Tìm hiểu bước đầu về lớp năng lượng hữu hạn trên đa tạp kahler

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Lê Minh Thuần TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ LỚP NĂNG LƯỢNG HỮU HẠN TRÊN ĐA TẠP KÄHLER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Lê Minh Thuần TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ LỚP NĂNG LƯỢNG HỮU HẠN TRÊN ĐA TẠP KÄHLER Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 604 60 102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐƠNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tốt nghiệp tơi thực hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Văn Đông Các nội dung nghiên cứu kết tham khảo luận văn trích dẫn liệt kê đầy đủ mục Tài liệu tham khảo Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 04 năm 2021 LÊ MINH THUẦN LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh hướng dẫn TS Nguyễn Văn Đông Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người tận tình bảo, dạy dỗ tơi q trình học tập nhẫn nại hướng dẫn thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn đến quý Thầy Cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc, chỉnh sửa đóng góp ý kiến giúp luận văn hồn chỉnh Tơi xin cảm ơn tất Thầy, Cơ nhiệt tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức giúp đỡ tơi suốt q trình học tập, q Thầy Cơ Phịng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành chương trình học tập thực luận văn Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ba, Mẹ Anh hai chỗ dựa vững cho tơi q trình học tập thực luận văn, ln động viên tơi lúc gặp khó khăn hay cảm thấy áp lực Xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cô trường THPT Phạm Phú Thứ, đặc biệt đến Thầy Hiệu trưởng Nguyễn Đức Hiền tạo điều kiện tốt cho tiếp tục đường học vấn Xin cảm ơn anh chị, bạn học viên ngành toán đồng hành động viên giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Do trình độ thời gian có hạn thân nên luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tơi mong nhận bảo góp ý từ quý Thầy Cô, anh chị bạn Xin chân thành cám ơn Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 04 năm 2021 LÊ MINH THUẦN Mục lục DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Một số kiến thức độ đo 1.1.1 Độ đo Borel 1.1.2 Các phiếm hàm tuyến tính dương C0 (X) 1.1.3 Tôpô yếu không gian độ đo Một số kiến thức hình học 1.2.1 Đa tạp khả vi 1.2.2 Đa tạp phức 13 1.2.3 Cỏc mờtric Hecmit v Kăahler 24 Toán tử Monge - Ampốre phc trờn a Kă ahler compact 28 2.1 Lớp hàm ω−đa điều hòa đa tạp Kăahler compact 29 2.2 Toỏn t Monge - Ampốre phc trờn a Kăahler compact 35 2.2.1 Khái niệm toán tử Monge - Ampốre phc trờn a Kăahler compact 35 2.2.2 2.3 Sự liên tục toán tử Monge - Ampère theo dãy giảm 36 Sự hội tụ theo dung lượng Monge - Ampère 41 2.3.1 Dung lượng Monge - Ampère 41 2.3.2 Tập đa cực 44 2.3.3 Tính liên tục hội tụ theo dung lượng toán tử Monge - Ampère phức 47 2.4 Nguyên lý so sánh 50 Lớp lượng hữu hn E(X, ) trờn a Kă ahler compact 3.1 3.2 3.3 53 Lớp E(X, ω) 54 3.1.1 Định nghĩa 54 3.1.2 Nguyên lý so sánh 56 Lớp lượng với trọng 62 3.2.1 Các lớp Eχ (X, ω) 62 3.2.2 Tính liên tục tốn tử Monge - Ampère xoắn 66 Toán tử Monge - Ampère phức mở rộng 67 3.3.1 Miền xác định toàn cục 67 3.3.2 Sự miêu tả đặc tính lớp lượng E(X, ω) 68 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 71 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Id Tốn tử đồng Ck Khơng gian ánh xạ khả vi liên tục cấp k TM,a , Ta M Không gian tiếp xúc M a ∗ TM,a Không gian đối tiếp xúc M a TM Phân thớ tiếp xúc T ∗M Phân thớ đối tiếp xúc Λp V ∗ C s M, Λp TM Tập hợp ánh xạ p−tuyến tính thay dấu không gian vectơ V
Không gian p−dạng vi phân thuộc lớp C s |I| Độ dài đa số I u∧v Tích ngồi dạng vi phân u v du Đạo hàm dạng vi phân u supp u Giá u p HdR M Nhóm đối đồng điều de Rham bậc p M Λp,q (X) Tập hợp dạng vi phân kiểu (p, q) X s (X) Cp,q Tập hợp dạng vi phân lớp C s kiểu (p, q) X P SH(Ω) Họ hàm đa điều hòa Ω D(p,q) X Tập hợp dòng song bậc (n − p, n − q) X P SH(X, ω) Tập hợp hàm ω−đa điều hòa M A(ϕ) Toán tử Monge-Ampère phức đa tạp Kăahler compact Cap K Dung lng Monge-Ampốre ca Borel K 1A Hàm đặc trưng tập A E(X, ω) Lóp lượng hữu hạn W Tập hợp trọng Mở đầu Kể từ cơng trình tảng Bedford Taylor [1], nhiều tác giả phát triển lý thuyết đa vị Cn (hoặc đa tạp Stein) Lý thuyết dùng cho nghiên cứu hàm đa điều hịa xem tổng quát hóa cách phi tuyến tính lý thuyết vị cổ điển (theo biến phức), mà hàm điều hịa toán tử Laplace ∆ thay hàm đa điều hịa tốn tử Monge - Ampère phức (ddc )n Mục tiêu phát triển từ lý thuyết đa vị địa phương Cn thành lý thuyết đa vị toàn cc trờn cỏc a Kăahler compact Theo nguyờn lý cực đại, hàm đa điều hòa đa tạp phức compact X hàm Điều đòi hỏi xây dựng lớp hàm ω−đa điều hòa dưới, định nghĩa cách toàn cục X địa phương xem tổng hàm đa điều