Bài toán ngược và lời giải xấp xỉ ổn định ứng dụng vào phương trình tích phân

fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 1995 fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ❖ NGUYỄN CAM BÀI TOÁN NGƯỢC VÀ LỜI GIẢI XẤP XỈ ỔN ĐỊNH ỨNG DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN LUẬN ÁN PHĨ TIẾN SĨ TOÁN LÝ gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf Chuyên ngành : Mã hiệu : Người hướng dần : GIẢI TÍCH HÀM 1.01.01 TIẾN SĨ QUỐC GIA TRẦN VĂN TẤN Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh GIÁO SƯ TIẾN SĨ ĐẶNG ĐÌNH ÁNG Đại Học Tổng Hợp Tp Hồ Chí Minh Thành Phố Hồ Chí Minh 1995 fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf LUẬN ÁN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI KHOA TOÁN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Người hướng dẫn: Tiến Sĩ Quốc Gia TRẦN VĂN TẤN Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh Giáo Sư Tiến Sĩ ĐẶNG ĐÌNH ÁNG Đại Học Tổng Hợp Tp Hồ Chí Minh Người nhận xét 1: Người nhận xét 2: gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf Cơ quan nhận xét: Luận án bảo vệ Hội đồng chấm luận án Nhà nước họp Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Vào hồi … giờ, Ngày… Tháng.… năm 199 fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành biết ơn Thầy hướng dẫn Tiến Sĩ Quốc Gia Trần Văn Tấn, Giáo Sư Tiến Sĩ Đặng Đình Áng Tơi xin chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Nghiên Cứu Khoa Học Ban Chủ nhiệm Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh khích lệ dành cho nhiều điều kiện thuận lợi khảo cứu Tơi xin chân thành cám ơn Phó Giáo Sư Dương Minh Đức cho nhiều nhận xét, quý báu nội dung luận án Tôi xin chân thành cám ơn động viên ân cần quý đồng nghiệp Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Khoa Tốn Trường Đại Học Tổng Hợp Thành Phố Hồ Chí Minh; Sự giúp đỡ chí tình Anh Đinh Ngọc Thanh q trình tơi hồn thành lập luận án Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng năm 1995 gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf NGUYỄN CAM fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf BÀI TOÁN NGƯỢC VÀ LỜI GIẢI XẤP XỈ ỔN ĐỊNH ỨNG DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN MỞ ĐẦU Từ năm 1960 trở lại đây, tốn ngược khơng chỉnh nhà Toán học giới khảo cứu cách sâu rộng mà tiêu biểu cơng trình Tikhonov, Lavrentiev, Lions Từ thời gian tốn ngược khơng chỉnh ngày ý khảo cứu cách rộng rãi mang lại nhiều áp dụng quan trọng y học, kỹ nghệ, địa vật lý kỹ thuật Trong luận án chúng tơi nghiên cứu hai tốn ngược khơng chỉnh : Bài tốn xác định miền cho phương trình elliptic tốn Stenfan ngược Mục đích luận án xét chỉnh hóa hai toán ngược nêu với gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf nội dung gồm : xây dựng lời giải xấp xỉ ổn định; nghiệm toán; đánh giá sai số lời giải xấp xỉ với lời giải xác Luận án hình bày gồm hai phần Phần dành cho khảo cứu tốn xác định miền cho phương trình elliptic Bằng Cách xử dụng cực trị phiếm hàm liên tục tập compact chứa không gian hàm thích hợp, lại xấp xỉ phiếm hàm nói phiếm hàm liên tục không gian hữu hạn chiều để đưa cách fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf xây dựng lời giải xáp xỉ ổn định Sau khảo sát tính nghiệm toán xác định miền Phần hai luận án toán Stefan ngược Trong phần chúng tơi xét tốn Stefan ngược chiều toán