Toán 9 quỹ tích và phương pháp giải quỹ tích

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 1 Bài giảng số 1: QUỸ TÍCH HÌNH HỌC VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I. QUỸ TÍCH LÀ GÌ? 1) Định nghĩa - Quỹ tích những điểm có tính chất  là tập hợp tất cả những điểm có tính chất  đó + Tập hợp tìm được có thể là vô hạn (đường thẳng, đoạn thẳng, đường tròn), hữu hạn (một vài điểm rời rạc) nhưng cũng có thể là tập hợp rỗng (không có phần tử nào) 2) Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Quỹ tích những điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng ấy (Lớp 7) - Tính chất  của quĩ tích: Những điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng - Tập hợp tìm được: Đường trung trực của đoạn thẳng ấy. Tập hợp này vô hạn phần tử Ví dụ 2: Quỹ tích những điểm M cách điểm O một khoảng cố định OM = R là đường tròn tâm (O; R) (Lớp 9) - Tính chất  của quỹ tích: Những điểm M cách điểm O một khoảng OM = R (R cố định) - Tập hợp tìm được: Đường tròn (O; R). Tập hợp này vô hạn phần tử Ví dụ 3: Cho  ABC. Tìm Quỹ tích những điểm M sao cho ΔMBC ΔMAC ΔMAB S = S = S Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 2 - Tính chất  của quĩ tích: Những điểm M thỏa mãn ΔMBC ΔMAC ΔMAB S = S = S - Tập hợp tìm được: Có 4 điểm M thỏa mãn + Điểm M 1 là trọng tâm tam giác ABC (vì ΔMAB ΔMBC ΔMAC ΔMAB S S = S = S 3  ) + Điểm M 2 , M 3 , M 4 lần lượt là đỉnh của các hình bình hành ABCM 2 ; BACM 4 và ACBM 3 (Vì ΔMBC ΔMAC ΔMAB ΔABC S =S = S S )  Ta thấy: Tập hợp tìm được là 4 điểm rời rạc Ví dụ 4: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng, quỹ tích những điểm M thỏa mãn: MA = MB= MC là tập rỗng (Không có điểm M nào thỏa mãn) II. GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH NHƢ THẾ NÀO? Theo định nghĩa quỹ tích ta có: + Gọi T là tập hợp những điểm M có tính chất  + Gọi tập hợp H là hình cần tìm (H có thể rỗng) Giải bài toán quỹ tích chính là việc chứng minh T = H Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 3 Theo lí thuyết tập hợp (Lớp 6) thì TH T=H HT       . Như vậy để chứng minh một bài toán quỹ tích thì ta phải chứng minh 2 phần (I). TH . Chứng minh TH có nghĩa là ta phải chứng minh mọi phần tử của T đều thuộc H hay với mỗi điểm M bất kì ta luôn có M T M H   . Chứng minh điều này là việc đảm báo tính không thiếu của quỹ tích (Bất cứ phần tử nào có tính chất  (  T) đều thuộc hình H) (II). HT . Chứng minh HT có nghĩa là ta phải chứng minh mọi phần tử của T đều thuộc H hay nói cách khác với mỗi điểm M' bất kì ta luôn có M H M T   . Chứng minh điều này là việc đảm bảo tính không thừa của quỹ tích (Mọi phần tử của H đều mang tính chất  (  T)) - Sau khi chứng minh 2 phần trên ta đi đến kết luận T = H - Chứng minh phần (I) gọi là chứng minh thuận, chứng minh phần (II) gọi là chứng minh đảo III. CÁC BƢỚC GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH THCS - Gồm 4 bước: Dự đoán, chứng minh phần thuận, chứng minh phần đảo, kết luận quỹ tích Chú ý: Hiện nay do đặc thù toán quỹ tích là dạng toán khó, phức tạp, đòi hỏi nhiều thời gian nên bài toán quỹ tích đã giảm bớt mức độ và các bước thực hiên. Đề bài chỉ yêu cầu: “Khi điểm M di chuyển trên hình H (đường tròn, cung tròn, đường thẳng, đoạn thẳng…) thì điểm N di chuyển trên đâu?”, “Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên hình H thì N luôn di chuyển trên 1 đường cố đinh”… Với những câu hỏi như trên ta bỏ qua Bƣớc 3 (Chứng minh phần đảo) 