Phương pháp giải thế tích

A B C D E S HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT 1. Thể tích của khối chóp Trong phần này ta sử dụng định lý: Thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao V = 1 3 B.h trong đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao Bài 1 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B, cạnh SA (ABC)⊥ . Từ A kẻ AD SB⊥ và AE SC⊥ . Biết AB = a, BC = b, SA = c.Tính thể tích của khối chóp S.ADE? • Phân tích - tìm lời giải Ta có: AD, AE là các đường cao trong tam giác SAB, SAC Để tính thể tích của chóp S.ADE ta phải đi tìm được diện tích đáy và độ dài đường cao - Xác định đường cao: BC AD⊥ do BC (ASB)⊥ ta chỉ ra AD (SBC)⊥ và do đó: AD SC⊥ Kết hợp giả thiết với AE SC⊥ SC (ADE)⇒ ⊥ do đó: SE (ADE)⊥ Suy ra: SE là đường cao của chóp S.ADE - Diện tích tam giác ∆ ADE: AD, AE là các đường cao xuất phát từ góc vuông nên: AS.AB = AD.SB, AE.SC = AS.AC 2 2 2 2 AS.AB AS.AB a.c AD SB AS AB a c ⇒ = = = + + 1 2 2 2 2 2 2 2 AS.AC SA.AC c. a b AE SB SA AC a b c + = = = + + + Áp dụng định lý Pytago trong ∆ ADE ta có: DE = 2 2 AE AD+ Từ đó ta tính được diện tích Độ dài đường cao: SE = 2 2 2 2 2 2 c SA AE a b c − = + + Thể tích cần tính : V = 1 1 .SE. .AD.DE 3 2 • Trình bày lời giải Tính đường cao: ABC∆ vuông tại B nên AB BC⊥ Giả thiết cho: SA (ABC)⊥ ⇒ SA BC⊥ ⇒ BC (ABC)⊥ ⇒ AD BC⊥ AD là đường cao trong tam giác SAB ⇒ AD SB⊥ ⇒ AD (SBC)⊥ ⇒ AD SC⊥ Mặt khác : AE SC⊥ ⇒ SC (ADE)⊥ Hay SE là đường cao của hình chóp S.ADE Độ dài SE: 2 2 2 2 AS.AB AS.AB a.c AD SB AS AB a c ⇒ = = = + + 2 2 2 2 2 2 2 AS.AC SA.AC c. a b AE SB SA AC a b c + = = = + + + 2 Áp dụng ĐL Pytago trong tam giác SAE có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c (a b ) SE AS AE c a b c + = − = − + + = 2 2 2 2 c a b c+ + Diện tích tam giác ADE: DE = 2 2 AE AD+ = 2 2 2 2 2 2 2 c .b (a b c ).(a c )+ + + S = 1 .AD.AE 2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 c .b ac . . 2 (a b c ).(a c ) a c+ + + + = 3 3 2 2 2 2 2 1 a.c .b . 2 (a b c ).(a c )+ + + Thể tích: V = 1 1 .SE. .AD.DE 3 2 = 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 c 1 a.c .b . . 3 2 a b c (a b c ).(a c )+ + + + + 2 4 2 2 2 2 2 1 a.b .c . 6 (a c )(a b c ) = + + + • Nghiên cứu lời giải Xét một cách giải khác như sau: DE ⊥ (SAB) và BC ⊥ (SAB) => DE // BC Áp dụng ĐL Pytago trong các tam giác vuông ASD, ASE, ASC ta có: SD 2 = AS 2 - AD 2 ; SE 2 = AS 2 - AE 2 , SB 2 = SA 2 +AB 2 3 SC 2 = SA 2 +AC 2 = SA 2 + AB 2 + AC 2 Lập các tỷ số: 2 2 2 2 2 2 SA SD SE . . SA SB SC = 2 2 2 2 SD SE . SB SC 2 2 2 2 2 2 2 2 2 SA AD SA AE . SA AB SA SB SC − − = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c .a c (a b ) c c a c c a b . a c c a b + − − + + + = + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c b c (a c ) (a b c ) − + + + => 3 2 2 2 2 2 SA SD SE b.c . . SA SB SC (c a b )(a c ) = + + + SADE SABC V SA SD SE . . V SA SB SC = = 3 2 2 2 2 2 b.c (c a b )(a c )+ + + => SADE V = 3 2 2 2 2 2 b.c (c a b )(a c )+ + + . SABC V = 3 2 2 2 2 2 b.c (c a b )(a c )+ + + . 1 1 .SA. .AB.BC 3 2 = 2 4 2 2 2 2 2 1 a.b .c . 