Stefan ngược hai chiều Bằng cách đưa phương trình tích phân loại một; chuyển sang phương trình tích chập; sau sử dụng phương pháp Tikhonow để đưa cách xây dựng lời giải xấp xỉ ổn định đồng thời đánh giá sai số lời giải xấp xỉ với lời giải xác liệu đo bị lệch với sai số ε gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf KÝ HIỆU 𝐺̅ : Bao đóng tập hợp G ∂G: Biên tập hợp G Miền G: tập G mở liên thông ∂u ∂xi = Di u: đạo hàm riêng phần cùa hàm u : Toán tử Laplacien cùa hàm u ∂𝑢 ∂𝑢 ∇u = gradu = �∂𝑥 , ∂𝑥 � ∂𝑢 ∂𝑢 = ∇u.n = n1 ∂𝑛 ∂ 𝑥1 + 𝑛2 ∂𝑢 : đạo hàm theo hướng pháp tuyến n hàm u ∂ 𝑥2 H1 (G) = W1,2 (G): Không gian sobolev (G) [H1 (G)]* = ℒ (H1 (G), R):Không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục H1 gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf ∂𝑢 ∂𝑣 ∇u ∇n = ∂ 𝑥1 ∂ 𝑥1 + ∂𝑢 ∂𝑣 ∂ 𝑥2 ∂ 𝑥2 B(r,x) : cầu mở tâm X, bán kính r � (r, x) : cầu đóng tâm X, bán kính r B � ):Khơng gian hàm số liên lục G C(G � )::Không gian hàm số có đạo hàm liên lục G C1(G C2 (G):Khơng gian hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục G 𝑜 : 𝐺 phần tập hợp G G \ G1 = {x ∈ R2 | x ∈ G x ∉ G1} f ≡ 0trên Γ với x∈ Γ f ≢ Γ : tồn x∈ Γ cho f(x) ≠ fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf MỘT SỐ KẾT QUẢ SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN Bất đẳng thức Poincaré 1.1 Không gian H1 (Ω), 𝐻01 (Ω) Cho Ω miền bị chặn R2 Ta định nghĩa 𝜕𝑢 𝜕𝑥𝑖 đạo hàm riêng u theo nghĩa suy rộng H1 (Ω) không gian Hilbert với tích vơ hướng định : (u,v) = ∫Ω u, v + ∫Ω ∇u ∇v (u,v ∈ H1 (Ω)) với chuẩn tương ứng : gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf Không gian 𝐻01 (Ω) định nghĩa sau : 𝐻01 (Ω) = ��������� 𝐻𝑐1 (Ω) : bao đóng 𝐶𝑐1 (Ω) H1 (Ω) (trong 𝐶𝑐1 (Ω) khơng gian hàm số có giá compact có đạo hàm liên tục Ω) fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf 1.2 Bất dẳng thức Poincaré ([5]) Cho Ω tập hợp mở bị chặn R2 Tồn số C > cho : với x ∈𝐻01 (Ω) đương ‖𝑢‖𝐿2 (Ω) ≤ C ‖∇𝑢‖�𝐿2 (Ω)�2 Do dó 𝐻01 (Ω) hai chuẩn sau : ‖u‖H1 (Ω) ‖∇u‖�L2 (Ω)�2 tương 1.3 Mở rộng bất đẳng thức Poincaré ([32]) Định lý : Cho Ω ⊂ Rn miền bị chặn với biên ∂Ω trơn (smooth); Γ0⊂∂Ω thỏa õGo > Γ0 mở ∂Ω Với p > tồn số C > 0, (C phụ thuộc vào n, p, Ω, Γ0) cho : gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf đặc biệt u∈ {v∈ 𝑊1, 𝑝 (Ω)| 𝑣 = 𝑡𝑟ê𝑛 Γ0 } ‖u‖W1−p(Ω) ≤ C ‖∇u‖[Lp(Ω)]n Do V chuẩn ‖u‖W1−p(Ω) chuẩn ‖∇u‖[Lp(Ω)]n tương đương với fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Vết (traces) H1 (Ω): Định lý ([29]) Cho Ω miền bị chặn Rn với biến ∂Ω đủ trơn (smooth) Với m = m = tồn ánh xạ tuyến tính liên tục R : Wm.p (Ω) → Wm-1,q (∂Ω) �) cho Ru = u|∂Ω u ∈ C2 (Ω : q ≤ np−p n−p ≤ p < n ≤ p < n Từ định lý ta suy : tốn ánh xạ tuyến tính liên tục : R : H1 (Ω) = W1,2 (Ω) → L2 (∂Ω) �) cho Ru = u|∂Ω với u ∈ C2 (Ω Một định lý điểm bất động gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf Định lý : Cho X khơng gian Banach, M tập hợp đóng không gian X, ánh xạ f: M→ M thỏa || f(x1) – f(x2)|| ≤ k || x1 – x2 || với x1, x2 M ( với < k < 1) Thì tồn điểm bất động f, nghĩa có phần tử x0 ∈ M cho f(x0) = x0 fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Lời giải xấp xỉ ổn định phương trình tích phân Vậy bổ đề chứng minh Sự chỉnh hóa Kết chỉnh hóa phương trình (3.76) trình bày định lý sau gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf Định lý : Cho v0 lời giải