Vì vậy, việc nghiên cứu lý thuyết dao động ngày càng trở nên quan trọng, Nếu chỉ xét các dao động nhỏ của cơ hệ quanh vị trí cần bằng ổn định thì trong phương trình vì phân của chuyển độ
Trang 1
BỘ GIÁO ĐỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM TP.HCM KHOA VẬT LÝ $ LUẬN YAN TOT NGHIEP We Udi
pudc DAU TIM RIEU
CONG HUONG TRONG cÁC
DAO DONG PHI TUYEN
Trang 2Luận văn tốt nghiệp GVHD : Là Văn Phước
LỜI NĨI ĐẦU
Dao động là một hiện tượng phổ biến trong tự nhiên và trong kỹ thuật Dao đơng đã đem lại thuận lợi cho nhiều ngành kỹ thuật: dao động
điện tử là cơ sở của kỹ thuật vơ tuyến điện: người xây dựng dùng dao đơng để đĩng cọc, đấm đất; nhà cơ khí sử dụng dao động vào việc gia cơng kim loại, chế tạo máy mĩc Nhưng dao động cũng đem lại nhiều tổn thất cho
sản xuất: rung mạnh làm cản trở sự làm việc bình thường của máy mĩc, khi
cơng hưởng cĩ thể làm gãy vỡ, xảy ra tai nạn
Chỉ cĩ thể dựa vào lý thuyết dao động mới giải quyết được các vấn đẻ trên Vì vậy, việc nghiên cứu lý thuyết dao động ngày càng trở nên quan
trọng,
Nếu chỉ xét các dao động nhỏ của cơ hệ quanh vị trí cần bằng ổn
định thì trong phương trình vì phân của chuyển động, ta chỉ giữ lại những số
hạng tuyến tính đối với tọa độ và vận tốc Khi đĩ, đao động là tuyến tính
Đao động mơ tả bởi những phương trình vi phân phí tuyến gọi là dao
động phi tuyến Lý thuyết dao động phi tuyến đã đạt tới trình độ khá cao
và cĩ những ứng dụng rất quan trọng trong kỹ thuật như điện và điện tử, chế tạo cơ khí, xây dựng, giao thơng vận tải
Như trên đã trình bày, trong dao động, khi cơng hưởng cĩ thể xảy ra
tai nạn nên trong luận văn này, em đặc biệt chú ý đến vấn để “Cộng
hưởng trong các dao động phi tuyến ”
Dao động nĩi chung và dao động phi tuyến nĩi riêng là một để tài
khá rộng, nhưng do thời gian và trình độ cĩ hạn, nên em chỉ tìm hiểu các
vấn để: "Những dao động bé”, “Dao động phi tuyến - Cộng hưởng trong các
dao động phi tuyến” và "Các dạng cộng hưởng phú tuyến đặc biệt" Trong
quá trình tìm hiểu, em cĩ tiến hành khảo sát một dạng dao động phi tuyến,
đĩ là *2ao động cưỡng bức của cơ hệ cĩ lị xo phi tuyến °,
Lần đầu làm quen với nghiên cứu sách vở, bài làm chắc chấn cĩ nhiều thiếu sĩt, mong nhận được sự chỉ dẫn và gĩp ý của quý thấy cơ và các
hạn
Nhân đây, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Lê Văn Phước - giảng viên khoa Vật Lý - đã tận tình hướng dẫn em hồn thành luận văn
này Đồng thời, em cũng chân thành cảm ơn quý thấy cơ trong khoa, ha mẹ, bạn bè, những người thân đã luơn thương yêu, giúp đỡ em
Em mong rằng quyển luận văn này như là một mĩn quà nhỏ kính
tặng mọi người với lịng ghi ơn sau xa
Ngày 15 thang 5 nam 2002
Sinh viên thực hiện
Phan Thị Thùy Đàn
Trang 3Luận văn tốt nghiệp GVHD : Lé Van Phước
TAI LIEU THAM KHAO
1 Co hoe L D Landao, E M Lipsit
3, Cơ học lý thuyết Nguyễn Hữu Minh 3, Giáo trình Cơ lý thuyết Lê Minh Hoa 4 Giáo trình giản yếu cơ học lý thuyết X.M.Targ
5 Cơ sở dao động trong kỹ thuật Trần Dỗn Tiến
6 Giáo trình tốn = Giải tích 4 Jean — Marie Moniter
7 Giáo trình Tốn cao cấp Lê Ngọc Lãng (chủ biên)
Trang 4
Luận văn tốt nghiệp GVHD : Lê Văn Phước PHỤ LỤC
Trang - Lời nĩi đấu l
- Tai liéu tham khảo 2
- Phụ lục 3
- Phần I: Những dao động bé 4
- Phần H: Dao động phi tuyến-Cộng hưởng trong các dao động phí tuyến 24 - Phắn HI: Các dạng cơng hưởng phi tuyến đặc biệt 31 - PhẳnIV: Dao động cưỡng bức của cơ hệ cĩ lị xo phi tuyến 37
Trang 5
Nha GVHD) : Lê Văn Phước
» - ˆ ,
PHAN ‘I NHUNG DAO DONG BE
1 DAO DONG TU DO MOT CHIEU
Dao động tự do là dao đơng quanh vị trí cân bằng bền
Hệ thực hiện những dao động tự do một chiều gọi là hệ dao động tử một chiếu H Hàm Lagrange của hệ đao đơng tử mơt chiều: I.Thế năng: Tại vị trí cân bằng bến ( đ = đụ ) : thế năng cực tiểu Chọn gốc thể năng tại đĩ:(/(gạ)= 0) Khai triển biểu thức thế năng theo chuỗi Taylor tại vùng lân cận vị trí cân bằng bền {au 1f eu > U@)~U(,)+|S | (o-a)e 32] (q—qạ} + 70 40 Ta cs U (40) = 0 © =0 40 oq Vì dao động nhỏ nên bỏ qua số hạng quá hai: LÍ 8°U U(g “(= ) 2 aq? š (g—q¿)” 0 pa{ | =k OF" Sop
đ — qạ =x: độ lệch của tọa độ đối với giá trị của nĩ tại vị trí cân bằng
