Tính compắc và liên thông của tập nghiệm cho bài toán biên trong phương trình vi phân với đối số lệch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ MINH THƯ TÍNH COMPĂC VÀ LIÊN THƠNG CỦA TẬP NGHIỆM CHO BÀI TỐN BIÊN TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI ĐỐI SỐ LỆCH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2003 LUẬN VĂN ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Thầy hướng dẫn: PGS.TS LÊ HỒN HĨA Khoa Tốn - Tin học Trường Đại học sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh Thầy phản biện 1: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Khoa Toán - Tin học Trường Đại học sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh Thầy phản biện 2: TS CHU ĐỨC KHÁNH Bộ mơn Tốn - Tin học Trường Dự bị Đại học Thành phố Hồ Chí Minh Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MINH THƯ Học viên Cao học Tốn khóa 11 Chun ngành: Giải tích LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỜI CÁM ƠN Tơi chân thành cám ơn Thầy Cơ khoa Tốn Trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy từ bước đầu vào trường Sư Phạm đến Thạc sĩ Đặc biệt cám ơn quý Thầy Cô tham gia giảng dạy lớp Cao học Giải tích khóa 11 Tơi biết ơn Thầy PGS.TS Lê Hồn Hóa động viên tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Tôi chân thành cám ơn Thầy PGS.TS Nguyễn Bích Huy Thầy TS Chu Đức Khánh nhận xét góp ý giúp tơi hồn thành tốt luận văn Tôi biết ơn Ban Giám Hiệu, Bộ Môn Tốn Trường Dự Bị Đại Học TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho công tác để tơi n tâm tham gia đầy đủ khóa học Tơi cám ơn khoa Tốn Phịng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm TP.Hồ Chí Minh tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học hoàn thành luận văn Cao học TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2003 Nguyễn Thị Minh Thư MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM VÀ CÁC KẾT QUẢ CƠ BẢN 1.1 Bậc tôpô không gian Banach 1.2 Định lý xấp xỉ Lipschitz địa phương 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Định lý 1.1 1.3 Định lý tính compăc liên thơng 11 1.4 Định lý điểm bất động toán tử loại Krasnosel’skii 13 1.4.1 Điều kiện (A) 13 1.4.2 Định lý 1.3 (xem [2]) 13 1.4.3 Định lý 1.4 (Định lý điểm bất động, xem [2]) 14 1.5 Tính compắc tương đối khơng gian ánh xạ liên tục 14 1.5.1 Định nghĩa 15 1.5.2 Định lý 1.5 (Định lý Ascoli -Arzela, xem [1]) 15 1.5.3 Định lý 1.6 (xem [3]) 15 Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM 17 2.1 Sự tồn nghiệm 18 2.1.1 Xét toán (I) 18 2.1.2 Xét toán (II) 31 2.2 Tính nghiệm 36 2.2.1 Xét toán (I) 36 2.2.2 Xét toán (II) 