Phương pháp tính thể tích cực hay - OTDH

Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 Phương pháp tính thể tích của khối chóp bằng cách xác định diện tích đáy và đường cao của khối chóp I. Kiến thức cơ bản: 1. Cho ABC ∆ vuông ở A ta có : - Định lý Pitago : 2 2 2 BC AB AC= + - CBCHCABCBHBA .;. 22 == - AB. AC = BC. AH - 222 111 ACABAH += - sin , os , tan AC CB AC B c B B AB AB CB = = = 2. Công thức tính diện tích tam giác : - Đặc biệt : ABC∆ vuông ở A : 1 . 2 S AB AC= , ABC∆ đều cạnh a: 2 3 4 a S = 3. Định lý đường trung bình, Talet. 4. Cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng dựa theo định lý: ; , ; d a d b d a b a b α α ⊥ ⊥  ⇒ ⊥  ⊂ ∩ ≠ ∅  5. Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa theo định lý: d d a a α α ⊥  ⇒ ⊥  ⊂  6. Cách xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng α - Xác định hình chiếu d của a trên mặt phẳng α - Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa d và a - Lưu ý về công thức tỉ số thể tích Cho hình chóp SABC, ' , ' , 'A SA B SB C SC∈ ∈ ∈ , ta có: ' ' ' ' ' ' . . SA B C SABC V SA SB SC V SA SB SC = II. Nội dung chính: - Bài tập đưa ra trong các tiết dạy được phân theo dạng, lựa chọn bài cho học sinh làm từ dễ đến khó trong mỗi dạng, một bài có thể giải theo nhiều cách khác nhau. Đối với thể tích khối chóp ta có thể phân chia ra nhiều loại khác nhau. Sau đây tối xin trình bày dạng tính thể tích của khối chóp bằng cách xác định “chiều cao và diện tích đáy” của khối chóp. - Đối với dạng này ta có thể chia ra làm 5 loại sau: Loại 1. Khối chóp đều a. Phương pháp. Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đáy. - Đường cao của hình chóp là SO (O là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy) do đó ta cần xác định được tâm đường tròn ngoại tiếp đa gác đáy của hình chóp đó. - Diện tích đấy là diện tích của đa giác đều b. Cho hình chóp đều S.ABC. Tính thể tích khối chóp khi biết: 1. Cạnh bên bằng 2a , góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 45 0 . 2. Cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy là 60 0 . 3. Trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng ϕ . Giải: Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiết tam giác ABC ta có ( ) SO ABC⊥ SO h⇒ = (đường cao của hình chóp).B = ABC S B= --- Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình ------ 1 S C / B / A / C B A A C B H S H C B A K O Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 1 . 3 V B h= 1. Xét tam giác SOA vuông tại O và SA = 2a góc · 0 45SAO = 0 0 2 2. . os45 2 .sin45 2 2. 2 AO a AO a AO SA c SO a SO SA SO a  =  =  =   ⇒ ⇔ ⇔    = =    =   . Mặt khác H trung điểm BC ta có ( ) 3 3 1 2 2 AH AO AH a= ⇔ = . Giọ x > 0 là cạnh của tam giác đều ABC ( ) 3 3 3 3 2 2 2 2 HA x a x x a⇒ = ⇔ = ⇔ = Bài tập. Cho hình chóp đều S.ABCD. Tính thể tích khối chóp khi biết: 1. Cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy là 45 0 2. Cạnh bên bằng a và tạo với mặt đáy một góc 60 0 . 3. Trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng ϕ . Loại 2. Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy a. Phương pháp - Cho hình chóp S.A 1 A 2 .An có ( ) 1 1 2 . n SA A A A⊥ khi đó ta có SA 1 = h là đường cao của hình chóp. - Diện tích đáy còn phụ thuộc vào giã thiết của bài toán khi cho đa giác 1 2 . n A A A . b. Ví dụ. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy. Góc giữa SC và đáy bằng 60 ο . 1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 2. Tính thể tích của khối chóp MBCD. Giải Yêu cầu: + Học sinh xác định được góc. + Xác định được công thức thể tích của khối, tính độ dài đường cao SA. +Xác định được đường cao trong trường hợp chân đường cao có thể không thuộc mặt đáy của khối. +Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông Lời giải: 1. Ta có 1 . 3 ABCD V S SA= . 2 2 (2 ) 4 ABCD S a a= = Xét ó : tan 2 6SAC c SA AC C a∆ = = 3 2 1 8 6 4 .2 6 3 3 a V a a⇒ = = 2. Kẻ / / ( )MH SA MH DBC⇒ ⊥ Ta có: 1 2 MH SA= , 1 2 BCD ABCD S S= 3 D 1 2 6 4 3 MBC a V V⇒ = = Nhận xét: + Học sinh gặp khó khăn khi xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. + Học sinh gặp khó khăn khi tính SA vì không biết sử dụng hệ thức trong tam giác vuông. c. Bài tập. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ( ) ABCD⊥ .Hãy tính thể tích của khói chóp S.ABCD khi biết: 1. Cạnh đáy AB = 3a , AD = a, SA = 3a . --- Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình ------ 2 S A D C M B H Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 2. Cạnh đáy AB = 3a , AD = a, góc giữa AC với mặt phẳng (SBC) bằng 30 0 . 3. Cạnh đáy AB = 3a , AD = a, góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) bằng 60 0 . 4. SA = a 3 , khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC) bằng a, đường chéo BD = 2a. Loại 3. Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy. a. Phương pháp - Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao khối chóp là đường cao của tam giác mặt bên đó (phát xuất từ đỉnh khối chóp ) - Diện tích đáy còn phụ thuộc vào giã thiết của bài toán khi cho đa giác 1 2 . n A A A . b. Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân đáy lớn AB = 2a, AD = CD = a và hai mặt phẳng ( ) ( ) SAB ABCD⊥ .Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABCD khi biết. Tam giác SAB đều. Giải Yêu cầu: + Học sinh xác định được đường cao SH. + Tính độ dài đường cao SH + Xác định được đường cao hình thang đáy. + Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông. + Xác định được công thức thể tích của khối. Lời giải: - Gọi H là trung điểm AB ( ) 3SH ABD SH a⇒ ⊥ ⇒ = là đường cao của khối chóp. - Gọi K là hình chiếu của D lên AB 0 3 .sin 60 2 a KD AB KD a KD⇒ ⊥ ⇒ = ⇔ = là đường cao của hình thang ABCD. - ( ) 2 1 3 3. . 2 4 a B AB CD DK B= + ⇔ = - 2 3 1 3. 3 3 3 4 4 a a V Bh V a= ⇔ = = Nhận xét : - Đối với bài này học sinh gặp khó khăn khi tính diện tích đáy vì không xác định được góc A = 60 0 . - Không nhận ra được đường cao là SH. c. Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt phẳng ( ) ( ) SAB ABCD⊥ .Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABCD khi biết: 1. Cạnh đáy AB = a, AD = 2a, tam giác SAB đều. 2. Cạnh đáy AB = 2a, AD = a, tam giác SAB cân tại S và góc giữa SC với mặt phẳng đáy bằng 45 0 . 