Miền dedekind

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Hữu Bảo MIỀN DEDEKIND Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan đề tài : “ Miền Dedekind” cơng trình nghiên cứu cá nhân tôi, sau tham khảo giảng học sách tài liệu Luận văn chưa cơng bố trến cơng trình khoa học thời điểm Tác giả luận văn Trần Hữu Bảo Lời cám ơn Trong trình học tập, nghiên cứu đề tài “ Miền Dedekind” nhận giúp đỡ, bảo nhiệt tình thầy, trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh để hồn thành luận văn Với tình cảm chân thành, tơi bày tỏ lòng biết ơn Ban giám hiệu, phòng Sau Đại học, Khoa Toán Tin trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, thầy giáo, giáo tham gia quản lí, giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu Tơi xin tỏ lòng biết ơn đặc biệt đến PGS TS Mỵ Vinh Quang – người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ kiến thức, tài liệu phương pháp để tơi hồn thành đề tài nghiên cứu khoa học Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, cổ vũ, khích lệ giúp đỡ thời gian qua Mặc dù dã có nhiều cố gắng suốt q trình thực đề tài, song cịn mặt hạn chế, thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp dẫn thầy giáo bạn đồng nghiệp Tp Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2020 Trần Hữu Bảo MỤC LỤC Lời mở đầu Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ VÀNH GIAO HỐN CĨ ĐƠN VỊ 1.1 Ideal 1.2 Ideal phân 1.3 Mở rộng vành 1.4 Vành Noether 1.5 Phần tử nguyên miền đóng nguyên 1.6 Vành đóng nguyên 13 1.7 Module xạ ảnh 14 1.8 Module nội xạ 14 Chương 2: MIỀN DEDEKIND 16 2.1 Định nghĩa tính chất 16 2.2 Ideal khả nghịch 24 2.3 Vành định giá rời rạc miền Dedekind 30 2.4 Sự phân tích ideal miền Dedekind 37 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 MỘT SỐ KÍ HIỆU A[ x ] Vành đa thức miền nguyên A Q( D) Trường thương D AB Bao đóng nguyên A B S −1R Vành thương vành R theo tập nhân S Ideal sinh p p A D A ideal D Dp Vành địa phương hóa vành D theo ideal nguyên tố p ∏J k∈K ⊕ Pi i∈I k Tích trực tiếp họ module ( J k )k Tồng trực tiếp họ module ( Pi )i Lời mở đầu Miền Dedekind mở rộng tự nhiên mặt số học miền ideal lại có nhiều tính chất khác lạ, so với miền ideal Bằng ý tưởng thay số ideal, thu nhiều kết thí vị miền Dedekind Miền Dedekind tài liệu có nhiều định nghĩa khác nhau, tùy thuộc vào tác giả quan tâm tính chất đại số hay số học Chính thế, mục đích luận văn tìm hiểu chứng minh tương đương định nghĩa khác miền Dedekind Luận văn chia thành hai chương Chương 1: Các kiến thức Nội dung chương này, trình bày số kiến thức vành giao hốn có đơn vị kiến thức đại số cần cho chương sau Chương 2: Miền Dedekind Chương chương luận văn, trình bày số kiến thức sâu sắc miền Dedekind, đặc trưng miền Dedekind, kiến thức dẫn đến điều kiện tương đương miền Dedekind Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ VÀNH GIAO HỐN CĨ ĐƠN VỊ 1.1 Ideal Định nghĩa 1.1.1 : Cho A vành giao hốn có đơn vị 1, tập khác rỗng I A gọi Ideal (kí hiệu I  A ) ∀a, b ∈ I , ∀x ∈ A , a + b ∈ I hay ax ∈ I • Các phép tốn: Cho I , J Ideal A I + J = {a + b : a ∈ I , b ∈ J} I J= {a1b1 + a2 b2 + + an bn : n ∈ , ∈ I, bi ∈ J} n  = ∑ bi : ∈ I , bi ∈ J   i =1  Khi I + J  A I J  A I J Ideal bé chứa tất tích bj với ∈ I , bj ∈ J Định nghĩa 1.1.2 : Cho A vành giao hốn có đơn vị, I  A , I Ideal nguyên tố với a, b ∈ A thỏa ab ∈ I a ∈ I b ∈ I Mệnh đề 1.1.3 : Cho A vành giao hốn có đơn vị, I  A Các điều sau tương đương: i I ideal nguyên tố ii ∀P, Q  A PQ ⊂ I P ⊂ I Q ⊂ I iii Vành thương A I miền nguyên Chứng minh: ( i ⇒ ii ) Lấy P, Q  A cho PQ ⊂ I , Giả sử P Q khơng thuộc I tồn a ∈ P b ∈ Q cho ab ∉ I Do PQ ⊂ I nên ab ∈ PQ ⊆ I suy a ∈ I b ∈ I , mâu thuẫn với ab ∉ I ( ii ⇒ iii ) P = Q P ⊂ Q P = Q Nhận xét ∀P, Q ∈ A ,  I P ∩ Q = ∅ ∀P, Q ∈ A , P.Q = + I ⊂ I I P ⊂ I = + I ⇒ Q ⊂ I = + I  P= + I ⇒ Q= + I Vậy A I miền nguyên ( iii ⇒ i ) ∀a, b ∈ A, ab ∈ I ( a + I )( b + I ) = ab + I = + I I a + I = a ∈ I Mà A I miền nguyên nên  ⇒ I b + I = b ∈ I suy I ideal nguyên tố Định nghĩa 1.1.4 : Cho M  A, M ≠ A , M Ideal tối đại A thỏa điều kiện ∀I  A, M ⊂ I ⊂ A I = M I = A Mệnh đề 1.1.5 M ideal tối đại A vành thương A M trường Chứng minh: ( ⇒ ) Lấy a = a + M ∈ A / M , a + M ≠ + M , ta chứng minh a khả nghịch A / M Thật a ∉ M nên M  a, M ⊂ A , với a, M ideal sinh bời a M Theo giả thiết ta phải có a, M = A , suy 1∈ a, M Từ ta có tồn b ∈ A cho 1∈ ab + M ⇒ + M =a, M b, M Vậy a + M khả nghịch hay A / M trường ( ⇐ ) Giả sử A M trường có ideal I thỏa M  I ⊂ A , ta chứng minh I = A Lấy a ∈ I mà a ∉ M ta có a + M khả nghịch A / M nên tồn + M Khi 1∈ ab + M ⊂ I Từ đó, b ∈ A để ( a + M )( b + M ) = ∀x ∈ A, x= 1.x ∈ I A = I Định lí 1.1.6 Mọi ideal tối đại ideal nguyên tố Chứng minh: Giả sử M ideal tối đại A vành thương A M trường nên miền nguyên theo mệnh đề 1.1.3 M ideal nguyên tố Định nghĩa 1.1.7 Một tập S A gọi đóng phép nhân 1∈ S S đóng phép nhân Ta định nghĩa quan hệ ≡ A × S sau: với u ∈ S ( a, s ) ≡ ( b, t ) ⇔ ( at − bs ) u = Thì ≡ quan hệ tương đương Ta đặt a / s kí hiệu cho lớp tương đương ( a, s ) , đặt S −1 A tập lớp tương đương định nghĩa phép cộng nhân S −1 A sau ( a / s ) + (b / t ) = ( at + bs ) / st ( a / s )( b / t ) = ab / st Cho p ideal nguyên tố A , S = A \ p tập đóng phép nhân Ta viết Ap thay cho S −1 A Phần tử a / s với a ∈ p hình thành ideal m Ap Nếu b / t ∉ m b ∉ p , dẫn đến b ∈ S b / t đơn vị Ap Điều cho thấy I ideal Ap I ⊄ m , I chứa phần tử khả nghịch chứa toàn vành Dẫn đến m ideal cực đại Ap , nói cách khác Ap vành địa phương Quá trình từ A đến Ap gọi địa phương hóa p Định lí 1.1.8 Các ideal nguyên tố S −1 A có tương ứng 1-1 với ideal nguyên tố A mà không nằm S Chứng minh: (xem [3] Mệnh đề 3.11 , trang 41 − 42 ) Định lí 1.1.9 Nếu N , P module A − module M P hữu hạn sinh, S −1 ( N : P ) = ( S −1 N : S −1P ) Chứng minh: (xem [3] Mệnh đề 3.15 , trang 43 ) 1.2 Ideal phân Định nghĩa 1.2.1 : Cho D miền nguyên, K = Q ( D ) trường thương D ∅ ≠ I ⊂ K , I gọi Ideal phân D thỏa điều kiện i ∀a, b ∈ I , a + b ∈ I ii ∀a ∈ I , ∀x ∈ D, ax ∈ I iii ∃γ ∈ D, γ ≠ : γ I ⊂ D Từ định nghĩa ta có : a) I , J ideal phân D I + J , I J ideal phân b) Nếu I ideal phân D I ∈ D ⇔ I  D 28 Khi đó, = β β β 1 ∈ P = β= P β β 1= D Và β ∉ D β ∈ D ∈ P ⇒ P= D mâu thuẫn P ≠ D Khả k ≥ Khi đó, P2 Pk ⊄ β , ∃α ∈ P2 Pk : α ∉ β để β α P P α  P ⊂ k ⊂ ∈ P β β β β α α α ∉ D ∈ D thì= α β ∈ β trái với cách chọn β β β β Vậy P ≠ D Bổ đề 2.2.7 Cho D miền Noether, M ideal tối đại D M khả nghịch Chứng minh: Thật vậy, xét M ideal tối đại, đặt M = {α ∈ Q ( D ) | α M ⊂ D} ,  ⊂ D Mà  ⊂ D ⇒ MM   D Mặt khác 1∈ M nên M =1.M ⊂ MM MM M ideal tối đại nên  = M MM  = D Giả sử MM  = M , MM M đóng phép nhân, nên M vành Q ( D ) Do D ≤ M ≤ Q ( D ) , mặt khác D miền Noether nên M ideal phân hữu hạn sinh D suy M module hữu hạn sinh D , theo hệ 1.5.5 M nguyên D Do D đóng nguyên nên từ D ≤ M ≤ Q ( D ) ta có  = D hay M khả nghịch M = D trái với bổ đề 2.2.6 MM Bổ đề 2.2.8 Nếu ideal D khả nghịch ideal phân D khả nghịch 29 Chứng minh: Lấy I ideal phân D , theo định lí 1.2.2 ta I = A với γ ∈ D, γ ≠ 0, A  D Do A khả nghịch nên tồn ideal γ phân B ⊂ Q ( D ) cho AB = D Xét J = γ B J ideal phân D IJ = = A.γ B D Vậy ideal phân I khả nghịch γ Định lí 2.2.9 Cho D miền nguyên Mọi ideal D khả nghịch thỏa mãn điều kiện sau: D vành Noether Mọi ideal nguyên tố khác không tối đại; D vành đóng nguyên Chứng minh: ( ⇒ ) Để chứng minh D Noether, ta chứng minh D ideal D hữu hạn sinh Thật vậy, cho A ideal D A A−1 = D Khi −1 đó, phần tử dơn vị viết thành 1= a1b1 + + anbn với ∈ A , bi ∈ A , = a a1 ( b1a ) + + an ( bn a ) ∈ a1 , , an , từ bi a ∈ D Vì A = a1 , , an hữu hạn sinh 2, ta chứng minh ideal nguyên tố tối đại lấy P ideal nguyên tố, M ideal tối đại chứa P , M khả nghịch, tồn ideal A ( M −1P) để P = M A Thì A ⊆ P M ⊆ P Nếu A ⊆ P ta có P ⊆ M P P khả nghịch nên ta M = D , mâu thuẫn M ⊆ P kết hợp với tính tối đại M ta P = M ideal tối đại 3, Bây ta chứng minh D đóng nguyên Ta ý bổ đề 2.2.7, ta có ideal phân khả nghịch Lấy x phần tử thuộc trường thương n D nguyên D Khi đó, ta viết x = c0 + c1 x + + cn−1 x n −1 , với 30 hệ số ck ∈ D Đặt I ideal phân D , I = 1, x, x , , x n−1 từ x n ∈ I ta xI ⊆ I Do I khả nghịch, ta có x ∈ D , D đóng nguyên ( ⇐ ) Lấy A ideal D , D vành Noether ideal nguyên tố tối đại nên A = P1 Pn , với Pk ∈ D, k ∈1, n ideal nguyên tố Do ideal nguyên tố tối đại nên theo bổ đề 2.2.7 Pk ∈ D, k ∈1, n khả nghịch Gọi Pk , k ∈1, n ideal phân mà thỏa Pk= Pk D, k ∈1, n , ta xét A = P1 Pn A ∈ Q ( D ) ideal phân D A A = D ideal A khả nghịch Từ định lí 2.2.9 định lí 2.2.4, ta có định lí sau Định lí 2.2.10 Cho D miền nguyên, D miền Dedekind thỏa mãn điều kiện sau: D vành Noether Mọi ideal nguyên tố khác không tối đại; D vành đóng nguyên 2.3 Vành định giá rời rạc miền Dedekind Định nghĩa 2.3.1 Cho K trường Một định giá rời rạc K ánh xạ v : K * →  ( với K * = K \ {0} ) cho: v (= xy ) v ( x ) + v ( y ) Vì vậy, v v ( x ) = −v ( x ) ) (⇒ v (1) = −1 v ( x + y ) ≥ ( v ( x ) , v ( y ) ) với x + y ≠ đồng cấu 31 Tập bao gồm phần tử tất x ∈ K * cho v ( x ) ≥ vành, gọi vành định giá v Nó vành định giá trường K Để thuận tiện, ta mở rộng v toàn K cách đặt v ( ) = +∞ Định nghĩa 2.3.2 Một miền nguyên D gọi vành định giá rời rạc có định giá rời rạc v trường thương K cho D vành định giá v Theo định lí 1.6.6 D vành địa phương với ideal tối đại M= {x ∈ K | v ( x ) > 0} Nếu hai phần tử x, y D có giá trị, tức v ( x ) = v ( y ) v ( xy −1 ) = u = xy −1 đơn vị D Dẫn đến x = y Cho I ≠ ideal D Nếu x ∈ I có giá trị nhỏ số phần tử I , v ( yx −1 ) ≥ với y ∈ I x ⊂ I ⊂ x Từ suy vành định giá rời rạc, ideal ideal có dạng Mk = {x ∈ A | v ( x ) ≥ k} Do vành định giá rời rạc Noether Mặt khác, v toàn ánh nên tồn x ∈ M cho v ( x ) = , sau M= x= M k x k , ( k ≥ 1) Do đó, M ideal nguyên tố khác khơng D , D miền Noether địa phương chiều ideal khác không lũy thừa ideal tối đại Mệnh đề 2.3.3 Cho A miền Noether địa phương chiều, M ideal tối đại Thì điều sau tương đương A vành định giá rời rạc A đóng nguyên M ideal 32 dim k M / M = với k = A / M Mọi ideal khác không lũy thừa M Tồn phần tử x ∈ A cho ideal khác khơng có dạng ( x ) , với k ≥ k Chứng minh: (1 ⇒ ) Vành định giá rời rạc vành định giá nên đóng nguyên theo định lí 1.6.6 ( ⇒ 3) Ta có ý sau: I ideal khác không A ,do M ideal nguyên tố khác không nên r ( I ) = M hay I M − nguyên sơ M n ⊆ I với n Bây giờ, lấy a ∈ M a ≠ Theo ý tồn số nguyên l l l −1 l −1 cho M ⊆ ( a ) , M ⊄ ( a ) Chọn b ∈ M b ∉ ( a ) đặt x= x −1= a ∈ K Ta có b b ∉ A ( b ∉ ( a ) ), mà A đóng ngun, x −1 khơng ngun a −1 A Giả sử x M ⊆ M , M A  x −1  − module, M ≠ A  x −1  ⊆ K nên M trung thành, A Noether nên M hữu hạn sinh Suy x −1 nguyên A , mâu thuẫn Vậy x −1M ⊄ M Bây giờ, b 1 x −1M = M = ( bM ) ⊆ M l ⊆ ( a ) =A a a a a Suy x −1M ideal A Nhưng x −1M ⊄ M nên ta phải có x −1M = A Vậy M = ( x ) (3 ⇒ 4) Nếu M = ( x ) M / = M K ( x + M ) không gian vector K , A miền Noerther địa phương có chiều, nên A khơng 33 phải vành Artin M l ≠ M l +1 với l (định lí 1.4.8) Vậy ta phải có dim K M / M = ( ⇒ 5) Lấy I ideal khác khơng, I M − nguyên sơ nên tồn l nguyên dương cho M l ⊆ I ⊆ M Khơng tính tồng qt, giả sử l ≥ xét thương A / M l , A / M l vành Artin địa phương, đó, Theo định lí 1.4.9 ta dim k ( M / M l )= / ( M / M l ) dim = k M / M l Suy = I / M M /M ) (= l n M n / M l với n ≤ l Tuy nhiên, I ⊇ M l