38 Chương 3: TÍNH COMPẮC VÀ LIÊN THƠNG CỦA TẬP NGHIỆM 41 3.1 Tính compắc liên thông tập nghiệm [0, n] 41 3.1.1 Xét toán (I) 41 Định lý 3.1 41 3.1.2 Xét toán (II) 44 3.2 Tính compắc liên thơng tập nghiệm [0, ∞) 46 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 MỞ ĐẦU Thơng thường khảo sát phương trình ta cần xét vấn đề tồn nghiệm, tính nghiệm cấu trúc tập nghiệm Trong luận văn ta khảo sát tồn nghiệm, tính nghiệm tính compắc liên thơng khác rỗng tập nghiệm cho hai phương trình vi phân hàm với đối số lệch { (II) { (I) x'(t)=f(t,φ(x t ))+g(t,φ(x t ));t ≥0 x =h [x(t)-A(t).x(t-r)]'=g(t,φ(x t ));t ≥ x =h Lý thuyết điểm bất động cơng cụ để chứng minh tồn nghiệm phương trình Để khảo sát tính compắc liên thông tập nghiệm, luận văn sử dụng lý thuyết bậc tơpơ trường tốn tử compắc khơng gian Banach Luận văn gồm có ba chương Chương giới thiệu khái niệm kết sử dụng luận văn Chương trình bày tồn tính nghiệm Phần trọng tâm luận văn chương trình bày tính compắc liên thơng tập nghiệm Trong luận văn Cao học Nguyễn Đình Tùng [8] xét hai phương trình trên, ϕ ánh xạ tuyến tính liên tục đề cập đến tồn nghiệm, nghiệm tuần hoàn Trong luận văn ta khảo sát tồn tính nghiệm hai phương trình trường hợp ϕ thỏa điều kiện Lipschitz phần luận văn xét tính compắc liên thơng tập nghiệm Định lý (3.1) - (3.2) tính compắc liên thơng tập nghiệm [0, n] định lý (3.3) - (3.4) tính compắc liến thơng tập nghiệm [0, ∞) luận văn không trùng lặp với kết loại có Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM VÀ CÁC KẾT QUẢ CƠ BẢN Trong chương giới thiệu khái niệm định lý sử dụng luận văn bậc tôpô không gian Banach, định lý xấp xỉ Lipschitz địa phương, định lý tính compắc liên thơng, định lý điểm bất động tốn tử loại Krasnosel'skii tính compắc tương đối không gian ánh xạ liên tục 1.1 Bậc tôpô không gian Banach Cho E không gian Banach, I ánh xạ đồng E, D tập mở bị chặn E � bao đóng D D � → E gọi ánh xạ compắc T( D � ) tập compắc tương đối E Ánh xạ liên tục T: D Khi I -T gọi trường compắc Định lý A � → E ánh xạ compắc Cho D tập mở bị chặn không gian Banach E, T: 𝐷 p ∉(I-T)(∂D) Khi bậc tơpơ (I-T) D điểm p, ký hiệu : deg (I-T, D, p), số nguyên hoàn toàn xác định thỏa mãn tính chất i) Nếu deg (I— T, D, p) #0 tồn x ∈ D cho (I - T)(x) = p ∞ 2i) Cho (D i ) i ∈ N dãy tập mở cách biệt chứa D p ∉ ( I -T) ( D \ U i =1 T, D i , p) = trừ số hữu hạn giá trị i∈N deg(I-T,D,p) = Di ) deg (I - ∞ ∑ deg( I − T , Di , p) i =1 3i) (Bất biến đồng luân ) � → E liên tục cho H ([0,1]x 𝐷 � ) tập compắc tương đối Đặt h:[0,1]x 𝐷 �→ Cho H:[0,1] x 𝐷 E định h(t,x) = x - H(t,x) Giả sử p ∉ h([0, l]x ∂D) Khi � → E