hịa hàm trơn, kí hiệu P SH(X, ω) Những hàm giới thiệu Demailly, gọi hàm tựa đa điều hòa Trong lý thuyết đa vị địa phương, với lớp hàm ω−đa điều hòa bị chặn, Bedford Taylor xây dựng thành cơng tốn tử Monge - Ampère phức, từ đưa khái niệm dung lượng tập Borel Cn Kolodziej sau Guedj, Zeriahi mở rộng định nghĩa toán tử Monge - Ampère phức, trước ht l lờn cỏc a Kăahler compact vi cỏc hàm ω−đa điều hòa bị chặn ϕ sau ϕ 7→ M A(ϕ) := V := R ω n > X 1 (ω + ddc ϕ)n V Từ định nghĩa dẫn đến kết như: liên tục theo dãy giảm toán tử Monge - Ampère; khái niệm dung lượng Monge - Ampère Capω tập Borel ca a Kăahler; tớnh liờn tc v s hi tụ theo dung lượng toán tử Monge - Ampère phức; cuối nguyên lý so sánh Để mở rộng toán tử Monge - Ampère phức hàm ω−đa điều hịa khơng thiết bị chặn ϕ ∈ P SH(X, ω), trước tiên xét xấp xỉ tắc ϕ ϕj = max(ϕ, −j) ∈ P SH(X, ω) ∩ L∞ (X) Tiếp theo xét dãy tăng độ đo Borel µj := 1{ϕ>−j} M A(ϕj ) Vì µj có khối lượng tồn bị chặn nên ta xét µϕ := lim µj j→+∞ độ đo Radon dương X có khối lượng tồn nhỏ Để độ đo Monge - Ampère xác định tốt ta cần định nghĩa lớp lượng hữu hạn E(X, ω) gồm hàm ϕ ω−đa điều hòa có khối lượng µϕ (X) = Như vậy, định nghĩa toán tử Monge - Ampère M A(ϕ) := µϕ mở rộng lên lớp hàm ω−đa điều hịa khơng thiết bị chặn Hơn nữa, lớp E(X, ω) lớp lớn mà tốn tử Monge - Ampère phức xác định tốt nguyên lý so sánh a Các lớp lượng hữu hạn có vai trị quan trọng việc đưa lý thuyết biến phân đầy đủ cho phương trình Monge - Ampère phức, góp phần mở rộng kết lý thuyết đa vị Việc tìm hiểu lớp lượng hữu hạn giúp tơi tìm hiểu sâu sắc kiến thức phương trình vi phân, lý thuyết đa vị, hình học giải tích phức Luận văn "Tìm hiểu bước đầu lớp lượng hữu hạn đa Kăahler" ca tụi cú ni dung chớnh l trỡnh bày lại trình xây dựng nên lớp lượng hu hn trờn a Kăahler compact cựng vi cỏc tính chất kết tiêu biểu Luận văn gồm ba chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức Hình học phức, Lý thuyết đa vị có liên quan để phục vụ cho chương Chương Toán tử Monge - Ampốre phc trờn a Kă ahler compact Chương trình bày kiến thức lý thuyt th v trờn a Kăahler vi cỏc nội dung: • Lớp hàm ω−đa điều hịa • Toỏn t Monge - Ampốre phc trờn a Kă ahler compact • Sự hội tụ theo dung lượng Monge - Ampère • Nguyên lý so sánh Chương Lớp nng lng hu hn E(X, ) trờn a Kă ahler compact Chương mở rộng định nghĩa toán tử Monge - Ampère phức đến lớp lượng hữu hn E(X, ) trờn a Kăahler