n M n ⊇ M l ta phải có I = M (5 ⇒ 6) Ta có M ≠ M nên có phần tử x ∈ M \ M , theo giả thiết n tồn n nguyên dương để x = M Do x ∉ M , n phải 1, M = x Do với ideal l I khác khơng A ,= I M = x l , với l nguyên dương ( ⇒ 1) Giả sử M = x n , với tối đại, x ∈ M ta có x ⊆ M = x ∈ A , n nguyên dương Do M ideal x n ⊆ x M = x , hay M ideal Ta có xl ≠ xl +1 với l ngun dương, có nghĩa với phần từ khác khơng a ∈ A , theo giả thiết có l nguyên dương cho a = x l Ta định nghĩa ánh xạ v : A \ {0} →  a → v(a) = l Nếu lấy a, b ∈ A cho a = x l b = x m ab = x l x m = x l + m ⇒ v ( ab ) =v ( a ) + v ( b ) 34 v ( a ) l ,= v (b) = m a Hơn nữa, giả sử = = x l b x m nên tồn l u , w ∈ A * sao= cho a ux = b wx m Khơng tính tổng quát, giả sử l ≤ m a + b = ux l + wx m = x l ( u + vx m−l ) u + wx m−l ∈ A Vì a + b ∈ x l a + b ⊆ x l Nếu a + b ⊆ x r , ta có x r ⊆ x l , v(a) r ≥ l v ( a + b ) ≥ l = Bây ta mở rộng v thành ánh xạ v : K * →  cách định nghĩa a v = {0 x ∈ K *| v ( x ) ≥ 0} , ta chứng minh A = O  v ( a ) − v ( b ) Đặt O = b Vì v ( a ) ≥ 0, ( a ∈ A *) = y nên A ⊂ O Bây lấy y ∈ O \ {0} , a , ( a, b ∈ A \ {0} ) , ta có ≤ v ( y ) = v ( a ) − v ( b ) Dẫn đến v ( a ) ≥ v ( b ) Nếu b = v(a) l= v ( b ) m , theo định nghĩa= v a = x l b a ⊂ b suy a ∈ b , y= a ∈ A , O = A Vậy b x m dẫn đến A vành định giá rời rạc Bổ đề 2.3.4 Cho M ideal phân A , điều sau tương đương: M khả nghịch M hữu hạn sinh với ideal nguyên tố p , M p khả nghịch M hữu hạn sinh ideal tối đại m , M m khả nghịch Chứng minh: 35 (1) ⇒ ( ) Theo hệ 2.2.2 M khả nghịch nên M hữu hạn sinh Theo định lí 1.1.7 định lí = 1.1.8 Ap M ( A : M ) ) (= p M p ( Ap : M p ) suy M p khả nghịch ( ) ⇒ ( 3) hiển nhiên ( 3) ⇒ (1) = Đặt L M ( A : M ) ⊆ A Thì L ideal A Với ideal tối đại m A , tập S = A \ m −1 Lm M = = ( A : M ) M m ( S −1 A : S −1M ) ( định lí 1.1.9) mS = M= Am ( M m khả nghịch) m ( Am : M m ) Đặc biệt Lm không chứa ideal tối đại S −1m , L ∩ S ≠ ∅ ∅ Vì ta phải có L ⊄ m L ⊄ m Nếu Lm ⊂ Am ideal L ∩ S = Mà m ideal tối đại suy L = A Vậy M khả nghịch Bổ đề 2.3.5 Cho A vành địa phương A vành định giá rời rạc ⇔ Mọi ideal phân khác không A khả nghịch Chứng minh: ( ⇒ ) Lấy I ideal phân khác khơng A , tồn ≠ y ∈ A để yI ⊂ A Khi yI ideal A , mà A vành định giá rời rạc theo mệnh đề 2.3.3 A vành chính, nên đặt yI = x r , s = v ( y ) với x phần tử sinh ideal tối đại M Từ ta có I = x r − s nên khả nghịch ( ⇐) Mọi ideal phân khác không khả nghịch nên hữu hạn sinh, A Noether Gọi M ideal tối đại A Thì tồn ideal phân M ⊂ K cho MM = A Ta chứng minh ideal A có dạng 36 M n , ( n ∈  ) Lấy J ideal khác không A Thì J ∈ M JM ⊂ MM = A , điều cho thấy JM ideal A Mặt khác, A  M = JA = J theo bổ đề suy J  JM , J = JM ta có JM Nakayama M = Bây ta xét chuỗi tăng ngặt ideal J  JM  JM  Vì A Noether nên chuỗi dừng Tức tồn n để IM n = A Do JM M M= hay J M Theo