PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS HỒNG DƯƠNG ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Thời gian:: 120 phút Năm học 2017-2018 Câu (6 điểm) a) Tính : B 1 1 50 51 3 3 1 1 1 100 b) Chứng minh: 6 Câu (5 điểm) a b c b c d Chứng minh : a) Cho a a b c bcd d b) Tìm số có ba chữ số, biết số bội 18 chữ số tỉ lệ theo 1,2,3? Câu (7 điểm) Cho góc xAy 60 vẽ tia phân giác Az góc Từ điểm B Ax vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az C Vẽ BH Ay , CM Ay , BK AC Chứng minh rằng: a) K trung điểm AC b) BH AC c) KMC Câu (2 điểm) Với giá trị x biểu thức: P x x có giá trị lớn ? Tìm giá trị lớn ĐÁP ÁN Câu 1 1 1 50 51 3 3 1 1 50 51 3 3 3 3 3 a) B 1 1 B 51 52 3 3 3 3 1 351 351 B 52 B 3 52 4.351 1 1 1002 , ta có: b) Đặt 1 1 1 1 1 1 *A 4.5 5.6 6.7 99.100 5 6 99 100 1 100 1 1 1 *A 5.6 6.7 99.100 100.101 101 Câu a b c a (1) b a) Ta có: c d d A a b c a b c (2) Ta lại có: b c d b c d a a b c bc d d Từ (1) (2) b) Gọi a, b, c chữ số số có chữ số cần tìm Vì chữ số không vượt đồng thời nên a b c 9 a b c 18 a b c 27 Mặt khác, số bội 18 nên a b c 27 a b c a b c , Theo giả thiết ta có: đó: a b c 6 a b c 18 a b c 18 3 a 3, b 6, c 9 Nên Vì số phải tìm chia hết cho 18 nên chữ số hàng đơn vị phải chữ số chẵn Vậy số phải tìm 396;936 Câu x C B A z K H M y a) ABC có A1 A2 ( Az tia phân giác A); A1 C1 (Ay//BC, so le trong) ABC A2 C cân B Mà BK AC BK đường cao vừa đường trung tuyến ABC cân Hay K trung điểm AC b) Xét vng ABH vng BAK có: AB cạnh huyền; A A B 300 A2 30 B 0 90 60 30 AC AC BH ABH BAK BH AK mà 2 AC AK KC (1) MK c) AMC vng M có trung tuyến thuộc cạnh AK huyền KM AC (2) Từ (1) (2) KM KC KMC cân 0 0 Mặt khác AMC có M 90 ; A 30 MKC 90 30 60 AMC Câu Ta có: P x x x 8x 16 21 x x 16 21 x 21 2 Do x 0 x x 21 21 x MaxP 21 x