Số hoàn thiện và số hoàn thiện thiếu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ XUÂN THÙY SỐ HOÀN THIỆN VÀ SỐ HOÀN THIỆN THIẾU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ XUÂN THÙY SỐ HOÀN THIỆN VÀ SỐ HOÀN THIỆN THIẾU Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2022 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các tài liệu, trích dẫn, kết đề tài luận văn tốt nghiệp có nguồn gốc rõ ràng, trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm cam kết Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng năm 2022 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin chân thành cảm ơn Thầy Cơ khoa Tốn – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, q Thầy Cơ giảng dạy lớp cao học khóa 30 trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy tơi suốt khóa học vừa qua Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, người gợi mở hướng nghiên cứu, hướng giải vấn đề cách khoa học, đọc chỉnh sửa tỉ mỉ cho luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cơ Ban giám hiệu, Phịng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành chương trình học Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, quý thầy cô đồng nghiệp trường THPT Phạm Phú Thứ, quận 6, Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho học Cuối tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến gia đình tơi, bạn học khóa, người ln động viên, chia sẻ giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng năm 2022 Học viên thực luận văn Nguyễn Thị Xuân Thùy MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài II Mục đích đề tài III Đối tượng phạm vi nghiên cứu IV Nội dung luận văn V Phương pháp nghiên cứu CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 QUAN HỆ CHIA HẾT, QUAN HỆ ĐỒNG DƯ 1.1.1 Quan hệ chia hết 1.1.2 Quan hệ đồng dư 1.2 SỐ NGUYÊN TỐ, SỐ FERMAT, SỐ MERSENNE 1.2.1 Số nguyên tố 1.2.2 Số Fermat 1.2.3 Số Mersenne 1.3 MỘT SỐ HÀM SỐ HỌC 11 1.3.1 Phi hàm Euler 11 1.3.2 Hàm tổng số ước số nguyên dương 14 1.4 CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA SỐ HỌC 16 1.4.1 Bổ đề 16 1.4.2 Bổ đề 16 1.4.3 Định lý Wilson 17 1.4.4 Định lí đảo định lý Wilson 17 1.4.5 Định lí Fermat bé 18 CHƯƠNG 2: SỐ HOÀN THIỆN VÀ SỐ HOÀN THIỆN THIẾU 19 2.1 SỐ HOÀN THIỆN 20 2.2 SỐ HOÀN THIỆN THIẾU 25 2.3 MỐI LIÊN HỆ GIỮA SỐ HOÀN THIỆN VỚI SỐ HOÀN THIỆN THIẾU VÀ SỐ DESCARTES 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Một số gọi hồn thiện số tổng ước thực Số hồn thiện gắn liền với số ngun tố Mersenne đóng vai trị quan trọng lý thuyết số có nhiều ứng dụng quan trọng thực tiễn Đã có nhiều nghiên cứu số hoàn thiện số nguyên tố Mersenne, nhiên đến nhiều vấn đề mở số hoàn thiện chẳng hạn tồn hữu hạn vơ hạn số hồn thiện, tồn hay khơng số hồn thiện lẻ, v.v… Ngày nhà tốn học mở rộng khái niệm số hồn thiện lên nhiều khái niệm khác chẳng hạn số gần hoàn