Phương pháp tính thể tích không gian hay

Phần I. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – KHỐI LĂNG TRỤ Trong trường phổ thông, Hình học không gian là bài toán rất khó đối với học sinh, do đó học sinh phải đọc thật kỹ đề bài và từ đó xác định giả thiết bài toán, vẽ hình rồi tiến hành giải bài toán. Cả chương trình chuẩn và nâng cao đều đề cập đến thể tích khối đa diện( thể tích khối chóp và khối lăng trụ ) Thông thường bài toán về hình chóp được phân thành hai dạng như sau: Cho hình chóp Thông thường bài toán về hình lăng trụ: Cho hình lăng trụ: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy. A C B S Đa giác đáy: - Tam giác: vuông, cân, đều, …. - Tứ giác : Vuông, chữ nhật, … Hình chóp đều. A C B S O - Hình chóp tam giác đều - Hình chóp tứ giác đều Lăng trụ đứng 1 1 1 .ABC A B C 1 ( )A A ABC⊥ Lăng trụ xiên 1 1 1 .ABC A B C 1 ( )AG ABC⊥ Phần II. HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN A. MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI TAM GIÁC VÀ CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông tại A ta có - BC = 2 AM - Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông : µ = = Ñoái sin Huyeàn b B a ; µ = = Keà cos Huyeàn c B a ; µ = = Ñoái tan Keà b B c 2. Hệ thức lượng trong tam giác thường: * Định lí hàm số côsin : 2 2 2 2 . osAa b c bc c= + − * Định lí hàm số sin : 2 sin sin sin a b c R A B C = = = ( R : Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC ∆ ) 3. Cấc công thức tính diện tích: a. Công thức tính diện tích tam giác: - 1 . . 2 ABC S BC AH ∆ = - µ ( ) ( ) 1 . . . . .sin . .( ) 2 4 ABC a b c S AB AC A p r p p a p b p c R ∆ = = = = − − − Với 2 a b c p + + = * Đặc biệt: + Diện tích tam giác vuông: 1 . . 2 ABC S AB AC ∆ = + Tam giác cân: - Đường cao AH cũng là đường trung tuyến - Tính đường cao và diện tích µ .tanAH BH B= 1 . . 2 ABC S BC AH ∆ = - Định lý pitago: - - - _h _H _A _B _C _ M b c a b’c’ A B C H c a b C B A + Tam giác đều - Đường cao của tam giác đều = = 3 . 2 h AM AB ( đường cao h = cạnh x 3 2 ) - Diện tích : 2 3 ( ) . 4 ABC S AB ∆ = b) Hình vuông: S = cạnh x cạnh c) Hình chữ nhật: S = dài x rộng d) Diện tích hình thoi: S = 1 2 ( chéo dài x chéo ngắn ) e) Diện tích hình thang: S = 1 2 ( đáy lớn + đáy nhỏ ) x chiều cao f) Diện tích hình bình hành: S = đáy x chiều cao i) Diện tích hình tròn : S = 2 R π B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC. 1. Kiến thức cơ bản thường sử dụng: • Định lý 1 : ( ) ( ) ; , , a b a b P d P d a d b ∩ ∈   ⇒ ⊥  ⊥ ⊥   • Định lý 2 : Nếu ( ) d P⊥ ⇒ d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P). • Định lý 3 : ( ) ( ) // ' ' d d d P d P   ⇒ ⊥  ⊥   • Định lý 4 : ( ) ( ) ( ) ( ) d Q Q P d P ⊂   ⇒ ⊥  ⊥   • Định lý 5 : ( ) ( ) ( ) ( ) , P Q d Q d P d ∩ = ∆   ⇒ ⊥  ⊂ ⊥ ∆   • Định lý 6 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Q P R R Q R ∩ = ∆  ⊥ ⇒ ∆ ⊥   ⊥  B A G C M 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cách xác định góc − Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P): o Tìm hình chiếu d / của d lên mặt phẳng (P) o Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d / Ví dụ: A C B S Xác định góc giữa SB và (ABC) Ta có AB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC) ⇒ · · · ( ,( )) ( , )SB ABC SB AB SBA= = 3. Góc giữa hai mặt phẳng A C B S M O Xác định góc giữa (SBC) và (ABC) Ta có : · · · ( ) ( ) (( ),( )) ( , ) SBC SABC BC SM BC SBC ABC SM AM SMA AM BC ∩ =   ⊥ ⇒ = =   ⊥  Chú ý : Xác định hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm. C. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: + Thể tích khối chóp = 1 . . 3 V B h Trong đó : B là diện tích đa giác đáy h : là đường cao của hình chóp Các khối chóp đặc biệt : − Khối tứ diện đều: + Tất cả các cạnh đều bằng nhau + Tất cả các mặt đều là các tam giác đều + O là trọng tâm của tam giác đáy Và AO ⊥ (BCD) − Khối chóp tứ giác đều + Tất cả các cạnh bên bằng nhau + Đa giác đáy là hình vuông tâm O + SO ⊥ (ABCD) D. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH LĂNG TRỤ : + Thể tích khối lăng trụ = .V B h B: diện tích đáy h S B A C H O C D B A S H A1 B C A B1 C1 G _ b _A _C _D _M _O h : đường cao E. TỶ SỐ THỂ TÍCH - Việc tính thể tích của một khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót, Tuy nhiên trong các đề thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” của khối chóp đã cho. Khi đó học sinh có thể thực hiện các cách sau: + Cách 1: o Xác định đa giác đáy o Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vuông gới với mặt phẳng đáy) o Tính thể tích khối chóp theo công thức + Cách 2 o Xác định đa giác đáy o Tình các tỷ số độ dài của đường cao (nếu cùng đa giác đáy) hoặc diện tích đáy (nếu cùng đường cao) của khối chóp “nhỏ” và khối chóp đã cho và kết luận thể tích khối cần tìm bằng k lần thể tích khối đã cho + Cách 3: dùng tỷ số thể tích Hai khối chóp S.MNK và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S Ta có : . . . . S MNK S ABC V SM SN SK V SA SB SC = Cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều có đề cập đến tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” liên quan đến dữ kiện của khối chóp lớn.Tuy nhiên n B C A S N K M PHẦN III. MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH THỂ TÍCH THƯỜNG GẶP DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN bằng cách sử dụng trực tiếp các công thức toán Phương pháp: + Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích. + Tìm diện tích đáy bằng các công thức quen biết. Ví dụ mẫu 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 2 , AC = a 3 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 3a .Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải:  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng − Sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông  Lời giải: Ta có : AB = a 2 , AC = a 3 SB = 3a . * ∆ ABC vuông tại B nên 2 2 BC AC AB a= − = ⇒ 2 ABC 1 1 . 2 S . . 2. 2 2 2 a BA BC a a ∆ = = = * ∆ SAB vuông tại A có 2 2 SA SB AB a= − = * Thể tích khối chóp S.ABC 2 3 . 1 1 . 2 . 2 . . . . 3 3 2 6 S ABC ABC a a V S SA a= = = Ví dụ mẫu 2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = 3a , BC = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 60 0 .Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải  Sai lầm của học sinh: − Gọi M là trung điểm BC − Ta có AM ⊥ BC SM ⊥ BC ⇒ · · · (( ),( )) ( , ) 60 o SBC ABC SM AM SMA= = = (Hình vẽ sai)  Lời giải đúng: * Ta có : AB = 3a , (SBC) ∩ (ABC) = BC A C B S 60 M S B C A 60 S B C A AB ⊥ BC ( vì ∆ ABC vuông tại B) SB ⊥ BC ( vì ( ) SB ABC AB hc= ⇒ · · · (( ),( )) ( , ) 60 o SBC ABC SB AB SBA= = = * ∆ ABC vuông tại B có AB = 3a ,BC =a ⇒ 2 ABC 1 1 . 3 S . . 3. 2 2 2 a BA BC a a ∆ = = = * ∆ SAB vuông tại A có AB= a, µ 0 60B = ⇒ .tan 60 3 o SA AB a= = * Thể tích khối chóp S.ABC 2 3 . 1 1 . 3 . 3 . . . .3 3 3 2 2 S ABC ABC a a V S SA a= = =  Nhận xét: − Học sinh không lý luận để chỉ ra góc nào bằng 60 o , do đó mất 0.25 điểm − Học sinh xác định góc giữa hai mặt phẳng bị sai vì đa số học sinh không nắm rõ cách xác định góc và cứ hiểu là góc SMA với M là trung điểm BC o Nếu đáy là tam giác vuông tại B (hoặc C), hình vuông và SA vuông góc với đáy thì góc giữa mặt bên và mặt đáy sẽ là góc được xác định tại một trong hai vị trí đầu mút của cạnh giao tuyến o Nếu đáy là một tam giác cân (đều) và SA vuông góc với đáy hoặc là hình chóp đều thì góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc ở tại vị trí trung điểm của cạnh giao tuyến. Ví dụ mẫu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng − Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC với hình chiếu AC của SC lên (ABCD)  Lời giải: * Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a , ( ) SC ABCD AC hc= ⇒ · · · ( ,( )) ( , ) 60 o SC ABCD SC AC SCA= = = * Diện tích hình vuông ⇒ 2 ABCD S a= * ∆ SAC vuông tại A có AC= 2a , µ 0 60C = ⇒ .tan 60 6 o SA AC a= = 60 A B D C S * Thể tích khối chóp S.ABCD 3 2 . 1 1 . 6 . . . . 6 3 3 3 S ABCD ABCD a V S SA a a= = = BÀI TẬP VẬN DỤNG: 01 Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a. Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS. 3 6 a V = b) Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng ( AB’C’). c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’. ĐS. 3 36 a V = 02 Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a. ĐS. 3 2 12 a V = 03 Cho lăng trụ đứng ABC.A / B / C / có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AC=a 3 , cạnh A / B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ĐS. 3 6 2 a V = 04 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 3a .Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS. 3 . 2 6 a V = 05 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 5a .Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS. 3 . 3 3 a V = 06 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a 3 , · 0 AC 120B = ,cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS. 3 2 . 3 3 a V = 07 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC = 5a .Tính thể tích khối chóp S.ABCD ĐS. 3 2 3 a V = 08 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = AC = a 2 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD ĐS. 3 2 3 a V = 09 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS. 3 3 4 a V = 10 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a .Tính thể tích khối chóp S.ABCD ĐS. 3 4 3 a V = 11 . Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, · 0 60ACB = , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45 0 .Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS. 3 3 6 a V = 12 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 60 0 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD. ĐS. 3 6 6 a V = 13 . Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = 3a , BC = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 60 0 .Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS. 3 3 2 a V = 14 . Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = 2a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 45 0 .Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS. 3 2 12 a V = 15 . Cho lăng trụ đứng ABC.A / B / C / có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, BC = 2a , mặt phẳmg (A / BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 30 0 .Tính thể tích khối lăng trụ. ĐS. 3 6 3 a V = 16 . Cho lăng trụ ABC.A / B / C / có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a 3 , hình chiếu vuông góc của A / lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A / A hợp với mặt đáy (ABC) một góc 30 0 . Tính thể tích khối lăng trụ. ĐS. 3 12 3V a= 17 . Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3a . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể tích khối chóp S.AMN. ĐS. 3 3 6 a V = 18 . Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM. ĐS. 3 3 6 a V = , 3 3 2 a V = [...]... chéo của các mặt bên của một khối hộp chữ nhật bằng: 5 , 10 , 13 10 Tính thể tích của khối lập phơng có tổng diên tích các mặt bằng 24 DNG 3: TH TCH KHI LNG TR 01 Tớnh th tớch khi lng tr tam giỏc u cnh ỏy bng a, chiu cnh bờn bng 2a 02 Một lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37,13,30 và diên tích xung quanh bằng 480 .Tính thể tích khối lăng trụ đó ( S-xq=chu vi đáy *cạnh bên ) 03 Một lăng trụ... đáy *cạnh bên ) 03 Một lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 13,14,15 cạnh bên tạo với đáy góc 300 và có chiều cao bằng 8 .Tính thể tích của KLT 04 Một lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 19,20,37 chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng của các cach đáy tính V KLT 05 Cho khi lng tr ng ABC.ABC cú ỏy ABC vuụng ti A, AC = a, gúc ACB bng 600 ng thng BC to vi (AACC) mt gúc 300 a Tớnh... gúc 300 Tớnh th tớch khi lng tr 38 Cho hỡnh chúp S ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B vi AC = a , bit SA ( ABC ) v SB hp vi ỏy mt gúc 600 Tớnh th tớch ca khi chúp DNG 2 : TH TCH CA KHI HP 01 Tính thể tích của khối hộp chữ nhật có chiều rộng bằng 2,chiều dài bằng 3 và chiều cao bằng 4 02 Tớnh th tớch ca khi hp ch nht cú chiu rng bng 1, chiu di bng 3 v ng chộo ca hỡnh hp hp vi ỏy mt gúc bng 300 . thể tích khối chóp .S BCD theo a. ĐS. 3 6 a V = 21 .Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a; góc giữa cạnh bên và đáy là 0 60 . Tính thể tích khối chóp theo a ? ĐS. 3 6 18 a V = 22 .Cho. thể tích khối chóp theo a. ĐS. 3 3 12 a V = 23 .Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , các cạnh bên bằng 3a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. ĐS. 3 2 2 3 a V. đều. Tính thể tích khối lăng trụ theo a. 10 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’= 2a . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng