Luận văn module tựa tự do trên miền dedekind

1 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong khoa Toán Tin, quý thầy cô trong bộ môn Đại số trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh và trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Ch[.]

1 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn q thầy khoa Tốn-Tin, q thầy môn Đại số trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh trang bị cho đầy đủ kiến thức làm tảng q trình viết luận văn Đặc biệt, tơi xin chân thành cảm ơn PGS.TS.Mỵ Vinh Quang, người trực tiếp hướng dẫn tơi q trình nghiên cứu Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ suốt thời gian qua Tp.Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 Phạm Viết Huy MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .1 MỘT SỐ KÝ HIỆU LỜI MỞ ĐẦU .4 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .6 A MIỀN DEDEKIND 1.1 Phần tử nguyên 1.2 Bao đóng nguyên 1.3 Vành Noether 10 1.4 Miền Dedekind 11 1.5 Một số kết vành giao hoán 24 B MODULE TRÊN MIỀN DEDEKIND 24 1.6 Module tự miền Dedekind 24 1.7 Cấp phần tử module miền Dedekind 26 1.8 Module cyclic miền Dedekind 32 CHƯƠNG II MODULE TỰA TỰ DO TRÊN MIỀN DEDEKIND .41 2.1 Định nghĩa module tựa tự miền Dedekind 41 2.2 Cơ sở module tựa tự miền Dedekind 43 2.3 Sự đẳng cấu hai module tựa tự miền Dedekind 50 2.4 Điều kiện cần đủ để P-module miền Dedekind module tựa tự 52 KẾT LUẬN .59 TÀI LIỆU THAM KHẢO .60 MỘT SỐ KÝ HIỆU A[ x], A[ x1 ,x2 , ,xn ] Vành đa thức miền nguyên A Q( A) Trường thương miền nguyên A AB Bao đóng nguyên A B PR P ideal vành R S −1R Vành thương vành R theo tập nhân S p Ideal sinh p OK Vành số K nguyên Z ord P ( A) Cấp ideal A ứng với ideal nguyên tố P A B Ideal A chia hết cho ideal B BA Ideal B ước ideal A ( A, B ),[A, B ] Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ hai ideal A, B DP Vành địa phương hóa vành D theo ideal nguyên tố P X Module sinh tập hợp X X Lực lượng tập hợp X O( x) Cấp phần tử x MP Thành phần P-nguyên sơ module M MT Phần xoắn module M M ⊗N Tích tenxơ hai module M, N LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết module tự do, đặc biệt module tự miền ideal có vai trị đặc biệt quan trọng Trong lý thuyết module nói riêng đại số nói chung có nhiều kết đẹp thú vị module tự miền ideal Như ta biết, miền Dedekind xem mở rộng gần gũi miền ideal chính, cịn bảo lưu nhiều tính chất “giống” miền ideal chính, bên cạnh có nhiều tính chất khác lạ so với miền ideal Module tự định nghĩa tổng trực tiếp họ module cyclic khơng xoắn Từ đây, cách tự nhiên nảy sinh câu hỏi sau: “Tại định nghĩa module tự lại có u cầu module cyclic khơng xoắn? Nếu ta bỏ điều kiện khơng xoắn kết thay đổi nào? Và ta thay miền ideal thành miền Dedekind kết thay đổi nào?” Chúng gọi module mà phân tích thành tổng trực tiếp module cyclic module tựa tự Như module tựa tự xem khái niệm mở rộng module tự kết nghiên cứu chưa nhiều Chính mà chúng tơi định chọn đề tài “Module tựa tự miền Dedekind” để nghiên cứu tìm hiểu Trong luận văn