Bài tập xác xuất

C hu oníi I SỤ K I Ệ N N ( Ỉ Ẫ I J N H I Ê N VÀ C yu: P H É P TÍN H XÁC SUẮT §1, S ự K I Ệ N N G Â U N H I Ê N VÀ CÁC PHÉP T OÁN TRÊN S ự K I Ệ N 1.1.1 T ó m tãl lý yết ^ th u V S k i ệ n k h i I i i ẹ m n s u v é n lliLiý k h ỏ n e t h ể đ ị n h n g h ĩ a S i í k i ệ n níịủn nliiéiì ( h a v h i ế n c ó i h e o m ộ t s ố tài l i ệ u ) c ó t h ể hiổii hiên tư ợ n s dó xảy hoục kh ô n g thè’ Káy có diều kiện xác dịnli Ta ký hiệu sư kiện bằiig chữ' iii hoa A B, c Trong lớp kiện nụẫu nhiên có hai kiện dặc biệt: với mộl bọ điéu kiện xác định, kiẹn liíc xáy ta có sư kiện lất yêu (kv hiệu U) kliơng xảy ta có kiện h ấ i kh ả (kv hiệu \ ') N s i la x c d ị n h q u a n h ệ uiĩi'a c c s ự k i ệ n n h sau: * Tổng: lổní> cua hai kiện kiện chí việc xảy mộl Irong hai kiện trẽn, ký hiệu A + B Tíclr licli c ủ a h a i s ự k i ệ n m ộ l s ự k i ệ n c h i v i ẹ c x ả y r a đồng thòi cá hai kiện, ký hiệu AB Đối lập: hai kiện A Ẵ dirợc gọi dôi lập ln chí xảy ircMig hai kiện Từ dó dẻ + =(/ 4.4 = \ ' * X ung khắc: hai kiện /\ \ ầ B gọi xiíiìịỉ k h ắ c chúng k h ô n g đ n g thời xảy tức A B = V, * Kéo theo: kiện /4 kéo iheo kiện B ký hiệu ,4 ^ xảy /4 xảy B B * Tương đương: hai kiện /i B gọi Itíơiìí; cíicơììg, ký hiệu /A = B, B B => A Đ ể ý hai phép tốn tổng lích có số tính chất củ a phép cộng phép nhân: (a) A + 13 = B + A\ A B = BA: ịh) {A + B) + c = A + (B + C); { ÁB ) C = A{BC)\ (c) A{B + C) = A B + AC Ngồi dễ dàng chứng minh: /l + A = /l; /lA = /l; Ẩ + = ơ; AU = /ì; A + l/ = /i; /11-' = M ột k iên kêt trực tiêp c ủ a m ột điều kiện xác định kh ô n g thể phân chia th àn h c c kiện k hác gọi s ự kiện sơ cấp Trong nhiều tập ta cần xác định số lượng kiện đồng khả nàng, dẫn đến cần sử dụng đến kê't Giải tích kết hợp * Chính hợp; chỉnh lìựp chập k từ n phần tử mộl nhóm có thứ tự gồm k phần tử có ihứ tự lấy từ ìì phần tử Đó mộl nhóm gồm k phần tử khác dược xếp theo thứ lự nhấl dịnh sỏ chinh hợp ký hiệu = /;(/; - -Ắ' + l ) * Chính hợp lặp: chỉnh hợp lặp c h ậ p k lừ n phần tử mội nhóm có thứ tự gồm k phần tử m ỗi phần tử có ihể lặp lại lấy từ lì phần tứ cho N h vậv n h ó m gồm k phần tử g iống \'à xếp iheo thử tự Số hợp lặp ký hiệu * Ilốn v ị ; h o ì ì v ị c ủ a II p h ầ n t l m ộ t n h ó m tử âv xếp th eo mộl thứ tự ký hiệu g m lì p h ầ n Số hốn vị n h c h ín h số c hính hợp ta có p„=n\ * Tổ hợp: t ổ hợp chập Ấ: từ /; phần tử nhóm