3. Cạnh đáy AB = 2a, tam giác SAB cân tại S và góc giữa SC với mặt phẳng đáy bằng 60 0 ,khoảng cách giữa đường thẳng AB tới mặt phẳng (SCD) bẳng a 3 . Loai 4. Khối chóp có hai mặt phẳng kề nhau vuông góc với đáy a. Phương pháp - Khối chóp có hai mặt phẳng kề nhau đi qua đỉnh vuông góc với đáy thì đường cao khối chóp là giao tuyến của hai mặt bên đó. - Diện tích đáy còn phụ thuộc vào giã thiết của bài toán khi cho đa giác 1 2 . n A A A . b. Ví dụ Cho hình chóp SABCD có hai mặt bên (SAB), (SAD) vuông góc với đáy, SA = a đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc A = 120 0 . Tính thể tích khối chóp tạo bỡi hình chóp S.BCD. Giải --- Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình ------ 3 S CD H K A B Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 Yêu cầu: + Học sinh xác định được đường cao của khối chóp là SA. +Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông. + Xác định được công thức thể tích của khối +Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông. + Tính được diện tích hình thói ABCD Lời giải: Ta có 1 . 3 ABCD V S SA= . Giã thiết SA = a. 2 ABCD ACD S S= . Mà giã thiết góc A= 120 0 ⇒ góc D bằng 60 0 nên tam giác ACD đếu ta có 2 2 1 3 3 3 . . 2 2 4 2 ACD a a a S a B= = ⇒ = . 2 3 1 1 3 . . 3 3 2 2 3 a a V Bh V a⇒ = ⇔ = = đvtt Nhận xét : - Đối với bài này học sinh gặp khó khăn khi tính diệm tích đáy vì không xác định được góc D = 60 0 . - Không nhận ra được đường cao là SA. c. Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Loại 5 . Hình chóp bất kỳ a. Phương pháp - Xác định đường cao ta tìm hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng chứa đa giác đáy và tính độ dài đường cao - Diện tích đáy còn phụ thuộc vào giã thiết của bài toán khi cho đa giác 1 2 . n A A A . b. Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, · 0 5 60 , 2 a BAD SA SC= = = , SB = SD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải Yêu cầu: + Học sinh xác định được đường cao của khối chóp là SO. +Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông. + Xác định được công thức thể tích của khối +Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông. + Tính được diện tích hình thói ABCD Lời giải: Gọi O AC BD ≡ ∩ giã thiết ta có ( ) SA SC SO AC SO ABCD SO SB SD SO BD  = ⊥  ⇒ ⇒ ⊥ ⇒   = ⊥   là đường cao của khối chóp. Ta lại có tam giác ABD đều 3 5 à 2 2 2 a a a AO v SA SO⇒ = = ⇒ = = h --- Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình ------ 4 S A D C B D S B A C O Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 2 ABCD ACD S S= . Mà 2 2 1 3 3 3 . . 2 2 4 2 ACD a a a S a B= = ⇒ = 2 3 1 1 3 3 . . 3 3 2 2 6 2 a a a V Bh V⇒ = ⇔ = = đvtt Nhận xét : - Đối với bài này học sinh gặp khó khăn khi tính diệm tích đáy vì không xác định được tam giác ABD là tam giác đều. - Không chứng minh được ( ) SO ABCD SO⊥ ⇒ đường cao của khối chóp. c. Bài tập. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, BC = a, SA =SB = SC = 3 2 a và mặt bên SAB hợp với đáy một góc bằng 60 0 . 1. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) 2. Tính góc gữa dường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) 3. Tính thể tích của khối chóp S.ABC. ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 4: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Phần A: Thể tích khối đa diện. Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy là tam giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD là a , cạnh bên SB tạo với đáy một góc α và tạo với mặt (SAD) góc β . Tìm thể tích hình chóp S.ABC HDG: Thể tích hình chóp S.ABC là: 1 . . 3 ABC V SA S ∆ = Tam giác ABC cân đỉnh A nên trung tuyến AD cũng là đường cao của tam giác. Theo giả thiết ( ) ( ) ( ) ,SA mp ABC SBA SB mp ABC α ⊥ ⇒ ∠ = = ( ) BD mp SAD BSD β ⊥ ⇒ ∠ = Đặt BD = x suy ra: 2 2 2 2 .tanAB a x SA a x α = + ⇒ = + 2 2 2 2 2 2 2 sin sin sin tan sin sin os sin BD SA SB x a x a x c β α α α β β α β = = ⇒ = + ⇒ = + Do đó: 3 2 2 2 2 1 sin .sin . .tan . . 