này, chúng tơi xây dựng mở rộng số kết module miền ideal sang module miền Dedekind, giới thiệu tính chất module tựa tự miền Dedekind, đặc biệt khảo sát, giống khác module tựa tự miền ideal module tựa tự miền Dedekind Luận văn chia thành chương: Chương 1: Các khái niệm Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức miền Dedekind, xây dựng nghiên cứu tính chất cấp phần tử module miền Dedekind, tính chất module cyclic miền Dedekind Chương 2: Module tựa tự miền Dedekind Là chương luận văn, trình bày số kết module tựa tự miền Dedekind Vì thời gian khả hạn chế, luận văn có thiếu sót định Kính mong q thầy bạn vui lòng bảo lượng thứ CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN A MIỀN DEDEKIND 1.1 Phần tử nguyên 1.1.1 Định nghĩa Cho A B miền nguyên A ⊂ B Phần tử b ∈ B gọi phần tử nguyên A tồn đa thức đơn khởi f ( x) ∈ A [ x ] ,deg f ≥ nhận b làm nghiệm Nói cách khác, b nguyên A tồn a0 , a1 , , an −1 ∈ A cho b n + an−1b n−1 + + a1b + a0 = 1.1.2 Định nghĩa Cho A B miền nguyên, A ⊂ B Nếu phần tử b ∈ B ngun A ta nói B nguyên A 1.1.3 Mệnh đề Cho tháp miền nguyên A ⊂ B Nếu B A-module hữu hạn sinh B nguyên A Chứng minh Giả sử b1 , b2 , , bm hệ sinh A-module B 1, 2, , m) cho Với b ∈ B* , tồn aij ∈ A(i, j = b1b= a11b1 + + a1mbm b b= a b + + a b  21 2m m   bm= b am1b1 + + ammbm Do hệ phương trình (a11 − b) x1 + a12 x2 + + a1m xm = a x + (a − b) x + + a x =  21 22 2m m   am1 x1 + am x2 + + (amm − b) xm = có nghiệm khơng tầm thường ( x1 , x2 , , xm ) = ( b1 , b2 , , bm ) Vì vậy, định thức ma trận hệ số hệ phương trình tuyến tính 0, a11 − b a12 a1m a21 a22 − b a2 m =0     am1 am amm − b Khai triển định thức, ta phương trình b m + am−1b m−1 + + a1b + a0 = với a0 , a1 , , am−1 ∈ A Vì b nguyên A 1.1.4 Hệ Cho A B miền nguyên, A ⊂ B Giả sử b ∈ B Khi đó, mệnh đề sau tương đương i) b nguyên A ii) A [b ] A-module hữu hạn sinh iii) A [b ] nguyên A Chứng minh Dễ thấy ii ) ⇒ iii ) iii ) ⇒ i ) Ta chứng minh i ) ⇒ ii ) Giả sử b nguyên A Khi đó, tồn a0 , a1 , , an −1 ∈ A cho b n + an−1b n−1 + + a1b + a0 = { } Ta chứng minh 1, b, , b n−1 hệ sinh A [b ] A Đầu tiên, ta chứng minh quy nạp (theo k) b k biểu thị tuyến tính qua 1, b, , b n−1 với hệ số thuộc A Giả sử bi biểu thị tuyến tính qua 1, b, , b n −1 ,với i ≤ k (k ≥ n) Nhân với b k +1− n , ta hai vế b n + an −1b n −1 + + a1b + a0 = b k +1 + an−1b k + + a1b k + 2−n + a0b k +1−n = Suy b k +1 =−an−1b k − − a1b k + 2−n − a0b k +1−n Vì b k , , b k + 2− n , b k +1− n biểu thị tuyến tính qua 1, b, , b n −1 (giả thiết quy nạp), nên b k +1 biểu thị tuyến tính qua 1, b, , b n −1 với hệ số thuộc A Vậy b k (k ∈ N ) biểu thị tuyến tính qua 1, b, , b n −1 với hệ số thuộc A Với x ∈ A [b ] , x = a0 + a1b + + ak b k ,(ai ∈ A) Vì 1, b, , b k biểu thị tuyến tính qua 1, b, , b n −1 với hệ số thuộc A nên x biểu thị tuyến tính qua 1, b, , b n−1 với hệ số thuộc A Vậy A[b ] A-module hữu hạn sinh 1.1.5 Hệ Cho A B miền nguyên, A ⊂ B Giả sử b1 , , bn ∈ B Khi đó, mệnh đề sau tương đương i) b1 , , bn nguyên A ii) A [b1 , , bn ] A-module hữu