xác phương trình (3.76) ứng với vế phải F0, tức a *v0 = F0 V0 ∈ H1 (R2) ∩ L1 (R2) giả sử F ∈ L2(R2), F0 ∈ L2 (R2) với |F – F0|2 < ε Thì tồn lời giải xấp xỉ ổn định vε (3.76) cho C số thỏa 92 fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Lời giải xấp xỉ ổn định phương trình tích phân Chứng minh Theo bổ đề 8, ta có ∞ ∞ α � (ω, η) = ∫−∞ ∫−∞ α(x, t)e−i(xω+tη) dxdt 2π = π exp �−𝑘(ω2 + 𝑖η)1/2 � nên � (ω, η)| ω↦|α hàm giảm ω > gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf η↦|α � (ω, η)| hàm giảm η> v0 lời giải xác (3.76) nên (3.77) với β > 0, ta đặt bị chặn F ∈ L2 (R2) nên Ψ ∈ L2 (R2) Đặt vβ (t) = ∞ ∞ ∫ ∫ Ψ(ω, η)e−i(xω+tη) dωdη 2π −∞ −∞ 92 fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Lời giải xấp xỉ ổn định phương trình tích phân t h ì Ψ = v� β , v β ∈ L ( R ) Do (3.78), ta có T T T (3.79) T Do (3.77) (3.79), ta có T (3.80) T lấy tích phân R2 Nhân hai vế (3.80) cho T gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf Cho β = ε (với ε < 1) dùng |F� − F� |2 = |F = F0|2 < ε, có T mà T T nên ta có T 93 fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Lời giải xấp xỉ ổn định phương trình tích phân dó (3.82) Suy Dùng (3.80) với β = ε Nhân hai vế đẳng thức cho phân R2 gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf dùng |F� − F� |2 < ε, T (trong M số) nên (3.84) cho ta suy 94 lấy tích fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Lời giải xấp xỉ ổn định phương trình tích phân tức (3.85) Đặt: (3.83) (3.85) cho ta (3.86) Cho aE, ta đặt Vì |α� (ω,η)| giảm theo ω > 0, η > nên với (ω,η) ∈ D có gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf Trong nên ta có (3.87) (do (3.86)) 95 fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Lời giải xấp xỉ ổn định phương trình tích phân Ta lại có với (ω, η) ∉ 𝐷 λ (ω, η) = (ω4 + η2 )1/4 ≥ aε nên (theo (3.86)) Đặt B = π2 A2 chọn aε > nghiệm phương trình (3.89) Vì hàm số ℓ(t) = t2 𝑒 2𝑘1 𝑡 tăng ngặt t ∈ (0, ∞) ℓ (R+) = R+ nên phương trình (3.89) có nghiệm aε thỏa aε > aε → ∞ ε → gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf với ε > đủ bé ta có suy hay kết hợp (3.87) - (3.90) ta 96 fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Lời giải xấp xỉ ổn định phương trình tích phân với C2 = 2B(2(1 + k1))2 hay C = (1 + k1) (2B)1/2 gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf Vậy định lý chứng minh xong Định lý 9': Cho v0 lời giải xác phương trình (3.76) ứng với vế phải Là F0 , tức α* v0 = F0 , v0 ∈ H1 (R2) ∩ L1 (R2)) Giả sử Thì tồn lời giải xấp xỉ ổn định vε cho C số thỏa 97 fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Lời giải xấp xỉ ổn định phương trình tích phân Chứng minh Theo (3.79) ta có lấy tích phân R2, ta có: Nhân hai vế (3.79) cho Cho β = ε (với ε < 1) dùng |𝐹� − 𝐹�0 |2 = |F – F0| < ε, có gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf Suy Từ (3.83) (3.84), ta 98 fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Lời giải xấp xỉ ổn định phương trình tích phân n ên T d o T Đ ặt T T hì T Vậy định lý chứng minh xong T gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf 99 fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Tài liệu tham khảo TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] D D Ang and L K Vy : Domain Identification for Harmonic functions, to appear in Acta Applicandae Mathematicae (1995) [2] D D Ang and