thiện, số hồn thiện thiếu có nhiều kết thú vị chúng Chính vậy, chúng tơi chọn đề tài “số hoàn thiện số hoàn thiện thiếu” muốn tìm hiểu sâu thêm số hồn thiện số hồn thiện thiếu - lớp số có vai trị quan trọng lý thuyết số II Mục đích đề tài Một số kết số hoàn thiện, số hoàn thiện thiếu Nghiên cứu tồn số hoàn thiện thiếu liên quan số hoàn thiện số hoàn thiện thiếu Xây dựng số hoàn thiện thiếu chẵn số Descartes từ số hoàn thiện thiếu III Đối tượng phạm vi nghiên cứu Số hoàn thiện Số hoàn thiện thiếu Mối liên quan số hoàn thiện số hoàn thiện thiếu Xây dựng số Descartes từ số hoàn thiện thiếu IV Nội dung luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, phần kết thúc, kết luận chương Chương 1: Các kiến thức Chương 2: Số hoàn thiện số hoàn thiện thiếu Trong chương trình bày số kết số hồn thiện kết gần số hoàn thiện thiếu cụ thể − Số hoàn thiện − Số hoàn thiện thiếu − Mối liên quan số hoàn thiện số hoàn thiện thiếu − Xây dựng số Descartes từ số hoàn thiện thiếu V Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tổng hợp tài liệu sách, báo chuyên ngành lý thuyết số kết hợp kiến thức, kỹ học, công cụ, kỹ thuật lý thuyết số trình bày, nghiên cứu vế số hoàn thiện số hoàn thiện thiếu CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 QUAN HỆ CHIA HẾT, QUAN HỆ ĐỒNG DƯ 1.1.1 Quan hệ chia hết Định nghĩa 1.1.1.1: Cho m, n số nguyên, ta nói m chia hết cho n (hay n chia hết m) tồn số nguyên k cho m = kn Ký hiệu n m hay m n Nếu m chia hết cho n n gọi ước m hay m bội n Nếu n không chia hết m (hay m không chia hết cho n) ta viết n | m m  n Mệnh đề 1.1.1.2: Cho m, n, k số nguyên Khi n m k  n km Chứng minh: n m suy n = um; k  n suy k = Do k = vum = (vu)m Vậy k  m  Mệnh đề 1.1.1.3: Cho a, b, c, m, n số nguyên Nếu a  c b c ( ma + nb ) c Chứng minh: a  c nên a = kc, b c nên b = lc ma+nb=mkc+nlc=(mk+nl)c Vậy ( ma + nb ) c  Thuật toán chia: Cho m, n số nguyên n > Khi tồn số nguyên q r cho m = nq + r, ≤ r < n Khi q gọi thương r gọi phần dư Như vậy, m chia hết cho n phần dư phép chia Để chứng minh thuật toán chia ta cần đến định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.1.4: Cho x số thực Phần nguyên x, ký hiệu [x] số ngun lớn khơng vượt q x Ví dụ [2,5]=2; [-2,2] =-3; [10] = 10 Nhận xét: Từ định nghĩa ta có với số thực x: x − < [ x ] ≤ x Chứng minh thuật toán chia: Giả sử q= [ m / n ],r= m − n[ m / n ] Ta có m = nq + r Theo ta có m m −1 < [m / n] ≤ n n Từ m − n < m[ m / n ] ≤ m Suy m ≤ r = m − n[ a / b ] < n Do r thỏa mãn tính chất địi hỏi thuật tốn chia Tiếp theo ta chứng minh q r xác định Gọi m, n hai số nguyên cho trước thỏa = m nq1 + r1 (1) với ≤ r1 < n = m nq2 + r2 (2) với ≤ r2 < n Từ (1) (2) suy ra: = n( q1 − q2 ) + ( r1 − r2 ) Do r2 − r= n( q1 − q2 ) Suy n ( r2 − r1 ) Vì ≤ r1 < n ; ≤ r2 < n nên −n < r2 − r1 < n Mà n ( r2 − r1 ) r2 − r1 = , tức r2 = r1 Vậy q2 = q1 nên q r xác định 1.1.2  