hạn sinh iii) A [b1 , , bn ] nguyên A Chứng minh Dễ thấy ii ) ⇒ iii ) iii ) ⇒ i ) Ta chứng minh i ) ⇒ ii ) Giả sử b1 , , bn nguyên A, ta chứng minh A [b1 , , bn ] A-module hữu hạn sinh quy nạp theo n Mệnh đề n = (hệ 1.1.4) Giả sử mệnh đề với n-1 Khi đó, A [b1 , , bn−1 ] A-module hữu hạn sinh Vì bn nguyên A nên bn nguyên A [b1 , , bn−1 ] Vì thế, theo hệ 1.1.4, ta có A [b1 , , bn −1 ][bn ] = A [b1 , , bn ] A [b1 , , bn−1 ] -module hữu hạn sinh Do vậy, A [b1 , , bn ] A-module hữu hạn sinh 1.1.6 Hệ Cho tháp miền nguyên A ⊂ B Nếu b1 , b2 ∈ B nguyên A b1 + b2 , b1 − b2 , b1.b2 nguyên A Nói cách khác, tập hợp phần tử B nguyên A, AB= {b ∈ B / b nguyên A} vành B chứa A Chứng minh Vì b1 + b2 , b1 − b2 , b1.b2 phần tử A [b1 , b2 ] A [b1 , b2 ] nguyên A (hệ 1.1.5) nên b1 + b2 , b1 − b2 , b1.b2 nguyên A 1.1.7 Hệ Cho tháp miền nguyên A ⊂ B ⊂ C Nếu B nguyên A C nguyên B C nguyên A Chứng minh Lấy c ∈ C Vì c nguyên B nên có b0 , , bn −1 ∈ B cho c n + bn−1c n−1 + + b1c + b0 = Suy c nguyên A [b0 , , bn −1 ] Vì thế, theo hệ 1.1.4, A [b0 , , bn−1 , c ] A [b0 , , bn −1 ] -module hữu hạn sinh Mặt khác, b0 , , bn −1 nguyên A nên A [b0 , , bn −1 ] A-module hữu hạn sinh (hệ 1.1.5).Do đó, A [b0 , , bn−1 , c ] A-module hữu hạn sinh Vậy c nguyên A 1.2 Bao đóng nguyên 1.2.1 Định nghĩa Cho A, B miền nguyên A ⊂ B AB= {b ∈ B / b nguyên A} gọi bao đóng nguyên A B B gọi nguyên A AB = B A gọi đóng nguyên B AB = A 1.2.2 Nhận xét A ⊂ AB ⊂ B 10 1.2.3 Định nghĩa Cho A miền nguyên, Q( A) trường thương A Bao đóng nguyên A Q( A) gọi bao đóng nguyên A Miền nguyên A gọi đóng nguyên AQ ( A) = A 1.3 Vành Noether Trong phần này, ta giả sử R vành giao hoán 1.3.1 Định nghĩa Một vành R gọi thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng dãy tăng ideal I1 ⊂ I ⊂ dãy dừng, nghĩa tồn số tự nhiên n cho = I n I= n +1 1.3.2 Định nghĩa Một vành R gọi vành Noether R thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng 1.3.3 Định nghĩa Một vành R gọi thỏa điều kiện tối đại tập hợp không rỗng gồm ideal R chứa phần tử tối đại 1.3.4 Mệnh đề Cho R vành Khi mệnh đề sau tương đương i )R vành Noether ii) R thỏa mãn điều kiện tối đại iii) Mọi ideal R hữu hạn sinh Chứng minh (xem [11], định lý 7.1.1, trang 189-190) 1.3.5 Bổ đề i) P ideal nguyên tố vành R với ideal B, C R, BC ⊂ P B ⊂ P C ⊂ P ii) P ideal nguyên tố vành R P ⊃ B1 Bk ( Bi  R ) P ⊃ Bi , với i ∈ {1, 2, , k} 1.3.6 Mệnh đề Mọi ideal khác vành Noether R chứa tích hay nhiều ideal nguyên tố ... tử module miền Dedekind, tính chất module cyclic miền Dedekind Chương 2: Module tựa tự miền Dedekind Là chương luận văn, trình bày số kết module tựa tự miền Dedekind Vì thời gian khả hạn chế, luận. .. MODULE TỰA TỰ DO TRÊN MIỀN DEDEKIND .41 2.1 Định nghĩa module tựa tự miền Dedekind 41 2.2 Cơ sở module tựa tự miền Dedekind 43 2.3 Sự đẳng cấu hai module tựa tự miền Dedekind 50 2.4 Điều... B MODULE TRÊN MIỀN DEDEKIND 24 1.6 Module tự miền Dedekind 24 1.7 Cấp phần tử module miền Dedekind 26 1.8 Module cyclic miền Dedekind 32 CHƯƠNG II MODULE TỰA TỰ DO TRÊN