MỘT SỐ BÀI TẬP XÁC XUẤT LỚP 11 CÓ ĐÁP ÁN Bài toán 1. Cho một lục giác đều ABCDEF. Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vào 6 thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên 2 thẻ đó là: a) Cạnh của lục giác. b) Đường chéo của lục giác. c) Đường chéo nối 2 đỉnh đối diện của lục giác. (Bài 8 – trang 77 sách Đại số và giải tích 11 + Vì lấy 2 điểm nên: > + Gọi: A là biến cố “2 thẻ lấy ra là 2 cạnh của lục giác” B là biến cố “2 thẻ lấy ra là đường chéo của lục giác” C là biến cố “2 thẻ lấy ra là đường chéo của 2 cạnh đối diện của lục giác” Bài toán 2. Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho. a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau. b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau. (Bài 6 – trang 76 sách Đại số và giải tích 11) + Cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang cách. +Cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang, biết rằng nam nữ ngồi xen kẽ nhau cách. +Cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào02 6 ghế kê theo hàng ngang, biết rằng ba bạn nam ngồi cạnh nhau 4. cách. + Gọi là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang mà nam và nữ xen kẽ nhau” + Gọi là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang mà 3 bạn nam ngồi cạnh nhau” + Ta có + Suy ra Bài toán 3. Gieo một con súc xắc, cân đối và đồng nhất. Giả sử con súc xắc suất hiện mặt b chấm. Xét phương trình Tính xác suất sao cho phương trình có nghiệm. ( Bài 4 trang 74 sách Đại số và giải tích 11) + Ký hiệu “con súc xắc suất hiện mặt b chấm” là b: + Không gian mẫu: + Gọi A là biến cố: “Phương trình có nghiệm” + Ta đã biết phương trình có nghiệm khi + Do đó Bài toán 4. Trên một cái vòng hình tròn dùng để quay sổ số có gắn 36 con số từ 01 đến 36. Xác suất để bánh xe sau khi quay dừng ở mỗi số đều như nhau. Tính xác suất để khi quay hai lần liên tiếp bánh xe dừng lại ở giữa số 1 và số 6 ( kể cả 1 và 6) trong lần quay đầu và dừng lại ở giữa số 13 và 36 ( kể cả 13 và 36) trong lần quay thứ 2. Phân tích: Rõ ràng là trong bài toán này ta không thể sử dụng phương pháp liệt kê vì số phần tử của biến cố là tương đối lớn. Ở đây ta sẽ biểu diễn tập hợp dưới dạng tính chất đặc trưng để tính toán. Gọi A là biến cố cần tính xác suất Có 6 cách chọn i, ứng với mỗi cách chọn i có 25 cách chọn j ( từ13 đến36 có 25 số) do đó theo quy tắc nhân
MỘT SỐ BÀI TẬP XÁC XUẤT LỚP 11 CÓ ĐÁP ÁN Bài toán Cho lục giác ABCDEF Viết chữ A, B, C, D, E, F vào thẻ Lấy ngẫu nhiên hai thẻ Tìm xác suất cho đoạn thẳng mà đầu mút điểm ghi thẻ là: a) Cạnh lục giác b) Đường chéo lục giác c) Đường chéo nối đỉnh đối diện lục giác (Bài – trang 77 sách Đại số giải tích 11 + Vì lấy điểm nên: -> + Gọi: A biến cố “2 thẻ lấy cạnh lục giác” B biến cố “2 thẻ lấy đường chéo lục giác” C biến cố “2 thẻ lấy đường chéo cạnh đối diện lục giác” Bài toán Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang Tìm xác suất cho a) Nam nữ ngồi xen kẽ b) Ba bạn nam ngồi cạnh (Bài – trang 76 sách Đại số giải tích 11) + Cách xếp bạn nam bạn nữ vào ghế kê theo hàng ngang cách +Cách xếp