mệnh đề 2.3.3 A vành định giá rời = n n n n rạc Bổ đề 2.3.6 Cho D vành định giá rời rạc, ideal nguyên tố tối đại Chứng mimh: Lấy P ideal nguyên tố M ideal tối đại D cho P ⊂ M Đặt S = D \ M Khi S −1P ⊂ S −1M S −1P ideal nguyên tố Tuy nhiên ( −1 −1 AP vành định chuẩn rời rạc nên S P = S M ) , mà S n nguyên tố nên S −1P = S −1M , đó, với m ∈ M ms= p ∈ P mà s ∈ A \ M nên s ∉ P suy m ∈ P Vậy −1 P ideal m p suy = s P=M Định lí 2.3.7 Cho D miền nguyên, điều sau tương đương: D miền Dedekind Mọi ideal phân khác không D khả nghịch Chứng minh: 37 (1) ⇒ ( ) Lấy M ≠ ideal phân Do D Noether, M hữu hạn sinh Với ideal nguyên tố p ≠ , M p ideal phân khác không vành định giá rời rạc D p nên khả nghịch bổ đề 2.3.5 Và M khả nghịch theo bổ đề 2.3.4 ( ) ⇒ (1) Mọi ideal phân khác khơng D khả nghịch, hữu hạn sinh, dẫn đến D Noether Mọi ideal khác không D khả nghịch D p vành định giá rời rạc D p đóng nguyên ( mệnh đề 2.3.3) theo định lí 1.5.8 dẫn đến D đóng ngun Mọi ideal phân khác khơng D khả nghịch nên D vành định giá rời rạc Kết hợp với bổ đề 2.3.5, ideal nguyên tố tối đại Nên theo định lí 2.2.10 ta có D miền Dedekind 2.4 Sự phân tích ideal miền Dedekind Bổ đề 2.4.1 Nếu D miền Noether ideal khác khơng D chứa tích hữu hạn ideal nguyên tố khác không Chứng minh: Phản chứng Giả sử ngược lại, gọi S tập tất ideal khác khơng D mà khơng chứa tích hữu hạn ideal nguyên tố khác không Do S ≠ ∅ , nên tồn phần tử tối đại I I không ideal nguyên tố nên ∃B, C  D : BC ⊂ I , B ⊄ I , C ⊄ I suy I  I + B ⇒ I + B ⊄ S ⇒I+B= P1 Pk , với Pi ideal nguyên tố khác không Tương tự, I +C = Q1 Ql , với Pi ideal nguyên tố khác khơng Khi ta có I ⊃ ( I + B )( I + C ) = P1 Pk Q1 Ql Suy I ∉ S trái với chọn I 38 Bổ đề 2.4.2 Cho D miền Dedekind, P ideal nguyên tố khác không D Khi đó, D ⊂ P P ≠ D với P =∈ {α K | α P ⊂ D} với ( K = Q ( D ) ) Chứng minh: D miền Dedekind nên theo định lí 2.2.10 D miền Noether ideal nguyên tố D tồi đại áp dụng bổ đề 2.2.6 ta D ⊂ P P ≠ D Bổ đề 2.4.3 Cho D miền Dedekind, P ideal nguyên tố D Khi P P = D hay ta nói ideal P khả nghịch Chứng minh: D miền Dedekind, nên ideal nguyên tố P ideal tối đại, theo bổ đề 2.2.7 ta có P khả nghịch Định lí 2.4.4 Cho D miền Dedekind Khi ideal khác khơng D phân tích thành tích ideal nguyên tố Chứng minh: Giả sử tồn ideal khác không D mà không phân tích thành tích ideal nguyên tố Gọi S tập tất ideal Vì D miền Dedekind nên D miền Noether, S có phần tử tối đại A , tất nhiên A khơng ideal tối đại ( ideal tối đại ideal nguyên tố) suy A  P với P ideal tối đại Vì A phần tử tối đại S theo bổ đề 2.4.1, ta P ⊃ A ⊃ P1 Pk (1) Chọn k số bé để thỏa (1) Nếu k = , ta P ⊃ A ⊃ P1 ( P, P1 ideal tối đại) suy A ideal nguyên tố, mâu thuẫn Nếu k > , từ (1) ta có P ⊃ Pi suy P = Pi ( P, Pi ideal tối đại) ta đánh  P =  = D theo bổ đề P2 Pk ( PP số lại để P = P1 Suy ra, P1 A ⊃ PPP k 1 1 39 2.4.3) Ta có, P1 A ideal phân D , P1 A ⊂ D suy P1 A  D , 1∈ P1 nên A ⊂ P1 A Nếu A = P1 A A = P2 Pk mâu thuẫn với cách chọn k bé Vậy A  P1 A , dẫn đến P1 A ∉ S ⇒ P1 A = Q1 Ql với Qi , i = 1, l ideal nguyên  tố, suy PP 1 A = PQ 1 Ql hay A ∉ S mâu thuẫn với cách chọn A Vậy ideal khác khơng D phân tích thành tích ideal nguyên tố = Q1Q2 Ql Chứng minh nhất: giả = sử A PP Pk ( 2) với Qi , i = 1, l Pi , i = 1, k ideal nguyên tố Ta có P1 ⊃ PP Q1Q2 Ql , Pk = P1 ideal nguyên tố nên tồn i ∈1, l để Qi ⊂ P1 , P1 Qi ideal tối đại nên Qi = P1 Bằng cách đánh số lại ta có Q1 = P1 nên nhân hai vế ( ) với P1 , theo bổ đề 2.4.3 ta P P = Q Q Tương tự ta có Q k l = P2 P3 Pk = Q3 Ql , không tính tổng qt, ta giả sử k < l sau k lần rút gọn ta có = D Qk +1 Ql ⊆ Qk +1 , Qk +1 tối đại nên Qk +1 D mâu Pi Q= thuẫn Vậy k = l và= i , i 1, k Định lí 2.4.5 Cho D miền nguyên, điều sau tương đương D miền Dedekind D miền Noether, đóng nguyên ideal khác không D phân tích thành tích ideal tối đại Chứng minh: 40 (1 ⇒ ) Theo định lí 2.4.4, ta có ideal khác khơng D phân tích thành ideal nguyên tố D miền Dedekind nên theo định lí 2.2.10, ta có ideal tối đại ( ⇒ 1) Ta chứng minh định lí 2.2.4, tức ta chứng minh ideal khác không D khả nghịch Lấy A ideal khác không D , theo giả thiết, A = M M k với M i , i = 1, k ideal tối đại mà D Noether nên ideal tối đại khả nghịch ( bổ đề 2.2.7) Gọi M i ∈ Q ( D ) ideal thỏa nghịch thỏa  = D Vậy M i M i = D , xét A = M M k , AA miền Dedekind A khả nghịch Hay D 41 Kết luận Sau đưa khái niệm nghiên cứu Miền Dedekind, chứng minh tám định nghĩa tương đương miền Dedekind thông qua định lí 2.1.6, định lí 2.2.4, định lí 2.2.5, định lí 2.2.10, định lí 2.3.7 định lí 2.4.5 Kết lại, ta có điều kiện tương đương miền Dedekind: Miền D gọi miền Dedekind ideal module xạ ảnh D miền nguyên module module xạ ảnh xạ D miền nguyên module thương module nội xạ ảnh nội xạ D miền nguyên ideal khác không D khả nghịch D miền nguyên module chia module nội D miền nguyên thỏa D Noether, D đóng nguyên xạ ideal nguyên tố khác không D ideal tối đại D miền nguyên ideal phân khác không D khả nghịch D miền Noether, đóng nguyên ideal khác khơng D phân tích thành tích ideal tối đại 42 Tài liệu tham khảo Henri Cartan and Samuel Eilenberg, Homological Algebra, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1956 S Alaca, Kenneth S Williams, Introductory Algebraic Number Theory, Cambridge University Press, New York, 2004 M F.Atiyah and I G Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison – Wesley Publishing Company, Inc, 1969 Nguyễn Viết Đông – Trần Huyên, Đại số đồng điều, NXB Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh, 2006 Nguyễn Viết Đơng – Trần Huyên – Nguyễn Văn Thìn, Bài tập Đại số đồng điều, NXB Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh, 2003