Trang 6Luận văn tốt nghiệp GVHD ; Lé Van Phuc ag)=alg,)=m HI + Vậy 7= 2# (I.1.2) Khi x là tọa độ Descarter thì m: khối lượng 3 Ham Lagrange: ae nữai 2 2 HI Phương trình chuyển đơng: ad ol oa (== 0 dt ox && <> mx + kx = 0 l ơ w= ,| â Ơ+@7x =0(1.1.4) \m Đây là phương trình vị phân tuyến tính thuần nhất cấp hai Phương trình đặc trưng: kÌ+øˆ =0 @k=tio Nghiệm tổng quát của phương trình: X =(€Œ¡ COSØYf + €; Sin @f C Cy Thì nghiệm tổng quát của phương trình cĩ thể viết dưới dạng: x = acos(wt + a)(1.1.5) a: bién d6 dao d6ng (0f + œ : pha dao động œ :tần số
Œ: pha ban đầu, phụ thuộc vào sự lựa chọn gốc thời gian
Tần số œ là đặc trưng cơ bản của dao động, khơng phụ thuộc vào những điều kiện ban đầu của dao động Tính chất đĩ liên quan đến tính chất nhỏ bé của dao động và khi sang những mức gần đúng cao hơn thì tính chất
đĩ khơng cịn nữa
Nghiém (1.1.5) 6 thé biểu diễn: x = Rede k 1.6)
A = ae" (1.1.7); bién dé phite
Trang 7Luận vấn tốt nghiệp GVHD): Lê Văn Phước eS 32 2139 2 ¿4s f= 5 ko?a? sin’ (@t+a@)+@°-a cos (@t + «)| SE= 5 Fo (1.1.8) Vậy năng lượng phụ thuộc bình phương biên độ dao động 2 DAO ĐỘNG CƯỜNG BỨC 1 Định nghĩa:
Dao động cưỡng bức là dao động của một hệ chịu tac dụng của ngoại
trường thay đổi
Đối với dao động bé: ngoại trường đủ yếu
Il Ham Lagrange:
Trang 8Luận văn tốt nghiệp _ GVHD): Lê Văn Phước X = acos(@t + a@)+ x, 1 Lực cưỡng bức là hàm số tuần hồn theo thời gian cĩ dạng: F{r)= ƒ cos(z + Ø)\(1.2.3) Ta cĩ: Yị = ơcos( + Ø) Đạo hàm, thay vào (1.2.2), ta được: b.—‡ mo ~ 7°)
Vay nghiém tong quat: f
Xx = acos(w@t + a@)+—7—> cos(y + 8\1.2.4) mle? -y"
Vậy dưới tác dụng của một lực cưỡng bức tuần hồn hệ thực hiện một
dao động là tổng hợp hai đao động: một dao động với tấn số riêng œ của hệ
một dao động với tần số y của lực cưỡng bức
*.Néu y = w: ta cĩ hiện tượng cộng hưởng (1.2.4) được viết lại; x x = acos(at + a) + —r—‡—z\eos( + Ø} mle? -y?] f lim im fim acoso +a) nhan x = lim 4 acos(ø + + ———+€C0S5|#f + Ấp dụng qui tắc L Hopital : lim x = acos(@t +a)+ lim SL /si0(% + B) y-»e yo 2my Vay x = acos(øf + #)+ SF tsin(ox + ØXI.2.5) 2m@
Vậy trong trường hợp cộng hưởng, biên độ dao động tăng bậc nhất
theo thời gian(cho đến lúc dao động khơng cịn bé nữa và tất cả lý thuyết về
Trang 9Luận văn tốt nghiện ŒGVHD) : Lê Văn Phước
C=|A + Be'“
Vii A= ae" B = be’?
Trang 10Luận văn tốt nghiệp GVHD : Lê Văn Phước
c.e“ | j— F(t)e "đt +ến M 211
0
Vải Gl g = So
Ham s6 x(t) 14 phan do etia (1.2.11) (chia cho i@)
V n phần truyền cho hệ trong cả thời gian tá 1 lực ( từ -z > +0 ):
Năng lượng của hệ thực hiện dao động cường bức dĩ nhiên khơng bảo
tồn, hệ lấy thêm năng lượng do nguồn ngoại lực cung cấp Giả thiết năng lượng ban đầu bằng 0 E= ae +x? )= 7 hy te ¬ +# [Fư)e "*& Với lac = kỹ n (1.2.12) | ~#
=E=——| |F()e "di aa # (r)e
Năng lượng này được xác định bằng mođuyn thanh phan Fourier cla
lực F(t) với tần số bằng tần số riêng của hệ | = Nếu ngoại lực tác dụng trong thời gian ngắn f <— > e TM @] @ + - Vay E= sị [rea (1.2.13) 2m\_»
Vậy lực đoản thời truyền cho hệ xung lượng [Fat, mà khơng kịp gây
nên một sự chuyển đời đáng kể trong thời gian đĩ
3 DAO ĐỘNG CỦA HỆ CĨ NHIÊU BẬC TỰ DO
I Ham Lagrange:
1 Thế năng:
U= U(q,) q, :cdc toa dO suy rong
Tai vi tri can bang bén (q, = địa): UÍq,; )=0
Trang 11Luận văn tốt nghiệp _ GVHD : Lé Van Phitdc e7U ƠN, Với ky -( 2, Động năng: | s13 r= 2 244 (q)4,4, ị là các hệ số khơng đổi thỏa &„ = ky, 0 | 3 : =>T= 5 2m, 3,‡,( 3.2) Với mụ, = mụ, 1 3 Ham Lagrange: i= 3> (m,š, = Ki XX, \1.3.3) ia LL Phu ì Lấy vi phân tồn phần hàm Lagrange: | — — dL = 5h (ma Xd, + my Xd, — ky xjdey — kyx,de,) í, Chỉ số i, k cĩ tính đối xứng nên: dL = L(y kc, ki,x,dx; ) ‘, 3 Fwd, a ƠN, 1 "Ox, Phương trình Lagrange: ta dt\ ex, ) ax i = dma = 2 kin®s = 0(1.3.4)
Trang 12Luận văn tốt nghiệp GVHD : Là Văn Phước Sau khi tính @„„, thay vào (I.3.6) ta tìm được các hệ số tương ứng A,
Nếu tất cả các nghiệm của („ đều khác nhau, ta gọi Ä,„ là các định
thức con của (1.3.7) trong đĩ e2 được thay bằng @„ tương ứng Khi đĩ:
A, = AL„C,„„ với C,„: hằng số phức tùy ý
= xX, = A,.C 67 (1 3.8)
Nghiệm tổng quát, chuyển sang phần thực:
X,= Re| A C.e"™ = > A,,9, (1.3.9)
a=!