N Cam : Remarks on the Identification problem for elliptic equations Proceeding international workshop on inverse problems, Hochiminh City (1995), 21 - 23 [3] V Barbu : The inverse one phase Stefan Problem Differ and integer, equations, 3(1990), 209 - 218 [4] J Baumeister and H J Reinhardt : Inverse heat conduction problems and their numerical solution in H W Engl and G W Groetsch (eds) Inverse and illgfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf posed Problems, Academic Press, New - York (1987), 325 - 344 [5] H Brezis : Analyse Fonctionnelle, Theorie et applications, Masson 1983 [6] Nguyễn Cam, Chu Đức Khánh, Đinh Ngọc Thanh, Vũ Văn Thanh : Nghiệm xấp xỉ ổn định tốn Dirichlet ngược cho phương trình Laplace nửa không gian Thông tin Khoa Học Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh (4 - 1995), 22 - 26 [7] N Cam, C D Khanh, D N Thanh : A two - dimensional inverse Stefan Problem; Boundary identification (to appear) 100 fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Tài liệu tham khảo [8] A Carasso : Determining Surface Temperatures from interior observations, SIAM J Appl Math 42 (1982), 558 - 574 [9] R Courant and D Hilbert : Methods of Mathematical physics Interscience, New York (1962) [10] G Cimati : On a problem of the thery of Lubrication Governed by a variational Inequality, Appl Math Optim 3(1977), 227 - 242 [11] D Colton : The inverse Stefan problem for the heat equation in two space variables, Mathematika, 21 (1974), 282 - 286 [12] A S Demidov : The form of a Steady Plasma subject to the Skin effect in a Tokamak with noncircular cross-section Nucl Fusion 15 (1975), 765 - 768 {13} A S Demidov : Sur la Perturbation Singuliere dans un Probleme a frontiere libre in Lect Notes Math Springer-Verlag, N.Y (1977), 123 -130 gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf [14] A.S Demidov : Equilibrium form of a Steady Plasma, Phys Fluids, 21(6) 1978, 902 - 904 [15] C M Elliot : On a variational Inequality Formulation of an electrochemical machining moving boundary Problem and its applications by finite elements J Inst Math Appli 25 (1980), 121-131 [16] Erdelyi et al " Tables of integral transforms" Vol 1, Mac - Graw hill, 1954 101 fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Tài liệu tham khảo [17] A Friedman : Determination of mines by electric Measurements, Siam J Appl Math 47, No.l Feb 1987, 201 - 212 [18] A Friedman : Partial differential equations of parabolic types Englewood Cliffs, N J Prentice Hall inc, 1966 [19] K.H Hoffmann and J Sprekels : Real time control in a Free boundary Problem connected with the continuous casting of Steel, Optimal control of Partial differential equations ISNM, 68 (1983), 127-129 [20] J Jochum : The numerical solution of the inverse Stefan Problem, Numer Math, 34 (1980), 411 - 429 [21] J Jochum : The inverse Stefan Problem as a Problem of nonlinear approximation theory, J Approx Theory, 30, (1980), 81 - 98 [22] Y Katano, T Kawamura and H Katami : Numerical study of drop formation gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf by a capillary Jet using a general coordinate system Appl Mechanics 34 (1986), - 14 [23] P Knabner : Regularizing the Cauchy Problem for the heat equation by sign Restrictions, in G Hammerlin and K H Hoffmann (eds), Improperly Posed Problem and