Phân tích dao động phi tuyến trong hệ chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CƠ HỌC -o0o - DƯƠNG NGỌC HẢO PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG PHI TUYẾN TRONG HỆ CHỊU KÍCH ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ TUẦN HOÀN LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT Hà Nội - 2015 ii VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CƠ HỌC -o0o - DƯƠNG NGỌC HẢO PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG PHI TUYẾN TRONG HỆ CHỊU KÍCH ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ TUẦN HOÀN LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 62 52 01 01 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Đông Anh Hà Nội - 2015 iii LỜI CÁM ƠN Tác giả chân thành cám ơn thầy hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Đông Anh tận tâm hướng dẫn khoa học, động viên giúp đỡ tác giả vật chất lẫn tinh thần để tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin gửi lời cám ơn đến Khoa Đào tạo sau đại học cán Viện Cơ học, bạn bè đồng nghiệp trường đại học Công nghệ thông tin, ĐHQG Tp HCM, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình làm luận án Nhân đây, tác giả gửi lời cám ơn đến NCS Nguyễn Như Hiếu, người lắng nghe chia sẻ nhiều với tác giả chuyên môn, đặc biệt PGS.TS Dương Anh Đức, người tạo điều kiện tốt để tác giả an tâm thực nghiên cứu Sau hết, tác giả chân thành cám ơn bố mẹ, vợ con, gửi lời cám ơn đến người thân kiên nhẫn động viên tác giả thời gian làm luận án Tác giả luận án, Dương Ngọc Hảo iv LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hướng dẫn trực tiếp GS TSKH Nguyễn Đông Anh Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận án, Dương Ngọc Hảo v MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN iii LỜI CAM ĐOAN iv MỤC LỤC v DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ viii DANH MỤC BẢNG x CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN xii MỞ ĐẦU .1 CHƯƠNG 1.TỔNG QUAN 1.1 Giới thiệu 1.2 Các phương pháp nghiên cứu hệ dao động ngẫu nhiên phi tuyến 1.3 Hệ dao động chịu kích động tuần hồn ngẫu nhiên 13 1.4 Mục tiêu luận án 15 CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 16 2.1 Các khái niệm giải tích ngẫu nhiên 16 2.1.1 Sơ lược lý thuyết xác suất 16 2.1.1.1 Không gian xác suất 16 2.1.1.2 Biến ngẫu nhiên 17 2.1.2 Quá trình ngẫu nhiên 21 2.1.2.1 Định nghĩa 21 2.1.2.2 Một số trình ngẫu nhiên thường gặp 22 2.1.3 Tích phân ngẫu nhiên 26 2.1.3.1 Mở đầu 26 vi 2.1.3.2 Tích phân Ito – Tích phân Stratonovich 28 2.1.3.3 Tính chất tích phân Ito 29 2.1.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 31 2.2 Cơ sở lý thuyết nghiên cứu hệ dao động ngẫu nhiên 34 2.2.1 Phương pháp trung bình ngẫu nhiên theo biên độ pha 34 2.2.2 Phương pháp trung bình ngẫu nhiên hệ tọa độ Đề-các 36 2.2.3 Phương pháp hàm bổ trợ lời giải phương trình Fokker-Planck (FP) 39 2.2.3.1 Phương pháp hàm bổ trợ 39 2.2.3.2 Nghiệm phương trình FP với hệ số dịch chuyển tuyến tính 40 2.2.3.3 Tuyến tính hóa tương đương- giải xấp xỉ phương trình FP 46 2.2.4 Phương pháp mô số 50 2.3 Kết luận chương 52 CHƯƠNG PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TRONG HỆ PHI TUYẾN CHỊU KÍCH ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ TUẦN HOÀN 53 3.1 Hệ dao động Van der Pol 55 3.1.1 Tính tốn lý thuyết 56 3.1.2 Kết thảo luận 58 3.1.3 So sánh với phương pháp phi tuyến tương đương 65 3.2 Hệ dao động Duffing 67 3.2.1 Tính toán lý thuyết 67 3.2.2 Kết thảo luận 69 3.3 Dao động Van der Pol – Duffing 74 3.3.1 Tính tốn lý thuyết 74 3.3.2 Kết thảo luận 75 3.4 Hệ dao động Mathieu-Duffing 79 vii 3.4.1 Tính tốn lý thuyết 79 3.4.2 Kết thảo luận 82 3.5 Kết luận chương 87 CHƯƠNG PHÂN TÍCH BAN ĐẦU ĐÁP ỨNG THỨ ĐIỀU HÒA TRONG HỆ DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CHỊU KÍCH ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ TUẦN HỒN 89 4.1 Giới thiệu 89 4.2 Kỹ thuật phân tích 90 4.3 Kết thảo luận 97 4.4 Kết luận chương 100 KẾT LUẬN 102 DANH SÁCH CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ĐÃ ĐƯỢC CƠNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 PHỤ LỤC 112 Phụ lục A 112 Phụ lục B 116 viii DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Hình 1.1 Hệ bậc tự a) Kết cấu nhà tầng b) Mơ hình tương đương Hình 2.1 Một quĩ đạo chuyển động Brown (quá trình Wiener) 23 Hình 2.2 Quĩ đạo phương trình vi phân thường 27 Hình 2.3 Quĩ đạo trình ngẫu nhiên 27 Hình 3.1.1 Đồ thị trung bình theo thời gian trung bình bình phương đáp ứng theo tham số Q 61 Hình 3.1.2 Đồ thị trung bình theo thời gian trung bình bình phương đáp ứng theo tham số Q so sánh với kết mô số 62 Hình 3.1.3 Đồ thị hàm mật độ xác suất đồng thời p ( x, x& ) hệ dao động Van der Pol thời điểm t = 294s 63 Hình 3.1.4 Đồ thị hàm mật độ xác suất dịch chuyển x theo thời gian khác 64 Hình 3.1.5 Đồ thị hàm mật độ xác suất dịch chuyển x thời điểm t = 294 (s) 64 ( ) Hình 3.1.6 Đồ thị đường cong E x hệ Van der Pol theo n lân cận w 65 Hình 3.2.1 Kết tính tốn E éë x ( t ) ùû E éë x ( t ) ùû phương pháp giải tích so với kết mô số 71 Hình 3.2.2 Đồ thị bình phương biên độ đáp ứng trung bình theo tham số Q 71 Hình 3.2.3 Đồ thị bình phương biên độ đáp ứng trung bình theo tham số s 72 ix Hình 3.2.4 Đồ thị trung bình theo thời gian trung bình bình phương đáp ứng E ( x ) theo tham số s 72 Hình 3.2.5 Đồ thị đường cong cộng hưởng hệ Duffing 73 Hình 3.3.1 Đồ thị trung bình theo thời gian E éë x ( t ) ùû theo tham số phi tuyến g 78 Hình 3.3.2 Đồ thị trung bình theo thời gian E éë x ( t ) ùû theo biên độ lực kích động tuần hồn Q 78 Hình 3.4.1 Kết giải tích E éë x ( t ) ùû so sánh với kết số 84 Hình 3.4.2 Kết giải tích E éë x ( t ) ùû so sánh với kết số 84 Hình 3.4.3 Đồ thị hàm mật độ xác suất đồng thời hệ Mathieu-Dufing thời điểm t = 294 s 85 Hình 3.4.4 Đồ thị hàm mật độ xác suất x thời điểm t = 294 (s) 86 Hình 3.4.5 Đồ thị hàm mật độ xác suất x vài thời điểm (s) 86 Hình 4.1 Đồ thị trung bình theo thời gian trung bình bình phương đáp ứng thứ điều hòa theo tham số s 99 Hình 4.2 Ảnh hưởng s Q0 lên trung bình bình phương đáp ứng thứ điều hòa 99 Hình 4.3 Ảnh hưởng s h lên trung bình bình phương đáp ứng thứ điều hòa 100 x DANH MỤC BẢNG Bảng 3.1.1 Sai số kết mô giá trị xấp xỉ trung bình theo thời gian trung bình bình phương đáp ứng E éë x ( t ) ùû theo tham số e 58 Bảng 3.1.2 Sai số kết mô giá trị xấp xỉ trung bình theo thời gian trung bình bình phương đáp ứng E éë x ( t ) ùû theo tham số n 59 Bảng 3.1.3 Sai số kết mô giá trị xấp xỉ trung bình theo thời gian trung bình bình phương đáp ứng E éë x ( t ) ùû theo tham số Q 60 Bảng 3.1.4 Sai số kết mô giá trị xấp xỉ trung bình theo thời gian trung bình bình phương đáp ứng E éë x ( t ) ùû theo tham số s 61 Bảng 3.1.5 Sai số kết mô giá trị xấp xỉ trung bình theo thời gian trung bình bình phương đáp ứng E éë x ( t ) ùû theo kỹ thuật luận án phương pháp phi tuyến tương đương theo tham số 66 Bảng 3.2.1 Sai số kết mô giá trị xấp xỉ trung bình theo thời gian trung bình bình phương đáp ứng E éë x ( t ) ùû theo tham số g 69 Bảng 3.2.2 Sai số kết mô giá trị xấp xỉ trung bình theo thời gian trung bình bình phương đáp ứng E éë x ( t ) ùû theo tham số s 69 Bảng 3.2.3 Sai số kết mô giá trị xấp xỉ trung bình theo thời gian trung bình bình phương đáp ứng E éë x ( t ) ùû theo tham số s với giá trị e khác 70 Bảng 3.3.1 Sai số kết mô giá trị xấp xỉ trung bình theo thời gian trung bình bình phương đáp ứng E éë x ( t ) ùû theo tham số e 75 106 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Nguyễn Đông Anh (1999), “Một số kết nghiên cứu lĩnh vực dao động ngẫu nhiên thực Viện Cơ học”, Một số thành tựu Viện Cơ học sau 20 năm thành lập, Trung tâm Khoa học tự nhiên công nghệ Quốc gia, tr 18-23 [2] Nguyễn Văn Đạo, Trần Kim Chi, Nguyễn Dũng (2005), Nhập môn Động lực học phi tuyến chuyển động hỗn độn, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB Khoa học Kỹ thuật Tiếng nước ngoài: [4] Anh ND (1986), “Two methods of integration of the Kolmogorov-FokkerPlanck equations”, (English) Ukr Math J 38, pp 331-334; translation from Ukr Mat Zh 1986; 38(3), pp 381-385 [5] Anh ND (1995), “Higher order random averaging method of coefficients in Fokker-Planck equation”, In special volume Advance in Non-linear structural dynamics of Sãdhanã, Indian Academy of Science, pp 373-378 [6] Anh ND, Di Paola M (1995), “Some extensions of Gaussian equivalent linearization”, In Conference on Nonlinear Stochastic Dynamics, Hanoi, Vietnam, pp 5-16 [7] Anh ND, Schiehlen W (1997), “An extension to the mean square criterion of Gaussian equivalent linearization”, Vietnam J Math 25(2), pp 115-123 [8] Anh ND, Hai NQ (2000), “A technique of closure using a polynomial function of Gaussian process”, Probabilistic Engineering Mechanics, 15, pp 191–197 [9] Anh ND (2010), “Duality in the analysis of responses to nonlinear systems Vietnam J Mech Vast 32, pp 263–266 [10] Anh ND (2012), “Dual approach to averaged values of functions: Advanced formulas”, Vietnam J Mech Vast, 34 (4), pp 1–5 [11] Anh ND, Hieu NN, Linh NN (2012), “A dual criterion of equivalent linearization method for nonlinear systems subjected to random excitation” Acta Mech., 223, pp 645–654 [12] Anh ND, Hieu NN (2012), “The Duffing oscillator under combined periodic and random excitations”, Probabilistic Engineering Mechanics, 30, pp 27-36 107 [13] Arnold L (1974), Stochastic Differential Equations: Theory and Applications, New York: Wiley [14] Atalik TS, Utku S (1976), “Stochastic of linearization of multi-degree of freedom nonlinear”, Earth Eng Struct Dynamics, 4, pp 411-20 [15] Bogoliubov NN, Mitropolskii YA (1963), A