6 (c a b )(a c )+ + + (đvtt) Bt Tương tự Bài 2 4 Cho hình chóp tam giác S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a. Cạnh SA (ABC)⊥ , góc · 0 BAC 120= . Tìm thể tích của khối chóp S.ABC? Bài 3 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Điểm A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2 2 ). Gọi M là trung điểm của SC và mặt phẳng (ABMD) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích của khối chóp S.ABMN? Bài 4 Cho hình vuông ABCD có cạnh a, các nửa đường thẳng Ax và Cy vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ở cùng một phía so với mặt phẳng đáy. Lấy điểm M A≠ trên Ax, lấy N C≠ trên Cy. Đặt AM = m, BN = n. Tính thể tích của khối chóp B.AMNC theo a, m, n? Bài 5 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh SA (ABC)⊥ , SA = 2a. Gọi M, N là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC. Tính thể tích của khối chóp ABCNM Bài 6 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.DEF có BE = a, góc giữa đường thẳng BE với mặt phẳng (ABC) bằng 0 60 . Tam giác ABC vuông tại C, góc · 0 BAC 60= , hình chiếu vuông góc của E lên (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích của tứ diện D.ABC? Bài 7 5 Cho tứ diện ABCD gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD, α là góc giữa hai đường thẳng đó. Tính thể tích của tứ diện ABCD? Bài 8 Trong không gian cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có đỉnh A trùng với gốc tọa độ, điểm B(a;0;0), D(0;a;0), E(0;0;b), M là trung điểm của CG. Tính thể tích của khối tứ diện BDEM theo a và b? Bài 9 Tính thể tích của khối tứ diện ABCD có các cạnh đối bằng nhau AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c? Bài 10 ( Khối A – 2007 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều, (SAD) (ABCD)⊥ , gọi M, N, P là trung điểm của SB, BC, CD. Tính thể tích của khối chóp CMNP theo a? Bài 11 ( Khối A – 2009 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 0 60 , gọi I là trung điểm AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SDI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a? Bài 12 ( Khối B – 2006 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = a 2 , SA = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N là trung điểm của AD, SC, I là giao điểm của AC và BM. Tính thể tích của tứ diện ANIB? 6 A B C E F G H K D Bài 13 ( Khối A – 2008 ) Cho hình lăng trụ đứng ABC.DEF có độ dài cạnh bên bằng 2a. Đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 2a, AC = a 3 . Hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm G của cạnh BC. Tính thể tích của khối chóp G.ABC? 2. Thể tích của khối lăng trụ Trong phần này ta sử dụng định lý: Thể tích của hình lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao. V = B.h trong đó : B là diện tích đáy h là chiều cao Bài 1 Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.EFGH có khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và ED bằng 2. Độ dài đường chéo mặt bên bằng 5. Tính thể tích khối lăng trụ ? • Phân tích - tìm lời giải Thể tích cần tìm là V = AE ABCD S do đó để tính được thể tích ta phải đi xác định độ dài đường cao AE và diện tích đáy ABCD S đường cao AE tính được nhờ vào hệ thức AK 2 = KE.KD Để tính diện tích đáy ABCD S ta đi tìm chiều dài và chiều rộng của đáy AD, ED là hai đường thẳng chéo nhau nên khoảng cách giữa chúng bằng độ dài đoạn vuông góc chung giữa chúng. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên ED ⇒ AE = d(AB,ED) = 2 7 Nếu đặt KE = x và AK là đường cao trong tam giác ADE thì từ hệ thức AK 2 = KE.KD ta tính được x, với mỗi x ta tính được AE, từ đó ta tính được thể tích • Trình bày lời giải Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên ED ⇒ AK ED⊥ Ta có: AB // EF (EFD)∈ do đó AB // (EFD) ⇒ d(A,EFD) = d(AB,ED) Mà EF ⊥ (EFDA) nên EF ⊥ AK ⇒ AB AK⊥ ⇒ AK = d(A,EFD) = d(AB,ED) = 2 Đặt EK = x ( 0 ≤ x ≤ 5 ). Trong tam giác vuông AED ta có: AK 2 = KE.KD ⇒ 