compact vi cỏc nội dung: • Lớp E(X, ω) • Lớp lượng với trọng • Tốn tử Monge - Ampère phức mở rộng 36 Cho ϕ ∈ P SH(X, ω), ta viết ϕ ∈ L1 (T ) ϕ khả tích hệ số độ đo T Điều tương đương với ϕ khả tích độ đo vết T ∧ ω n−p Trong trường hợp dịng ϕT xác định tốt ωϕ ∧ T := ω ∧ T + ddc (ϕT ) xác định tốt Dòng lần dịng dương đóng song bậc (p + 1, p + 1) X Thật vậy, tính dương tính chất địa phương ổn định qua phép lấy giới hạn, ta quy hóa địa phương ϕ xấp xỉ ωϕ ∧ T dòng ωϕε ∧ T , dịng dương ωϕε dạng dương trơn Khi ϕ ∈ P SH(X, ω) ∩ L∞ (X) ϕ ∈ L1 (T ) với dịng dương đóng song bậc (p, p) tùy ý T Như ta định nghĩa quy nạp ωϕj ∧ T , ≤ j ≤ n − p, với ϕ ∈ P SH(X, ω) ∩ L∞ (X) Đối với T = j = n ta nhận toán tử Monge - Ampère phức ωϕn = (ω + ddc ϕ)n 2.2.2 Sự liên tục toán tử Monge - Ampère theo dãy giảm Kết sau thường gọi công thức tích phân phần Bổ đề 2.2.1 (Tích phân phần) Nếu ϕ, ψ ∈ P SH(X, ω) ∩ L∞ (X) T dịng dương đóng có song bậc (n − 1, n − 1) Z Z ϕddc ψ ∧ T = X ψddc ϕ ∧ T X Chứng minh Nếu ϕ ∈ C (X) khẳng định đơn định nghĩa ddc (ψT ) Cho ϕj , ψj hai dãy giảm hàm trơn ω−đa điều hòa hội tụ ϕ ,ψ Theo định lý hội tụ đơn điệu ta có   Z Z Z Z c c lim ϕj dd ψ ∧ T = lim  ϕj (ω + dd ψ) ∧ T − ϕj ω ∧ T  = ϕddc ψ ∧ T j→+∞ j→+∞ X X X X 37 Do ψ nửa liên tục trên X nên Z Z ψωϕj ∧ T ≤ lim sup ψωϕ ∧ T j→+∞ X X Z Z c ⇔ lim sup ψ (ω + dd ωj ) ∧ T ≤ ψ (ω + ddc ω) ∧ T j→+∞ X X Do ψ bị chặn, đặc biệt ψ khả tích độ đo ω ∧ T , nên Z Z ψddc ϕj ∧ T ≤ lim sup ψddc ϕ ∧ T j→+∞ X Như ta chứng minh R X X ϕddc ψ ∧ T ≤ R X ψddc ϕ ∧ T Do vai trò ϕ ψ nên ta có dấu Bổ đề 2.2.2 Cho ϕ, ψ ∈ P SH(X, ω) ∩ L∞ (X) T dịng dương đóng có song bậc (n − p, n − p) Ta có Z (ϕ − ψ)ωϕp Z ∧T ≤ X (ϕ − ψ)ωψp ∧ T (2.2.1) X Chứng minh Trước tiên ta xét p = Nếu ϕ, ψ hàm trơn (2.2.1) viết lại Z f ddc f ∧ T ≤ với f = ϕ − ψ X Theo công thức Stokes điều tương đương với R df ∧ dc f ∧ T ≥ Bất đẳng X thức (2.2.1) thỏa mãn (theo định nghĩa) df ∧ dc f = i ∂f ∧ ∂f π dạng dương mạnh Tiếp theo ta chứng minh trường hợp tổng quát Cho ϕj , ψk dãy giảm hàm ω−đa điều hòa hội tụ ϕ ,ψ Theo phân tích ta có Z Z (ϕj − ψk )ωϕj ∧ T ≤ (ϕj − ψk )ωψk ∧ T, ∀j, k ∈ N X X Ta cần lấy giới hạn j, k → +∞ Ta chứng minh Z Z ϕj ωϕj ∧ T = lim j→+∞ X ϕωϕ ∧ T X (2.2.2) 38 Thật vậy, với k cố định theo Bổ đề hội tụ theo độ đo ta có Z Z Z ϕj ωϕj ∧ T ≤ lim sup lim sup j→+∞ ϕk ωϕj ∧ T ≤ j→+∞ X ϕk ωϕ ∧ T X X Cho k → +∞ áp dụng định lý hội tụ đơn điệu ta Z Z ϕj