their numerical Treatment, Birkhauser, Basel, (1983), 165 - 177 [24] H Kawarada, T Sawaguri and H Imai : An approximate Resolution of a free boundary problem Appearing in the equilibrium plasma by means of conformal mapping, Japan J Appl Math (1989), 331 - 340 102 fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Tài liệu tham khảo [25] S Kubo : Requirements for Uniqueness of Crack identification from electric Potential Distribution, in "inverse Problem in Enginerring Sciences", Springer 1991, 52 - 58 [26] L Landau and E Lifchitz : Theories de l'elasticite, Ed Mir, Moscou 1967 [27] E M Landis : Some Problems of the qualitative theory of second order elliptic equations Russian Mathematical Survey, Pitman Press (1962), London, 40 - 43 [28] R Lattes and J L Lions : Methode de quasireversibilite et applications Dunod Paris (1967), 240 - 241 [29] J L Lions and E Magenes : Non homogeneous Boundary value Problems and applications, Springer - Verlag (1972) [30] S Peneau, Y Jarny and A Sarda : Isothern shape identification for a two dimension head conduction problem "Inverse problem in Enginerring gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf Mechanics" 1994, Balkema, Rotterdam, 47 - 53 [31] O Pironneau : Optimal Shape design for elliptic systems, Springer Verlag, 1983 [32] J F Rodrigues : Obstacle problems in Mathematical physics (1987), Amsterdam [33] L Rubinstein : The Stefan Problem : Comments of its present State, J Inst Math Appl 24 (1979), 259 - 277 [34] A Sasamoto, H Imai and H Kawarada : A Practical method for an conditioned optimal shape design of a vessel in which plasma is 103 fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Tài liệu tham khảo confined, in "Inverse Problem in Enginerring Siences", Springer (1991), 120 - 125 [35] Đinh Ngọc Thanh, Vũ Văn Thanh, Nguyễn Công Tâm, Nguyễn Cam : Regularized solutions of a Cauchy Problem for the Laplace equation in the upper hafl plane Proceeding of HoChiMinh mathematics consortium íìrst conference (1993), 85 - 88 [36] Vũ Văn Thanh, Nguyễn Cam, Huỳnh Bá Lân, Trần Lưu Cường: A Problem of geothermal measurements in boreholes, Institute of ecoinformatics Problems, Moscow (1994), 72 - 74 [37] A Tikhonov, V Arsénine : Méthode de résolution de problemes mai posés Mir, Moscou 1976 [38] p K C Wang : Control of a distributed Parameter Systems with a free boundary, Int J Control, Voi 5, No 4, (1967), 317 - 329 gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf 104 fgf fg fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Mục lục MỤC LỤC MỞ ĐẦU .1 T T KÝ HIỆU .3 T T MỘT SỐ KẾT QUẢ SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN T T PHẦN MỘT: BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH MIỀN CHO MỘT PHƯƠNG TRÌNH T T T ELLIPTIC 12 T I SỰ CHỈNH HÓA 12 T T Vị trí tốn 14 T T 1.1 Giới thiệu toán : 14 T T 1.2 Một ví dụ : 16 T T 1.3 Biến đổi toán 17 T T Giải toán phương pháp biến phân 20 T T gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf 2.1 Sự tồn nghiệm 𝒗Ψ : 20 T T 2.2 Xấp xỉ Ψ0 không gian hữu hạn chiều 23 T T 2.3 Các kết 24 T T II SỰ DUY NHẤT NGHIỆM 45 T T PHẦN HAI: LỜI GIẢI XẤP XỈ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 59 T T T T I BÀI TOÁN STEFAN NGƯỢC MỘT CHIỀU 61 T T Đưa phương trình tích phân 70 T T Đưa phương trình tích chập 71 T T Sự chỉnh hóa 73 T T 105