(Luận văn) hàm tử tor và hàm tử exit trên miền dedekind

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Cao Văn Hồng lu an n va to p ie gh tn HÀM TỬ TOR VÀ HÀM TỬ EXT TRÊN MIỀN DEDEKIND d oa nl w lu nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thành Phố HỒ CHÍ MINH - 2019 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Cao Văn Hồng lu an va n HÀM TỬ TOR VÀ HÀM TỬ EXT TRÊN MIỀN DEDEKIND p ie gh tn to w d oa nl Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số : 8460104 nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG z m co l gm @ an Lu Thành Phố Hồ Chí Minh - Năm 2019 n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn PGS.TS Mỵ Vinh Quang Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số kết quả, nội dung từ sách liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm luận văn lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI CẢM ƠN Trong suốt q trình học tập hồn thành luận văn, nhận giúp đỡ hướng dẫn nhiệt tình thầy bạn cao học tốn K28 Đầu tiên, tơi xin gửi lời biết ơn sâu sắc, chân thành đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, người thầy tâm huyết giảng dạy người tận tình, giúp đỡ, hướng dẫn tơi q trình hồn thành luận văn, nói luận văn khơng hồn thành khơng có bảo thầy Ngồi ra, với lịng kính trọng biết ơn, xin gởi lời cảm ơn chân lu an thành đến: va Các thầy khoa Tốn trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh n tn to GS.TSKH Nguyễn Tự Cường trực tiếp trang bị cho kiến thức làm ie gh tảng cho trình nghiên cứu hoàn thành luận văn p Ban giám hiệu, phịng Đào tạo sau đại học, khoa Tốn trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập, w oa nl hồn thành bảo vệ luận văn d Các thầy cô Hội đồng Bảo vệ luận văn thạc sĩ đọc, đóng góp ý kiến, lu nf va an nhận xét đánh giá luận văn Cuối xin dành lời cảm ơn đến gia đình ln động viên, giúp đỡ tơi lm ul q trình hồn thành luận văn z at nh oi Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2019 Cao Văn Hoàng z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục kí hiệu Mở đầu Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN lu an n va 1.2 Hàm tử Tenxơ 1.3 Môđun tự 1.4 Môđun xạ ảnh 1.5 Môđun nội xạ tn to 1.1 Hàm tử Hom gh 1.6 Hàm tử đồng điều 10 p ie 1.7 Đồng luân 12 nl w Chương HÀM TỬ TOR VÀ EXT TRÊN VÀNH GIAO HỐN CĨ 14 d oa ĐƠN VỊ an lu 2.1 Phép giải xạ ảnh 14 nf va 2.2 Xây dựng hàm tử Tor 20 2.3 Hai dãy khớp hàm tử Tor 22 lm ul 2.4 Ứng dụng dãy khớp Tor 24 z at nh oi 2.5 Xây dựng hàm tử Ext 28 2.6 Hai dãy khớp dài Ext 30 z 2.7 Ứng dụng dãy khớp hàm tử Ext 32 @ 38 l gm Chương HÀM TỬ TOR VÀ EXT TRÊN MIỀN DEDEKIND 3.1 Môđun miền Dedekind 38 co m 3.2 Hàm tử Tor miền Dedekind 43 an Lu 3.3 Hàm tử Ext miền Dedekind 46 n va ac th si TÀI LIỆU THAM KHẢO lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU lu an n va : Tập tất đồng cấu từ X tới Y : Tập mơđun vành : Tích tenxơ hai đồng cấu f g : Tích tenxơ hai môđun X Y : Hom hai đồng cấu : Tổng trực tiếp hai môđun X Y : L môđun K : Hai ánh xạ dây chuyền f g đồng luân : môđun đồng điều chiều n phức K : môđun đối đồng điều chiều n phức L : Tích xoắn n- chiều mơđun X Y : Tích xoắn n- chiều đồng cấu h g ie gh tn to Hom(X, Y ) M od f ⊗g X ⊗Y Hom(f, g) X ⊕Y L6K f 'g Hn (K) H n (L) T orn (X, Y ) T orn (h, g) Extn (X, Y ) Extn (h, g) X = hx1 , x2 , , xn i p : Tích mở rộng n- chiều mơđun X Y : Tích mở rộng n- chiều đồng cấu h g nl w d oa : X môđun hữu hạn sinh sinh phần tử x1 , x2 , , xn nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU Hàm tử T or hàm tử Ext với hàm tử Tenxơ hàm tử Hom xem bốn cột trụ Đại số đồng điều, hàm tử T or Ext đóng vai trò quan trọng nhiều chuyên ngành khác Toán học Đại số đồng lu điều, Đại số giao hốn, Hình học đại số, tơ pơ hình học Chính vậy, tơi chọn đề an tài : "Hàm tử T or hàm tử Ext miền Dedekind" làm đề tài cho luận văn Thạc n va sĩ Tốn với mong muốn tìm hiểu sâu hơn, tiếp cận nhiều với to gh tn hướng nghiên cứu phát triển có nhiều ứng dụng Tốn học đại Với đối tượng, phạm vi nghiên cứu miền Dedekind, hàm tử T or hàm tử p ie Ext vành giao hốn có đơn vị miền Dedekind, mục đích luận văn nl w tìm hiểu sâu hơn, toàn diện hệ thống hàm tử T or Ext miền d oa nguyên Sau dựa số tính chất miền Dedekind mơđun an lu miền Dedekind để chứng minh số tính chất sâu sắc thú vị hàm tử T or lm ul bày thành ba chương nf va hàm tử Ext miền Dedekind Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn trình Chương 1: Các kiến thức z at nh oi Nội dung chương trình bày định nghĩa, tính chất hàm tử Hom, hàm tử Tenxơ, môđun tự do, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, hàm tử đồng điều, đồng luân z Chương Hàm tử T or Ext vành giao hốn có đơn vị @ l gm Chương trình bày cách xây dựng hàm tử T or Ext dẫn xuất hàm tử Tenxơ hàm tử Hom Chương trình bày chứng minh số kết m co tính chất T or Ext an Lu n va ac th si Chương Hàm tử T or Ext miền Dedekind Chương trình bày số tính chất miền Dedekind, môđun miền Dedekind ứng dụng chúng để nghiên cứu hàm tử T or Ext miền Dedekind lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong suốt luận văn này, môđun xét vành sở vành R giao lu an hốn có đơn vị n va Hàm tử Hom gh tn to 1.1 Định nghĩa 1.1.1 Cho X, Y