œ*Ì
Với Ø„ = RelC„e' “ K1.3.10)
Sự biến thiên của mỗi tọa độ trong số những tọa độ của hệ theo thời
gian là sự chập của s dao động tuần hồn đơn giản đ,,Ø›, Ø, pha và biên độ tùy ý, tần số hồn tồn xác định
IH Tìm a độ s thực hiện một
dao đơn giản
(1.3.9) là hệ phương trình chứa s lượng chưa biết Ø_
Giải (1.3.9) => 8, = f(x, ) với ø =L2, s
6.„ xem là những tọa độ suy rộng mới: tọa độ chính quy
Những dao động tuần hồn đơn giản mà chúng thực hiện gọi là dao
động chính quy của hệ
@„ thỏa phương trình:
^
9„+@,ˆØ, =0(1.3.11)
(1.3.11) tách thành s phương trình độc lập với nhau
Những dao động chính quy của hệ là hồn tồn độc lập với nhau Ham Lagrange; m s he EA, ~ 78,7 \1.3.12) a Ø„ được chọn sao cho những hệ số ở những tốc độ bình phương trong hàm số Lagrange là bằng đơn vì Khi đĩ, những tọa độ chính quy (ký hiệu là C_ ): Ĩ„ =|m„8, =L= 526,” - 70,7 \1.3.13)
Trang 13Luận văn tốt nghiệp _.—.——~——~——- GVHD ; Lé Van Phước
Hàm Lagrangc:
L=Ly +> F,(t)x, (1.3.14)
A
Lạ: hàm số Lagrange cia những dao động tự do
Thay những tọa độ x, bằng những tọa độ chính quy, ta được: L=„ >lĨ,° ~ø,6,°}-S /,()0,(1315) = Sia vai f, (= E Fal) 3.16 Mỗi một phương trình chuyển động: Ơ, + 0, O, = f,,(t 1.3.17)
chi con chifa mot lugng chufa biét Q(t) ma théi
IV Đao động ba chiều của chất điểm nằm trong ngoại trường khơng đổi: 1 Thế năng: Chọn gốc tọa độ Descartes tại điểm cực tiểu của thế năng U(x,y,Z): ] " "3 ) U= 2 ke +kay?+ kz") 2 Động năng: r= 2 + ÿ? + 3) m: khối lượng hạt Động năng khơng phụ thuộc vào cách lựa chọn phương của các trục tọa độ 3 Hàm Lagrange:
L= 5 +77 +z!)=; (ke + kyy? + kyz? XI.3.18)
Trang 14Luận văn tốt nghiệp GVHD : Lê Văn Phước
4 DAO DONG CUA NHUNG PHAN TU
* Ta xét hệ những nguyên tử gồm n nguyên tử
- Ngồi dao động của những nguyên tử quanh vị trí cân bằng phân tử
cịn cĩ chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay
- Tương ứng với chuyển động tinh tiến cĩ 3 bậc tự do, tương ứng với chuyển động quay cũng cĩ 3 bậc tự do
Vậy trong số 3n bậc tự do của n nguyên tử trong phân tử, tương ứng với
dao động cĩ (3n-6) bậc tự do
Nếu tất cả những nguyên tử nằm dọc theo cùng một đường thẳng thì
bậc tự do của chuyển động quay trong trường hợp này bằng 2, bậc tự do của
dao động là (3n-5)
* Trong khi giải bài tốn cơ học về dao động của những phân tử, ta khử những bậc tự do tịnh tiến và quay
I Khử chuyển động tỉnh tiến:
Để khử chuyển động tính tiến, ta xem xung lượng tồn phẩn của phân
tử bằng 0, cĩ nghĩa tâm quán tính của phân tử khơng di động Đặt , =7ạ +1, Với 7 ạ: bán kính vectơ của vị trí cân bằng khơng đổi của nguyên tử thứ a đ.„: vectơ lệch đối với vị trí đĩ Ta cé: ) mF, = const = ¥ mF =3 m„ứ„ = 0(1.4.]) H Khử chuyển đơng quay:
Để khử chuyển động quay, ta cho momen tồn phần bằng Ơ
Momen tồn phan:
M = Ym, |F,.7,| PP Ym lao si, |= £¥ malo]
Vì momen khơng phải là đạo hàm tồn phần theo thời gian của một
hàm số nào theo tọa độ, nên điều kiện triệt tiêu của momen nĩi chung
khơng thể biểu diễn dưới dạng hàm số đĩ bằng 0 Song trường hợp dao động bé là một ngoại lệ Do đĩ, trong mức độ gần đúng, điều kiên để
Trang 15Luận văn tốt nghiệp GVHD : Lê Văn Phước
®#+Những dao động chính quy dịch nguyên tử ra khỏi mặt phẳng
Cĩ tất cả 2n bậc tự do, trong đĩ cĩ 2 bậc tính tiến và | bac quay Số
đạo động chính quy khơng dịch nguyên tử ra khỏi mặt phẳng là (2n ~3) Tương ứng với những dao động dịch nguyên tử ra khỏi mặt phẳng là:
(3n - 6) - (2n - 3) = (n~ 3) bậc tự do
5 DAO DONG TAT DẦN IL Định nghĩa:
Ta biết: Dao động tự do của hệ bảo tồn là dao động mà nãng lượng của hệ khơng đổi
Trong thực tế, nếu vật thể chuyển động trong mơi trường thì mơi trường này cĩ sức cản, làm cho chuyển động chậm lại Năng lượng mất đi chuyển thành nhiệt năng
Trong điều kiện đĩ, quá trình chuyển động khơng cịn là một quá trình
cơ học thuần túy Quá trình đĩ phải kể đến chuyển động của chính mơi trường và trạng thái nhiệt bên trong cả mơi trường và vật thể
Đặc biệt cũng khơng thể khẳng định trong trường hợp tổng quát rằng gia tốc của vật thể chuyển động tại một thời điểm đã cho là hàm số chỉ theo tọa độ và vận tốc, tức là khơng thể cĩ phương trình chuyển động theo ý
nghĩa như ở cơ học
Như vậy,bài tốn về chuyển động của vật thể trong mơi trường khơng
cịn là một bài tốn cơ học