bạn nam bạn nữ vào ghế kê theo hàng ngang, biết nam nữ ngồi xen kẽ cách +Cách xếp bạn nam bạn nữ vào02 ghế kê theo hàng ngang, biết ba bạn nam ngồi cạnh cách -1- + Gọi biến cố “Xếp học sinh nam học sinh nữ vào ghế kê theo hàng ngang mà nam nữ xen kẽ nhau” + Gọi biến cố “Xếp học sinh nam học sinh nữ vào ghế kê theo hàng ngang mà bạn nam ngồi cạnh nhau” + Ta có + Suy Bài tốn Gieo súc xắc, cân đối đồng Giả sử súc xắc suất mặt b chấm Xét phương trình Tính xác suất cho phương trình có nghiệm ( Bài trang 74 sách Đại số giải tích 11) + Ký hiệu “con súc xắc suất mặt b chấm” b: + Không gian mẫu: + Gọi A biến cố: “Phương trình có nghiệm” + Ta biết phương trình có nghiệm + Do Bài tốn Trên vịng hình trịn dùng để quay sổ số có gắn 36 số từ 01 đến 36 Xác suất để bánh xe sau quay dừng số Tính xác suất để quay hai lần liên tiếp bánh xe dừng lại số số ( kể 6) lần quay đầu dừng lại số 13 36 ( kể 13 36) lần quay thứ Phân tích: Rõ ràng tốn ta khơng thể sử dụng phương pháp liệt kê số phần tử biến cố tương đối lớn Ở ta biểu diễn tập hợp dạng tính chất đặc trưng để tính tốn Gọi A biến cố cần tính xác suất -2- Có cách chọn i, ứng với cách chọn i có 25 cách chọn j ( từ13 đến36 có 25 số) theo quy tắc nhân Bài toán Gieo đồng tiền cân đối đồng chất liên tiếp lần xuất mặt ngửa lần xuất mặt sấp dừng lại a) Mơ tả khơng gian mẫu b) Tính xác suất: A: “Số lần gieo không vượt ba” B: “Số lần gieo năm” C: “Số lần gieo sáu” a) hông gian mẫu b) Ta có: Bài tốn Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất lần Tính xác suất biến cố: a) Biến cố A: “Trong lần gieo có lần xuất mặt ngửa” b) Biến cố B: “Trong lần gieo có hai mặt sấp, ngửa” + Khơng gian mẫu + Ta có biến cố đối biến cố A biến cố: : “Không cố lần xuất mặt ngửa” Và ta có + Tương tự ta có: -3- Bài toán Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố sau: a) Biến cố A: “Trong hai lần gieo lần xuất mặt chấm” b) Biến cố B: “Trong hai lần gieo tổng số chấm hai lần gieo số nhỏ 11” + Khơng gian mẫu a) Ta có biến cố đối b) Ta có: Bài tốn Gieo đồng thời hai súc sắc Tính xác suất cho: a) Hai súc sắc xuất mặt chẵn b) Tích số chấm súc sắc số chẵn + Ta có + Gọi biến cố “Hai súc sắc xuất mặt chẵn” + Do + Có cách chọn , với cách chọn -4- ta có cách chọn Do có cách chọn Cách 2: + Gọi A biến cố “Con súc sắc thứ xuất mặt chẵn” B biến cố “Con súc sắc thứ hai xuất mặt chẵn” X biến cố “Hai súc sắc xuất mặt chẵn” + Thấy hai biến cố độc lập (Trong mặt có mặt chẵn) + Do ta có: b Gọi biến cố “Tích số chấm súc sắc số chẵn” Có khả xảy để tích số chấm súc sắc số chẵn: Con súc sắc thứ xuất mặt chẵn, súc sắc thứ hai xuất mặt lẻ Con súc sắc thứ xuất mặt lẻ, súc sắc thứ hai xuất mặt chẵn Cả hai súc sắc xuất mặt chẵn Và ta có “Tích số chấm súc sắc số lẻ” có khả hai súc sắc xuất mặt lẻ + Như lần ta lại thấy ưu biến cố đối + Ta có , độc lập nên ta có: + Do Bài tốn Trong hịm có 10 chi tiết, có chi tiết hỏng Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên chi tiết có khơng q chi tiết hỏng + Số cách lấy chi tiết từ 10 chi tiết -5- + Gọi biến cố “Trong chi tiết lấy khơng có chi tiết hỏng” biến