1) Bƣớc 1: Dự đoán quỹ tích - Bước này vô cùng quan trọng, nó quyết định đến việc định hướng giải bài toán. Dự đoán quỹ tích cho ta biết được dạng của quỹ tích cần tìm (đường thẳng hay đường cong) từ đó đối chiếu với quỹ tích cơ bản ta có thể tìm được quỹ tích chính xác. Bước này thường làm ra nháp - Phương pháp dự đoán quỹ tích (4 phương pháp) 1.1) Phƣơng pháp 1: Thực nghiệm Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 4 - Đây là phương pháp thông dụng nhất, ta dựa vào đặc điểm của một số quỹ tích để dự đoán + Nếu quỹ tích có 3 điểm thẳng hàng thì quỹ tích thuộc loại thẳng (đoạn thẳng, tia, đường thẳng…) + Nếu quỹ tích có 3 điểm không thẳng hàng thì quỹ tích thuộc loại cong (cung tròn, nửa đường tròn, đường tròn…) - Để dự đoán quỹ tích một cách chính xác, cần lưu ý 3 yếu tố sau + Yếu tố cố định, không đổi: Thường là yếu tố cho trước hoặc phát hiện thêm từ những yếu tố cho trước đó + Yếu tố sinh ra quỹ tích + Yếu tố quỹ tích - Căn cứ vào tính chất của yếu tố quỹ tích, theo dõi sự chuyển động của yếu tố sinh ra quỹ tích ở những điểm đặc biệt để tìm ra những điểm đặc biệt của quỹ tích. Ngày nay, với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin, chúng ta có sử dụng một số phần mềm hình học động như GSP, Geogebra, Cabri…để dự đoán quỹ tích một cách chính xác và nhanh chóng. Ví dụ 5 (Lớp 7): Cho đường thẳng d cố định và một điểm A nằm ngoài đường thẳng d. Điểm B di động trên đường thẳng d. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng AB Chú ý: Trong bài toán trên, yếu tố cố định là đường thẳng d và điểm A nằm ngoài d; yếu tố sinh ra quỹ tích là điểm B; yếu tố quỹ tích là điểm M (trung điểm của đoạn thẳng AB) *Dự đoán quỹ tích: Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 5 - Với vị trí điểm B như hình vẽ thì ta luôn xác định được điểm M là trung điểm của AB - Gọi H là hình chiếu của A trên d - Khi điểm B trùng với điểm H thì điểm M trùng với điểm K là trung điểm của AH - Khi B trùng B' thì M trùng M' - Ta thấy 3 điểm M, M' và K thẳng hàng vậy quỹ tích M là đường thẳng. Trong quá trình dự đoán ta còn phát hiện ra thêm một yếu tố không đổi là đoạn thẳng AH và một yếu tố cố định là trung điểm K của đoạn thẳng AH. Ví dụ 6 (Lớp 8): Cho đoạn thẳng AB cố định, điểm C chuyển động trên đoạn thẳng AB. Dựng hai hình vuông ACEF và BCHG nằm cùng phía với nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi O và O' là tâm của hai hình vuông trên. Tìm quỹ tích trung điểm I của OO' khi C chuyển động trên đoạn thẳng AB + Dự đoán quỹ tích: Trong bài toán trên các yếu tố cố định là hai điểm A, B, đường thẳng AB; yếu tố không đổi là độ dài đoạn thẳng AB; yếu tố sinh ra quỹ tích là điểm C; yếu tố Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 6 quỹ tích là điểm I. Từ những yếu tố trên, ta còn phát hiện ra thêm yếu tố cố định là trung điểm của AB; yếu tố không đổi là hình vuông dựng trên đoạn AB… - Khi điểm C  A thì hình vuông ACEF suy biến thành điểm A, hình vuông BCHG biến thành hình vuông ABMN  1 OA , 2 OO  1 II là trung điểm của OA  I 1 là một điểm thuộc quỹ tích - Khi điểm C  B thì hình vuông BCHG suy biến thành điểm B, hình vuông ACEF biến thành hình vuông ABMN  1 OO , 2 OB  2 II là trung điểm của OB  I 2 là một điểm thuộc quỹ tích - Khi điểm C  C 1 là trung điểm của AB thì hình vuông ACEF suy thành hình vuông 11 AC OF , hình vuông BCHG biến thành hình vuông 11 AC OF  3 II (là trung điểm của I 1 I 2 )  I 3 là một điểm thuộc quỹ tích Ta ta thấy 3 điểm I 1 ; I 2 ; I 3 thẳng hàng nên quỹ tích là một đường thẳng Ví dụ 7 (Lớp 9): Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Từ M kẻ cát tuyến MAB. Tìm quỹ tích trung điểm N của AB khi cát tuyến quay quanh M Dự đoán quỹ tích: Trong bài toán trên yếu tố cố định là điểm M, điểm O, đường tròn (O); yếu tố không đổi là bán kinh đường tròn (O), độ dài MO; yếu tố sinh quỹ tích là cát tuyến quay quanh M; yếu tố quỹ tích là điểm I. Ta còn phát hiện ra thêm các yếu tố cố định là Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 7 điểm 2 tiếp điểm C và D của tiếp tuyến kẻ từ M với (O), trung điểm của 2 cung CD nhỏ và CD lớn; yếu tố không đổi là các tiếp tuyến tại M với (O)… + Khi cát tuyến MAB trở thành tiếp tuyến tại C thì A B C I  C là điểm thuộc quỹ tích + Tương tự D là điểm thuộc quỹ tích (D là tiếp điểm thứ 2 của tiếp tuyến qua M với đường tròn (O)) + Khi cát tuyến MAB đi qua tâm O thì AB  EF (EF là đường kính của đường tròn) IO  O cũng là điểm thuộc quỹ tích Kết luận: Quy tích là cung tròn tròn đi qua C, D, O 1.2) Phƣơng pháp: dựa vào số giao điểm của quỹ tích với đƣờng thẳng cố định - Phát hiện trong hình vẽ 1 đường thẳng d cố đinh + Nếu quỹ tích chỉ có 1 điểm chung cố định với đường thẳng d thì quỹ tích thuộc loại thẳng + Nếu quỹ tích có 2 điểm chung cố định với d thì quỹ tích thuộc loại tròn Ví dụ 8 (Quỹ tích cơ bản): Cho hai điểm A, B cố định. Tìm quỹ tích những điểm M sao cho MA = MB + Dự đoán: Ta thấy trên đường thẳng AB chỉ có 1 điểm M 1 thỏa mãn M 1 A = M 1 B đó là điểm M 1 là trung điểm của AB tức là quỹ tích trên chỉ có 1 giao điểm duy nhất với đường thẳng AB  Quỹ tích thuộc loại thẳng Ví dụ 9 (Lớp 9): Cho hai đường tròn (O 1 ) và (O 2 ) cố định và ở ngoài nhau. Tìm quỹ tích những điểm M nhìn 2 đường tròn đó những góc bằng nhau (Góc nhìn từ 1 điểm đến 1 đường tròn là góc tạo bởi hai tiếp tuyến kẻ từ điểm đó với đường tròn) Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 8 Dự đoán quỹ tích: Ta phải quỹ tích những điểm M sao cho 12 MM . + Vì hai đường tròn ở ngoài nhau nên ta luôn dựng được 2 tiếp tuyến chung ngoài căt nhau tại I và J. Quan sát trên hình vẽ ta thấy I và J nằm trên đường nối tâm cô định và là hai điểm thuộc quỹ tích  Quỹ tích giao với đường thẳng O 1 O 2 tại 2 điểm cố định nên quỹ tích cần tìm thuộc dạng tròn Chú ý: Trong ví dụ này chưa cần giải thích tại sao I và J nằm trên đường nối tâm O 1 O 2 và I, J thuộc quỹ tích. 1.3) Phƣơng pháp 3: Dựa vào tính chất đối xứng *Nhận xét: - Nếu đường thẳng xd thì x nhận đường thẳng d là trục đối xứng và ngược lại - Nếu đường tròn (O) nhận d là trục đối xứng thì tâm O nằm trên d. Do vậy, ta có 2 kết luận sau Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 9 1) Nếu quỹ tích thuộc loại thẳng và lại nhận một đường thẳng d cố định là trục đối xứng thì quỹ tích phải là đường thẳng vuông góc với d 2) Nếu quỹ tích thuộc loại tròn mà nhận một đường thẳng d nào đó là trục đối xứng thì tâm của đường tròn đó phải nằm trên d Ví dụ: Xét ví dụ 8 ta thấy Về hai phía của đường thẳng AB bao giờ cũng tìm được hai điểm M và M' thỏa mãn MA = MB = M'A = M'B  Quỹ tích những điểm M có tính chất MA = MB là một đường thẳng vuông góc với AB vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng vuông góc với AB Ví dụ: Xét ví dụ 9 Về hai phía của O 1 O 2 ta luôn tìm được 2 điểm M và M’ thỏa mãn 12 12 M M M M= = ' = ' do vậy quỹ tích nhận đường thẳng O 1 O 2 là trục đối xứng. Kết