Tuy vậy, trong một số trường hợp xác định, chuyển động trong mơi trường cĩ thể miêu tả gần đúng bằng những phương trình chuyển động cơ học bằng cách đưa vào những số hạng phụ thuộc Đĩ là những dao động với
tần số nhỏ so với tần số đặc trưng cho quá trình phân tán bên trong của mơi
trường - gọi là đao động tắt dần
Điều kiện này được thực hiện thì cĩ thể xem như vật thể chịu tác dụng của "lực ma sát” với một mơi trường đồng chất cho trước, chỉ phụ thuộc vận
tốc của nĩ,
H Phương trình chuyển đơng:
Trang 16Luận văn tốt nghiệp Phương trình chuyển động: mỸ + kx = —ax(1.5.2) 5 2 > ¥ + 2A% + wx = 0(1.5.3) _k » a Véi —=@) ,—=2A m m (0ạ : tấn số của dao động tự do khơng cĩ ma sát ¿.: lũy thừa tắt dần
Darx=e" > x=re" > ¥=r'e"
Thay vao (1.5.3), nit gon: ¬" rˆ+2Är+øạˆ =0 nạ =-Â+-|Á2 -an? Nghiệm tổng quát của (1.5.3): x=ce™ +c,e7' (1.5.4)
Nếu Ä < @ạ, ta cĩ 2 giá trị phức liên hợp của r Nghiệm tổng quát của phương trình chuyển động: x = Re|Aexp|- Ät + ix) Oy -Ä°r A: hằng số phức tùy ý Cĩ thể viết cách khác: x =ae “ cos(wt + @\1.5.6) V6i @ = @7 — 7? (1.5.7) a,œ là những hằng số thực
Chuyển động biểu thị bởi cơng thức này gọi là dao động tắt dân,cĩ thể
xem như dao động điều hịa với biên độ là một hàm số mũ giảm Tẩn số œ
của dao động nhỏ hơn tấn số @ạ của dao động tự do khơng ma sắt 1 Khi A << @) => @ = @ạ là vơ cùng bé bậc hai
27 ễ `
Trang 17Luận văn tốt nghiệp —— GVHD: Lê Văn Phước
Trong đĩ, #¡ là giá trị ban dau của năng lượng
2 Néu A > @) => r,; thực và âm
Dạng tổng quát của nghiệm:
da-2 ~a02 }
x=ce ee! hi 5.9)
Vậy ma sát khá lớn, chuyển động sinh ra là một hàm số x giảm đơn
điệu, tức là tiệm cận tới vị trí cân bằng (khi t->z}) khơng dao động Loại
chuyển động này gọi là tit dan khéng chu kỳ, 3 Nếu 2 = Wy
Phuong trinh dic tinh cé nghiém kép: r = —A
=> x=(c, +¢,t)e“ (1.5.10)
Đây là trường hợp đặc biệt của dao động khơng chu kỳ Nĩ cũng
khơng cĩ tính chất dao động, dù khơng nhất thiết là đơn điệu “ * + * Lực ma sát tổng quát, tương ứng với tọa độ x,, là hàm số bậc nhất của vận ` Sins = ~2,a„3,(: 5.11) Bang tung pháp thống kê vật lý, chứng minh được: Œ„ = đ,(I.5.12) (1.5.11) cĩ thể viết: oF ims =~ = (1.5.13 Sims = ~~ (1.5.13) / + Với F = 3>#u3,š,(15.14) ik F gọi là hàm số phân tán Phương trình Lagrange: da dt 0x, ƠN, at OF A 545) Ox i
Hàm số phan tan F cĩ ý nghĩa vật lý quan trọng là xác định cường độ
Trang 18Luận văn tốt nghiệp GVHD : Lê Văn Phước:
Vậy = = —2F (1.5.16) dt
= Tốc độ biến thiên năng lượng của hệ bằng hai lần hàm số phân tán Vì quá trình phân tán dẫn đến sự giảm năng lượng nên F>0
Phương trình của những dao động nhỏ cĩ ma sắt:
3 mu, +3 ky x, =-Y ay, (1.5.17) k k k Đặt x, = 4,e” Đạo hàm, sau đĩ thay vào (1.5.1 7), rút gọn ta được: (mr +ayrt+ky lụ = 0(1.5.18) A Phương trình đặc tính: =0(1.5.19)
Đây là phương trình bậc 2s đối với r Vì mọi hệ số của nĩ đều thực, nên nghiệm hoặc là thực, hoặc là những cặp số phức liên hợp Trong đĩ,
nghiệm thực huộc phải âm, nghiệm phức phải cĩ phần thực âm để cho sự cĩ
mặt của lực phân tán phải đưa đến sự giảm năng lượng : k 6 CÁC DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC KHI CĨ MA SÁT 1 Phương trình chuyển động:
Xét các lực cưỡng bức cĩ tính chất tuần hồn
Phương trình dao động cưỡng bức khi cĩ ma sát (thêm ngoại lực tuần
Trang 19Luận văn tốt nghiệp GVHD : Lê Văn Phước B = be” = be” =——_ f —\(1.6.4) mle, —y"+2i ya) => h = /Ƒ : (1 6.5) mle? — + 44 y ig6 = 2F — (1.66) yo -@
Cuối cùng, tách phẩn thực khỏi biểu thức Be" = bef*2), chúng ta
tim được nghiệm riêng
=>Nghiệm tổng quát:
x =ae “ cos(at +a)+bcos(yt + ổXI.6.7)
Số hạng thứ nhất giảm với thời gian theo định luật số mũ Sau một thời gian đủ lớn, chỉ cịn số hạng thứ hai: x =bcos(# + đXI.6.8) Khi hiên độ của lực f đã cho, biên độ của đao động cĩ cực đại với tần số: y= Oo -3
Khi 2 << @;, Y chỉ khác @ạ một lượng nhỏ bậc hai +, Xét miễn gần sự cộng hưởng: 7 = (0, + £, £: lượng bé Cĩ thể viết một cách gần đúng: y ~ Wy =(y + @Xy —a@)= 2@g£ 2iÂy = ide, f B=—-——————-(l.6.9 7 2mG -I4Ì \ “ =b=——Ý——(I610) 2mœa^le°+4? tgd = 4A 1.6.1 l) E
Chúng ta chú ý tính chất đặc trưng cho độ biến thiên hiệu số pha ồ
giữa dao động và lực cưỡng bức với tấn số biến đổi như trên Hiệu số này
luơn luơn âm, nghĩa là dao động “cham” so với ngoại lực II Đường cong cộng hưởng:
Ta thiết lập phương trình chuyển động khi hệ sinh ra các dao động