symtotic methods in the theory of nonlinear oscillations, Moscow: Nauka [16] Brucker A, Lin YK (1987), “Application of complex stochastic averaging to nonlinear random vibration problems”, Int J Nonlinear Mech 22, pp 237250 [17] Cai GQ, Lin YK (1988), “A new approximate solution technique for randomly excited nonlinear oscillators” Int J Nonlinear Mech 23, pp 409-420 [18] Cai GQ, Lin YK (1996), “Exact and approximate solution for randomly excited MDOF nonlinear systems” Int J Nonlinear Mechanics, 31, pp 647655 [19] Cai GQ, Lin YK (1994), “Nonlinearly damped systems under simultaneous broad-band and harmonic excitations”, Nonlinear Dynamics, 6, pp 163-177 [20] Casciati F, Faravelli L (1986), “Equivalent linearization in nonliear random vibration problems”, In Conference on Vibration problems in Eng, Xian, China, pp 986-991 [21] Caughey TK (1959), “Response of a nonlinear string to random loading”, ASME J Applied Mechanics, 26, pp.341-4 [22] Caughey TK (1963), “Equivalent Linearization techniques”, J the Acoustical Society of America, 35(11) pp 1706-1711 [23] Caughey TK, Ma F (1982), “The exact steady-state solution of a class of nonlinear stochastic systems”, Int J Nonlinear Mechanics, 17 pp 137-142 [24] Caughey TK (1986), “On the response of nonlinear oscillators to stochastic excitation”, Probab Eng Mech 1, pp 2-10 [25] Chambers RP (1967), “Random number generation on digital computers”, IEEE Spectrum (February), pp 48-56 [26] Chen LC, Zhu WQ (2009), “Stochastic averaging of strongly nonlinear oscillators with small fractional derivative damping under combined harmonic and white noise excitations”, Nonlinear Dynamics, 56, pp.231-241 [27] Clarkson BL and Mead DJ (1973), “High Frequency Vibration of Aircraft Structures”, Sound and Vibration, 28, pp 487-504 [28] Crandall SH (1963), “Perturbation techniques for random vibration of nonlinear systems”, J Acoust Soc Am 35, pp 1700-1705 [29] Daniel JI (2008), Engineering vibration, New Jersy: Prentice Hall 108 [30] Davies HG, Rajan S (1988), “Random superharmonic and subharmonic response: Multiple time scaling of a Duffing oscillator”, Sound and Vibration, 126(2), pp 195-208 [31] Dimentberg MF, Iourtchenko DV, Ewijk OV (1998), “Subharmonic response of a quasi-isochronous vibroimpact system to a randomly disordered periodic excitation”, Nonlinear Dynamics, 17, pp 173-186 [32] Dimentberg MF (1976), “Response of a non-linearly damped oscillator to combined periodic parametric and random external excitation”, Int J Nonlinear Mechanics, 11 pp 83-87 [33] Dimentberg MF (1982), “An exact solution to a certain non-linear random vibration problem”, Int J Nonlinear Mechanics, 17, pp 231-236 [34] Domany E, Gendelman OV (2013), “Dynamic responses and mitigation of limit cycle oscillations in Van der Pol-Duffing oscillator with nonlinear energy sink”, Sound and Vibration, 332, pp 5489-5507 [35] Elishakoff I, Andrimasy L, Dolley M (2008), “Application and extension of the stochastic linearization by Anh and Di Paola”, Acta Mech., 204 pp 89-98 [36] Fuller AT (1969), “Analysis of nonlinear stochastic systems by means of the Fokker Planck Equation”, Int J Control, pp 603-655 [37] Francesco