cố “trong chi tiết lấy có chi tiết hỏng” biến cố “Trong chi tiết lấy có khơng q chi tiết hỏng” + Khi Do xung khắc nên + Có chi tiết khơng bị hỏng nên + Số cách lấy chi tiết từ chi tiết KHÔNG bị hỏng + Số cách lấy chi tiết từ chi tiết hỏng + Theo quy tắc nhân ta có + Do ta có: Bài tốn 10 Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ có cầu đỏ, cầu xanh Hộp thứ hai có cầu đỏ, cầu xanh Từ hộp lấy ngẫu nhiên cầu a) Tính xác suất để cầu lấy màu đỏ b) ính xác suất để cầu lấy màu a) Gọi: A biến cố “Quả cầu lấy từ hộp thứ màu đỏ” B biến cố “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai màu đỏ” X biến cố “Hai cầu lấy màu đỏ” -6- + Ta có , + Mặt khác A B độc lập nên b) Gọi: Y biến cố “Hai cầu lấy màu xanh” Z biến cố “Hai cầu lấy màu” + Ta có + Mặt khác độc lập nên + Thấy nên Bài tốn 11 Có lơ hàng Người ta lấy ngẫu nhiên từ lô hàng sản phẩm Xác suất để sản phẩm chất lượng tốt lô hàng Hãy tính xác suất để: a) Trong sản phẩm lấy có sản phẩm có chất lượng tốt b) Trong sản phẩm lấy có sản phẩm có chất lượng tốt Phân tích: Đây toán cho trước xác suất nên chắn ta phải sử dụng phép tốn tính xác suất để giải Biến cố sở “Lấy sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất” “Lấy sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai” Lời giải: Gọi “Lấy sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất” “Lấy sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai” -7- Khi ta có: a) Gọi biến cố “Trong sản phẩm lấy có sản phẩm có chất lượng tốt” Suy Do ba biến cố b) Gọi độc lập nên ta có biến cố “Trong sản phẩm lấy có sản phẩm có chất lượng tốt” Suy Do xung khắc biến cố B; A độc lập nên ta có Bài tốn 12 Một phịng lắp hai hệ thống chng báo động phịng cháy, hệ thống báo thấy khói hệ thống báo thấy lửa xuất Qua thực nghiệm thấy xác suất chng báo khói , chuông báo lửa chuông báo Tính xác suất để có hỏa hoạn chuông báo Phân tích: Biến cố cần tính xác suất chng báo khói báo hoả hoạn chuông báo lửa báo lửa báo hoả hoạn Do tốn chắn dùng quy tắc cộng Tuy nhiên hai biến cố sở lại không xung khắc Trong trường hợp ta phải sử dụng quy tắc cộng mở rộng Lời giải Gọi biến cố “Chng báo thấy khói” biến cố “Chuông báo thấy lửa” -8- biến cố “Ít hai chơng báo hỏa hoạn” Theo giả thiết tốn ta có Do ta có: 2/ Trong hộp có bóng trắng, bóng xanh, bóng đỏ lấy ngẫu nhiên bóng Tìm xác suất để có bóng có đủ mầu Bài 1: Có 30 đề thi có 10 đề khó, 20 đề trung bình Tìm xác suất để: a) Một Học sinh bắt đề gặp đề trung bình b) Một Học sinh bắt hai đề, đề trung bình Giải a) Gọi A biến cố Học sinh bắt đề trung bình: C120 20 P(A) C30 30 b) Gọi B biến cố học sinh bắt đề trung bình đề khó Gọi C biến cố học sinh bắt đề trung bình Gọi D biến cố học sinh bắt hai đề, đề trung bình C120 C110 C220 200 190 0,896 Khi đó: P(D) C30 435 tất A5 A5 A5 A5 A5 325 tín hiệu Bài 3: Từ tổ gồm bạn nam bạn nữ, chọn ngẫu nhiên bạn xếp vào bànd 9ầu theo thứ tự khác Tính xác suất cho cách xếp có bạn nam Giải Mỗi xếp chỗ ngồi cho bạn chỉnh hợp chập 11 bạn Vậy không gian mẫu gồm A11 (phần tử) Kí hiệu A biến cố: “Trong cách xếp có bạn nam” Để