cưỡng bức (1.6.8), năng lượng của nĩ khơng biến đổi Đồng thời hệ hấp thụ
Trang 20
Luận văn tốt nghiệp GVHD) : Lê Văn Phước một cách liên tục (từ một nguồn của ngoai lực), năng lượng mà nĩ đã bị tiêu
tán khi cĩ mà sát
Gọi Hy) là phan nang lượng trung bình hấp thụ trong một đơn vị thời gian như là một hàm số các tần số của ngoại lực Theo (1.5.16), ta c6: I(y)=2F (1.6.12) F là giá trị trung bình (trong một chu kỳ đao động) của hàm số phân tán Đối với chuyển động một chiều thì biểu thức (1.5 4) của hàm số phân tán là: pa œ? 2 Dao ham (1.6.8), thay vao: F = Amb’ y* sin? (4 + 6\1.6.13) se „3Ï F =Ämbˆyˆ— 2 Thay vao (1.6.12): I(y) = Amb*y? (1.6.14) TY (1.6.10), (1.6.14), ta c6 mién gan vdi sy c6ng hưởng: 1e=ˆ—„Ä 4m ge +2 == #3
Dạng phụ thuộc của sự hấp thụ này vào tần số gọi là phân tán Một
nửa chiều rộng của đường cong cộng hưởng là le = Amx? ˆ l(£) 1/2 -À +A ”
Khi đĩ, lượng Me) giảm một nửa so với giá trị cực đại của nĩ khi e=0
Tif (1.6.15), ta thay chiéu réng này trùng với chỉ số tắt dan A Chiéu cao của điểm cực dai: SỐ
[ _ pact "VIÊN
— ~_~_t—-
Trang 21Luận văn tốt nghiệp GVHD : Lê Văn Phước ^ FF no) 4mA tỉ lệ nghịch với À
Vậy khi giảm tỉ số tắt dẫn, đường cong cơng hưởng trở nên hẹp và cao
hơn, nghĩa là cực đại của nĩ nhọn hơn nhưng diện tích dưới đường cong
cộng hưởng khơng thay đổi
Điện tích dưới đường cong cộng hưởng:
[1(z)dy = [l(e)de
0 -x
Vì I(£) gidm nhanh khi tang | nên miền những «| lớn khơng cĩ Vậy
khi lấy tích phân cĩ thể viết:
œ I(é)de = ofa" de >= 32 Ä artg — = —-— = —-(1.6.16 e fra of
J “) 4m er 4m jim eR 2m 2 aia
7 CONG HUGNG THAM SỐ
L Hiện tư số:
Cĩ các hệ thống dao động khơng kín trong đĩ sự tương tác bên ngồi dẫn đến sự biến đổi các tham số của nĩ
Các tham số của hệ một chiểu là các hệ số m và k trong hàm
Lagrange Nếu nĩ phụ thuộc thời gian thì phương trình chuyển động: d ý = oy Wnt) + ke = 0(1.7.1) — dt Đưa vào biến số độc lập mới € ma dg = nt) thì phương trình này mt cĩ dạng: d*x 4 - + mắx = ()
Thực tế khơng thể kể mọi sự sai lệch hữu hạn một cách đẩy đủ,
Trang 22Luận văn tốt nghiệp _—— GVHD: Lê Văn Phước ((t + T= e(t}
Vậy (1.7.2) bất biến đối với phép biến đổi từ t—> t+T
Nếu x(t) là nghiệm của phương trình thì cả hàm số x(t+T) cũng là
nghiệm Nĩi cách khác, nếu x, và xạ là hai tích phân độc lập của (1.7.2)
thì khi thay t bởi t+T thì chúng biến đổi một cách tuyển tính từ tích phân này qua tích phân kia
Chon x, va X, sao cho: x(t +7) = mx;(t) x>(t+T)= a;x;(t) Dang tổng quát của x, và x›: xi(f)= „ 7%(r) xạ(1)= „ạ T9t;(r) Trong đĩ, Ÿ†,(£),†„(£) là những hàm số tuần hồn thật của thời gian với chu kỳ T «Các hằng số /¿, /¿; liên hệ với nhau bởi một hệ thức xác định Nhân các phương trình: x, +a" (t)x, =0 2 lần lượt với xị, x; và trừ cho nhau vế với vế,ta cĩ: (1.7.3) # š đụ Ag gh = 4 ~x,X,)=0 > XxX, — x)X, = const(1.7.4) Tif (1.7.3) va (1.7.4), ta thay: 44, =1 eu Kiện lam xuat hiện cộng hướng biệt:
Khi hàm số œ(t) nhỏ so với một giá trị khơng đổi øạ nào đĩ, và là hàm số tuần hồn đơn giản:
(°(t)}= wy (I + heos 7 \1.7.5)
Chon géc thii gian sao cho 0 <h << 1
Trang 23Luận văn tốt nghiệp - GVHD : Lê Văn Phước
X =đ(f)c0S((0ạ + 2) + A(t) sin(@y + =( 7.8)
a(t) va b(t) 1a cdc hàm số biến đổi chậm theo thời gian (so với các thừa số sin và cos) Dang nhu thé của nghiệm khơng chính xác Trong thực
m ' £ %S» 226
tẻ, hàm số X(t) chứa cả các số hạng với tấn số khác (2; + 5) một số
nguyên lan cua (2a, + £} Các số hạng này, bậc nhỏ cao hơn h và trong
phép gắn đúng bậc nhất cĩ thể bỏ qua chúng,
Thay (1.7.Đ) vào (1.7.7) và giữ lại số hạng bậc nhất theo e
Giả thiết ad x aa,b x cb Ta co: C04 04 + 5 Jeos(2o, +£e}ỳ= 0| 30, + = + 0080 + 1) 2 2 2 2 2 Tương tự như thế và ứng với các điều đã nĩi ở trên, bỏ số hang với tấn ; £ số 0, + ‘|, ta được: -(20 +be+ T5)» sn{ ay + sj + +(26- ae +A ab coo + 2} O(1.7.9) (1.7.9) théa khi cdc hé s6 6 mdi thita s6 sin va cos = 0: a+s(e+A@e Ìb=0 2 2 s{2- “et a-5=0 2 2
Theo quy tắc tổng quát, tim nghiệm dưới dạng:
Trang 24Luận van tốt nghiệp GVHD: Lé Văn Phước a4 a] ~£? |(I.7.10) 4|\ 2 Điều kiện xuất hiện cộng hưởng tham số là s thực: s° >0 ha ho =>——<£<— (I.7.1I) 2 2
Xung quanh tần số 2ø¿ chiều rộng của khoảng này tỉ lệ với h và giá trị chỉ số tăng s của các dao động cũng tỉ lệ với h,
*Nếu ma sát yếu, miền khơng bến sẽ hẹp lại, biên giới của miền khơng