định h t (x) = h(t, x) ht 𝐷 trường compắc p ∉ h t (∂D) với t ∈ [0,1] deg(h t , D, p) không phụ thuộc t � → D deg(I - T, D, 0) = 4i) Nếu D tập mở lồi bị chặn E T: 𝐷 1.2 Định lý xấp xỉ Lipschitz địa phương 1.2.1 Định nghĩa Cho X, Y hai không gian Banach Anh xạ I: X → Y gọi Lipschitz địa phương nêu với X o E X, tồn lân cận V X o số k ( phụ thuộc X o ) cho f(x) - f(x') ≤ k.x - x' với X, x' ∈ V 1.2.2 Định lý 1.1 Cho X, Y hai không gian Banach, D tập mở f: D → Y liên tục Khi với ε > 0, tồn f ε :D → Y Lipschitz địa phương cho f(x)-f ε (x) I < ε với x ∈ D f ε (D) ⊂ cof(D) (với co A bao lồi A) Chứng minh 𝜀 Với x∈D, đặt ωX {y∈D /f( y) - f( x)< họ { ω x , x∈D } phủ mở D Gọi {V λ ,λ∈Λ} phủ mở hữu hạn địa phương mịn phủ {ω x , x∈ D} cho - Với x ∈ D tồn lân cận V(x) x thỏa mãn V(x) ∩ V λ # với số hữu hạn λ⊂Λ - Với λ⊂Λ , tồn x∈ D để V λ ⊂ ωx Với λ⊂Λ, xác định α λ : D → R định , x∉V λ ρ(x,∂V λ ) , x∉V λ α λ (x) = ρ (x, A) = inf {x - y, y ∈ A } Khi đó, ta xét trường hợp - Nếu x∉V λ y∉V λ , ta có α λ (x)=αλ (y)=0 ⇒ αλ (x)- αλ (y)=0≤x-y - Nếu x∈V λ y∉V λ , ta có α λ (x)=ρ(x,∂V λ ) αλ (y)=0 ⇒ αλ (x)- αλ (y)=ρ(x,∂V λ ) Giả sử ρ(x,∂V λ ) > x-y B(x, x-y) ⊂ V λ ⇒ y ∈ V λ Mâu thuẫn Nếu x∈V λ y∈V λ , ta có α λ (x)=ρ(x,∂V λ ) αλ (y)=ρ(y,∂V λ ) ⇒ αλ (x)- αλ (y)=ρ(x,∂V λ )-ρ(y,∂V λ ) Lấy z ∈∂V λ , ta có x-z-y-z≤x-y ⇒ ρ(x,∂V λ )-ρ(y,∂V λ )≤x-y (theo tính chất inf) Vậy α λ ánh xạ Lipschitz D Đặt φλ ( x ) = ∑ (α µ ( x)) −1α λ ( x) với x∈D µ∈Λ Do {V λ ,λ∈Λ} phủ mở hữu hạn địa phương nên có hữu hạn µ∈Λ cho x∈V µ   có số hữu hạn µ∈Λ cho α λ (x)>0, lại nên  ∑ α µ ( x )   µ∈Λ  x∈ D Vậy φ µ (x) hồn tồn xác định Hơn φλ (x) = x∉V λ φλ Lipschitz địa phương −1 xác định với Suy U + G có điểm bất động X o Điểm bất động nghiệm toán (II) [0, ∞) Định lý 2.2 chứng minh 2.2 Tính nghiệm Trong phần 2.1 ta chứng minh tồn nghiệm phương trình (I) (II)với điều kiện giả thiết định lý 2.1 2.2 Giả sử thêm g Lipschitz địa phương, ta chứng minh nghiệm 2.2.1 Xét toán (I) (I) { x'(t )=f (t,ϕ (x t ))+ g(t,ϕ (x t ));t ≥0 xo =h Định lý 2.3 Giả sử f, g thỏa mãn điều kiện (I.1) - (I.2) - (I.3) Giả sử thêm g Lipschitz địa phương Khi tốn (I) có nghiệm [0, ∞) Chứng minh: Theo định lý 2.1 phương trình (I) có nghiệm [0, ∞) nên ta cần chứng minh nghiệm Giả sử x, y hai nghiệm phương trình (I) Ta chứng minh x(t) = y(t) với t ∈ [0, ∞) Ta có x(0) = y(0) = h(0) Đặt b = max {a ∈ R+ / x(t) = y(t), t ∈ [0, α]} Bằng phản chứng, giả sử ≤ b ≤ ∞ Xét phương trình (I') { u '(t )= f (t,ϕ (u t ))+ g(t,ϕ (u t ));t ≥0 u b =x b 36 Gọi β hệ số Lipschitz f Do g Lipschitz địa phương nên tồn r > cho g Lipschitz với hệ số m [b, b+1] x Bnr với B r = {x ∈ E /x - x(b)  < r}    Do x,y liên tục nên có δ ∈  0,   cho x(s), y(s) ∈ B r với s ∈[b, b+δ] 4( β + m) ϕ  Đặt X = C([b, b + δ], E) C = C([b - r, b], E) Với u ∈ X , định nghĩa u : [b - r, b + δ] → E sau { u(s) = u(s) + x(b) − u(b) ; nÕu s ≥ b x(s) ; nÕu b − r ≤ s ≤ b Đặt f = f + g , ta có f Lipschitz với hệ số k’ ≤ β + m f1 (t,ϕ (u)) − f1 (t,ϕ (v)) ≤ k ' ϕ (u) − ϕ (v) n ≤ k ' ϕ u − v Khi (I)' ⇔ { u'(t )= f1 (t,ϕ (u t )); t ≥ b ub = x b Xét phương tình t (*) u(t) = ∫ f1 (s,ϕ (us ))δs + x(b) víi t ∈ [b, b+δ ] b Đặt Ω = {u ∈ X1 / u ∈ B r , s ∈ [b,b+δ ]} Ω tập mở, lồi Đặt T :Ω → X định nghĩa t T1 (u)(t) = ∫ f1 (s,ϕ (us ))ds + x(b) víi f1 = f + g b Rõ ràng u điểm bất động T u nghiệm (*) Với u, v ∈ Ω ta có t T1 (u)(t)−T1 (v)(t) = ∫ f1 (s,ϕ (us )) − f1 (s,ϕ (v s )) ds b 37 ∀ u, v ∈ X t ≤ k ' ϕ ∫ us − v s ds b ≤ 2k ' ϕ δ u − v ≤ Vậy: T1 (u) − T1 (v) ≤ u−v u−v (δo < δ < ) 4( β + m) ϕ Nghĩa T ánh xạ co với hệ số Do x, y nghiệm phương trình (I) nên thu hẹp x [b,b +δ ] ,y [b,b +δ ] k= nghiệm (*) [b, b + δ] chúng điểm bất động T Do T ánh xạ co nên điểm bất động, có, Vậy x [b,b +δ ] =y [b,b +δ ] Nghĩa x(t) = y(t) với t ∈ [b, b + δ] Mâu thuẫn Suy tốn (I) có nghiệm [0, ∞) 2.2.2 Xét toán (II) (II) { [x (t )− A(t ).x (t − r)]' ; t ≥0 x o =h Định lý 2.4 Giả sử {A(t)} g thỏa mãn điều kiện (II.1)- (II.2) Giả sử thêm g Lipschitz địa phương Khi tốn (II) có nghiệm [0, ∞) Chứng minh Theo định lý 2.3 phương trình (II) có nghiệm [0, ∞) nên ta cần chứng minh nghiệm Giả sử x, y hai nghiệm phương trình (II) Ta chứng minh x(t) = y(t) với t ∈ [0, ∞) 38 Ta có x(0) = y(0) = h(0) Đặt d = max {α ∈ R+ / x(t) = y(t), t ∈ [0, α]} Bằng phản chứng, giả sử < d < ∞ { [u (t )− A(t= ).u (t − r)]' g(t,ϕ (u t )) ; t ≥d Xét phương trình (II)’ u d = x d Do g Lipschitz địa phương nên có ρ > cho g Lipschitz với hệ số m [d, d+1] B ρ ={x ∈ E / x − x d < ρ } Do x, y liên tục nên có  < δ <  r,  4m ϕ   cho  x(s), y(s) ∈ B ρ với s ∈ [ d, d + δ] Đặt X = C([d - r, d + δ], E) C = C([d - r, d], E) Xét phương trình = u(t ) A(t ).u(t − r )− A(δ).u(δ − r )+ ∫ g(s,ϕ (us ))δs+ x(δ)  δ (**)  u x δ [ δ − r ,δ ]   t ; t∈[δ,δ+δ ] ; t∈[δ−r,δ] Đặt Ω = { u ∈ X /us ∈ B ρ với s ∈ [d, d + δ]} Ω tập mở, lối Gọi W : Ω → X định nghĩa  A(t ).u(t −r )−A(δ).u(δ −r )+ ∫ g(s,ϕ (us ))δs+x(δ)  δ W(u)(t)  x(t )   t ; t∈[δ,δ+δ ] ; t∈[δ−r,δ] Rõ ràng ta có u điểm bất động W u nghiệm (**) Do δ < r nên u(t - r) = x(t - r) với t ∈ [d, d + δ] 39 x B nρ với Khi với u, v ∈ Ω ta có t W(u)(t) − W(v)(t) ≤ ∫ g(s,ϕ (us )) − g(s,ϕ (v s ))ds d ≤ m ϕ t ∫u s − v s ds d ≤ 2m ϕ δ u − v ≤ Vậy W(u) − W(v) ≤ 1 u − v (δo 0 tập compắc liên