1161 một số phương pháp giải bài toán cực trị hình học luận văn tốt nghiệp

BỘGIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯỜNGĐẠIHỌCQUYNHƠN HUỲNHHOATHÍNH MỘTSỐPHƯƠNGPHÁPGIẢIBÀITỐNCỰC TRỊHÌNH HỌC LUẬNVĂNTHẠCSĨTỐNHỌC BìnhĐịnh-Năm2021 HUỲNHHOATHÍNH MỘTSỐPHƯƠNGPHÁPGIẢIBÀITỐNCỰC TRỊHÌNH HỌC Chunngành : PhươngpháptốnsơcấpMãsố : Ngườihướngdẫn 8460113 : TS TrầnNgọcNguyên Lờic a m đ o a n Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực vàkhông trùng khớp với đề tài khác Tôi xin cam đoan kết trongluậnv ă n , t i l i ệ u t h a m k h ả o v n ộ i d u n g t r í c h d ẫ n đ ả m b ả o t í n h t r u n g t h ự c , chínhxác BìnhĐịnh,ngày20tháng7năm2021 Tácgiả HuỳnhHoaThính Lờic ả m n Lời xin gởi đến TS Trần Ngọc Nguyên lời cảm ơn sâu sắc vềsự tận tình giúp đỡ thầy tơi suốt khóa học, đặc biệt qtrìnhlàmluậnvăn Tơix i n đ ợ c b y t ỏ l ò n g b i ế t n đ ế n t ấ t c ả c c t h ầ y c ô k h o a T o n v Thống kê trường Đại Học Quy Nhơn,các giảng viên Trường ĐHKHTN-ĐHQGHà Nội, Trường ĐHKHTNĐHQG TPHCM, Trường ĐH Sài Gịn, Viện Tốnhọc, Trường CĐSP Gia Lai nhiệt tình giảng dạy chúng tơi suốt khóahọc Xin cảm ơn vị lãnh đạo chuyên viên Phòng Đào tạo sau đạihọcT r ờn g Đ ại Họ c Q u y N h n đ ã t o đ i ề u k i ệ n th u ậ n l ợ i c h o t ô i t r o n g s u ố t qtrìnhhọc Tơi xin cảm ơn gia đình tơi, đồng nghiệp bạn họcviênCaohọckhóa22đãhỗtrợ,độngviêntơitrongsuốtthờigianhọc Cuối cùng, kiến thức hạn chế nên dù cố gắng chắnluận văn cịn nhiều thiếu sót Kính mong thầy bạn đồng nghiệpđónggópýkiếnđểluậnvăncóthểhồnchỉnhhơn BìnhĐịnh,ngày20tháng7năm2021 Tácgiả HuỳnhHoaThính Mụcl ụ c Lờin ó i đ ầ u .1 Kiếnt h f í c ch u ẩ n b ị 1.1 Mộtsốbấtđẳngthứcthôngdụng 1.2 Mộtsốkiếnthứchìnhhọcthườngdùng 1.2.1 CôngthứcHeron .4 1.2.2 Địnhlýcosin 1.2.3 HệthứcLeibniz 1.2.4 Bấtđẳngthứctamgiác 1.2.5 Cơngthứctínhkhoảngcáchgiữahaiđiểmtrongkhơnggian 1.3 Cácđịnhlýcựctrịhàmsố Các phươngpháptìmcựctrịhìnhhọc 2.1 Sửdụngcácphépbiếnđổihìnhhọc 2.2 Sửdụngcácbấtđẳngthứcđạisố 2.3 Sửdụngkiếnthứcvềgiảitích 23 3.4 Mộtsốbàitoánkhác 29 38 3.2 Cácbàitốnvềtamgiác,tứgiác,đườngtrịn 3.3 Mộtsốbàitốntổ hợp Một sốb àitốncực t rị hìnhh ọcch ọn lọc 3.1 Bàitốnđẳngchu 38 47 57 60 Kếtl uận 76 Tàil i ệ u t h a mk h ả o 77 Mộts ố k í h i ệ u SM Diệntíchcủahình M VABCD Thểtíchtứdiện ABCD ∆ABC∼ ∆A′B′C′ Tamgiác ABC đ n g dạngtamgiác A ′B′C′.f′ (x) Đạohàmcủahàmsố f(x) Mởđầu Các vấn đề cực đại cực tiểu phát sinh cách tự nhiên không chỉtrong khoa học - kỹ thuật ứng dụng chúng mà sốnghàng ngày Rất nhiều số có chất hình học như: tìm đường ngắnnhấtgiữahaiđốitượngthoảmãnmộtsốđiềukiệnhoặcmộthìnhcóchuvi,diệntích thểtíchtốithiểulàmộtdạngbàitốnthườnggặp.Khơngcógìđángngạc nhiên, người giải vấn đề thời gian rấtlâu Một số người số họ, coi tiếng Heron (thế kỷthứ CN), Descartes (1596-1650), Jacob Steiner (1796-1863), I.F.Fagnano(1682-1766),HermannSchwarz(18431921),v.v Trong chương