tính n(A) ta lí luận nhau: - Chọn nam từ nam, có C6 cách - Chọn nữ từ nữ, có C5 cách - Xếp bạn chọn vào bàn đầu theo thứ tự khác nhau, có 5! Cách Từ theo quy tắc nhân ta có: n(A) = C6 C5 5! Vì lựa chọn xếp ngẫu nhiên nên kết đồng khả C63 C52 5! �0, 433 Do đó: P ( A) A115 Bài 4: Một tổ chuyên môn gồm thầy giáo, thấy P cô Q vợ chồng Chọn ngẫu nhiên người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp Tính xác suất để cho hội đồng có thầy, thiết phải có thầy P Q khơng có hai Giải: -9- Kết lựa chọn nhóm người tức tổ hợp chập 12 Vì khơng gian mẫu gồm C12 792 phần tử Gọi A biến cố cần tìm xác suất B biến cố chọn hội đồng gồm thầy, có thầy P khơng có Q C biến cố chọn hội đồng gồm thấy, có Q khơng có thầy P Như vậy: A = B C n(A) = n(B) + n(C) Tính n(B) sau: - Chọn thầy P, có cách - Chọn thầy từ thầy cịn lại, có C6 cách - Chọn từ cơ, có C4 cách 2 Theo quy tắc nhân, n(B) = C6 C4 = 90 Tương tự n(C) = C6 C4 = 80 n( A) 170 �0, 215 n() 792 Bài 5: Sáu bạn, có bạn H K, xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc Tính xác suất cho: a Hai bạn H K đứng liền nhau; b hai bạn H K không đứng liền Giải: Khơng gian mẫu gồm hốn vị bạn Do đó: n() = 6! Do việc xếp ngẫu nhiên gồm kết đồng khả a Kí hiệu: A biến cố “H K đứng liền nhau”, B biến cố “H đứng trước K” C biến cố “K đứng trước H” Rõ ràng B C xung khắc A = B C Vậy n(A) = 80 + 90 = 170 P(A) = * Tính n(B): Xếp H bạn khác thành hàng, có 5! Cách Trong cách xếp vậy, xếp bạn K sau H, có cách Vậy theo quy tắc nhân ta có: n(B) = 5! x = 5! * Tương tự: n(C) = 5! 5! 5! Do P(A) = P(B) + P(C) = 6! 6! b Ta thấy A biến cố: “H K không đứng liền nhau” Vậy: P ( A) P( A) 3 Bài 6: Tổ I có nam nữ, tổ II có nam nữ Để lập đoàn đại biểu, lớp trưởng chọn ngẫu nhiên từ tổ hai người Tính xác suất cho đoàn đại biểu gồm toàn nam toàn nữ Giải: Gọi: A biến cố: “Đoàn đại biểu chọn gồm toàn nam toàn nữ”, B biến cố: “Đoàn đại biểu chọn gồm toàn nam”, C biến cố: “Đoàn đại biểu chọn gồm tồn nữ” Ta có: BC = , A = B C Suy ra: P(A) = P(B) + P(C) - 10 - ÚNG DỤNG SỐ PHỨC TÍNH TỔNG CÁC DÃY SỐ LỜI NĨI ĐẦU Trong chương trình đổi nội dung Sách giáo khoa, số phức đưa vào chương trình tốn học phổ thơng giảng dạy cuối lớp 12 Ta biết đời số phức nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức cầu nối hoàn hảo phân mơn Đại số, Lượng giác, Hình học Giải tích (thể sâu sắc mối quan hệ công thức eiπ 0 ) Số phức vấn đề hồn tồn khó học sinh, địi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng Do tính chất đặc biệt số phức nên giảng dạy nội dung giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển tốn để tạo nên lôi cuốn, hấp dẫn người học Bằng việc kết hợp tính chất số phức với số kiến thức đơn giản khác lượng giác, giải tích, đại số hình học giáo viên xây dựng nhiều dạng tốn với nội dung hấp dẫn hồn tồn mẻ Vì đưa vào chương trình SGK nên có tài liệu số phức để học sinh giáo viên tham khảo Bên cạnh đó, lượng tập dạng tập số phức SGK cịn nhiều hạn chế Giúp học sinh có nhìn sâu, rộng số phức, trình giảng dạy tơi ln tìm tịi khai thác kết hợp kiến thức khác toán học để xây dựng dạng