bến xác định bởi phương trình s - 2 =0
= (*) -4Aˆ <z~ (#8) — 4A? (1.7.12)
Khi đĩ, cộng hưởng là khả dĩ khơng phải biên độ h trở nên nhỏ tùy ý
Trang 25Luận văn tốt nghiệp - 2 GVHD : Lê Văn Phước
PHAN II DAO ĐỘNG PHI TUYẾN - CỘNG HƯỚNG
TRONG CÁC DAO ĐỘNG PHI TUYÊN
1 CÁC DAO ĐỘNG PHI TUYẾN
L Đao động phi tuyến:
Các lý thuyết về dao động nhỏ dựa trên việc khai triển thế năng và động năng của hệ theo tọa độ, vận tốc và chỉ giữ lại số hạng bậc hai Khi
đĩ, các dao động là tuyến tính
Nếu kể đến các phép gần đúng tiếp theo, xuất hiện các đao động hất
điều hịa hay khơng tuyến tính (dao động phi tuyến) Các dao động này yếu, cĩ tính chất định tính
Phân tích hàm s6 Lagrange - số hạng bậc
L= s3 (m3 - k„x,X, )+ 5s #,#,~— 5D! 14g) X) XX) (2.1.1)
Trong đĩ ?,,„/„„ là những hệ số khơng đổi mới
Nếu như từ các tọa độ tùy ý đưa đến các tọa độ chính quy (phép gần đúng tuyến tính) a thi ham Lagrange cé dang:
L =2 (6, 0,")+=> Aap, Qn0p0, -= -> Happ, Qu QO, (2.1.2)
Sa py Safy
Phuong trinh Lagrange cĩ dạng: a 2 Sư
OQ, +0, 0, = f,(Q,0,0)(2.1.3)
Véi f,, la céc hàm số đẳng cấp bậc hai của O,0,0
Ấp dụng phương pháp gần đúng liên tiếp, tìm nghiệm của những
Trang 26Luận văn tốt nghiệp GVHD ; Lé Van Phước
Trong các phép gần đúng sau này, trong vế phải của (2.1.3) chỉ giữ lại
các số hạng cĩ lượng nhỏ bậc một, đối với các đại lượng 9.7), ta được
phương trình:
0") +0,70,") = HỆ (0",0°,0" (2.1.6)
Il Da t
Đặt (2.1.5) vào vế phải của (2.1.6) Kết quả ta tm được các phương
trình vi phân khơng thuần nhất tuyến tính, các vế phải của nĩ cĩ thể biến đổi thành tổng số của những hàm số tuần hồn đơn giản Ví dụ:
0,'"0,"" = a,a, cos(@,t +a, )cos(@pt +a, )
(i) (1) _ |
©0,0,Ì= 2u, {cos| (s, +@, )\t+a, +a, |+cos| (a, ~@,)t+a, Oy
Như vậy, trong vế phải của (2.1.6) cĩ các số hạng ứng với các tần số bằng tổng số và hiệu số các tấn số riêng của hệ
Nghiệm của các phương trình cần tìm dưới dạng chứa các thừa số tuần hồn và chúng ta đi đến kết luận là trong phép gần đúng cấp hai ở các dao động chính quy của hệ với tần số £2,„ cộng thêm các dao động phụ với các tần số:
@„ +@;(2.1.7)
Trong đĩ, cĩ các tấn số 2, vàtẩn số Ú, ứng với các dịch chuyển khơng đổi Các tần số này gọi là tần số tổ hợp
Các biên độ của dao động tổ hợp lệ với các tích đ„đ„ (hay đ„`) của
các dao động chính quy tương ứng
Trong các phép gần đúng tiếp theo, khi kể đến các số hạng bậc cao
hơn trong khai triển hàm số Lagrange, xuất hiện các dao động tổ hợp với
các tấn số là tổng số và hiệu số của số lớn cdc tan sé @,
Ngồi ra, trong phép gần đúng cấp ba, trong số những tần số tổ hợp xuất hiện các tần số trùng với tần số xuất phát („ : @®„ + @„ — @„
Thực tế, trong các phép gần đúng bậc cao cĩ xảy ra sự biến đổi các tần
số cơ bản @„„ so với các giá trị khơng nhiễu loạn o,!"),
Ta cĩ phép khai triển:
cos(ø„! +A2Ø), Ì: =cos oft —thq@,, sin ot
khơng cĩ tính quy luật khi t đủ lớn
Do đĩ, khi chuyển đến các phép gần đúng tiếp theo, phải thay đổi thế nào để trong nghiệm cĩ các thừa số tuần hồn với các giá trị chính xác đầu tiên của tẩn số mà khơng cĩ giá trị gần đúng của nĩ Sự thay đổi của các tần
Trang 27
Luận văn tốt nghiệp GVHD : Lê Văn Phước `
số xác định chính là do việc giải các phương trình đúng là từ điều kiện khơng cĩ số hạng cộng hưởng LH Hàm số Laprange của các dao tuyến cĩ một bậc tự do: _ mỸ) _ men sm *(2.1.8) 2 2 3 Phương trình chuyển động: ¥ +a) x =-ax’ — Bx' (2.1.9) Nghiệm là một chuỗi gắn đúng liên tiếp: x=x ¿ x2) + x0) vei x") =acosø1/(2.1.10) Giá trị chính xác của œ tìm dưới dạng chuỗi: o=0, +0") +0") +
Chon gốc thời gian sao cho @, = 0
Khi đĩ, nếu thay (2.1.10) vào (2.1.9) thì vế trái của nĩ khơng bằng Ø một cách hồn tồn Vì vậy, trước tiên viết dưới dạng tương đương: ¬ Oo x + angle =-@x" — Bx’ -(1 5 ]z@- l) @ @
Dat x= x) +x) w = Wy +e" và bỏ số hạng cĩ bậc nhỏ lớn hơn
hai đối với xÍf”, ta cĩ phương trình:
9) 47x") =-aa’ cos’ wt + 2a, 2 2 aa aa x) 4 đụ `X P) = =" cos 2et + 20,00" lacoset tạ COS 6ƒ Cho o") =() 2 2 =m xcos 2ø/(2.Ì.l 2) Ta cĩ: xử == — > + 20, 60,
par x=x 4x9 4x9 9 =e, +0"), ta duve:
Trang 28Luận văn tốt nghệp — — GVHD : Lê Văn Phước
Cho các hệ số ở thừa số cộng hưởng cosot = Ú, ta cĩ sự hiệu chỉnh cho tần số cơ bản: œ\°Ì = (2 af a Jas 8M, 12a, Dao đơng tổ hợp bậc ba: 3 k¿ a a” x) = ee cos 3et(2.1,15) low, \ 3a, 2 2 CONG HUGNG TRONG CAC DAO DONG PHI TUYEN Phương trình đao động: #+ 2† + (0ˆ x = cosy — cx? — ` (2.2.1) m Vi gia thiét A nhd, XE Y = @ạụ +£ E: lượng bé Ta cĩ lân cận sự cộng hưởng thường