Quan hệ đồng dư Định nghĩa 1.1.2.1: Cho a, b số nguyên Ta nói a đồng dư với b modulo n ( a − b ) n (hay n ( a − b ) ) Ký hiệu a ≡ b(mod n ) Nếu a không đồng dư với b modulo n ta viết a ≡ b(mod n ) Mệnh đề 1.1.2.2: Cho a, b số nguyên Khi a ≡ b(mod n ) tồn số nguyên k cho a= b + kn Chứng minh: kn với k số + Giả sử a ≡ b(mod n ) Khi ta có ( a − b ) n tức a − b = nguyên + Ngược lại, tồn số nguyên k thỏa mãn a= b + kn ( a − b ) n tức a ≡ b(mod n )  Mệnh đề 1.1.2.3: Quan hệ “a đồng dư b” quan hệ tương đương Chứng minh: + Tính chất phản xạ: Nếu a số nguyên a ≡ a(mod n ) ( a − a ) n + Tính chất đối xứng: Nếu a, b số nguyên Khi a ≡ b(mod n ) suy ( a − b ) n Lúc ta có ( b − a ) n tức b ≡ a(mod n ) 34 Nếu p3 = 17,23,29,41,47,53,59,71,83 89 ord = = ord ( p3 ) ( 11 ) Do α i ≡ 0(mod ),i = 2,3 ta có /| σ ( 3α1 11α p3α ) (3.5) khơng thể xảy p3 = 31,37,61,73,97 Nếu ord p3 ( ),ord p3 ( 11 ) chẵn Do α i ≡ 0(mod ),i = 1,2 , ta có p3 |/ σ ( 3α 11α p3α ) (3.5) khơng thể xảy Nếu p3 = 13 p3 = 19     f1 ( α ,α ,α ) ≥  −  −  −  = 0,9618   11  13  2 18 = g1 ( α ,α ,α ) ≤ 0,9569 11.19 Vì (3.6) khơng thể xảy Nếu p3 = 43 p3 = 79 α = 13 | σ ( 3211α p3α ) (3.5) khơng thể xảy Nếu p3 = 43 p3 = 79 α = (3.5) σ ( 11α p3α ) = 5.33.11α −2 p3α (3.7) Nếu α = 7.19.σ ( p3α ) = 5.33 p3α , điều khơng thể Từ α ≥ Chú ý rằng= ord11 ( 43 ) 2,ord = 10 α ≡ 0(mod ) 11 (79 ) Ta có 11 |/ σ ( 11α p3α ) Vì (3.7) khơng thể xảy Nếu p3 = 43 p3 = 79 α ≥     f1 ( α ,α ,α ) ≥  −  −  −  = 0,9987   11  43  g1 ( α ,α ,α ) ≤ 2 13 = 0,9973 32 11.79 Vì (3.6) xảy Trường hợp 4: p2 = Ta xét khả sau i) D ≥ 21 Khi = σ( n ) n + d 11 < + < (mâu thuẫn) n 10 21 35 α i β= D = p3 Khi α − β = = 1,2 Nếu p3 ≥ 13 i ,i ii) σ( n ) = n d 13 < + < (mâu thuẫn) n 12 13 + Do p3 = 11 (3.1), σ ( 3α α 11α ) = 3α +1.7 α +111α 2 −1 (3.8) Chú ý ord ( 11 ) chẵn α ≡ 0(mod ) , ta biết /| σ ( 11α ) Do (3.8), | σ (7 α ) |7 α 2 +1 − Vì ord (7 ) = , ta có | α + Do σ (7 )| σ (7 α ) 19 | σ (7 α ) (3.8) khơng thể xảy 2 D = Khi α − β1 = = α i β= 1,2 = α i β= 2,3 i ,i i ,i iii) Nếu p3 ≥ 17 = σ( n ) n + d 17 < + < (mâu thuẫn) n 16 Do p3 = 11 p3 = 13 Theo (3.1) σ ( 3α α p3α ) = 17.3α −2 α p3α 2 (3.9) Chú ý ord17 ( ),ord17 (7 ),ord17 ( p3 ) chẵn α i ≡ 0(mod ),i = 1,2,3 Ta có 17 /| σ ( 3α17 α p3α ) (3.9) khơng thể xảy iv) Khi D =7 α − β2 = = α i β= 1,3 Theo (3.1) i ,i σ ( 3α α p3α ) = 13.3α α −1 p3α (3.10) Nếu p3 ≥ 19 theo (3.2) = σ( n ) n + d 19 < + < (mâu thuẫn) n 18 Do p3 = 11,13 17 Đặt     f ( α ,α ,α ) =  − α1 +1  − α +1  − α +1  p     2 13( p3 − ) g ( α ,α ,α ) = p3 Khi đó, theo (3.10) f ( α ,α ,α ) = g ( α ,α ,α ) (3.11) 36 Nếu p3 = 11 α ≥     f ( α ,α ,α ) ≥  −  −  −  = 0,9922    11  g ( α ,α ,α ) ≤ 3.5.13 0,9647 = 11 Vì (3.11) khơng thể xảy Nếu p3 = 11 α = theo (3.2) = σ( n ) n + d σ ( 32 ) 11 < + < (mâu thuẫn) n 32 10 p3 = 11 Nếu p3 = 17 , ord7 ( ),ord7 ( p3 ) chẵn α i ≡ 0(mod ),i = 