gồm k phần tử khác lấy từ n phần từ cho (không phân biệt thứ tự) Sô tổ hợp ch ập k từ II ký hiệu ^ _ ^ ^ " ìĩ{n -k)ĩ k' ■ 1.1.2 Các giải mẫu Bài Khi có đ ẳ n g thức A + Giíii: Đẳng thức A + B = A B = AI B kéo theo A (hay việc xảv B kéo theo xảy /l) Bài Cho sơ đổ m ạng điện hình 1.], gồm bóng đèn Việc m ạng diện (sự kiện A) chí xảy cháy bóng đèn (ký hiệu kiện Aị /l,, Aị) Hãy bicLi diễn A theo Aị, I - 1, 2, Giải' Sự kiện A xảy xảy trường hợp: a) Cả ba bó n g đểu cháy; b) C h y h a i b ó n g 3; c) C h y h a i b ó n g v H ì n h '1.1 T đ ó ta có: /\ = /^I /4 , / l + / \ + /Vị /1 ,4 Có thể dùng tính chất việc mắc s o n s song nối tiếp bóng đê’ có mội biểu diẻn khác sau: A = Ụ\ ị + /li ),4 , Bài Sự kiện /4 - có nliất sản phẩm phố phẩm; B - số p h ế p h ẩ m kh n g Các kiện sau gì: a) Ã ; b) ; c) A Ĩ Ì : d) Ã B ‘? Giải: a) Dễ thấy A - khơng có p h ế phẩm hay cá sản phẩm tốt; b) B - có phế phẩm khơng có p h ế phẩm; hay D - có nhiều phê phám (hoặc có nhấl phẩm); c) A B - có phế phẩm; d) Á B = V (khơng xãy ra) Bài Có 10 viên bi dược đánh số từ đến 10, có viên đỏ viên xanh Rút hú họa viên bi hỏi kiện sơ cấp kiện nào? Giải: Nếu ta quan tâm đến số thứ tư viên bi, có 10 kiện sơ cấp ý chúng đồng khả Còn nêu chi quan lâm đên màu bi, chí có kiện sơ cấp chúng không đồng khả Bài Có cách xếp q u v c n sách lên giá? Giải: Dỗ thấy cách xếp hốn vị cúa phần lử từ sị cách xếp = 5! = 120 Bài Có số điện thoại cúa tổng đài nòi bỏ gồm số cổ chữ số? Giải: Có thể nói tổng đài gổrn 10000 = 9999 sô (do sô 0000 thường không dù n g ) Đ ó cũn g số hợp lặp c h ậ p lừ 10 phần tử ( g ó m ,2 9) Irù di ì - = 9999 ) Bài Một Iiíỉày học số m ơn học Hỏi có bao nliiêu cách xc'p lliịi khóa biếu ngày? Gidi: Già sứ có thc chọn lùy V m ơn ngày Việc xép thời khóa bicu Irong ngày ấv chínli việc chọn mơn sỏ' C 'ó đé ý đến thứ lự \'à khơng có lặp Từ số cách Aĩ = = 210 Bài Có cách rút quân từ 52 con? Giải: Số h rút số lổ hợp ch ập lừ 32 phần tử 52! = - - = - - = 22100 !49! B i 9* C ó m ấ y c c h x ế p /■ q u ả c ầ u k h c n h a u vào n hộp? Giúi: Mỗi q u ả cầu xếp vào II h ộ p c nhau, nên có thè coi số cách xếp /■ cầu vào lì liộp n h số cách chọn r hộ p (có thể lặp lại có thứ tư) từ tâp lì hơp, vây có Ă' = lì’ 1.1.3 Bài tậ p Cho sản phám A kiện có p h ế phẩm B - dều tốl, Các kiện sau có nghĩa gì: a) /4 + B: b) AB? Chứng m inh công thức Đ M oóc-găng: A + B = A B Chứng m inh; a) AB - (,4 + B)( a + Ìỉ Ị ã + b ) b) Ă B + y\B + Ấ /7 = A « Gọi A, i = , , kiện chí việc bắn trúng xạ thú thứ /' (mỗi người bắn phái), Hãy biểu diễn kiện: Ọ a) Có đú n g người bắn trúng b) Có người bắn trúng G ieo m ột xúc sắc c â n đối đồ n g chất gọi /4, k iện xuất m ặt i chấm (/ = , , 6) Các kiện sau c ó ý nghĩa gì: ã) A Ị + A j + b) A| + + /4 a) X ác định h ằn g số a b) T ín h kỳ vọng phương sai X Câu Đ o ch iều cao 100 n ữ sinh ta có kết q u ả sau (giả sử biến ng ẫu nhiên tuân theo luật chuẩn): Chiều cao (m) 1,52-1,56 1,56-1,60 1,60-1,64 1,64-1,68 Số nữ sinh 25 35 18 12 224 1,68-1,72 10 Tim k h o ản g tin cậy đối xứng i ỵ = % ) chiều cao tn m g bình c ủ a n ữ sinh Theo anh (chị) với mức ý nghĩa a = 0,05 c h ấ p n h ậ n ý kiến cho chiều cao trung bình nữ sinh 1,58/77 không? Đề li C â u Có thí nghiệm viên k héo thay làm m ột loại xét nghiệm Sau m ột thời gian thấy có xét ng hiệm khơng đạt T ính xác suất; a) Cơ I làm không đạt 3, cô II làm k hông đạt xét nghiệm b) M ộ t cồ làm kh ông đạt xét nghiệm C â u Có cầu thủ ném người m ột quẳ bóng vào rổ với xác suất trúng tương ứng 0,8; 0,7 0,6 a) T ín h xác suất để có nhiều m ột cầu thủ ném trúng rổ b) Biết có hai cầu thủ ném trúng; tìm xác suất để cầu thủ thứ ba đ ã n é m trúng C â u C ho hàm m ật độ mộl biến ngẫu nhiên X c ó dạng: , < < 8, a ịfx m 0, XỂ 0,8 a) X c đ ịn h số a b) T ín h kỳ vọng phương sai X C âu C ân ngẫu nhiên 25 sản phẩm loại m ột nhà m áy ta kết sau (giả sử trọng lượng sản phẩm tuân theo lu ật p h â n phối chuẩn): T rọng lượng (kg) 3,94 3,97 4,00 4,03 4,06 Số sản phẩm 10 225 Tim k h o ản g tin cậy đối xứng ( ỵ = % ) củ a trọng lượng trung bình sản phẩm Theo anh (chị) với m ức ý nghĩa a = 0,05 chấp nh ận ý kiến cho trọng lượng trung bình củ a loại sản phẩm 3,98kg k hơng? Đề III Câu Hai pháo cùn g bắn vào m ộ t m ục tiêu, m ối phẩu bắn phát, voi xác suất trúng đích m ỗi phát I 0,2 II l.ỉ 0,15 a) T ính xác suất m ục tiêu bị trúng đạn b) M ục tiêu bị diệt trúng hai phát đạn; tính xác suất m ục tiêu bị diệt C â u Tỷ lệ bệnh nhân c ủ a ba loại bệnh A,B,C củ a m ộ t kh oa điều trị 2:3:5 X ác suất để gặp m ột bệnh nhân n ặ n g loại bệnh tương ứng 0,4; 0,5 0,3a) Tính xác suất để gặp ngẫu n h iên m ột bệnh nhân nặng b) G ặp ngẫu nhiên m ột b ệ n h n h ân kh n g bị bệnh nặng; tìm xác suất để bị bệnh c C â u C ho hàm m ật đ ộ c ủ a m ột biến ngẫu nhiên X c ó dạng: k /w = ,2