Để giải thích đặc tính của chuyển động xuất hiện, cĩ thể bỏ qua việc
nghiên cứu trực tiếp phương trình (2.2.1) nếu xét như sau:
Theo (1.6.10), ta c6 sự phụ thuộc của biên độ b của dao động cường
bức vào biên độ f và tần số y của ngoại lực ở gần cộng hưởng:
;"
b°Íc? +#)- 7, ———(022) 4m Èạ“
Tính khơng bậc nhất của dao động làm cho tan số riêng của chúng phụ thuộc vào biên độ, viết dưới dạng:
My + yb? (2.2.3)
x đặc trưng cho sự hiệu chỉnh tần số cơ bản ở (2 L 14)
Trang 29Luận văn tốt nghiệp a GVHD : Lê Văn Phước
Khai triển (2.2 4), ta được: b° ‘|e? -2eyb? + 7? bt +27 |= 2s + = On” t2 => x? (b?) ~2ey(b?} + (c? + 2p? - _f > = 0(2.2.5) 4mˆ ao,”
Đây là phương trình bậc ba đối vai b*, cdc nghiém thye cia b xde
định biên độ của các dao động cưỡng bức (2.2.5) cĩ 3 nghiệm
*Khảo sát sự phụ thuộc của biên độ dao động cưỡng bức vào £ khi biết trước biên độ của lực f
+f nhỏ —> b nhỏ, trong (2.2.5) cĩ thể bỏ qua b bậc cao hơn hai Khi đĩ, (3.2 5) trở về dạng của (2.2.2): b°(c? + 4? = 5 4m" Oo ƒ | 2m) Ver? +7? Su phụ thuộc của b(e) biểu diễn bởi đường cong đối xứng cĩ cực đại ở «>b= c=0 boy = E— 0 ba f->0 > Ẹ
+ Khi tăng f, đường cong biến dạng giữ nguyên tính chất đầu tiên của mình - cĩ một cực đại Tiếp tục dịch chuyển (khi y > 0) vé phia cdc € > 0, Khi đĩ, trong 3 nghiệm số của (2.2.5) chỉ cĩ một nghiệm thực
Trang 30
Luận văn tốt nghiệp GVHD : Lê Văn Phước
+Bắt đầu với một giá trị xác định ƒ = /¿ đặc tính của đường cong sẽ biến đổi Với mỗi một giá trị ƒ >= ƒ¿, cĩ một miễn xác định của tắn số mà đ đĩ phương trình (2.2.5) cĩ 3 nghiệm thực, nĩ ứng với đoạn BCDE của đường cong ° 8 B f>f k & | | A ° — a E db Các biên giới của miễn này xác định bởi điều kiện: => =#% ở những é điểm D và C 3 —eb+ Ta tính: — =—————> = + na
đ€ £ˆ +ÂÄ “ =4ycbˆ +3y“b
Trang 31Luận văn tốt nghiệp GVHD : Lê Văn Phước
Cả hai giá trị tướng ứng đều đương db > *Bién d6 dat cue dai khi ie =©ec=”'“ LA Thay vào (2,2,4), ta được: Đmayv = ‘dl (2.2.7) 2ma_A
Giá trị này trùng với cực đại của (2.2.2)
Cĩ thể chứng mình rằng đoạn CD ứng với các dao đơng khơng bến,
Các dao động thực của hệ chỉ tương ứng với các nhánh ABC va DEF
Khi tăng dần dẫn tần số của ngoại lực, biên độ của các dao động cưỡng
bức sẽ tăng lên theo đường cong ABC Ở điểm C, xảy ra sự gián đoạn của
biên độ, nĩ giảm đến giá trị tương ứng điểm E và sau đĩ (khi tiếp tục tăng tần số), sẽ biến đổi dọc theo đường cong EE,
Trang 32Luận văn tốt nghiệp GVHD : Lê Văn Phước
PHAN III CÁC DẠNG CỘNG HƯỞNG PHI TUYẾN
ĐẶC BIỆT
Bên cạnh các cơng hưởng ¥ @ạ, do tính khơng bậc nhất của các dao động cưỡng bức làm xuất hiện các cộng hưởng khác @,
L Cơng hưởng z = = +£
Phương trình dao động:
¥+ 2ÂY + @ạ” ~ 2 cosz — ox? — @®& (3.1)
Tìm nghiệm dưới dạng chuỗi: x=xU + xe) Phép gần đúng cấp một: xÍ thỏa các phương trình khơng nhiễu loạn: KẾ +22*f + 72x = đc yt(3.2) m Đã giải ở phần 1.6, ta dude: x") = bcos(w + ở) hay viết cách khác: () _ in }= f x`' =Re|Be” {= ` COS 7 mio," = , Mo Với 7 = > +é => x! = Fc của = 3m 2 Trong phép gần đúng cấp hai: 2 >)3 2
##) +22) + ay x”) + acl 4 fal =—axŸ (3.4)
Trang 33Luận văn tốt nghiệp GVHD : Lê Văn Phước 2 Do đĩ, trong (2.2.4) thay Í bởi — sự 7 wae bởi 2e, ta được: Ima, b*| (2e- xb*) +2? | = 2 2 - 827” } 4 4m Wy Om My š 2 4 > b*| (2e- yb} + 2 | - ae) My H Cơng hưởng y = 2, + & Phép gần đúng cấp một: x) = _f cos(2@, + € (3.6) MO»
Cộng hưởng tham số từ số hạng bậc ba sẽ xuất hiện tỉ lê với tích số
x2) Nếu như từ tất cả các số hạng khơng bậc nhất chỉ giữ lại xI)y#)
thì đối với x?) , chúng ta được phương trình:
xl?) 4 aayl?) + @_7x"? +ay? + pe = —orr!") (2)
šÈ) +2AtU) + øg2xÉ) + axÊ + a/Ê) =
_2đ = cos(2@p + eỳ.x2)(3.7)
310g
Ở vế phải, chỉ xét các số hạng đưa đến sự cộng hưởng đang xét
Đặt x?) = seo [su Shea)
Trong đĩ, b là biên độ phải tìm của các dao động cưỡng bức, ỗ là độ
Trang 34Luận văn tốt nghiệp _— GVHD): Là Văn Phước 2 Â 1: ¢ 4m “e6 96, 360” (0y Phương trình (3.8) cĩ ba nghiệm: m (Sa) 02) x82 «2 ° ogg) b = 0(3.9) 1! - int Ee r| -# |@.10) Z\2 \\ 6ma, ——] ;2=—|Ê~.|—5—| -Z# lain x\2 6 Nếu + > f: Sự phụ thuộc của b vào e được biểu diễn: b E - E m———— * A B ẽ D Âô Egc =t of | -~ 47? 3MOy
