042 đề hsg toán 7 trường hiền quan 2015 2016

TRƯỜNG THCS HIỀN QUAN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC : 2015-2016 Mơn thi: Tốn Câu Tìm số x, y , z biết: a )  x  1  b)  x 5 x  c) x  x 0 d )12 x 15 y 20 z x  y  z 48 Câu 2011 a) Tìm số dư chia cho 31 b) Với a, b số nguyên dương cho a  b  2007 chia hết cho a Chứng minh rằng:  a  b chia hết cho 2 c) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x  y 74 Câu a  b2 a a b   2 b c b  c c a) Cho tỉ lệ thức Chứng minh ta có tỉ lệ thức b) Trên bảng có ghi số tự nhiên từ đến 2008, người ta làm sau: lấy hai số thay vào hiệu chúng, làm đến cịn số bảng dừng lại Hỏi làm để bảng cịn lại số khơng ? Giải thích ? Câu Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABE ACF vuông cân A Từ E F kẻ đường vng góc EK FN với đường thẳng HA a) Chứng minh rằng: EK FN b) Gọi I giao điểm EF với đường thẳng HA Tìm điều kiện tam giác ABC để EF 2 AI Câu a) Cho bốn số không âm thỏa mãn điều kiện a  b  c  d 1 Gọi S tổng giá trị tuyệt đối hiệu cặp số có từ bốn số a, b, c, d Hỏi S đạt giá trị lớn  b) Cho tam giác nhọn ABC có BAC 60 Chứng minh BC  AB  AC  AB AC ĐÁP ÁN Câu a)  x  1   x    x  x  b)  x 5 x  Điều kiện   x 5 x   12 x 12  x 1      (tm)   x 3  x  x 6  x 3 c) x  x 0.DK : x 0  x 0 x  0   (tm) x   x y z x y z x  y  z 48 d )12 x 15 y 20 z         4 5 12 12  x 20; y 16; z 12  x   Câu 25 32 1 mod31   25  402 1 mod31 a) Ta có:  22011 2  mod31 Vậy số dư chia 22011 cho 31 a a b) Vì a nguyên dương nên ta có 1 mod 3   0  mod 3 a a Mà  0  mod    26 a a Khi ta có  a  b 4   a   b  2007  20106 Vậy với a, b số nguyên dương cho a  b  2007 chia hết cho 4a  a  b chia hết cho 74 x  y 74  x 74  x   x   0;1;4;9 x c) Từ mà nguyên  x 4  y 10( ktm) x  75  x  y 5   2 x   y 4  Mặt khác ta có   x, y    3,2  ;  3,   ;   3;2  ,   3,    2 Câu 2 a a b a  a b a2 b2 a2  b2          c b c c  c c b c b  c2 a) Ta có: a  b2 a a b   2 c Vậy có tỉ lệ thức b c ta có tỉ lệ thức b  c b) Gọi S tổng tất số ghi bảng 2008.2009 S 1     2008  1004.2009 Ta có số chẵn Khi lấy hai số a, b thay vào hiệu hai số tổng S bớt  a  b    a  b  2b số chẵn Nên tổng phải số chẵn Vậy bảng khơng thể cịn lại số Câu N F I E K A B H a) Chứng minh KAF HBA(ch  gn)  EK  AH Chứng minh NFI HCA(ch  gn)  FN  AH Suy EK FN C KEI NFI (c.g.c)  EI FI  EF b) Chứng minh EF  IAE  AI  ( gt )  AI EI FI  IEA   IFA Mà IAF    EAF 900  BAC 900 Vậy EF 2 AI tam giác ABC vuông A Câu a) Giả sử a b c d 0 Ta có: S  a  b  b  c  c  d  a  c  a  d  b  d  S a  b  b  c  c  d  a  c  a  d  b  d  S 3a  b   c  3d  Mà c  3d 0  S 3a  b Mặt khác a  b  c  d 1  a 1 Suy S 3a  b 2a  a  b 2.1  3 c  3d 0 a 1  a  b  c  d 1   b c d 0 a 1  Dấu xảy Vậy S lớn bốn số a, b, c, d có số cịn số b) A H B C Kẻ BH  AC AB  BAC 600  ABH 300  AH  Vì Áp dụng định lý Pytago ta có: 2 AB  AH  BH BC BH  HC (1)  BC  AB  AH  AC  AC AH  AH  BC  AB  AC  AH AC Từ (1)    dfcm (2)