1,3 Ta có /| σ ( 3α α p3α ) (3.10) xảy v) D = Khi α − β1 = α i β= 2,3 Do (3.1) = i ,i σ ( 3α α p3α ) = 5.3α −1.7 α p3α (3.12) Hơn nữa, ord 1,2 |/ σ ( 3α α ) = ord = α i ≡ 0(mod ),i = 5( ) (7 ) Do ord7 ( ) = Vì vậy, ta có /| σ ( 3α ) Nếu | σ (7 α ) |7 α 2 +1 − Vì ord (7 ) = , ta có | α + , σ (7 )| σ (7 α ) từ p3 = 19 Do ord ( 19 ) = , ta có |/ σ ( 19α ) , (3.12) khơng thể xảy Khi /| σ (7 α ) Theo (3.12), σ ( 3α1 α ) = p3α σ ( p3α ) = 5.3α −1.7 α Khi đó: p3 ( 3α1 α − 3α1 +1 + ) = −20.3α1 α + 12 Vì α ,α ≥ , ta có 3α α > 3α +1 + α 2 +1 (3.13) − (3.13) khơng thể xảy Trường hợp 5: p2 = , theo bổ đề 2, nhận thấy n = 3α1 5α p3α với p3 ≥ 31 Ta xét khả sau i) σ ( n ) d 31 D ≥ 25 = + < + < (mâu thuẫn) ii) σ ( n ) d 37 D = 15 , p3 ≥ 37 = + < + < (mâu n n 30 25 n thuẫn) Do p3 = 31 theo (3.1) n 36 15 37 σ ( 3α 5α 31α ) = 29.3α −1.5α −131α 2 (3.14) ord 29 ( ) ord = = 1,2,3 , Chú ý = 29 ( 31) 28,ord 29 ( ) 14 α i ≡ 0(mod ),i = α α α ta có 29 |/ σ ( 31 ) (3.4) khơng thể xảy = α i β= 2,3 Do (3.1) D = Khi α − β1 = i ,i iii) σ ( 3α 5α p3α ) = 17.3α −2 5α p3α 2 (3.15) Nếu α = 13 | σ ( 3α1 5α p3α ) , (3.15) khơng thể xảy Từ α ≥ 1,2 Ta Chú ý ord17 ( ),ord17 ( ),ord ( ),ord ( ) chẵn α i ≡ 0(mod ),i = α α có 3.5.17 /| σ ( ) Do σ ( 3α1 5α ) = p3α σ ( p3α ) = 17.3α1 − 5α Khi α +1 p3 ( 3α1 −2 5α + 3α1 +1 + 5= − ) 136.3α1 −2 5α − − p3 ( 3α1 +1 + 5α +1 − ) − Do ( p3 − 136 )3α1 − 5α = (3.16) Ta biết | σ ( p3α ) | σ ( p3α ) , α chẵn, p3 ≡ 1(mod ) p3 ≡ 1(mod ) Từ p3 ≡ 1(mod 15 ) Chú ý khơng có p3 thỏa mãn p3 ≡ 1(mod 15 ) 31 ≤ p3 ≤ 131 Suy (3.16) xảy = α i β= 1,3 Do (3.1) D = Khi α − β = i ,i iv) σ ( 3α 5α p3α ) = 3α + 5α 2 −1 p3α (3.17) Nếu α = 13 | σ ( 3α1 5α p3α ) (3.17) khơng thể xảy Từ α ≥ ord ( ) 4,ord = 1,2 Ta có Chú ý = α i ≡ 0(mod ),i = 3( ) /| σ ( 3α1 5α ) , |/ σ ( 3α1 5α ) Do theo (3.17) σ ( 3α 5α ) = p3α σ ( p3α ) = 3α + 5α −1 Do theo (3.17) , p3 ( 3α1 +1.5α −1 − 3α1 +1 − 5α +1 + ) = −8.3α1 + 5α −1 + Chú ý α ≥ α ≥ , ta có 3α1 +1.5α −1 − 3α1 +1 − 5α +1 + > , (3.18) xảy (3.18) 38 = α i β= 2,3 Do (3.1) D = Khi α − β1 = i ,i v) σ ( 3α 5α p3α ) = 3α −1.5α +1 p3α (3.19) ord ( ) 4,ord = 1,2 Ta có /| σ ( 3α1 5α ) , Vì = ( ) α i ≡ 0(mod ),i = |/ σ ( 3α1 5α ) Do theo (3.19) σ ( 3α 5α ) = p3α σ ( p3α ) = 3α −1.5α +1 3 −8.3α1 −1.5α +1 + Từ p3 ( 3α1 −1.5α +1 − 3α1 +1 − 5α +1 + ) = Chú ý α ,α ≥ ta có 3α −1.5α +1 (3.20) − 3α1 +1 − 5α +1 + > Vì (3.20) khơng thể xảy Vậy định lí chứng minh  2.3 MỐI LIÊN HỆ GIỮA SỐ HOÀN THIỆN VỚI SỐ HOÀN THIỆN THIẾU VÀ SỐ DESCARTES Nội dung phần trình bày mối liên hệ số hồn thiện với số hồn thiện thiếu số Dercartes, phần trình phát triển dựa báo “Perfect and Deficient Perfect Numbers” [4] Đầu tiên ta chứng minh số hồn thiện lẻ có ước số số hoàn thiện α +1 m (p số ngun tố lẻ) n có thiếu cụ thể số hồn thiện lẻ có dạng n = p 2α ước D = p m ước số hoàn thiện thiếu với ước số thiếu d = p 2α m p 2α + + Định lí 2.3.1 Định lí 2.3.1: Mỗi số hồn thiện lẻ có ước số hoàn thiện thiếu Đặc α +1 m với p ≡ 1(mod ) ước D = p 2α m số hoàn thiện thiếu biệt, n = p α +1 m với p Chứng minh: Cho n số hoàn thiện lẻ Theo định lí Euler, n = p số nguyên tố mà p ≡ 1(mod ),m ∈  α ≥ Vì σ hàm nhân, σ( n ) = n σ ( p α +1 m ) = p α +1 m σ ( p 4α +1 )σ ( m ) = p α +1 m 2α + )σ ( p 2α ) = σ ( p 2α ) + p 2α +1σ ( p 2α ) = σ ( p α +1 ) , Ta thấy ( + p Từ 39 ( + p 2α +1 )σ ( p 2α )σ ( m ) =2 p 2α + p 2α m  p 2α + +    −1 σ ( p 2α )σ ( m ) p 2α +1   Vì = = 2α 2α + 2α + +1 p m p p +1     p 2α + + 2α σ ( D ) 2x − = x D = p m , ta kết luận , Đặt = D x Khi D số hồn thiện thiếu ước số d D p 2α m = p 2α + + D d = = x p 2α m p 2α + +  Năm 1638 Rene’ Descarter quan sát thấy D = 32 112 132 22021 số 2 2 2D Tuy hoàn thiện 22021 số nguyên tố, σ ( 11 13 )( 22021 + ) = nhiên thực tế 22021 = 19 61 hợp số Từ người ta định nghĩa số Descartes Định nghĩa 2.3.2 (Định nghĩa số Descartes): Số nguyên dương lẻ n = mk thỏa mãn k hợp số σ ( m )( k + ) = 2mk gọi số Descartes Như số D ví dụ số Descartes Chú ý giả sử n = mk số hoàn thiện thiếu với σ ( m )( k + ) = 2mk , σ( m ) m = 2( k + ) / ) − Do nhân tử m số Descartes mk hoàn thiện ( k + 1) / thiếu với ước số thiếu d = 2m Vậy giống số hoàn thiện lẻ, số Descartes k +1 có ước số số hồn thiện thiếu Định lí sau cho phép xây dựng số hoàn thiện lẻ số Descartes từ số hồn thiện thiếu Định lí 2.3.3 Nếu d số hoàn thiện thiếu lẻ với σ ( d ) = 2x − d x = n d( 2x − ) số hoàn thiện lẻ số Descartes Đặc biệt ( d ,2x − ) = , 40 2x-1 ngun tố n hồn thiện lẻ Nếu 2x-1 khơng ngun tố n số Descartes Chứng minh: Giả sử d số hoàn thiện thiếu lẻ với σ ( d ) = 2x − với x ∈  d x σ ( n ) , ( d ,2x − ) = = n d( 2x − ) : Tính tốn n σ ( d( 2x − )) σ ( d ) σ ( 2x − ) 2x − σ ( 2x − ) σ ( 2x − ) = = = d( 2x − ) d 2x − x 2x − x Do d( 2x − ) hoàn thiện σ ( 2x − ) = , xảy 2x-1 ngun tố x Nếu 2x-1 khơng ngun tố, theo giả thiết σ ( d ) = d( 2x − ) x 1) σ ( d )(( 2x − ) += d( 2x − ) = 2d( 2x − ) 2x x Vì = n d( 2x − ) số Descartes  41 Kết luận Luận văn tổng hợp kết quan hệ chia hết, quan hệ đồng dư, số kết số hoàn thiện, số hồn thiện thiếu Từ mở rộng, phát triển thêm định lí xây dựng sơ Descartes từ số hoàn thiện thiếu, nghiên cứu tồn số hoàn thiện thiếu liên quan số hoàn thiện số hoàn thiện thiếu, xây dựng số hoàn thiện thiếu chẵn số Descartes từ số hoàn thiện thiếu 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Holdener, J (2002) A theorem of Touchard and the form of odd perfect nembers Amer Math Monthly 109(7): 661 – 663 Tang, M., Feng, M (2014) On deficient-perfect numbers Bull Aust Math Soc 90(2): 186 – 194 Tang, M., Ren, X Z., Li, M (2013) On near-perfect and deficient-perfect numbers Colloq Math 133(2): 221 – 226 Judy Holdener and Emily Rachfal (2019): Perfect and Deficient Perfect Number Amer Math Monthly 126:6: 541-545