Bên trái điểm B chỉ cĩ thể cĩ b=0 nghĩa là khơng cĩ cộng hưởng và
dao động với tần số = Wp khơng xảy ra
Trong khoảng giữa B, €, ta cĩ hai nghiệm:b=0 (đoạn BC) và (3.10)
(nhánh BE)
Bên phải điểm C cĩ tất cả ba nghiệm: (3.9), (3.10), (3.11) Tuy nhiên,
khơng phải các trạng thái này ứng với dao động bên vững Giá trị b=U
khơng bền trên phần BC, và người ta chứng minh rằng (3.1 1) ứng với trạng
Trang 35
Luận văn tốt nghiệp _ GVHD : Lễ Văn Phước
thái khơng bến vững (nằm giữa hai nghiệm kia) Đường chấm chấm biểu diễn các giá trị khơng bền của b
IH Cơng hưởng 7 = 392, + £ Phép gần đúng cấp một: ") f + COs(3@_ + € (3.12) x" = SIN Wy Phép gắn đúng cấp hai: 5 a 5)
#2) 4 Dae) 2x?) ael2F 4 fel?” = 3 acl x2¥ (3.13)
Trang 36Luận tấn tốt nghiệp GVHD : Lé Van Phước ` Tu + 7b? +2? | = Ab(3.16) 9 3 lb=0 — : 3 : " „3p! 2540 ~ Ab? +—+72 =0 a 3 9 lb=0( 3.17) - $4539 ¬ : ¬ xz (b `} -C + A)b” + = +A =(0(3.18) Giai (3,18): 4e7A Aa + AP aged Phuong trinh (3.16) c6 ba nghiém: b=0 pas y Ay 4, A E0 yy 22 (37 4x" OX a 4 A £4 2? ĐT Tan T l 34Y 2z ay 4ý ? b 4 B C A >
Các trạng thái hển ứng với b=0 và nhánh AB
Điểm A ứng với nghiệm kép của (3.8):
Trang 37
Luận văn tốt nghiệp GVHD : Lê Văn Phước _—_—_——_———————— —1 x 2 _ 12472? -3A? | A 4772? +A? l2y7A 2zˆ 4yˆA 232x222 _ 2 2 42 2 = 42ers 34? 4y?A?+A ] =Ù, > 4zA 47 |
Trang thái dao động chỉ tổn tại khi £ > £„, biên độ b > b, Vi trang
thái b=0 luơn luơn bền, nên đối với sự kích thích, các dao động va chạm
Trang 38Luận văn tất nghiệp GVHI) : Lê Văn Phước
PHAN IV DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC CUA CO HE
CO LO XO PHITUYEN
Một cơ hệ dao động thường do ba yếu tố hợp thành là khối lượng (m) sức cắn mỗi trường (œ) và hệ số cứng của lị xo (K) Tính chất phi tuyến của
cơ hệ cĩ thể do một, hai hoặc ba yếu tố đĩ quyết định Trong các thiết hị cơng trình cơ khí thì yếu tố phi tuyến chủ yếu nằm trong sức cẩn mơi trường và hệ số cứng của lị xo Trong các thiết bị cơng trình điện thì trường hợp
phổ biến là điện cảm phí tuyến,
Trong phần này, ta sẽ khảo sát cơ hệ cĩ lị xo phi tuyến,
-Lị xo phi tuyến là lị xo cĩ hệ số cứng biến đổi, lực hổi phục khơng tỉ lệ với dịch chuyển -Xét một số ví dụ về lị xo cĩ hệ số cứng biến thiên liên tục
+Hệ thống thứ nhất là một lị xo lá ngàm đấu A và chịu lực ở đầu B
Miệng ngàm khơng thẳng mà cĩ dạng một đường cong nhẹ Khi biến dạng,
lị xo áp đầu vào đường cong miệng ngàm làm cho chiều dài tự nhiên của lị
xo ngắn dần và do đĩ, tăng dẫn hệ số cứng
+Hệ thống thứ hai là một lị xo xoắn ốc hình nĩn cụt Các vịng đường kính lớn cĩ hệ số cứng nhỏ hơn các vịng đường kính nhỏ Khi chịu lực, các vịng lớn biến dạng trước, ép vào để cố định làm cho số vịng tự do giảm bớt và hệ số cứng tăng lên
-Hệ số cứng biến đổi theo dịch chuyển nên tấn số riêng của dao động
cũng biến đổi theo dịch chuyển
-Đồ thị biểu diễn độ biến thiên củạlị xo E vào dịch chuyển x là một
đường cong bậc cao chứ khơng phải đường thẳng bắc nhất
Trang 39
Luận tăn tốt nghiệp — _GVAD : Lê Văn Phước E a > * HI Dao đơng cưỡng bức của cơ hệ cĩ lị xo phí tuyến: 1.Trường hợp khơng cĩ lực cản: Phương trình dao động viết dưới dạng: mïỸ + g(x)= ƒ cos (4.1) Vì khơng cĩ lực cản nên giả thiết khơng cĩ lệch pha giữa chuyển động và lực kích động: x = beosyt
Đạo hàm, thay vào (4.1), ta được:
—mbyŸ cosyf = g(x)= ƒ cosyf Khi dịch chuyển x,,,, =, ta cd: - mbyŸ + g(b)= f © g(b)= mby + ƒ(4.2) Dùng (4.2) để tính biên độ dao động Ứng với mỗi cặp giá trị f và y cĩ một giá trị xác định của b *Cách giải và kết quả: Giải (4.2) bằng phương pháp đồ thị
Vì đã biết quan hệ giữa lực lị xo và biến dạng của nĩ nên vế trái của (4.2) được biểu thị bằng đường cong (C)
Với lực kích động cho trước, tức là với một cặp số f và y nhất định thì
vế phải của (4.2) biểu thị bởi đường thẳng (T) cắt trục tung ở f và cĩ hệ số
Trang 40Luận vấn tốt nghiệp ŒGVHD) : Lê Văn Phước E† A> A 4 Ái { T a > 0 b
Với một giá trị f nhất định, ứng với những trị số nhỏ của y (đường
thẳng T cĩ độ dốc nhỏ), chỉ cĩ một giao điểm 4, giữa đường cong (C) và đường thẳng (T) Do đĩ, (4.2) chỉ cĩ một nghiệm b duy nhất
Nhung khi y > y, thi c6 3 giao điểm (4;, 8;,C; ) Lý thuyết và thực nghiệm chứng minh nghiệm ứng với C- là khơng bến vững Do đĩ, (4.2) cĩ
2 nghiệm b
Khi y=y7, , giữa (T) và (C) cĩ giao điểm 4; và tiếp điểm C)
(nghiệm kép) (4.2) cĩ 2 nghiệm b