ωϕj ∧ T ≤ lim sup ϕωϕ ∧ T j→+∞ X X Để chứng minh bất đẳng thức lại ta dùng cơng thức tích phân phần Do ϕj ≥ ϕ nên Z Z ϕj ωϕj ∧ T ≥ lim inf lim inf j→+∞ ϕωϕj ∧ T j→+∞ X X Z ≥ Z ϕω ∧ T + lim inf ϕ(ωϕj − ω) ∧ T j→+∞ X X Z ≥ ϕωϕ ∧ T X Bây cho j → +∞ (2.2.2) ta Z Z (ϕ − ψk )ωψk ∧ T, ∀k ∈ N (ϕ − ψk )ωϕ ∧ T ≤ X X Lập luận tương tự ta cho k → +∞ điều phải chứng minh Nếu p > ta chứng minh quy nạp sau Giả sử Bổ đề 2.2.2 với p = 1, , k Ta chứng minh cho p = k + Giả sử T dịng dương đóng có song bậc (n − p, n − p) Áp dụng giả thiết quy nạp cho S1 = ωϕ ∧ T S2 = ωψp−1 ∧ T ta Z (ϕ − ψ)ωϕp Z ∧T ≤ X (ϕ − ψ)ωψp−1 ∧ ωϕ ∧ T X Z ≤ (ϕ − ψ)ωϕ ∧ ωψp−1 ∧ T X Z ≤ (ϕ − ψ)ωψ ∧ ωψp−1 ∧ T X Z ≤ X (ϕ − ψ)ωψp ∧ T 39 Theo lý thuyết đa vị địa phương toán tử ϕ 7→ ωϕn liên tục theo dãy đơn điệu (xem [1]) Chứng minh tính chất liên tục đơn giản hóa nhiều trường hợp compact mà ta xét Sau ta trình bày chứng minh toàn cục Định lý 2.2.3 Giả sử ϕ ∈ P SH(X, ω) ∩ L∞ (X) ϕj dãy giảm hàm ω−đa điều hòa hội tụ ϕ Với dịng dương đóng T có song bậc (n − p, n − p) ψ ∈ P SH(X, ω) ∩ L∞ (X) ta có Z c Z p ψ(ω + ddc ϕ)p ∧ T ψ(ω + dd ϕj ) ∧ T = lim j→+∞ X X Chứng minh Ta chứng minh Định lý 2.2.3 quy nạp theo p Với p = khẳng định Định lý 2.2.3 suy từ định lý hội tụ đơn điệu Giả sử Định lý 2.2.3 chứng minh với tất p ∈ {0, , k} Ta chứng minh Định lý 2.2.3 cho p = k + Cho T dịng dương đóng có song bậc (n − k − 1, n − k − 1) Đặt Sj := ω + ddc ϕj Áp dụng công thức tích phân phần (Bổ đề 2.2.1) ta có Z ψSjk+1 Z ∧T = X ψSjk Z ∧ ω ∧ T+ = (2.2.3) ϕj Sjk (ωψ − ω) ∧ T (2.2.4) X X Z ϕj Sjk ddc ψ ∧ T ψSjk Z ∧ω∧T + X X Nếu Ω dịng dương đóng song bậc (n − k, n − k) theo giả thiết quy nạp ta có Z c Z k ψ(ω + dd ϕj ) ∧ Ω = lim j→+∞ X Thay Ω = ω ∧ T ta Z X c k Z ψ(ω + dd ϕj ) ∧ ω ∧ T = lim j→+∞ X ψ(ω + ddc ϕ)k ∧ Ω X ψ(ω + ddc ϕ)k ∧ ω ∧ T (2.2.5) 40 Do ϕj ≥ ϕ nên theo giả thiết quy nạp ta có Z Z ϕj (ω + ddc ϕj )k ∧ Ω ≥ lim inf lim inf j→+∞ j→+∞ X ϕ(ω + ddc ϕj )k ∧ Ω (2.2.6) X Z ≥ ϕ(ω + ddc ϕ)k ∧ Ω (2.2.7) X Mặt khác theo Bổ đề 2.2.2 ta có Z k c Z (ϕj − ϕ)(ω + dd ϕj ) ∧ Ω ≤ X (ϕj − ϕ)(ω + ddc ϕ)k ∧ Ω X Theo định lý hội tụ đơn điệu vế phải hội tụ j → +∞ Từ theo giả thiết quy nạp ta có Z c Z k ϕj (ω + dd ϕj ) ∧ Ω ≤ lim sup ϕ(ω + ddc ϕ)k ∧ Ω (2.2.8) j→+∞ X X Từ (2.2.7) (2.2.8) ta có Z c Z k ϕj (ω + dd ϕj ) ∧ Ω = lim j→+∞ X X Thay Ω = (ωψ − ω) ∧ T = ddc ψ ∧ T ta Z Z ϕj (ω + ddc ϕj )k ddc ψ ∧ T = lim j→+∞ ϕ(ω + ddc ϕ)k ∧ Ω X ϕ(ω + ddc