tập cho học sinh tư duy, giải Một vấn đề xây dựng dạng tốn “Ứng dụng số phức để tính tổng Ck n ” sở khai thác tính chất số phức vận dụng khai triển nhị thức Newton Để nội dung sáng kiến kinh nghiệm có tính thực tiễn cơng tác giảng dạy chung nhà trường, mong đóng góp ý kiến xây dựng bổ xung đồng chí tổ chun mơn đồng nghiệp khác Vĩnh Yên, ngày 20 tháng năm 2009 Người thực Lê Hồng Thái - 12 - NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I- MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT: 1- Khai triển nhị thức Newton: Với x với nN* ta có: n-1 n-1 n n (1 + x)n = C 0n xC1n x C n x C n x C n 2- Các tính chất số phức dùng đề tài: * Hai số phức z = x + iy, w = x/ + iy/ x = x/ y = y/ * z = r(cos + isin) zn = [r(cos + isin)]n = rn(cosn + isinn) * Giải phương trình: x3 – = 3 Ta nghiệm x1 = 1; x i ; x i 2 2 Các nghiệm bậc ba Đăt: ε 3 i ε i ε có tính chất sau: 2 2 1) ε + ε = -1 2) ε 1 3) ε 3k 1 4) ε 3k ε 5) ε 3k ε (k – nguyên) 3- Khi dùng số phức để tính tổng C nk ? Đây vấn đề lớn cần ý cho học sinh Ta dùng số phức để tính tổng Ckn tổng có hai đặc điểm: * Các dấu tổng xen kẽ * k lẻ, chẵn chia k cho số ta ln số dư (trong chương trình phổ thông ta cho HS làm với k = 3l, k = 3l + 1, k = 3l + 2) - 13 - 4- Các tổng C nk tính ? * Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị số phức thích hợp (thường ta chọn x = i) So sánh phần thực phần ảo số phức hai cách tính * Khai triển trực tiếp số phức (thường xét số phức có argument , , ) Sau so sánh phần thực phần ảo số phức hai cách tính * Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau cho x nhận giá trị số phức thích hợp (thường ta chọn x = i) Sau so sánh phần thực phần ảo số phức hai cách tính * Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị bậc ba đơn vị Cộng vế theo vế đẳng thức thu Suy giá trị tổng cần tìm Điều quan trọng phải quan sát tổng cần tìm có đặc điểm để lựa chọn cách Chủ yếu vào hệ số C nk tổng Để nói chi tiết điều địi hỏi phải có lượng lớn nhận xét, vượt khuôn khổ cho phép đề tài sáng kiến kinh nghiệm Tôi đưa số ví dụ minh hoạ cho dạng, qua người đọc tự trả lời câu hỏi: Để tính tổng ta phải làm gì? II- MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ: Dạng 1:Khai triển (1 + x) n, cho x nhận giá trị số phức thích hợp khai triển trực tiếp số phức Ví dụ 1: C4 C6 C 2004 C 2006 C 2008 Tính tổng A = C02009 C 2009 2009 2009 2009 2009 2009 C5 C7 C 2005 C 2007 C 2009 B = C12009 C 2009 2009 2009 2009 2009 2009 - 14 - Giải: Xét khai triển: x 2008C 2008 x 2009 C 2009 (1 + x)2009 = C02009 xC12009 x 2C 2009 2009 2009 Cho x = - i ta có: i 2008C 2008 i 2009C 2009 (1 – i )2009 = C 02009 iC12009 i C 2009 2009 2009 C4 C6 C2004 C2006 C2008 ) + = ( C02009 C2 2009 2009 2009 2009 2009 2009 C7 C2005 C2007 C 2009 )i + ( C12009 C32009 C2009 2009 2009 2009 2009 Mặt khác: π π (1 i) 2009 ( ) 2009 cos isin 4 2009 ( ) 2009 cos 2009π 2009π isin 4 2009 cos π isin π ( )2009 i 21004 21004 i = ( 2) 4 So sánh phần thực phần ảo (1 – i )2009 hai cách tính ta được: C4 C6 C2004 C2006 C2008 = 21004 A = C02009 C2 2009 2009 2009 2009 2009 2009 C2007 C2009 = - 21004 B = C12009 C32009 C52009 C72009 C2005 2009 2009 2009 Ví dụ 2: 2 23 46 24 48 25 50 Tính tổng: C = 50 C50 3C50 C50 C50 C50 C50 Giải: Xét khai triển: i 2 50 2 49 49 50 50 C50 (i )C 50 (i ) C50 (i ) C50 (i ) C50 50 2 4 46 46 48 48 50 50 C50 ( ) C50 ( ) C50 ( ) C50 ( ) C50 ( ) C50 50 - 15 - + 50 3C1 ( )3 C3 ( )5 C5 ( 3) 47 C 47 ( 3) 49 C 49 i 50 50 50 50 50 Mặt khác: i 2 50 2π 2π cos isin So sánh phần thực i 2 50 100π 100π isin i 2 cos 50 hai cách tính ta được: 1 2 23 46 24 48 25 50 C = 50 C50 3C50 C50 C50 C50 C50 2 Ví dụ 3: 10 16 18 20 Tính tổng: D = C20 C20 C20 C20 C20 3C20 C20 Giải: Xét khai triển: i 20 ( ) 20 C0 i( )19 C1 ( )18 C ( ) C18 i 3C19 C 20 = 20 20 20 20 20 20 38 C4 37 C6 32 C16 3C18 C20 ) + = ( 310 C020 39 C2 20 20 20 20 20 20 19 17 3 17 19 + ( ) C20 ( ) C20 ( ) C20 3C20 i Mặt khác: i 20 220 cos 1 220 i 2 20 π π 220 cos isin 6 20 220 cos 20π 20π isin 6 4π 4π isin 220 i 219 219 i 3 So sánh phần thực i 20 hai cách tính ta có: 38 C4 37 C6 32 C16 3C18 C20 = - 219 D = 310 C020 39 C2 20 20 20 20 20 20 Dạng 2: Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau cho x nhận giá trị số phức thích hợp - 16 - Ví dụ 1: 5C5 7C7 25C 25 27C 27 29C29 Tính tổng: D = C130 3C 30 30 30 30 30 30 4C4 6C 8C 26C 26 28C 28 30C 30 E = 2C2 30 30 30 30 30 30 30 Giải: xC1 x 2C x 3C3 x 28C 28 x 29C 29 x 30C30 (1 + x)30 = C30 30 30 30 30 30 30 Đạo hàm hai vế ta có: 3x 2C3 28x 27 C 28 29x 28C 29 30x 29C30 30(1 + x)29 = C130 2xC30 30 30 30 30 Cho x = i ta có: 25C25 27C27 29C29 ) + 30(1 + i)29 = ( C130 3C330 5C530 7C30 30 30 30 4C4 6C6 8C8 26C26 28C28 30C30 )i + ( 2C30 30 30 30 30 30 30 Mặt khác: 30(1 + i)29 = 30 29 π π cos isin 4 29 30 29 29π 29 cos 29π isin 4 30 2 i 15.215 15.215 i 2 So sánh phần thực ảo 30(1 + i)29 hai cách tính ta có: 25C25 27C27 29C29 = - 15.215 D = C130 3C330 5C530 7C30 30 30 30 4C4 6C6 8C8 26C26 28C28 30C30 = - 15.215 E = 2C30 30 30 30 30 30 30 Ví dụ 2: 4.32 C4 6.33 C6 18.39 C18 20.310 C20 Tính tổng S = 2.3C2 20 20 20 20 20 Giải: Xét khai triển: (1 + x)20 = - 17 - ( 3x)3 C3 ( 3x)19 C19 ( 3x) 20 C 20 = C 020 ( 3x)C120 ( 3x) C 20 20 20 20 Đạo hàm hai vế ta có: 20 (1 3x)19 = = 3C1 2.3xC 3.( )3 x 2C3 19.( )19 x18C19 20.310 x19C 20 20 20 20 20 20 Cho x = i ta có: 20 (1 3i)19 = 3 5 17 17 19 19 = 3C 20 3 C 20 C 20 17 C 20 19 C 20 2.3C2 4.32 C4 6.33 C6 18.39 C18 20.310 C20 i 20 20 20 20 20 19 19 1 19 19 20 3.219 cos π isin π Mặt khác: 20 (1 3i) = 20 3.2 i 2 3 1 19π 19π 20 3.219 cos isin i 10 3.219 30.219 i 20 3.219 3 2 So sánh phần ảo 20 (1 3i)19 hai cách tính ta có: 4.32 C4 6.33 C6 18.39 C18 20.310 C20 = 30.219 S = 2.3C2 20 20 20 20 20 Ví dụ 3: 3C2 5C4 7C6 13C12 15C14 Tính tổng sau: M = C15 15 15 15 15 15 6C5 8C7 14C13 16C15 N = 2C115 4C15 15 15 15 15 Giải: Xét khai triển: xC1 x 2C x 3C3 x13C13 x14 C14 x15C15 (1 + x)15 = C15 15 15 15 15 15 15 Nhân hai vế với x ta có: x 2C1 x 3C x 4C3 x14 C13 x15 C14 x16 C15 x(1 + x)15 = xC15 15 15 15 15 15 15 - 18 - Đạo hàm hai vế ta có: (1 + x)15 + 15x(1 + x)14 = C0 2xC1 3x 2C 4x 3C3 14x13C13 15x14C14 16x15C15 15 15 15 15 15 15 15 Với x = i ta