thông X n Bước 2: Chứng minh tập nghiệm phương trình (I) - (II) [0, ∞) tập compắc liên thông X o 3.1 Tính compắc liên thơng tập nghiệm [0, n] 3.1.1 Xét toán (I) Định lý 3.1 Giả sử f, g thỏa mãn điều kiện (I.1) - (I.2 ) - (I.3) Khi đó, với n ∈N cố định, tập nghiệm [0, n] phương trình (I) khác rỗng, compắc liên thông X n Chứng minh Với n ∈ N cố định, xét phương trình  x(t )= h(0)+ ∫ f (s,ϕ (xs ))ds+ ∫ g(s,ϕ (xs ))ds  0 (I*)  xo =h   t t Với x ∈ X n = C([0, n], E), đặt x� :[-r, n] → E định nghĩa x(s) = { x(s)+ h(0)-x(0) ; s∈[0,n] h(s) ; s∈[-r,0] 41 ; t∈[0,n] Đặt U n ,G n : X n → X n xác định t = U n (x)(t) ∫ f(s,ϕ )(x ))ds s ; t ∈ [0,n] t G n (x)(t) = ∫ g(s,ϕ )(x ))ds + h(0) s ; t ∈ [0,n] Theo chứng minh định lý 2.1, ta có U n thỏa mãn điều kiện (A) X n U n liên tục X n Theo định lý 1.3, suy toán tử (I-U n )-1 hoàn toàn xác định liên tục X n Hơn ta có U n , G n thỏa mãn định lý 1.A nên U n + G n có điểm bất động Theo thích định lý 1.4 ta suy tồn D tập mở lồi bị chặn X n cho (I-U n )-1G n (D) ⊂ D � , điểm bất động Đặt S = (I -U n )-1G n Khi S có điểm bất động D � (nhưng điểm bất động khơng thuộc ∂D) với D � tập lồi đóng bị chặn X n U n + G n D Thật vậy, ta có X=S(x) ⇔ (I - U n )-1G n (x)=x ⇔ G n (x) = (I - U n )(x)=x-U n (x) ⇔ x= U n (x)+G n (x) Như vậy, tập điểm bất động S nghiệm [o, n] (I*) Ta chứng minh tập điểm bất động S compắc liên thơng Ta có S = (I-U n )-1G n Mà (I-U n )-1 liên tục xn theo mệnh đề 2.2 G n toán tử compắc X n Nên S toán tử compắc X n Do S(D) ⊂ D D tập mở lồi bị chặn nên theo tính chất 4i) định lý A, ta có deg(I-S, D, 0) = ≠ Vì S khơng có điểm bất động ∂D nên ∉ (I - S)(∂D) Với ε > , ta có (I-U n )-1 liên tục X n nên tồn δ > cho x − y < δ ⇒ (I − U n )−1 (x) − (I − U n )−1 (y) < ε , ∀x,y ∈ X n 42 � } Khi K bị chặn C = C([-r,0],E) Đặt K={x s ∈ C/ s∈[0,n];x ∈ D Gọi g* mở rộng liên tục g [ 0, n ] K [0, n] x C ( ký hiệu g A thu hẹp g A ) x cho g*([0,n]xC) ⊂ co g([0,n]x K ] Khi theo định lý xấp xỉ Lipschitz địa phương 1.1, ta có tồn g ε toán tử Lipschitz địa phương [0,n]xC cho gε (t,x) − g * (t,x) < δ 2n , với s, t ∈ [0,n] x ∈ C Và g ε ([0, n]x C) ⊂ cog*([0, n]x C) ⊂ cog([0, n]x K) Do g ánh xạ compắc (g thỏa mãn (I.2)) nên g([0, n] x K) tập compắc tương đối Như g ε ([0, n]x C) compắc tương đối Suy g ε ánh xạ compắc Đặt G ε : X n → X n xác định t = Gε (x)(t) ∫ gε (s,ϕ )(x )ds + h(0) s Đặt S ε =(I -U n )-1G ε Khi S ε toán tử compắc Ta chứng minh S thỏa mãn điều kiện (1) định lý 1.2 D Với t ∈[0, n] x ∈ D, ta có t Gε (x)(t) − G(x)(t) ≤ ∫ ddd t 2n ds ≤ 2n ≤ Vậy Gε (x)(t) − G(x)(t) ≤ δ Suyra (I − U n )−1 Gε (x) − (I − U n )−1 G(x) < ε 43