B, Daniele Z, Marcello V (2006), “Nonlinear response of SDOF systems under combined deterministic and random excitations”, Nonlinear Dynamics, 46, pp 375-385 [38] Haiwu R, Wei X, Guang M, Tong F (2001), “Response of a Duffing oscillator to combined deterministic harmonic and random excitation”, Sound and Vibration, 242(2), pp 362-368 [39] Haiwu R, Xiangdong W, Wei X, Tong F (2009), “Subharmonic response of a single-degree-of-freedom nonlinear vibroimpact system to a randomly disordered periodic excitation”, Sound and Vibration, 327, pp.173-182 [40] Hao DN, Ngoan NT, Van LHM (2013), “Mechanical approach to nonautonomous linear second order stochastic differential equations”, SoutheastAsian J of Sciences Vol 2, No 2(2013) pp 171-177 [41] Huang ZL, Zhu WQ, Suzuki Y (2000), “Stochastic averaging of strongly nonlinear oscillators under combined harmonic and white noise excitations”, Sound and Vibration, 238, pp 233-256 [42] Iwan WD, Spanos P (1978), “Response envelope statistics for nonlinear oscillators with random excitation”, J Appl Mech 45, pp 170-174 [43] Kazakov IE (1954), “An approximate method for the statistical investigation for nonlinear systems”, Trudy VVIA im Prof N E Zhukovskogo, 394, pp 1-52 109 [in Russian] [44] Kelly SG (2012), Mechanical vibrations: Theory and applications, Cengage Learning [45] Khasminskii RZ (1966), “A limit theorem for the solutions of differential equations with random right-hand sides”, Theory Probab Applic., 11, pp 390405 [46] Khiem NT (1990), “Spectral analysis of non-linear stochastic systems”, The 12th Int Conference on Non-linear Oscillation, Cracow 2-7 September 1990, Abstracts, pp 51-52 [47] Khiem NT (1991), “General solution of FPK equation of vibratory systems in amplitude and phase”, Reports of USSR Acad Sci., V 293(4), pp 875-880 [48] Krylov NM, Bogoliubov NN (1937), Introduction to nonlinear mechanics Ukraine: Academy of Sciences [49] Kumar P, Narayanan S (2006), “ Solution of Fokker–Planck equation by finite element and finite difference methods for nonlinear system”, Sãdhanã, 31(04), pp 455–73 [50] Kumar P, Narayanan S (2010), “Response statistics and reliability analysis of a mistuned and frictionally damped bladed disk assembly subjected to white noise excitation”, ASME Gas Turbo Expo; GT-2010-22736 [51] Li FM, Yao G (2013), “1/3 Subharmonic resonance of a nonlinear composite laminated cylindrical shell in subsonic air flow”, Composite Structures, 100, pp 249-256 [52] Lutes L, Sarkani S (2004), Random vibration: Analysis of Structural and Mechanical Systems, Elsevier Butterworth–Heinemann [53] Masud A, Bergman LA (2005), “Application of multi-scale finite element methods to the solution of the Fokker–Planck equations”, J Comput Methods Appl Mech Engrg,194, pp 1513–26 [54] Manohar CS, Iyengar RN (1991), “Entrainment in Van der Pol's oscillator in the presence of noise”, Int J Nonlinear Mechanics, 26(5), pp 679-686 [55] Manohar CS (1995), “Methods of nonlinear random vibration analysis”, Sãdhanã, 20, pp 345-371 [56] Menh NC (1993), “Response spectra of random multi-degree-of-freedom nonlinear mechanical systems”, Non-linear Vibration Problems, 25, pp 267274 [57] Mitropolskii