R- môđun Tập tất đồng cấu từ X tới Y , ký p ie hiệu Hom(X, Y ) Trên Hom(X, Y ) ta định nghĩa: nl w ∀f, g ∈ Hom(X, Y ) : f + g :X −→Y 7−→(f + g)(x) = f (x) + g(x) d oa x 7−→(rf )(x) = r · f (x) x nf va an lu ∀r ∈ R, ∀f ∈ Hom(X, Y ) : rf :X −→Y Khi Hom(X, Y ) môđun R lm ul Định nghĩa 1.1.2 Cho đồng cấu α : A −→ B X môđun cố định Xét ánh xạ α∗ : Hom(X, A) −→Hom(X, B) 7−→α∗ (f ) = αf m co α∗ , α∗ đồng cấu môđun l 7−→α∗ (g) = gα gm g @ α∗ : Hom(B, X) −→Hom(A, X) z f z at nh oi cảm sinh: an Lu Định nghĩa 1.1.3 Xét môđun X thuộc phạm trù R- môđun (ký hiệu M od) n va ac th si 36 Theo định lí 2.6.2, ta có dãy khớp: −→ Hom(X, A)−→Hom(X, B)−→Hom(X, C) −→ Ext(X, A) −→ Theo giả thiết Ext(X, A) = nên ta có dãy khớp ngắn: −→ Hom(X, A)−→Hom(X, B)−→Hom(X, C) −→ Theo định lí 1.4.5, ta có X xạ ảnh Mệnh đề 2.7.6 Với môđun Y R, phát biểu sau tương đương: a) Y nội xạ b) Ext(X, Y ) = 0, với môđun X R lu an c) Extn (X, Y ) = 0, ∀n > 0, với môđun X R n va Chứng minh to tn a)⇒ b) Áp dụng mệnh đề 2.5.5 với n = ie gh b)⇒ c) p Ta chứng minh quy nạp theo n nl w Với n = 1, ta có Ext(X, Y ) = 0, ∀X (theo giả thiết b) d oa Giả sử với n − Khi với mơđun X bất kỳ, nhúng X vào dãy khớp: lu Theo mệnh đề 2.7.2, ta có: nf va an −→ A−→P −→X −→ với P xạ ảnh lm ul Extn (X, Y ) ∼ = Extn−1 (A, Y ) = (theo giả thiết quy nạp) z c)⇒ a) z at nh oi Vậy Extn (X, Y ) = 0, ∀n > 0, ∀X @ Xét dãy khớp ngắn −→ A−→B−→C −→ co l gm Theo định lí 2.6.3, ta có dãy khớp: m −→ Hom(C, Y )−→Hom(B, Y )−→Hom(A, Y ) −→ Ext(C, Y ) −→ an Lu n va ac th si 37 Theo giả thiết, ta có Ext(C, Y ) = Do ta có dãy khớp ngắn: −→ Hom(C, Y )−→Hom(B, Y )−→Hom(A, Y ) −→ Theo định lí 1.5.7, ta có Y nội xạ lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 38 Chương HÀM TỬ TOR VÀ EXT TRÊN MIỀN DEDEKIND lu an Môđun miền Dedekind n va 3.1 gh tn to Mục chứng minh số kết thú vị môđun miền Dedekind, kết xem mở rộng kết biết môđun miền p ie iđêan chính, nhiên chứng minh hồn tồn khác oa nl w Đầu tiên ta có định nghĩa miền Dedekind sau: d Định nghĩa 3.1.1 Miền Dedekind miền nguyên mà iđêan môđun lu nf va an xạ ảnh Ta biết miền iđêan iđêan mơđun tự Do lm ul miền Dedekind xem mở rộng miền iđêan z at nh oi Ta biết, mơđun mơđun tự miền iđêan môđun tự Vậy môđun môđun tự miền Dedekind có mơđun tự hay khơng? Câu @ √ z trả lời không, sau ví dụ: √ l √ gm Ví dụ 3.1.2 Xét D = {a + b −5|a, b ∈ Z} Khi D vành số nguyên đại số m co trường Q( −5) = {a + b −5|a, b ∈ Q} theo [6, Theorem 8.1.1] D miền √ Dedekind Xét iđêan I = 3, + −5 ta có I mơđun D xem môđun an Lu tự D Ta chứng minh I không môđun tự D Giả sử I môđun tự n va ac th si 39 