luận quỹ tích điểm M có tính chất 12 MM là đường tròn nhận đường thẳng O 1 O 2 là trục đối xứng mà quỹ tích đi qua hai điểm I, J nên quỹ tích là đường tròn đường kính IJ 1.4) Phƣơng pháp 4: Dựa vào phần tử xa vô tận Theo hình học phi Ơclit thì - Mỗi đường thẳng được xem là có 1 điểm ở xa vô tận - Hai đường thẳng song song cắt nhau ở 1 điểm xa vô tận Từ đó ta rút ra 2 kết luận sau: 1) Nếu quỹ tích có 1 điểm ở xa vô tận thì quỹ tích là 1 đƣờng thẳng 2) Nếu quỹ tích không có điểm nào ở xa vô tận thì quỹ tích thuộc loại tròn hoặc có thể là một phần của đƣờng thẳng Ví dụ 10: Cho 1 đường tròn (O) và một điểm I cố đinh bên trong đường tròn. Một đường thẳng d đi qua I cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B. Kẻ hai tiếp tuyến tại A và B cắt nhau ở M. Tìm quỹ tích điểm M *Dự đoán Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 10 + Khi đường thẳng d trùng IO thì d giao đường tròn (O) tại A 1 và B 1 . Hai tiếp tuyến tại A 1 và B 1 song song với nhau. Hai đường thẳng song song này sẽ cắt nhau tại điểm M  (Điểm M vô tận) theo kết luận 1 thì quỹ tích điểm M là một đường thẳng nhận OI là trục đối xứng (vì về hai phía của OI luôn có hai điểm M 1 và M 2 thuộc quỹ tích đối xứng với nhau qua OI)  Quỹ tích M là đường thẳng vuông góc với OI 2) Chứng minh phần thuận - Vì bước “dự đoán quỹ tích” làm ra nháp nên bước “chứng minh phần thuận” được coi là Bƣớc 1 của phần lời giải Sơ đồ chứng minh phần thuận: M T M H   Cụ thể như sau Từ điểm M thuộc T  M có tính chất  . Ta chia nhỏ tính chất  thành các tính chất 12 ; n    . Dựa vào tính chất và các định lý hình học để suy ra điểm M cũng có tính chất 12 ;   M có tính chất n   M có tính chất  (  là tính chất của quỹ tích đã biết hay còn gọi là quỹ tích cơ bản)  M thuộc H Tóm tắt sơ đồ: 1 M( ) M( ) M( ) M F n        - Chú ý: Sau khi thực hiện phần thuận, ta có thể sẽ thấy rằng chỉ một phần của H thuộc về quỹ tích. Ví dụ mặc dù điểm P thuộc đường tròn (O) nhưng quỹ tích có thể chỉ là một cung của (O). Vì vậy cần chỉ rõ giới hạn của quỹ tích 3) Chứng minh phần đảo: M' H M' T   Cụ thể các bước như sau: [...]... bài chỉ yêu cầu tìm ra quỹ tích tức là chỉ cần chỉ ra được hình H 4) Kết luận quỹ tích - Sau khi chỉ ra giới hạn quỹ tích cần đưa ra kết luận: Quỹ tích là tập hợp điểm như thế nào Ví dụ: Xét ví dụ 7 Ta đã chỉ ra rằng quỹ tích điểm I thuộc loại tròn đi qua B, C, O Mặt khác ta thấy điểm I không thể nằm ngoài (O) như vậy quỹ tích điểm I sẽ là cung tròn BOC Ví dụ 11 (Lớp 9) : Cho (O) và một đường thẳng d... thi EDUFLY-Hotline: 098 7708400 Page 14 IV MỘT SỐ BÀI TOÁN QUỸ TÍCH CƠ BẢN 1 Quỹ tích những điểm cách đều hai điểm A và B là đường trung trực của đoạn thẳng đó, tức là đường thẳng qua trung điểm M của AB và vuông góc với AB 2 Quỹ tích những điểm A cách một điểm I cố định một đoạn AI = R không đổi là đường tròn tâm I bán kính R 3 Quỹ tích những điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau a và b là hai đường... định không cắt (O), điểm M chuyển động trên d Kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với (O) Tìm quỹ tích trung điểm I của AB Giải: Nhận xét: Yếu tố cố định là đường tròn (O), điểm O; yếu tố không đổi là đường thẳng d; yếu tố sinh quỹ tích là điểm M, yếu tố quỹ tích là điểm I Tính chất  của quỹ tích: Trung điểm I của AB Để chứng minh phần thuận và đảo, ta chia tính chất của điểm I (tính chất  ) ở đầu bài thành... EI ' cắt (O) tại hai điểm A ' và B ' Các tiếp tuyến của (O) tại