YA (1967), “Averaging method in non-linear mechanics”, Nonlinear Mechanics Pergamoa Press Ltd., 2, pp 69-96 [58] Mitropolskii YA, Dao NV, Anh ND (1992), Nonlinear oscillations in systems 110 of arbitrary order, Kiev: Naukova- Dumka (in Russian) [59] Mitropolski IA, Dao NV (1997), Applied asymptotic methods in nonlinear oscillations, Springer- Science +Business Media, B.V Doi 10.1007/978-94015-8847-8 [60] Muscolino G, Riccardi G, Vasta M (1997), “Stationary and non-stationary probability density function for non-linear oscillator”, Int J Non-Linear Mechanics, 32(6), pp 1051–64 [61] Narayanan S, Kumar P (2012), “Numerical solutions of Fokker-Planck equation of nonlinear systems subjected to random and harmonic excitations”, Probabilistic Engineering Mechanics, 27, pp 35-46 [62] Nayfeh AH, Serhan SJ (1990), “Response statistics of nonlinear systems to combined deterministic and random excitations” Int J Nonlinear Mechanics, 25 (5), pp 493-509 [63] Nayfeh AH, Mook DT (1995), Nonlinear oscillations, Wiley-Interscience [64] Oksendal B (2000), Stochastic Differential Equations - An introduction with Application, Springer [65] Ramakrishnan V, Brian FF (2012), “Resonances of a forced Mathieu equation with reference to wind turbine blades”, J Vib Acoust., 134(6) [66] Rayleigh JWS (1877), The Theory of Sound, reprinted by Dover, New York 1945 [67] Roberts J B (1986), “First passage probabilities for randomly excited systems: Diffusion methods”, Probab Eng Mech 1, pp 66-81 [68] Roberts JB, Spanos PD (1999), Random Vibration and Statistical Linearization, Dover Publications, Inc., Mineola, New York [69] Roberts JB, Spanos PD (1986), “Stochastic averaging: An approximate method of solving random vibration problems”, Int J Nonlinear mechanics; 21(2), pp 111-134 [70] Ruby L (1996), “Applications of the Mathieu equation”, Am J Phys., Vol 64, No 1, pp 39-44 [71] Socha L, Soong TT (1991), “Linearization in analysis of nonlinear stochastic systems”, Appl Mech Rev., 44, pp 399-422 [72] Socha L (1998), “Probability density equivalent linearization technique for nonlinear oscillator with stochastic excitations”, Z Angew Math Mech., 78, pp 1087-1088 [73] Socha L (2008), Linearization Methods for Stochastic Dynamic System, Lecture Notes in Physics Springer, Berlin [74] Spanos P (1981), “Monte Carlo simulations of response of nonsymmetric 111 dynamic system to random excitations”, Comput Struct 13, pp.371-376 [75] Spanos P, Lutes LD (1987), “A primer of random vibration techniques in structural Engineering”, Shock Vib Dig., 19(4), pp 3-9 [76] Stratonovich RL(1963), Topics in the Theory of Random Noise Vol I, II (1967), New York: Gordon and Breach [77] Von Wagner U, Wedig WV (2000), “On the calculation of stationary solution of multi-dimensional Fokker-Planck equations by orthogonal functions”, Nonlinear Dynamics, 21, pp 289-306 [78] Xie WX, Xu W, Cai L (2006), “Study of the Duffing-Rayleigh oscillator subject to harmonic and stochastic excitations by path integration”, Applied Mathematics and Computation, 172, pp 1212-1224 [79] Yu JS, Lin YK (2004), “Numerical path integration of a nonlinear oscillator subject to both sinusoidal and white