4 = x(5-x) ⇔ x 2 - 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 x 4 =   =  Với x = 4 ta có AE = 2 2 AK KE 5+ = ⇒ V = AE. ABCD S = 5 (đvtt) Với x = 4 ta có AE = 2 5 ⇒ V = 10 5 (đvtt) Bài 2 Đáy của khối lăng trụ đứng ABC.DEF là tam giác đều. Mặt phẳng đáy tạo với mặt phẳng (DBC) một góc 0 30 . Tam giác DBC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ đó? Bài 3 Cho khối lăng trụ đứng ABCD.EFGH có đáy là hình bình hành và góc · BAD = 0 45 , các đường chéo EC và DF tạo với đáy các góc 0 45 và 0 60 . Chiều cao của lăng trụ bằng 2. Tính thể tích của lăng trụ đó? 8 Bài 4 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EGH có đáy ABC là tam giác vuông cân, cạnh huyền bằng 2 . Biết mặt phẳng (AED) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AE = 3 . Góc · AEB là góc nhọn, góc giũa mặt phẳng (AEC) với (ABC) bằng 0 60 . Tính thể tích của lăng trụ? Bài 5 Cho lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH có đáy là hình thoi có độ dài cạnh bằng a. Góc · BAD = 0 60 , AF BH⊥ . Tính thể tích của khối lăng trụ đó? Bài 6 Cho lăng trụ ABC.DEF có đáy là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a. M là trung điểm của AD, góc · BMC = α . Tính thể tích của lăng trụ đó? 3. Thể tích của khối hộp chữ nhật Trong phần này ta sử dụng định lý sau: Thể tích của một khối hộp bằng tích độ dài ba kích thước của khối hộp đó V = a.b.c = B.h trong đó: a, b, c là ba kích thước B là diện tích đáy h là chiều cao Bài 1 9 Cho khối hộp ABCD.EFGH có tất cả các cạnh đều bằng a, · BAD = · EAD = α ( 0 ≤ α ≤ 0 90 ). Tính thể tích khối hộp đó? • Phân tích - tìm lời giải Ta xác định đường cao AM AC⊥ ⇒ AM (ABCD)⊥ Thể tích: V = AB.AD.EM.sin α , đặt · EAO = ϕ ta có: cos α = cos 2 α cos ϕ Hay cos ϕ = cos cos 2 α α , EM = a.sin ϕ = 2 2 a cos cos 2 cos 2 α − α α • Trình bày lời giải Hạ EM AC(M AC)⊥ ∈ (1) Tam giác EBD cân tại E ( do EB = ED ) BD EO⊥ Mà BD AC⊥ ⇒ BD (BAO)⊥ ⇒ BD EM⊥ (2) Từ (1) và (2) ta có: EM (ABCD)⊥ hay EM là đường cao Đặt · EAO = ϕ , hạ EK AB⊥ ⇒ MK AK⊥ (định lý ba đường vuông góc) cos 2 α cos ϕ = AM AK AE AM × = AK AE = cos α cos ϕ = cos cos 2 α α ⇒ EM = a.sin ϕ = 2 2 cos a 1 cos 2 α − α = 2 2 a cos cos 2 cos 2 α − α α Thể tích cần tính: V = AB.AD.EM.sin α 10 [...]... học bằng phương pháp thể tích Để chứng minh các hệ thức trong khối đa diện ta có thể sử dụng các kiến thức về thể tích để giải như sau: • Gắn bài toán cần chứng minh vào một hệ thức nào đó về thể tích, các hệ thức này thường là: Thể tích của một khối nào đó có thể biểu diễn thành tổng hoặc hiệu các thể tích của khối đa diện cơ bản ( như khối chóp, khối lăng trụ …) • Với các hệ thức về thể tích ấy sau... của AD, mặt phẳng (ABM) cắt đường chéo AG tại I, tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện được tạo bởi mặt phẳng (EBM) cắt hộp? 4 Bài toán cực trị thể tích Bài 1 Cho hình chóp S.ABC có SA = x, SB = y, các cạnh còn lại bằng 1, với giá trị nào của x, y thì thể tích của khối chóp là lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó? S • Phân tích - tìm lời giải Gọi M, N là trung điểm của M SA, BC thì (MBC) chia khối chóp... ≤ 2 3 27 13 Dấu “=” xảy ra khi x = y = 2 3 • Trình bày lời giải Gọi M, N là trung điểm của SA, BC ta có: VS.ABC = 2 VS.MBC , các tam giác ABS, ACS có: BA = BS, CA = CS ⇒ ∆ ABS = ∆ ACS và là các tam giác cân Ta có: BM ⊥ SA,CM ⊥ SA ⇒ SA ⊥ (MBC) ⇒ SM ⊥ (MBC) , SM là đường cao, SM = x 2 Tính diện tích đáy: 2 MB = MC = 1 − x , MN = 4 S∆MBC = Thể tích: VS.MBC = BM 2 − BC2 = 4 1− x 2 + y2 4 2 2 1 MN.BC = y... nào của α thì thể tích của khối chóp là lớn nhất? Bài 3 Cho tam giác đều OAB có AB = a, trên đường thẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (OAB) lấy điểm M, đặt OM = x Gọi E, F lần lượt là các hình chiếu vuông góc của A lên MB và OB Đường thẳng EF cắt d tại N Xác định x để thể tích khối chóp ABMN là nhỏ nhất? Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có 7 cạnh bằng 1, cạnh bên SC = x Tính thể tích của khối chóp,... 450 và 600 , độ dài tất cả các cạnh bên đều bằng 1 Tính thể tích của khối hộp đó? Bài 3 Cho hình hộp chữ nhật có độ dài đường chéo bằng d, đường chéo tạo với đáy góc α , tạo với mặt bên lớn góc β , tính thể tích của khối hộp đó? Bài 4 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a, AD = b, · góc BAD = α , đường chéo AD tạo với đáy góc β Tính thể tích khối hộp chữ nhật đó? Bài 5 Cho tứ diện ABCD có AB = CD,... thể tích khối chóp là lớn nhất, tìm giá giá trị lớn nhất đó? Bài 7 ( Đề số 21- Chuyên đề luyện thi vào ĐH - Trần Văn Hạo) Cho ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một Xét tam diện Oxyz Điểm M cố định nằm trong góc tam diện Một mặt phẳng qua M cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C gọi khoảng cách từ M đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) lần lượt là a, b, c Tính OA, OB, OC theo a, b, c để thể tích. .. bên SC = x Tính thể tích của khối chóp, với giá trị nào của x thì thể tích là lớn nhất? Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, một góc 15 · xAy = 450 chuyển động trên đáy quay quanh điểm A các cạnh Ax, Ay cắt CB và CD tại M, N, đặt BM = x, CN = y, tìm x, y để thể tích của VAMCN đạt GTLN? Bài 6 Cho hình chóp S.ABC trong đó SA ⊥ (ABC)... hC h D Khóa luận hướng dẫn giải 3 bài và đưa ra 3 bài tập đề nghị về phần này Bài 2 Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm nằm trong tứ diện đến các mặt đối diện của nó không phụ thuộc vào vị trí của điểm nằm trong tứ diện đó? 17 Bài 3 Cho góc tam diện vuông Oxyz đỉnh O trên Ox, Oy, Ox lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho: OA + OB + OC + AB + AC + BC = L, gọi V là thể tích của tứ diện ABCD CMR:... Chứng minh tổng khoảng cách từ một điểm O trên mặt đáy đến các mặt xung quanh của hình chóp là một hằng số? Bài 7 Cho tứ diện ABCD cạnh AB = a, gọi S1 , S2 là diện tích hai mặt (CAB) và (DAB), α là góc nhị diện của hai mặt này, gọi V là thể tích của tứ diện ABCD 18 CMR: V = 2S1.S2sinα 3a Dẫu có bạc vàng trăm vạn lượng Chẳng bằng kinh sử một vài pho “ Lê Quý Đôn” ... trong tứ diện và cách đều các mặt của tứ diện một khoảng r Gọi h A , h B , h C , h D lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến các mặt đối diện 16 CMR: 1 1 1 1 1 = + + + r hA hB hC hD Hướng dẫn giải Khối tứ diện ABCD được chia thành 4 khối tứ diện OBCD, A OCAD, OABD, OABC Ta có: VOBCD r VOCAD r = = , VABCD h A VABCD h B VOABD r VOABC r = = , VABCD h C VABCD h D Cộng vế với vế của các đẳng thức . đường cao trong tam giác SAB ⇒ AD SB⊥ ⇒ AD (SBC)⊥ ⇒ AD SC⊥ Mặt khác : AE SC⊥ ⇒ SC (ADE)⊥ Hay SE là đường cao của hình chóp S.ADE Độ dài SE: 2 2 2 2 AS.AB AS.AB a.c AD SB AS AB a c ⇒ =. điểm M A≠ trên Ax, lấy N C≠ trên Cy. Đặt AM = m, BN = n. Tính thể tích của khối chóp B.AMNC theo a, m, n? Bài 5 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh SA (ABC)⊥ ,. điểm B(a;0;0), D(0;a;0), E(0;0;b), M là trung điểm của CG. Tính thể tích của khối tứ diện BDEM theo a và b? Bài 9 Tính thể tích của khối tứ diện ABCD có các cạnh đối bằng nhau AB = CD = a,