có: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = 12 14 = C15 3C15 5C15 7C15 13C15 15C15 + 13 15 + 2C15 4C15 6C15 8C15 14C15 16C15 i Mặt khác: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = 15 14 14 π π π π cos isin 15i cos isin 4 4 15 2 15 15π 14π 14π 15 cos 15π isin isin 15.27 i cos 4 4 2 i 15.27 2 27 27 i 15.27 14.27 27 i 7.28 27 i So sánh phần thực ảo (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 hai cách tính ta có: 3C2 5C 7C6 13C12 15C14 = 7.28 M = C15 15 15 15 15 15 6C5 8C7 14C13 16C15 = -27 N = 2C115 4C15 15 15 15 15 Dạng 3: Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị bậc ba đơn vị Để tiện cho việc theo dõi biến đổi phép tính tơi đưa lại vấn đề bậc ba đơn vị (đã trình bày phần I đề tài): Giải phương trình: x3 – = 3 Ta nghiệm x1 = 1; x i ; x i 2 2 Các nghiệm bậc ba Đăt: ε 3 i ε i ε có tính chất sau: 2 2 - 19 - 1) ε + ε = -1 2) ε 1 3) ε 3k 1 4) ε 3k ε 5) ε 3k ε (k – nguyên) Sử dụng tính chất ε ta tính tổng sau: Ví dụ 1: C6 C 3k C15 C18 Tính tổng: S = C020 C 20 20 20 20 20 Giải: Xét khai triển: x 3C3 x18 C18 x19 C19 x 20C 20 (1 + x)20 = C 020 xC120 x 2C 20 20 20 20 20 Cho x = ta có: C3 C18 C19 C 20 220 = C 020 C120 C 20 20 20 20 20 (1) Cho x = ε ta có: C3 C18 εC19 ε 2C 20 (1 + ε )20 = C 020 εC120 ε C 20 20 20 20 20 (2) Cho x = ε ta có: C3 C18 ε 2C19 εC 20 (1 + ε )20 = C 020 ε 2C120 εC 20 20 20 20 20 Cộng vế theo vế (1), (2) (3) ta được: 220 + (1 + ε )20 +(1 + ε )20 = 3S Mặt khác: (1 ε) 20 ( ε ) 20 ε 40 ε ; (1 ε ) 20 ( ε) 20 ε 20 ε 20 Do vậy: 3S = 220 – Hay S = - 20 - (3) Ví dụ 2: 1 C16 C19 Tính tổng T = C120 C420 C720 C 3k 20 20 20 Giải: Xét khai triển: x 3C3 x18 C18 x19 C19 x 20C 20 (1 + x)20 = C 020 xC120 x 2C 20 20 20 20 20 Nhân hai vế với x2 ta có: x 5C3 x 20C18 x 21C19 x 22C 20 x2(1 + x)20 = x 2C020 x 3C120 x 4C 20 20 20 20 20 Cho x = ta có: C3 C18 C19 C 20 220 = C 020 C120 C 20 20 20 20 20 (1) Cho x = ε ta có: 2 18 19 20 20 ε (1 + ε ) = ε C 20 C 20 εC 20 ε C 20 C 20 ε C 20 C 20 εC 20 (2) Cho x = ε ta có: ε (1 + ε )20 = ε C C1 ε 2C εC3 εC18 C19 ε 2C 20 20 20 20 20 20 20 20 Cộng vế theo vế (1), (2) (3) ta có: 220 + ε (1 + ε )20 + ε (1 + ε )20 = 3T Mặt khác: ε (1 + ε )20 = ε 42 1 ; ε (1 + ε )20 = ε 21 1 20 Do vậy: 3T = 220 + Hay: T = Ví dụ 3: 6C6 3kC3k 15C15 18C18 Tính tổng: P = C020 3C3 20 20 20 20 20 Giải: Xét khai triển: - 21 - (3) x 3C3 x18 C18 x19 C19 x 20C 20 (1 + x)20 = C 020 xC120 x 2C 20 20 20 20 20 Đạo hàm hai vế ta có: 3x 2C3 18x17 C18 19 x18 C19 20x19 C 20 (*) 20(1 + x)19 = C120 2xC2 20 20 20 20 20 Nhân hai vế (*) với x ta có: 3x 3C3 18x18C18 19x19C19 20x 20C 20 20x(1 + x)19 = xC120 2x 2C 20 20 20 20 20 Cho x = ta được: 3C3 4C 18C18 19C19 20C 20 20.219 = C120 2C 20 20 20 20 20 20 (1) Cho x = ε ta có: 3C3 4εC4 18C18 19εC19 20ε 2C20 20 ε (1 + ε )19 = εC120 2ε 2C2 20 20 20 20 20 20 (2) Cho x = ε ta có: 3C3 4ε C 18C18 19ε C19 20εC 20 (3) 20 ε 2(1 + ε 2)19 = ε C120 2εC 20 20 20 20 20 20 Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta có: 20[219 + ε (1 + ε )19 + ε 2(1 + ε 2)19 ] = 3P - C020 Mặt khác: ε (1 + ε )19 = ε( ε )19 ε 39 ε 2(1 + ε 2)19 = ε ( ε)19 ε 21 20 Vậy 3P = + 20(219 – 2) = 10.220 – 39 Suy P = 10.2 13 III- MỘT SỐ BÀI TẬP: 1- Tính tổng sau: 27 29 A 3C1 3 C3 C5 27 C27 29 C29 30 30 30 30 30 A 2.3C2 4.32 C4 6.33 C6 28.314 C28 30.315 C30 30 30 30 30 30 - 22 - Hướng dẫn: Xét khai triển: 1 3x 30 Đạo hàm hai vế, cho x = i so sánh phần thực, phần ảo hai số phức ĐS: A1 = 15 3.229 ; A2 = - 45.229 2- Tính tổng sau: B C0 2C2 3.4C 5.6C 7.8C8 21.22C22 23.24C24 25 25 25 25 25 25 25 B C1 2.3C3 4.5C5 6.7C 8.9C 22.23C 23 24.25C 25 25 25 25 25 25 25 25 Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x) 25 Đạo hàm hai vế hai lần, sau cho x = i So sánh phần thực phần ảo hai số phức ĐS: B1 = 75.214 – 1; B2 = –25(1 + 3.214) 3- Tính tổng sau: C C0 3C2 5C 7C6 17C16 19C18 21C 20 20 20 20 20 20 20 20 C 2C1 4C3 6C5 8C 16C15 18C17 20C19 20 20 20 20 20 20 20 Hướng dẫn: Xét khai triển: ( + x)20 Nhân hai vế với x Đạo hàm hai vế Cho x = i ĐS: C1 = - 11.210; C2 = - 10.210 4- Tính tổng sau: D 12 C1 32 C3 52 C5 72 C7 952 C95 972 C97 992 C99 100 100 100 100 100 100 100 D 2 C C C6 82 C8 962 C96 982 C98 1002 C100 100 100 100 100 100 100 100 Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x) 100 Đạo hàm hai vế Nhân hai vế với x Lại đạo hàm hai vế Cho x = i ĐS: D1 = - 50.100.250; D2 = -50.250 5- Tính tổng sau: 5C5 8C8 20C20 23C23 E = 2C2 25 25 25 25 25 Hướng dẫn: Xét khai triển (1 + x)25 Đạo hàm hai vế Sau nhân hai vế với x Cho x 1, ε, ε (ba bậc ba 1) cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận ta tìm E - 23 - 24 ĐS: E = 25(2 1) – Tính tổng sau: F C1 42 C4 C7 102 C10 372 C37 402 C40 40 40 40 40 40 40 F 2 C 52 C5 82 C8 11 C11 352 C35 382 C38 40 40 40 40 40 40 F C0 32 C3 C6 C9 362 C36 392 C39 40 40 40 40 40 40 Hướng dẫn: Xét khai triển ( 1+ x) 40 Đạo hàm hai vế Nhân hai vế với x Lại đạo hàm hai vế Để có F1 ta cho x 1, ε, ε (ba bậc ba 1) Cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận Làm để có F2, F3 mong độc giả tìm tịi chút ! ĐS: 40.41(238 1) F F F 40(239 1) 39.40(238 1) 40(239 1) 39.40(238 2) 7- Tính tổng sau: G C0 4C3 7C6 10C9 34C33 37C36 40C39 40 40 40 40 40 40 40 G 2C1 5C 8C 11C10 35C34 38C 37 41C 40 40 40 40 40 40 40 40 G 3C 6C5 9C8 12C11 36C35 39C38 40 40 40 40 40 40 - 24 - Hướng dẫn: Khai triển (1 + x)40 Nhân hai vế với x Đạo hàm hai vế Để có G1 ta cho x 1, ε, ε (ba bậc ba 1) Cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận Làm để có G2, G3 mong độc giả tìm tịi chút ! ĐS: G1 = 7.240 + 13; G2 = 7.240 – 27; G3 = 7.240 + 28 - 25 - - 26 - ... diễn tập hợp dạng tính chất đặc trưng để tính tốn Gọi A biến cố cần tính xác suất -2- Có cách chọn i, ứng với cách chọn i có 25 cách chọn j ( từ13 đến36 có 25 số) theo quy tắc nhân Bài toán Gieo... - 11 - ÚNG DỤNG SỐ PHỨC TÍNH TỔNG CÁC DÃY SỐ LỜI NĨI ĐẦU Trong chương trình đổi nội dung Sách giáo khoa, số phức đưa vào chương trình tốn học phổ thông giảng dạy cuối lớp 12 Ta biết đời số phức. .. kiến thức khác toán học để xây dựng dạng tập cho học sinh tư duy, giải Một vấn đề tơi xây dựng dạng tốn ? ?Ứng dụng số phức để tính tổng Ck n ” sở khai thác tính chất số phức vận dụng khai triển