3 os sin a V a x a x c α β α α β = + = + Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với , 2 ,AB a AD a= = cạnh SA vuông góc với đáy, còn cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 60 o . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho 3 3 a AM = . Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCMN HDG: Theo giả thiết ( ) ( ) ( ) , 60 .tan 60 3 SA mp ABCD SBA SB mp ABCD SA AB a ⊥ ⇒ ∠ = = ⇒ = = o o Trong mp(SAD) kẻ MN || AD (N thuộc cạnh SD) ( ) SD mp BCM N⇒ ∩ = Theo công thức tỉ số thể tích, ta có: --- Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình ------ 5 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 . 2 . 2 2 1 3 3 3 4 4 2 . 9 9 9 SMBC SMBC SABC S ABCD SABC SMNC SMNC SADC S ABCD SADC V SM V V V V SA V SM SN SM V V V V SA SD SA = = ⇒ = =   = = = ⇒ = =  ÷   Vậy: 3 . . 5 5 1 10 3 . . . 9 9 3 27 S BCMN SMBC SMNC S ABCD ABCD V V V V SA S a= + = = = Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng a , và SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SDC) bằng b . Tìm thể tích hình chóp S.ABCD HDG: Từ giả thiết suy ra H là tâm của hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của CD, và G là trực tâm ∆SCD (1)HG CD⇒ ⊥ Mà ( ) BD AD BD SAC BD SC BD SH ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  và ( ) (2)SC DG SC BDG SC HG⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Vì I là trung điểm của SH nên : ( ) ( ) ;( ) 2 ;( ) 2HG d H SCD d I SCD b= = = 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 1 1 4 à 4 4 4 2 3 16 b a ab GM b v h HG HM SH a b a V a b ⇒ = − = + ⇒ = − ⇒ = − Bài 4: Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền 2AB a= . Mặt phẳng (AA 1 B) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Giả sử 1 AA 3a= , góc 1 AA B∠ nhọn và mặt phẳng (AA 1 C) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60 o . Tìm thể tích lăng trụ. Bài 5: Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết , ,AB a AC b AD c= = = và các góc ,BAC∠ ,CAD DAB∠ ∠ đều bằng 60 o . HDG: Không mất tính tổng quát ta giả sử { } min , ,a a b c= Trên AC, AD lấy lần lượt hai điểm C 1 , D 1 sao cho AC 1 = AD 1 = a, từ giả thiết suy ra tứ diện ABC 1 D 1 là tứ diện đều cạnh a nên có 1 1 3 2 12 ABC D V a= Theo công thức tỉ số thể tích: 1 1 2 1 1 . ABC D ABCD V AC AD a V AC AD bc = = 1 1 2 2 12 ABCD ABC D bc abc V V a ⇒ = = Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh ,a 60BAD∠ = o , ( ) SA mp ABCD⊥ và SA a= . Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song với BD cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’ HDG: Gọi , 'O AC BD I AC SO= ∩ = ∩ , suy ra ' ' ||B D BD và ' 'B D đi qua I Tam giác SAC nhận I làm trọng tâm nên 2 ' ' 2 3 3 SI SB SD SO SB SD = ⇒ = = Theo công thức tỉ số thể tích: --- Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình ------ 6 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 . ' ' . ' ' . . . ' ' 2 1 1 1 1 . . 3 2 3 3 6 S AB C S AB C S ABC S ABCD S ABC V SB SC V V V V SB SC = = = ⇒ = = . ' ' . ' ' . . . ' ' 2 1 1 1 1 . . 3 2 3 3 6 S AD C S AD C S ADC S ABCD S ADC V SD SC V V V V SD SC = = = ⇒ = = Vậy: 3 3 . ' ' ' ' . ' ' ' . ' ' ' . 