noise excitations”, Int J Non-Linear Mechanics, 37, pp 1493-1500 [80] Zhu WQ, Yu JS (1987), “On the response of the Van der Pol Oscillator to white noise excitation”, J Sound and Vibration, 117(3) 421-431 [81] Zhu WQ (1988), “Stochastic averaging methods in random vibrations”, Appl Mech Rev 41, pp 189-199 [82] Zhu WQ, Huang ZL, Suzuki Y (2001), “Response and stability of strongly non-linear oscillators under wide-band random excitation”, Non-Linear Mechanics, 36, pp 1235-1250 [83] Zhu WQ, Wu YJ (2003), “First passage time of Duffing oscillator under combined harmonic and white noise excitations”, Nonlinear Dynamics, 32, pp 291-305 Trang web phần mềm: [84] John MC (2010), Probability Density Functions , www.mne.psu.edu/me345/ Lectures/Probability_density_functions.pdf [85] Laurence CE (2002), An introduction to stochastic differential equations (version 1.2), Department of Mathematics, UC Berkeley (math.berkeley.edu/ ~evans/SDE.course.pdf) [86] Jonathan MB, Matthew PS (2011), An Introduction to Modern Mathematical Computing With Maple™, Springer [87] Jaan Kiusalaas (2010), Numerical methods in engineering with Matlab (Second Edition), Cambridge University Press 112 PHỤ LỤC Phụ lục A Xây dựng giải hệ phương trình phi tuyến cho hệ số tuyến tính hố Chương trình Maple tính hệ số tuyến tính hố theo mô men a1 a2 (để tránh nhiều số, chương trình luận án dùng ký hiệu b d thay cho a1 a2 ) Đoạn chương trình tính mơ men bậc cao a1 a2 theo trung bình, phương sai hiệp phương sai a1 a2 113 Tính hệ số hàm mật độ dừng Chương trình Matlab tính hệ số tuyến tính hố function tuyentinhhoa_vanderpol % chuong trinh tim cac he so tuyen tinh hoa phan Pol global a B sig2 P nu Delta omega epsilon; % clear all clc a = 1; % alpha B = 4; % beta epsilon = 0.2; omega = 1; nu = 1.01; Delta = (omega^2-nu^2)/epsilon; val=[1] % co the dua nhieu gia tri vao day de co day num=length(val); sig2=1; X2=zeros(num,1); for m=1:1:num P=val(m); x0=[-2,-0.5,2,1.5,-1,2]; L1b=x0(1); L1d=x0(2); L10=x0(3); % he so eta11, L2b=x0(4); L2d=x0(5); L20=x0(6); % he so eta21, alpha1 = (1/2)*a+L1b; tich he Van der tinh 12, 13 22, 23 114 beta1 = Delta/(2*nu)+L1d; lambda1 = L10; alpha2 = -Delta/(2*nu)+L2b; beta2 = (1/2)*a+L2d; lambda2 = P/(2*nu)+L20; Ab2= -(2*(alpha1^2+alpha1*beta2+alpha2^2- alpha2*beta1))*nu^2*(alpha1+beta2)/(sig2*(alpha2^2-… 2*alpha2*beta1+beta1^2+alpha1^2+2*alpha1*beta2+beta2^2)); % he so tau1 Ab1 = ((2*(2*lambda1*alpha1+2*lambda1*beta2+2*alpha2* … lambda2-2*beta1*lambda2))*nu^2*(alpha1+beta2)/ … (sig2*(alpha2^2- 2*alpha2*beta1+beta1^2+alpha1^2+ … 2*alpha1* beta2+beta2^2))); % he so tau4 Abd = ((2*(2*alpha2*beta2+2*beta1*alpha1))*nu^2* … (alpha1+beta2)/(sig2*(alpha2^2-2*alpha2*b … eta1+beta1^2+alpha1^2+2*alpha1*beta2+beta2^2))); % he so tau3 Ad2 = (-(2*(alpha1*beta2+beta2^2-alpha2*beta1+beta1^2))* … nu^2*(alpha1+beta2)/(sig2*(alpha2^2-2*alpha2* … beta1+beta1^2+alpha1^2+2*alpha1*beta2+beta2^2))); % he so tau2 Ad1 = ((2*(-2*alpha2*lambda1+2*lambda2*alpha1+ … 2*lambda2*beta2+2*beta1*lambda1))*nu^2*… (alpha1+beta2)/(sig2*(alpha2^2-2*alpha2*beta1+ … beta1^2+alpha1^2+2*alpha1*beta2+beta2^2))); % he so tau5 psb = 2*Ad2/(4*Ab2*Ad2-Abd^2); % phuong sai cua b if ((Ab2