Vì D vành giao hoán hai phần tử D phụ thuộc tuyến tính D √ sở I gồm phần tử α, nghĩa là: I = 3, + −5 = hαi với α ∈ I √ Khi α|3 α|1 + −5 D nên |α|2 |9 |α|2 |26 vành Z Do |α|2 = hay α · α = suy α khả nghịch D Vậy I = D √ √ √ Khi ∈ I nên = 3(a + b −5) + (1 + −5)(c + d −5) √ = (3a + c − 5d) + (3b + c + d) −5 Do 3a + c − 5d = 1, 3b + c + d = 3(a − b) − 6d = (mâu thuẫn) Mâu thuẫn chứng tỏ I không môđun tự Tuy nhiên ta có kết sau xem mở rộng kết miền iđêan lu an n va Định lí 3.1.3 Mơđun môđun xạ ảnh miền Dedekind môđun xạ ảnh tn to Chứng minh ie gh Để chứng minh định lý ta cần bổ đề quan trọng sau: p Bổ đề 3.1.4 Nếu R miền Dedekind môđun R- môđun tự d oa iđêan R nl w tổng trực tiếp môđun mà môđun tổng trực tiếp đẳng cấu với lu an Chứng minh Lấy F môđun tự với sở {xi }i∈I I tập số nf va thứ tự tốt Ta ký hiệu: lm ul i n va ac th si 44 Chứng minh Giả sử Y xoắn, ta chứng minh T orn (X, Y ) xoắn với n > 1, với X quy nạp • Với n = 1: Để chứng minh T or(X, Y ) xoắn ta nhúng X vào sơ đồ f g −→ A −→ F −→ X −→ Với F mơđun tự Khi theo mệnh đề 2.4.1 ta có T or(X, Y ) ∼ = Ker(f ⊗ 1Y ) với f ⊗ 1Y : A ⊗ Y −→ F ⊗ Y Vì Y xoắn nên A ⊗ Y xoắn ⇒ T or(X, Y ) xoắn lu • Giả sử T orn−1 (X, Y ) xoắn ∀X Khi theo mệnh đề 2.4.2 ta có: an T orn (X, Y ) ∼ = T orn−1 (A, Y ) Mà T orn−1 (A, Y ) xoắn theo giả thiết quy nạp va n Do T orn (X, Y ) xoắn gh tn to Vậy T orn (X, Y ) xoắn với n p ie Tương tự X xoắn T orn (X, Y ) xoắn với Y w Bây ta phát biểu chứng minh định lí mục sau: d oa nl Định lí 3.2.2 Cho R miền Dedekind Khi ta có an lu a) X khơng xoắn ⇔ T or(X, Y ) = với Y nf va b) X, Y khơng xoắn X ⊗ Y không xoắn lm ul c) T orn (X, Y ) ln xoắn ∀n > a) xuống dịng z at nh oi Chứng minh z @ (⇒) l gm Ta chứng minh X khơng xoắn T or(X, Y ) = 0, ∀Y Nếu X hữu hạn sinh theo định lí 3.1.5 ta có X mơđun xạ ảnh m co T or(X, Y ) = (theo mệnh đề 2.2.5) an Lu Nếu X môđun không xoắn tùy ý, ta chứng minh với đơn cấu f : A −→ B , n va ac th si 45 ánh xạ f∗ = 1X ⊗ f : X ⊗ A −→ X ⊗ B đơn cấu P P Thật vậy, lấy u = xi ⊗ ∈ X ⊗ A cho f∗ (u) = xi ⊗ f (ai ) = P X ⊗B Khi tồn mơđun hữu hạn sinh X0 X cho x0 ⊗f (ai ) = X0 ⊗ B Vì X0 khơng xoắn, hữu hạn sinh nên X0 xạ ảnh T or(X0 , Y ) = 0, ∀Y Bởi ánh xạ f0 : 1X0 ⊗ f : X0 ⊗ A −→ X0 ⊗ B đơn cấu f0 (u) = xi ⊗ f (ai ) = X0 ⊗ B nên u = X0 ⊗ A suy u = X ⊗ A Vậy f∗ = 1X ⊗ f đơn cấu T or(X, Y ) = 0, ∀Y (theo mệnh đề 2.4.4) (⇐) lu an Ngược lại: giả sử T or(X, Y ) = với Y , ta chứng minh X không xoắn (chú n va ý chứng minh cho R miền nguyên bất kỳ, không cần Dedekind) Với a ∈ R, a 6= 0, xét ánh xạ ga :X −→X tn to gh x 7−→ax p ie Để chứng minh X không