trình tốn Trung học nói chung, dạng tốn dànhchohọcsinhgiỏinóiriêng,cácbàitốntìmgiátrịnhỏnhất,lớnnhất,đặcbiệtlà cácbàitốntìmgiátrịnhỏnhất,lớnnhấtliênquanđếnhìnhhọcđều l nhữngbàitốnthúv ịvàtươngđốikhó,địi hỏingườigiảitốn khơngchỉcó mộth ệ t h ố n g k i ế n t h ứ c c b ả n m c ò n c ó k ỹ n ă n g g i ả i t o n m ứ c đ ộ n h ấ t định.Cá cb i t o n v ề g iá tr ị n h ỏ n h ấ t, l ớn n h ất t r o n g h ì n h h ọ c,c ò n đ ợc g ọ i tốn cực trị hình học, thường tốn đơi khơng cho sẵn điềuphảichứngminhmàđịihỏingườilàmtốnphảitựmìnhtìmlấykếtquả Nhằm hướng đến việc trình bày cách hệ thống phương pháp hayđược dùng để giải toán cực trị hình học, hướng dẫn củaTS.TrầnNgọcNgun,tơichọnđềtàiluậnvăn:"Mộtsốphươngphápgiải bàitốncựctrịhình học"để nghiên cứu vài phương pháp điển hìnhđượcd ù n g đ ể t ì m l ời g i ả i c ủ a c c b i t o n c ự c t r ị h ìn h h ọ c B ê n c n h đ ó , đ ề tàigiớithiệumộtsốdạngbàitốncựctrịthườnggặpcùngvớilờigiảichitiết vàmộtsốbàitốntươngtựdànhchobạnđọc.Ngồimụclục,danhmụccáck ýhiệu,phầnmởđầuvàphầnkếtluận,nộidungcủaluậnvănđượcchúngtơitrìnhbàytrong3chương: Chương1:Kiếnthứcchuẩnbị.Trongchươngnày,chúngtơigiớithiệumộtsố kiếnt h ứ c c ầ n t h i ế t t h n g d ù n g t r o n g g i ả i t o n c ự c t r ị h ì n h h ọ c n h : m ộ t s ố bấtđẳngthứcthơngdụng,cơngthứcHeronvềdiệntíchcủatamgiác,cácđịnhlýcựctrịhàmsố Chương 2:Các phương pháp tìm cực trị hình học Nội dung trọng tâm chươngnày trình bày số phương pháp khác để giải toán cực trị hìnhhọc Một phương pháp là: sử dụng phép biến đổi hình họcnhưphépđốixứng, phépquay ,p hépv ịtự Ph ương pháptiếptheo sửd ụn g bất đẳng thức đại số Phương pháp cuối giới thiệu sửdụngkiếnthứcvềgiảitích Chương3: M ộ t s ố b i t o n c ự c t r ị h ì n h h ọ c c h ọ n l ọ c Ở đ â y , c h ú n g t a t h ả o luậnmộtsốbàitốnđẳngchu,cácbàitốnthúvịcủaMalfatti,mộtsốbàitốntổhợpvàmộtsốbàitốnkhác Ngồi việc cố gắng trình bày cách tồn diện giải pháp kỹ thuật,chúng cố gắng giới thiệu nhiều tốn với cấp độ khó khácnhau Do hạn chế mặt thời gian, lực thân nên giải pháp đượctrìnhb y t r o n g l u ậ n v ă n c h ỉ l m ộ t p h ầ n r ấ t n h ỏ , m i n h h o c h o c c b i t o n cực trị hình học Rất mong nhận quan tâm, đóng góp ý kiến cácThầy,cácCơđểluậnvănđượchồnthiệnhơn Chương1 Kiếnthfícchuẩnbị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở để chuẩn bịcho chương sau luận văn Cụ thể, nhắc lại số bất đẳngthức thơng dụng, cơng thức Heron diện tích tam giác định lý cựctrịhàmsố 1.1 Mộts ố b ấ t đ ẳ n g t h f í c t h ô n g d ụ n g Chúng liệt kê bên số bất đẳng thức đại số kinh điển thườngđượcsửdụngtronggiảicácbàitốncựctrịhìnhhọc Địnhlý1.1.1(Bấtđẳngthứctrungbìnhcộng-Trungbìnhnhân(AM-GM)[1]) Giảsử x 1,x2,···,xnl số khơngâm.K hi x1+x2+···+xnn √x ≥ n 1x ···xn Dấuđ ẳ n g t h ứ c x ả y r a k h i v c h ỉ k h i x 1=x 2=···=x n Địnhlý1.1.2(Bấtđẳngthứcgiữatrungbìnhcộngvàtrungbìnhbậchai[13]) (1.1)