn conic:
a Định nghĩa phộp đối hợp trộn conic:
OO 4 ”ˆ 4 2é 42 A 42 42 4ˆ 4ˆ 4Ê di 42t 4Ê 4ˆ 4 4ˆ 4ˆ ôˆ dt 4Ê 4< 4 4, 402$ ô2 426404 40 404 $6406‹40 404040 40 4đ 4 ô+ +6 4đ 496 4e 9e e6 e2 4# 422 e e9 90 e2 4g 4e 6 ô4 4e ôe6,
Trang 35-hương I1: Phương phỏp hỡnh học xa ảnh
“ z 6 6g c6 c ch UP me v6 p6 6 t6 7c p7 tt CO tcO tctđ tr ki, CC COPEL OOO OT ed
Một phộp biến đổi xa ảnh trờn conice gọi là phộp đối hợp nếu f` là phộp đồng nhất
b Định lý :
Cho ỏnh xạ xạ ảnh f : S-> Đ là phộp biến đổi xạ ảnh của conic S mà khụng phải là phộp đồng nhất Khi đú, với hai điểm M, N tựy ý của conic Đ và MÍ,N” lần lượt là ảnh của chỳng thỡ giao điểm của
MỊN, M}N luụn nằm trờn một đường thẳng
Â, Dinh ly Frộje
Nếu ỏnh xa xa anh f: SS là một phộp đối hợp của conic S mà khụng phải là phộp đồng nhất thỡ đường thẳng nối hai điểm tương ứng luụn luụn đi qua một điểm cố định mà ta gọi là điểm Frờjờ của phộp
đối hợp Ẳ
d Dinh ly Frộjộ dao:
Cho một conic Đ và một điểm O khụng thuộc conic S Nếu hai điểm M, M'là hai điểm trờn conic thang hang với O thỡ M, M' tương
ứng nhau trong một phộp đối hợp nhận O làm điểm Frờjờ
1.4 Phộp đối xạ :
1.4 i i ộ :
Trong khụng gian xạ ảnh n chiểu P, phộp ỏnh xạ xạ ảnh cú phương trỡnh k[x'] = Alx] Nếu xem cỏc x'; (Ă =l,2, n+l) như là tọa độ u`, của một siờu phẳng
Ta được phộp biến đổi :k{u’] = A[x] biến mỗi điểm x của P,
thành một siờu phẳng u` Phộp biến đổi như trờn gọi là phộp biến đổi
đối xạ ,
Trờn cơ sở những kiến thức đó biết về ỏnh xạ xạ ảnh và nguyờn tắc đối ngẫu, ta cú một số tớnh chất của phộp đối xạ
- Phộp đối xạ biến một siờu phẳng thành một điểm và ngược lại
- Phộp đối xạ biến một hàng điểm thành một chựm siờu phẳng
và ngược lại
- Phộp đối xạ bảo toàn tỷ số kộp
- Tớch của hai phộp đối xạ là một ỏnh xạ xạ ảnh
i td xế err LPP LRP - PAP PALL LAELELELALL LL LLM
Trang 36-hương II Phương phỏp hỡnh học xạ ảnh
OPP AAS ee ee eee (00 0 ( 02002222 CPP EOE OE OOO LOL LL R
1.5 Trong mặt phẳng xạ ảnh , trờn đường thẳng d cho
hai điểm P,Q cố định M,N là hai điểm thay đổi trờn d
sao cho (PQMN) =k, kcR Khi đú, tổn tại phộp biến đổi xạ ảnh f trờn d sao cho f nhận P,Q làm hai điểm kộp và f(M) = N
Chứng mỡnh :
- Với điểu kiện đó cho, luụn tổn tại song ỏnh f nhõn P, Q làm hai điểm bất động và f(M)= N, với mọi M,N thuộc d
thỏa (PQMN) =k
Bóy giờ, ta cần chứng minh f bảo toàn tỉ số kộp của 4 điểm hất kỳ :
Giả sử A,B,C,D là 4 điểm phõn biệt tương ứng ảnh của chỳng qua song ỏnh f là A’, B.C.P
Với mục tiờu xạ ảnh cho trước, giả sử ta cú :
iC] =], [A]+ m[B] (1) : IC| =h[|A]+ my [BI] (7) (DỊ =l;ạ [Al+ m[B} (2); [D'} =k {A+ mi [B] (8) [A] =ay([P]+ an(Q) (3) ; LAI] =az[P]|+ asz[Q| (9) (BỊ =bĂ[P|+ b¿[Q] (4) ; [BỊ =bạ[P]+ bạ; [Q| (10) (Cl =ceĂÍPI+ e¿[Q] (5): TC] =cz[P]+ ca[Q| (11) ID] =d,[P|+ d)2(Q) (6) :; ID]=d¿[|P]+dz[Q| (12) TY (1) (2), (3), (4),05),(6) suy ra : (A1 €i2 ~ 8t+€jn) (yy By2 — by dy)
(Cy, Dy2 — Cp2 bys) (ai dại aj‡dị‡)
Tir (7), (8) (9), (10), (11), (12) suy ra:
Trang 37PPPOE OPA OPED ST
Trang 38“hudng I Phuong phap hinh hoc xa anh
COO EOE TEMPE EEE PLEBLELELOLDEDLPEADEA DEEL EOLD DDD LDL LLM LLL LLL 6 90 6 0 0 6e 6 e6 6, 66 địịcg cạađ;; Cũng do tớnh chất ti lệ thức ta cú cn) Cd) cạĂd›› Từ (* )và(** )suyra , (ABCD) = (ABCTD) 'Từ cỏc định nghĩa, định lý đó nờu ở S1, S2 ta cú thể vận dụng
giải được bài toỏn bao hỡnh của họ đường thẳng trực tiếp hoặc
thụng qua bài toỏn đối ngẫu của nú - bài toỏn tỡm quỹ tớch của
một điểm Cụ thể ta cú một số bài toỏn như sau :
EL LL EL LL LE MEE LL LE LE << sa LL LL
Trang 39hương [: Phuong phỏp hỡnh học xạ ảnh
7.5 717111117), 111711, 17 11.1111 ưi /õ>ướ ưđ'„¿,z>L Lư p8 p6 66 6.66 e6 06 6 e7 e e6, #e64ôeô, eôẲô 6
S2 GIẢI BÀI TOÁN BAO HèNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HèNH HOC
XA ẢNH
II.2,! Cho tam giỏc QAB và đường thẳng d khụng qua A, B Mội diộm M biộn thiộn trộn d Dat C = OA x BM, D = OB x AM Tim bao
hỡnh dường thẳng CD Chứng minh :
Gọi E, E lần lượt là giao điểm của đường thẳng OA, OB với đường thẳng d Do CM,DM là hai đường thẳng lần lượt biến thiờn qua B, A cố định nờn ta cú cỏc liờn hệ xạ nà như sau : :{ OA, c {d, M } (1) f;: ( dM lẬ Về DỊ (2) trong đú , f; là phộp chiếu xuyờn tõm B từ hàng điểm OA vào hàng điểm d, f,(C) =M Xột ỏnh xạ f = ớ› „ f, từ (1) và (2) ta cú f: (OA,C} ~(OB,D): là
ỏnh xạ xạ ảnh từ hàng OA vào hàng OB biến điểm C thành điểm D
Mặt khỏc, ta cú dóy cỏc biến đổi sau : O Ủy F 5, F suy ra ((O) =F O SE 4) EB suy ra fÊ '(O)=E
Nếu O khụng thuộc d thỡ E # EF # O Suy ra, f khụng là phộp chiếu xuyờn tõm, Theo đối ngẫu của định lý Steiner ta cú bao hỡnh của đường thắng CD là conùc tiếp với OA tại B, tiến OB tại F
Nếu O thuộc d thỡ E F=O Suy ra, f là phộp chiếu xuyờn tõm,
Vay bao hỡnh của đường thẳng CD là điểm O và tõm I của phộp
chiếu xuyờn tõm Í
~ FPP AOE AEP EOL OLA ELLER
TRANG 38
Trang 40hưởng TÍ: Phương phỏp hỡnh học xa ảnh
IL^.^ Trong mặt phẳng xạ ảnh ,cho một conic thay đổi và luõn di
gua 4 đỉnh của một tử giỏc ABC p q là hai đường thẳng qua l và
lận lượt cắt conic tại hai điểm P, @ Tỡm bao hỡnh của dường thẳng PO 1 an Dị Ot | of Í ` ` -Jq_— LƠ `: Fl Sy, f a k Chứng minh : Gọi M=BCx y,N=p x ÁC,K = AQ x BP
Ta cú, lục giỏc AQDPBC nội tiếp conic (S) nộn theo định lý
Pascal M.N,K thẳng hàng Suy ra, khi conic (S ) thay đổi thỡ K thay
đổi trờn MN cế định ,
Do đú , ta cú liờn hệ xa ảnh sau :
[: :(B, BPJŸ” (A,AQJ (1): là phộp phối cảnh trục MN tit cham
tõm B vào chựm tõm A, f ›(BP)=AQ
Do Q thay đổi trờn p cố định nờn ta cú liờn hệ xạ ảnh sau :
[,: {p.P| đ (B.BPỊ (2): là phộp đối xa từ hàng p vào chựm
tõm B f;(P) = BP
Do Q thay đổi trờn q cố định nờn ta cú liờn hệ xạ ảnh sau :
[.:(A.AQ| “x tq.Q].@): là phộp đối xa từ chựm tõm A vào hàng q F(AO) = Q Từ (1) (2) và (3) ta cú :f= ẹị 2> „fĂ là một ỏnh xạ xa ảnh từ hàng p vào hàng q biến P thành Q: I:|p.P] ~ {q,Q} Mat khỏc n€u ta goi D|=BD x MN , D> = AD, x q, Dy = AD xMN D = BD; x p, Aj=AB x p, By= ABx q A›=ACxp.C:=ACx gq B> =BCxp,C,;=BCx q
_ Ta để dàng kiểm tra được :Í(D) = D2, I '(D) =D,
“re err ee ; ă ằ_jđjề.ẳ-nj=ẽ-aẳ-a- ư ưu, u, , L, 6, , Ê U, co f6 6đ đ 6 66 e6 6 #6 ô6 Fe FeO eee ee