A ' 2 và B ' cắt nhau tại M ' (  2 ) Chứng minh M ' thuộc d ( 1 ) và I'A' = I'B' Cách 3: I'  (P; OE ) ; nối OI' cắt d tại M' Từ M' kẻ 2 tiếp tuyến M'A' và M'B' với (O) Ta 2 còn phải chứng minh B', I', A' thẳng hàng và I'A' = I'B' Bạn đọc tự chứng minh cách 2 và cách 3 Bƣớc 4: Kết luận quỹ tích - Quỹ tích là đường tròn đường kính OE... luyện thi EDUFLY-Hotline: 098 7708400 Page 11  5 : I nằm trong (O) Bƣớc 1: Dự đoán quỹ tích - Phát hiện ra thêm những yếu tố cố định: Hình chiếu H của O trên d  OH cố định - Về hai phía của OH luôn có được 2 điểm thuộc quỹ tích và đối xứng với nhau  Quỹ tích nhận OH là trục đối xứng - Khi điểm M trở thành điểm M thì MA // MB  AOB là đường kính của (O)  I  O  O thuộc quỹ tích - Khi điểm M  H thì... thẳng đó 4 Quỹ tích điểm M sao cho tia OM chia đôi góc xOy thành hai phần bằng nhau là đường phân giác của góc xOy (suy ra từ quỹ tích cơ bản 3) 5 Quỹ tích những điểm cách một đường thẳng a cho trước một đoạn d không đổi là hai đường thẳng song song với a và cách a một khoảng cách bằng d 6 Quỹ tích những điểm nhìn đoạn AB cố định một góc α cố định là hai cung chứa góc α đối xứng với nhau qua AB và nhận... điểm M  H thì ta dễ thấy I nằm trên OH  Quỹ tích có 2 điểm chung với đường thẳng d cố định vậy quỹ tích là đường tròn đi qua O và có tâm nằm trên OH - Bạn đọc có thể tìm chính xác vị trí của giao điểm thứ 2 của quỹ tích với OH bằng cách vẽ các tiếp tuyến HK và HN với (O) Bƣớc 2: Chứng minh phần thuận Gọi H là hình chiếu của O trên d; gọi E là giao điểm của AB và OH Ta có: MA = MB (theo t/c tiếp tuyến)... EDUFLY-Hotline: 098 7708400 Page 12 Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB mà IA = IB (gt)  Ba điểm I, M, O thẳng hàng (  6 )  OIE  90 o (  7 ) *Xét tứ giác EHMI có: - EIM  90 o (cmt) - OHM  90 o (Cách dựng)  tứ giác EHMI nội tiếp ( 8 ) Theo hệ thức lượng trong đường tròn có: OI.OM = OE.OH (3) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OAM có OI.OM = OA2  R 2 (4) R2 Từ (3) và (4) suy ra... (O) (  2 ) và I'A' = I'B' (  4 ) Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 098 7708400 Page 13 Chứng minh: Vì I'  (P; OE )  OI'E  90 o (  ) 2  I'A' = I'B' (t/c đường kính và dây cung)   4 được chứng minh Ta có: tứ giác I ' EHM ' nội tiếp ( EI'M' = EHM' = 90 o )  Theo hệ thức lượng trong đường tròn ta có: OI'.OM' = OE.OH = R 2 = OA'2 = OB'2  ΔOB'M', ΔOA'M' là các tam giác vuông tại B ' và A '  M'A',... (3) và (4) suy ra OE.OH = R  OE =  E thuộc OH và cách O một khoảng không OH 2 đổi  E cố định ( 10 ) Từ OIE  90 o và E cố định (  )  I thuộc đường tròn tâm P đường kính OE Bƣớc 3: Chứng minh phần đảo Ta có thể thiết lập mệnh đề đảo bằng nhiều cách: Cách 1: Lấy I'  (P; OE ) ; nối OI’ cắt d tại điểm M' ( 1 và  6 ); nối EI ' cắt (O) tại hai điểm 2 A ' và B ' Ta cần chứng minh hai tính chất còn lại: . Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 098 7708400 Page 1 Bài giảng số 1: QUỸ TÍCH HÌNH HỌC VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I. QUỸ TÍCH LÀ GÌ? 1) Định nghĩa - Quỹ tích những điểm có tính chất  là. cong) từ đó đối chiếu với quỹ tích cơ bản ta có thể tìm được quỹ tích chính xác. Bước này thường làm ra nháp - Phương pháp dự đoán quỹ tích (4 phương pháp) 1.1) Phƣơng pháp 1: Thực nghiệm Trung. ra quỹ tích + Yếu tố quỹ tích - Căn cứ vào tính chất của yếu tố quỹ tích, theo dõi sự chuyển động của yếu tố sinh ra quỹ tích ở những điểm đặc biệt để tìm ra những điểm đặc biệt của quỹ tích.