1 1 3 3 . 3 3 6 18 S A B C D S A B C S A D C S ABCD a V V V V a= + = = = Bài 7: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Qua trung điểm I của cạnh AB dựng đường thẳng (d) vuông góc với mp(ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho: 3 . 2 a SI = Tìm khoảng cách từ C đến mp(SAD). HDG: Ta có: 3 . 1 3 . . 3 6 S ABCD ABCD a V SI S= = Áp dụng pitago ta có: 2 2 2 2 5 4 a DI AI AD= + = , 2 2 2 2 SA SI AI a= + = , 2 2 2 2 2SD SI DI a= + = 2 2 2 SD SA DA SAD= + ⇒ ∆ vuông tại A nên 2 1 1 .SA 2 2 SAD S AD a ∆ = = Vậy khoảng cách cần tìm là: ( ) ( ) 3 3 3 , 2 2 SACD SABCD SAD SAD V V a d C SAD S S ∆ ∆ = = = Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có 3SA a= và ( ) .SA mp ABC⊥ ABC∆ có 2 ,AB BC a= = 120 .ABC∠ = o Tìm khoảng cách từ A đến mp(SBC). HDG: Ta có: ( ) 2 2 1 1 . . .sin . 2 .sin120 3 2 2 ABC S BA BC B a a ∆ = = = o 2 3 . 1 1 . . .3 . 3 3 3 3 S ABC ABC V SA S a a a ∆ ⇒ = = = Áp dụng định lí hàm số cosin trong tam giác ABC có: 2 2 2 2 2 . .cos 12 2 3AC AB CB BA BC B a AC a= + − = ⇒ = Áp dụng pitago trong tam giác vuông: 2 2 2 2 2 2 2 2 13 13 21 21 SB SA BA a SB a SC SA AC a SC a = + = ⇒ = = + = ⇒ = Ta có: 2 2 2 15 4 os sin 2 . 273 91 SB SC BC c BSC BSC SB SC + − ∠ = = ⇒ ∠ = 2 1 . .sin 2 3 2 SBC S SB SC BSC a ∆ ⇒ = ∠ = Vậy khoảng cách cần tìm là: ( ) ( ) . 3 1 , 2 S ABC SBC V d A mp SBC a S ∆ = = Bài 9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm của DD’. Tìm khoảng cách giữa CK và AD’. HDG: Kẻ AH || CK (H thuộc cạnh CC’), khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 3 , ' , ' , ' ', ' AHD AHC D V CK AD CK mp AHD C mp AHD C mp AHD S ∆ = = = = Dễ thấy H là trung điểm của CC’ và tính được 3 ' ' ' ' 1 . . 3 12 AHC D HC D a V AD S ∆ = = --- Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình ------ 7 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 Xét tam giác AHD có: 2 2 5 ' ' ; 2 2 a DH DC HC AD a= + = = 2 2 3 2 a AH AD HD= + = 2 ' 1 3 1 3 os ' sin ' . ' . ' .sin ' 2 4 10 10 AD H a c AD H AD H S D A D H AD H ∆ ⇒ ∠ = ⇒ ∠ = ⇒ = ∠ = Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng Ck và AD’ là: ( ) ( ) ( ) ' ' 3 , ' , ' 3 AHD AHC D V a CK AD CK mp AHD S ∆ = = = Bài 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng minh rằng thiết diện C’MB chia lăng trụ thành hai phần tương đương. HDG: Gọi 1 V là thể tích phần đa diện chưa điểm A, và V là thể tích lăng trụ. Kí hiệu h là khoảng cách từ B đến mp (ACC’A’), ta có: ( ) 1 . ' ' ' ' ' ' ' ' '. 1 1 . . . 3 3 1 1 1 3 1 . . . 3 2 2 2 2 B ACC A ACC M ACC AMC ACC ACC ACC C ABC V V h S h S S h S S h S V V ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = = = +   = + = = =  ÷   Do đó thể tích phần còn lại cũng bằng 1 2 V nên ta có đpcm. Bài 11: Cho hình chóp tam giác S.ABC. Giả sử M, N, P là ba điểm lần lượt trên SA, BC, AB sao cho M, N tương ứng là trung điểm của SA, BC còn 1 3 AP AB = . Thiết diện với hình chóp S.ABC tạo bởi mặt phẳng (MNP) cắt SC tại Q. 1. Chứng minh 1 . 3 SQ SC = 2. Chứng minh thiết diện chia hình chóp thành hai phần tương đương. Bài 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các mặt bên tạo với mp đáy góc 60 o . 1. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với mp(SAD) 2. Thiết diện chia khối chóp thành hai phần có thể tích tương ứng là V 1 , V 2 . Tìm tỉ số 1 2 V V . HDG: 1. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với (SAD): ( )DoAC SBD AC SD⊥ ⇒ ⊥ . Kẻ ( ) ( ) ( )CM SD SD ACM ACM P⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ≡ Vậy (ACM) là thiết diện. 3. Đặt 1 .D ACM V V = Ta có: . . 1 2 S ACM S DAC V V SM V SD V ′ = = . Gọi N là trung điểm của CD 0 óc( ) 60HN CD SN CD g SNH⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = 0 1 óc( ) 60 2 . à 2; 3 2 1 5 2 5 HN CD SN CD g SNH HN SN SN DN m HN a HD a SH a V SC SD a CM a SM a V ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = = ′ ⇒ = = ⇒ = ⇒ = ⇒ = Phần B: Quan hệ vuông góc trong không gian. Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA SB SC a= = = . --- Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình ------ 8 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 1. Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD). 2. Chứng minh SBD∆ vuông tại S. HDG: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vì SA SB SC a= = = nên ( ) SO mp ABCD⊥ . Mà AC BD ⊥ vì ABCD là hình thoi, nên O BD ∈ Có: ( ) ( ) ( ) ( ) ,SO SBD SO ABCD SBD ABCD∈ ⊥ ⇒ ⊥ Bài 2: Tứ diện SABC có ( ) .SA mp ABC⊥ Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. 1. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và ( ) ( ) SAC BHK⊥ 2. Chứng minh ( ) HK SBC⊥ và ( ) ( ) .SBC BHK⊥ (Bài 2: có đính chính H, K là trực tâm) HDG: 1. Vì H là trực tâm tam giác ABC BH AC∆ ⇒ ⊥ , theo giả thiết ( ) SA mp ABC BH SA⊥ ⇒ ⊥ . Nên ( ) BH mp SAC SC BH⊥ ⇒ ⊥ Do K là trực tâm SBC BK SC∆ ⇒ ⊥ Từ đó suy ra ( ) ( ) ( ) SC mp BHK mp BHK mp SAC⊥ ⇒ ⊥ (đpcm) 2. Tương tự như trên ta cũng chứng minh được: ( ) SB mp CHK SB HK⊥ ⇒ ⊥ Mà ( ) SC mp BHK SC HK⊥ ⇒ ⊥ . Do đó: ( ) ( ) ( ) HK mp SBC mp SBC mp BHK⊥ ⇒ ⊥ Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA vuông góc với (ABCD). Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC. 1. Chứng minh ( ) ( ) .SBD SAC⊥ 2. Chứng minh ( ) ||BD mp P HDG: 1. Vì ABCD là hình vuông tâm O nên AC và BD vuông góc với nhau tại O, vì SA vuông góc với (ABCD) nên ( ) ( ) ( ) SA BD BD SAC SBD SAC⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 2. Từ giả thiết suy ra: ( ) ( ) P SAC⊥ , mà ( ) ( ) ||BD SAC BD P⊥ ⇒ Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD. Qua A dựng đường thẳng Ax vuông góc với (P). lấy S là một điểm tùy ý trên Ax ( S A≠ ). Qua A dựng mặt phẳng (Q) vuông góc với SC. Giả sử (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Chứng minh: ' , 'AB SB AD SD⊥ ⊥ và . ' . ' . 'SB SB SC SC SD SD= = HDG: Từ giả thiết suy ra: ( ) , 'SA BC AB BC BC SAB BC AB⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Mà ( ) 'SC Q SC AB⊥ ⇒ ⊥ . Do đó ( ) ' 'AB SBC AB SB⊥ ⇒ ⊥ Ngoài ra ta cũng có , ' ' ' 'BC SB SC B C SBC SC B⊥ ⊥ ⇒ ∆ ∆: nên: . ' . ' ' ' SB SC SB SB SC SC SC SB = ⇒ = Chứng minh tương tự ta được 'AD SD⊥ và . ' . 'SD SD SC SC= Vậy ta có đpcm. Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác cân đỉnh A và BAC α ∠ = . Gọi M là trung điểm của AA’ và giả sử mp(C’MB) tạo với đáy (ABC) một góc . β 1. Chứng minh ' .C BC β ∠ = 2. Chứng minh tan os 2 c α β = là điều kiện cần và đủ để 'BM MC⊥ . HDG: 1. Trong mp(ACC’A’) kéo dài C’M cắt CA tại N, thì A là trung điểm của NC suy ra: 1 2 BA AC AN BA CN BCN= = ⇒ = ⇒∆ vuông tại B nên BN BC⊥ . Tương tự ta có 'BN BC⊥ --- Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình ------ 9 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 Dễ thấy: ( ) ( ) 'BN mp MBC mp ABC= ∩ , từ trên suy ra ( ) ( ) ( ) · ' , 'C BC ABC MBC β ∠ = = 2. Vì BM là trung tuyến của 'BC N∆ nên: ' 'BM MC NBC⊥ ⇔ ∆ cân đỉnh B . os 2 ' os tan os 2 sin sin 2 2 BC c BC BH BC BN c c α α β α α β ⇔ = ⇔ = = ⇔ = (Với H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống cạnh AC) Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có SA h= và vuông góc với mp(ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của: 1. SB và CD 2. SC và BD HDG: 1. Vì ABCD là hình vuông nên BC CD⊥ Lại có: ( ) ( ) ( ) BC AB BC SAB BC SB BC SA do SA ABCD ⊥   ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥ ⊥   Vậy BC là đoạn vuông góc chung của SB và CD, và BC a = 2. Gọi O AC BD= ∩ ⇒ AC và BD vuông góc nhau tại O, mà SA BD⊥ ⇒ ( ) BD mp SAC⊥ . Trong tam giác SAC, kẻ OI vuông góc với SC khi đó BD và OI vuông góc nhau do đó OI là đường vuông góc chung của SC và BD Ta có: ( ) 2 2 . 2 2 SA SC SA OC ah SAC OIC OI OI OC SC h a ∆ ∆ ⇒ = ⇒ = = + : Bài 7: Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3 ,a cạnh bên bằng 2 .a Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. HDG: Trong tam giác ABC đều, kéo dài AG cắt BC tại M AG BC⇒ ⊥ Chóp S.ABC đều, mà G là tâm ABC∆ ABC nên ( ) SG ABC SG BC⊥ ⇒ ⊥ , từ đó suy ra ( ) BC SAG⊥ . Trong SAM∆ kẻ ( ) MN SA N SA MN BC⊥ ∈ ⇒ ⊥ . Do vậy MN là đoạn vuông góc chung của BC và SA. Ta có: 2 . 3 3 . 4 SAM S SG MA a MN SA SA ∆ = = = = Bài 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 7 ,a cạnh bên SC vuông góc với mp(ABC) và 7 .SC a= Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. Bài 9: Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có tâm là O, cạnh a và 3 . 3 a OB = Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại O, lấy điểm S sao cho .SB a= Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD. HDG: Dễ chứng minh được ( ) BD SAC⊥ (vì ,BD AC BD SO⊥ ⊥ ) Trong mp(SAC) kẻ ( ) OI SA I SA⊥ ∈ ⇒ OI là đoạn vuông góc chung của SA và BD. Ta có: 2 2 6 2 3 3 3 a a SO OA SA SO OA= = ⇒ = + = 2 . 3 . 3 SOA S SO OA a OI SA SA ∆ ⇒ = = = = Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và góc 60BAD∠ = o . Đoạn 3 4 a SO = và SO vuông góc với mp(ABCD). 1. Dựng thiết diện chóp với mp(P) biết (P) qua AD và vuông góc mp(SBC). --- Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình ------ 10 [...]...Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 2 Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (ABCD) Bài 11: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a Gọi E, F và M lần lượt là trung điểm của AD, AB và CC’ Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM) Tính cosα a 2 a 6 HDG: Ta có: EF = AE 2 + AF 2 = , ME = MF = MC 2 + CB 2 + BF 2 = 2 2 Gọi I = EF ∩ AC... góc ∠MAN = α AM 2 + AN 2 − MN 2 Do đó: α = 30o ⇔ cosα = cos30o = 2 AM AN a ( u + v) 3 ⇔ = 2 a2 + u 2 a2 + v2 2 2 ⇔ 3 ( a 2 − uv ) = a 2 ( u + v ) 2 2 ⇔ a ( u + v ) + 3uv = 3a 2 - Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình 11 . góc A = 120 0 . Tính thể tích khối chóp tạo bỡi hình chóp S.BCD. Giải -- - Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình -- -- - - 3 S CD H K A. mp BCM N⇒ ∩ = Theo công thức tỉ số thể tích, ta có: -- - Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình -- -- - - 5 Giáo viên: Nguyễn Thành Long