xoắn ta chứng minh ga đơn cấu ∀a ∈ R, a 6= Thật vậy, ta có fa :R −→R đơn cấu d oa nl w d 7−→ad T or(X, Y ) = 0, ∀Y nên ánh xạ 1X ⊗ fa : X ⊗ R −→ X ⊗ R đơn cấu (theo an lu mệnh đề 2.4.4) Mặt khác, sơ đồ ga nf va X X z at nh oi lm ul X ⊗R gm @ 1X ⊗ fa z X ⊗R co l giao hoán, cột đẳng cấu, 1X ⊗ fa đơn cấu nên ga đơn cấu Vậy X không xoắn m b) Với đơn cấu f : A −→ B , Y không xoắn theo a) ta có T or(Y, Z) = an Lu 0, ∀Z theo mệnh đề 2.4.4 với đơn cấu f : A −→ B , ánh xạ 1Y ⊗ f : n va ac th si 46 Y ⊗ A −→ Y ⊗ B đơn cấu Lại X khơng xoắn nên kết hợp ý a định lí 3.2.2 mệnh đề 2.4.4 ta có ánh xạ 1X ⊗ (1Y ⊗ f ) : X ⊗ (Y ⊗ A) −→ X ⊗ (Y ⊗ B) đơn cấu Do ánh xạ 1X⊗Y ⊗ f : (X ⊗ Y ) ⊗ A −→ (X ⊗ Y ) ⊗ B đơn cấu Theo mệnh đề 2.4.4 T or(X ⊗ Y, Z) = 0, ∀Z Theo a) ta có X ⊗ Y khơng xoắn c) Chứng minh T orn (X, Y ) xoắn ∀n > • Nếu X xoắn Y xoắn T orn (X, Y ) xoắn Thật vậy, giả sử Y xoắn ta chứng minh T orn (X, Y ) xoắn ∀X, ∀n qui nạp • Với n = 1: f g lu Khi xét dãy khớp −→ A −→ F −→ X −→ với F tự an Ta có T or(X, Y ) ∼ = Ker(f ⊗ 1Y ), f ⊗ 1Y : A ⊗ Y 7−→ F ⊗ Y va n Vì Y xoắn nên A ⊗ Y xoắn nên Ker(f ⊗ 1Y ) xoắn ⇒ T or(X, Y ) xoắn Ta có T orn (X, Y ) ∼ = T orn−1 (A, Y ), ∀n > ie gh tn to • Giả sử với n − p Do T orn−1 (A, Y ) xoắn nên T orn (X, Y ) xoắn ∀X nl w • Nếu X, Y không xoắn, ta chứng minh T orn (X, Y ) xoắn d oa Vì X khơng xoắn nên theo a) ta có T or(X, Y ) = Hàm tử Ext miền Dedekind lm ul 3.3 nf va an lu Do T orn (X, Y ) = 0, ∀n > ⇒ T orn (X, Y ) xoắn z at nh oi Định lí 3.3.1 Nếu X, Y mơđun miền Dedekind Extn (X, Y ) = với số tự nhiên n > f g Ngoài ra, nhúng X vào dãy khớp ngắn −→ A −→ F −→ X −→ với F tự z gm @ Ext(X, Y ) ∼ = Cokerf ∗ với f ∗ = Hom(f, 1Y ) Theo định lí 2.6.3 ta có dãy khớp: g∗ f∗ δ m co l Chứng minh g∗ f∗ an Lu −→ Hom(X, Y ) −→ Hom(F, Y ) −→ Hom(A, Y ) −→ Ext(X, Y ) −→ Ext(F, Y ) −→ n va ac th si 47 g∗ δ f∗ Ext(A, Y ) −→ · · · −→ Extn−1 (A, Y ) −→ Extn (X, Y ) −→ Extn (F, Y ) −→ Extn (A, Y ) −→ ··· Vì mơđun môđun xạ ảnh miền Dedekind môđun xạ ảnh nên ta có A, F mơđun xạ ảnh theo mệnh đề 2.5.4 ta có: Extn−1 (A, Y ) = 0, Extn (F, Y ) = ∀n > Suy Extn (X, Y ) = ∀n > Mặt khác Ext(F, Y ) = nên Imδ = Kerg ∗ = Ext(X, Y ) Do đó: Cokerf ∗ = Hom(A, Y )/Imf ∗ = Hom(A, Y )/Kerδ ∼ = Imδ = Ext(X, Y ) Định lí 3.3.2 Cho R miền Dedekind X, Y hai mơđun R Khi Ext(1X , p) : Ext(X, Y ) −→ Ext(X, Y /δ(Y )) đẳng cấu với lu an p : Y −→ Y /δ(Y ) phép chiếu tự nhiên n va Chứng minh to P gh tn Xét dãy khớp −→ δ(Y ) −→ Y −→ Y /δ(Y ) −→ Theo định lí 2.6.2 ta có dãy khớp: ie p −→ Hom(X, δ(Y )) −→ Hom(X, Y ) −→ Hom(X, Y /δ(Y )) −→ Ext(X, δ(Y )) nl w −→ Ext(X, Y ) −→ Ext(X, Y /δ(Y )) −→ Ext2 (X, δ(Y )) −→ d oa Vì δ(Y ) chia nên theo định lí 3.1.6 ta có δ(Y ) nội xạ an lu Theo mệnh đề 2.5.5 ta có Ext(X, δ(Y )) = 0, Ext2 (X, δ(Y )) = Ext(1X ,p) −→ nf va Do ta có dãy khớp −→ Ext(X, Y ) lm ul Vậy Ext(1X , p) đẳng cấu Ext(X, Y /δ(Y )) −→ z at nh oi Định lí 3.3.3 Cho R miền Dedekind Môđun X R không xoắn Ext(X, Y ) chia với môđun Y Chứng minh z Với a ∈ R, a 6= ký hiệu đồng cấu a :X −→X Khi X khơng xoắn a đơn cấu với a ∈ R, a 6= p an Lu a Ta có dãy khớp ngắn: −→ X −→ X −→ X/aX −→ m co 7−→ax l x gm @ ⇒) n va ac th si 48 Áp dụng định lí 2.6.3 ta có dãy khớp: a∗ Ext1 (X, Y ) −→ Ext1 (X, Y ) −→ Ext2 (X/aX, Y ) −→ Ext2 (X, Y ) Theo định lí 3.3.1 R Dedekind nên Ext2 (X/aX, Y ) = ta có dãy khớp a∗ Ext1 (X, Y ) −→ Ext1 (X, Y ) −→ ∀Y, ∀a ∈ R, a 6= a∗ = Ext1 (a, 1Y ) Từ định nghĩa a∗ ta có a∗ : Ext1 (X, Y ) −→ Ext1 (X, Y ) Vì a∗ α 7−→ aα toàn cấu nên ∀a ∈ R, a 6= 0, ∀β ∈ Ext1 (X, Y ) tồn α ∈ Ext1 (X, Y ) để a∗ (α) = β hay aα = β lu an Vậy Ext1 (X, Y ) chia n va ⇐) to gh tn Ngược lại với mơđun Z ta có đẳng cấu p ie Ext1 (Z, Ext1 (X, Y )) ∼ = Ext1 (T or1 (Z, X), Y ) nl w Vì Ext1 (X, Y ) chia miền Dedekind nên Ext1 (X, Y ) nội xạ (theo định lý oa 3.1.6), Ext1 (Z, Ext1 (X, Y )) = ∀Z (theo mệnh đề 2.5.5) d Suy Ext1 (T or1 (Z, X), Y ) = ∀Z, ∀Y an lu Do T or1 (Z, X) xạ ảnh với Z (theo mệnh đề 2.7.5) nf va Vì mơđun xạ ảnh khơng xoắn nên T or1 (Z, X) môđun không xoắn với Z lm ul Mặt khác R miền Dedekind nên theo định lí 3.2.2c) ta có T or1 (Z, X) môđun z at nh oi xoắn với Z Do T or1 (Z, X) = 0, ∀Z Do Z bất kỳ, R vành Dedekind nên theo định lí 3.2.2.a) ta có X môđun không z xoắn m co l gm @ an Lu n va ac th si 49 KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách xây dựng hàm tử T or Ext dẫn xuất hàm tử Tenxơ hàm tử Hom dựa vào phép giải xạ ảnh với tính chất chúng Luận văn trình bày nhiều tính chất thú vị hàm tử T or Ext Đặc biệt tính chất hàm tử T or Ext miền Dedekind lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]: Nguyễn Viết Đông - Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nxb ĐHQG TP HCM [2]: Sze-Tsen Hu (1973), Nhập môn Đại số đồng điều, Nxb ĐH THCN [3]: Mac Lane S (1975), Homology, Springer, Verlag, NewYork [4]: Rotman J.J (2009), An Introduction to Homological Algebra, Springer, New York [5]: Henri Cartan and Samuel Eilenberg (1956), Homological Algebra, Princeton, New Jersey, Princeton University Press lu [6]: Saban Alaca Kenneth S.Williams (2004), Introductory Algebraic Number Theory, an Cambridge University Press n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si