ϕ)k ddc ψ ∧ T X Áp dụng (2.2.5) (2.2.9) vào (2.2.4) ta Z Z c lim k+1 ψ(ω + dd ϕj ) j→+∞ (2.2.9) c ∧T = X k Z ψ(ω + dd ϕ) ∧ ω ∧ T + X X Z c k Z ψ(ω + dd ϕ) ∧ ω ∧ T + = X Z = ϕ(ω + ddc ϕ)k ddc ψ ∧ T ψ(ω + ddc ϕ)k ddc ϕ ∧ T X ψ(ω + ddc ϕ)k+1 ∧ T X Ta biết toán tử Monge - Ampère liên tục theo dãy giảm (Định lý 2.2.3) Ta chứng minh tính liên tục cịn với dãy tăng dãy hội tụ theo dung lượng Monge - Ampère 41 2.3 2.3.1 Sự hội tụ theo dung lượng Monge - Ampère Dung lượng Monge - Ampère Trước tiên ta trình bày kiểu tồn cục bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg Mệnh đề 2.3.1 ([7], Proposition 9.4) ( Các bất đẳng thức Chern-LevineNirenberg) Cho T dịng dương đóng có song bậc (p, p) X ϕ ∈ P SH(X, ω) ∩ L∞ (X) Khi kωϕ ∧ T k = kT k Hơn nữa, ψ ∈ P SH(X, ω) ∩ L1 (T ) ψ ∈ L1 (T ∧ ωϕ )  kψkL1 (T ∧ωϕ ) ≤ kψkL1 (T ) + Chứng minh Theo định lý Stokes, R  sup ψ + sup ϕ − inf ϕ kT k X X X ddc ϕ ∧ T ∧ ω n−p−1 = X Z kωϕ ∧ T k := ωϕ ∧ T ∧ ω Z n−p−1 = X T ∧ ω n−p := kT k X Bây ta xét ψ ∈ P SH(X, ω) ∩ L1 (T ) Vì T có hệ số độ đo, nghĩa ψ khả tích khả tích theo độ đo biến phân toàn phần Trước hết giả sử ψ ≤ 0, ϕ ≥ ϕ, ψ hàm trơn Khi Z kψkL1 (T ∧ωϕ ) := (−ψ)T ∧ ωϕ ∧ ω n−p−1 Z = kψkL1 (T ) + (−ψ)T ∧ ddc ϕ ∧ ω n−p−1 X X Theo định lý Stokes ta có Z c (−ψ)T ∧ dd ϕ ∧ ω n−p−1 Z = X ϕT ∧ (−ddc ψ) ∧ ω n−p−1 X Z ≤ ϕT ∧ ω n−p X Z ≤ sup ϕ T ∧ ω n−p X X Trường hợp tổng quát có cách thay ϕ ϕ0 = ϕ − inf ϕ ≥ với X nhận xét ωϕ = ω , phân tích ψ = ϕ0 ψ0 + sup ψ với X ψ0 = ψ − sup ψ ≤ X 42 Áp dụng Bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg chứng minh quy nạp ta hệ sau Hệ 2.3.2 ([7], Corollary 9.5) Cho ψ, ϕ ∈ P SH(X, ω) với ≤ ϕ ≤ Ta có Z Z Z |ψ| ωϕn ≤ 0≤ X |ψ| ω n + n[1 + sup ψ] ωn X X X Dựa vào ý tưởng định nghĩa dung lượng Monge - Ampère địa phương Bedford-Taylor [1] Kolodziej [10], định nghĩa dung lượng Monge - Ampốre ca mt Borel ca a Kăahler giới thiệu sau Định nghĩa 2.3.3 ([8], Definition 2.4) Cho K tập Borel X Ta định nghĩa Capω (K) := sup  Z  K   ωϕn ϕ ∈ P SH(X, ω), ≤ ϕ ≤  Nếu E ⊂ X tập X , ta định nghĩa dung lượng Cap∗ω (E) Cap∗ω (E) := inf Capω (G) G ⊂ X, G mở, E ⊂ G  Mệnh đề sau thiết lập tính chất dung lượng Monge - Ampère Mệnh đề 2.3.4 ([8], Proposition 2.5) (i) Nếu K ⊂ K ⊂ X tập Borel X V olω ≤ Capω ≤ Capω (K) ≤ Capω (K ) ≤ Capω (X) = V olω (X) ! S (ii) Nếu (Kj ) tập Borel X Capω Kj ≤ j ! S Hơn nữa, Capω Kj = lim Capω (Kj ) Kj ⊂ Kj+1 j j→+∞ P j Capω (Kj )